双曲线标准方程及性质(有答案)

双曲线标准方程及性质

1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质：

焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

范围

顶点

轴长

焦点

焦距

对称性

离心率

渐近线方程

3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

第1课时 双曲线及其标准方程

一、选择题

1．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，

且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是( )

A ．4a

B ．4a －m

C ．4a ＋2m

D ．4a －2m

2．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2

cos θ＝1 所表示的曲线是( )

A ．焦点在y 轴上的双曲线

B ．焦点在x 轴上的双曲线

C ．焦点在y 轴上的椭圆

D ．焦点在x 轴上的椭圆

3．(2010·安徽理，5)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.???

?

22，0

B.??

??52，0 C.???

?62，0 D ．(3，0)

4．k >9是方程x 29－k ＋y 2

k －4＝1表示双曲线的( )

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

5．已知双曲线x 225－y 2

9＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距

离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )

A.2

3

B ．1

C ．2

D ．4 6．已知双曲线x 2－

y 22

＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )

A.43

B.53

C.233

D. 3

7．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线

8．以椭圆x 23＋y 2

4＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )

A.x 23

－y 2

＝1 B ．y 2－

x 23＝1 C.x 23－y 2

4

＝1 D.y 23－x 2

4

＝1 9．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )

A.x 24

－y 2

＝1 B ．x 2－

y 24＝1 C.x 22－y 2

3

＝1 D.x 23－y 2

2

＝1 10．已知双曲线x 29－y 2

16＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使∠F 1PF 2＝90°，则

△F 1PF 2的面积是( )

A ．12

B ．16

C ．24

D ．32 二、填空题

11．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________.

12．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________．

13．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2

b ＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交

点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．

14．已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________．

三、解答题

15．设声速为a米/秒，在相距10a米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．

16．已知双曲线与椭圆x2

27＋

y2

36＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方

程．

17．已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求椭圆的另一焦点F 的轨迹方程．

18．如图，已知双曲线的离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．

第2课时 双曲线的简单几何性质

一、选择题

1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为14

5，双曲线的方程应是( )

A.x 212－y 24＝1

B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 2

12＝1 2．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )

A.x 212－y 2

24

＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 2

12

＝1 D.x 224－y 2

12

＝1 3．若0

b 2＝1有( )

A ．相同的实轴

B ．相同的虚轴

C ．相同的焦点

D ．相同的渐近线

4．中心在坐标原点，离心率为5

3的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )

A ．y ＝±5

4

x

B ．y ＝±45x

C ．y ＝±43x

D ．y ＝±3

4

x

5．(2009·四川文，8)已知双曲线x 22－y 2

b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝

x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→

＝( )

A ．－12

B ．－2

C ．0

D ．4

6．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.

62 C.63 D.3

3

7．已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )

A ．1

B ．1

C ．1

D ．1

8．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2

3n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )

A ．x ＝±

152

y B ．y ＝±

152x C ．x ＝±34

y D ．y ＝±3

4

x

9．(2010·海口期末)已知双曲线C ：x 29－y 2

16＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且

|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )

A ．24

B ．36

C ．48

D ．96

10．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14

B ．－4

C ．4

D.14

二、填空题

11．若双曲线x 24＋y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±3

2x ，则双曲线的焦点坐标是____________．

12．(2010·福建文，13)若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±1

2x ，则b 等于________．

13．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则双曲线的方程为________．

14．已知双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则其离心率为________． 三、解答题

15．双曲线与圆x 2＋y 2＝17有公共点A (4，－1)，圆在A 点的切线与双曲线的一条渐近线平行，求双曲线的标准方程．

16．焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为2x ±y ＝0，焦点到渐近线的距离为8，求此双曲线方程．

17．双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，焦距为2

c ，左顶点为A ，虚轴的上端点为B (0，b )，若

BA →·BF →＝3ac ，求该双曲线的离心率．

18．若F 1，F 2是双曲线x 29－y 2

16＝1的左、右两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求

∠F 1PF 2的大小．

第1课时 双曲线及其标准方程

一、选择题 1．[答案] C 2． [答案] C

[解析] 方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π

4

，π)，

∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故答案为C. 3．[答案] C

[解析] 将方程化为标准方程

x 2－

y 212

＝1∴c 2＝1＋12＝32，∴c ＝6

2，故选C. 4． [答案] B

[解析] k >9时，方程为y 2k －4－x 2

k －9＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，方程表示双曲线时，(k －9)(k －

4)<0，∴k <4或k >9，故选B.

5．[答案] D

[解析] NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝1

2|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为

|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.

6．[答案] C

[解析] 由条件知c ＝3，∴|F 1F 2|＝23， ∵MF 1→·MF 2→

＝0，∴|MO |＝12

|F 1F 2|＝3，

设M (x 0，y 0)，则?????

x 20＋y 20＝3x 20－y 202＝1

，∴y 20＝43，∴y 0＝±233，故选C. 7． [答案] D

[解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a ＝1，由a 、b 异号知b

a <0，故方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D.

8．[答案] B

[解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上， 且a ＝1，c ＝2，∴b 2

＝3，双曲线方程为y 2

－x 2

3

＝1.

9．[答案] B

[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴5a 2－16

b

2＝1，

又a 2＋b 2＝5，∴????

?

a 2＝1

b 2＝4

，故选B.

10．[答案] B

[解析] 由定义||PF 1|－|PF 2||＝6，∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，

∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，∴|PF 1||PF 2|＝32，∴S △PF 1F 2＝1

2|PF 1|·|PF 2|＝16.

二、填空题 11． [答案] 1

2

[解析] 由条件知，???

a 2

－b 2

＝1

|a －b |

2＝2

，∴????? a ＋b ＝12a －b ＝2或?????

a ＋

b ＝－12

a －

b ＝－2

，∵a >0，∴a ＋b ＝12

.

12． [答案] x 24－y 2

12

＝1(x ≥2)

[解析] 设动圆圆心为M ，动圆半径为r ，根据题意得，|MM 1|＝5＋r ，|MM 2|＝1＋r ，两式相减得|MM 1|－|MM 2|＝4<8＝|M 1M 2|，故M 点在以M 1(－4,0)，M 2(4,0)为焦点的双曲线的右支上，故圆心M 的轨迹方程为x 24－y 2

12

＝1(x ≥2)． 13． [答案] a －m

[解析] 由双曲线及椭圆定义分别可得

|MF 1|－|MF 2|＝±2m ① |MF 1|＋|MF 2|＝2a ②

②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4m ，∴|MF 1|·|MF 2|＝a －m . 14． [答案] 6

[解析] 椭圆方程为x 236＋y 2

24＝1，c 2＝a 2－b 2＝36－24＝12，∴焦点F 1(－23，0)，F 2(23，0)，

双曲线x 2m －y 2

m ＝1与椭圆有相同焦点，∴2m ＝12，∴m ＝6.

三、解答题

15． [解析] 以A 、B 两哨所所在直线为x 轴，它的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，得炮弹爆炸点的轨迹方程为x 29a 2－y 2

16a

2＝1.

16． [解析] 椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)，且

c ＝

3，a 2＋b 2＝9.

由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)、B (－15，4)， 由点A 在双曲线上知，16a 2－15

b

2＝1.

解方程组?????

a 2＋

b 2

＝9，16a 2－15b

2＝1，得?????

a 2＝4，

b 2

＝5.∴所求曲线的方程为y 24－x 2

5＝1.

17． [解析] 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， 因为A 、B 两点在以C 、F 为焦点的椭圆上，

所以|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a ，(其中a 表示椭圆的长半轴长)， 所以|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |， 所以|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝

122＋92－

122＋52＝2.

由双曲线的定义知，F 点在以A 、B 为焦点的双曲线的下半支上， 所以点F 的轨迹方程是

y 2－

x 2

48

＝1(y ≤－1)． 18． [解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1

∵e ＝c a ＝2，∴a ＝c 2

由双曲线定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝c . 由余弦定理得

|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|(1－cos60°)， ∴4c 2＝c 2＋|PF 1|·|PF 2|

又S △PF 1F 2＝1

2|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝12 3

得|PF 1|·|PF 2|＝48，即

c 2＝16，∴a 2＝4，b 2＝12， 所求方程为

x 24－y 2

12

＝1.

第2课时 双曲线的简单几何性质

一、选择题 1．[答案] C

[解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝4

5

，

∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2，∴双曲线方程为：y 24－x 2

12＝1.

2．[答案] B

[解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2

＝λ(λ≠0)，

又因为双曲线的焦点在y 轴上，∴方程可写为y 2－λ－x 2

－2λ

＝1.

又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为y 212－x 2

24＝1.

3． [答案] C

[解析] ∵00.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2. 4． [答案] D

[解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2

a 2＝259，∴

b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝3

4

.

又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a

b x ，

∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±3

4x .

5．[答案] C

[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．

由题意得b 2＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 20

＝1， ∴PF 1→·PF 2→

＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0)＝－1＋y 20＝0，故选C. 6．[答案] B

[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)．

∵△MF 1F 2为等腰三角形，∠F 1MF 2＝120°，∴∠MF 1F 2＝30°，∴tan30°＝b c ＝33，b 2c 2＝1

3，

c 2－a 2c 2＝1－(a c )2＝13，(c a )2＝32，∴e ＝6

2

.

7．[答案] D

[解析]由已知Δ＝b2－4ac<0，∴c2－a2－4ac<0.

∴(c

a)

2－4(c a)－1<0，即e2－4e－1<0.∴2－51，故1

8．[答案] D

[解析]由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，

∴双曲线渐近线的斜率k＝±3|n|

2|m|

＝±3

4.方程为y＝±

3

4x.

9．[答案] C

[解析]依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16，因此△PF1F2的

面积等于1

2×16×102－????

16

22

＝48，选C.

10．[答案] A

[解析]双曲线方程化为标准形式：y2－x2

－1 m ＝1，则有：a2＝1，b2＝－1

m

，

由题设条件知，∴2＝－1

m ，∴m＝－1

4.

[点评]双曲线作为圆锥曲线的一种，其几何性质常作为高考命题的热点问题．但难度一般不大，掌握其实轴、虚轴、焦距之间的关系和渐近线方程是解决双曲线问题的突破口．

二、填空题

11． [答案](7，0)(－7，0)

[解析]由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±－m

2x，∴m＝－3，求得双曲线方程为

x2

4

－y2

3

＝1，从

而得到焦点坐标(7，0)(－7，0)

12． [答案] 1

[解析]本题主要考查双曲线的渐近线方程．

双曲线x2

4－y2

b2

＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±b

2x，∴

b

2

＝1

2

，即b＝1.

13． [答案]x2

36－

y2

12＝1

[解析]解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为x－3y＝0，则另一条为x＋3y＝0，可设双曲线方程为

x 2

－3y 2

＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 2λ3

＝1由椭圆方程x 264＋y 2

16

＝1可知

c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48双曲线与椭圆共焦点，则λ＋λ

3＝48

∴λ＝36. 故所求双曲线方程为x 236－y 2

12＝1.

解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为

x 264－λ－y 2λ－16＝1 由渐近线方程y ＝1

3x 可得λ－1664－λ＝13

∴λ＝28 故所求双曲线方程为x 236－y 2

12＝1.

解法三：椭圆x 264＋y 2

16

＝1，c 2＝64－16＝48.

设双曲线的实半轴长，虚半轴长分别为a 、b ，则由条件知 ????

?

a 2＋

b 2＝48b a ＝13

，∴?????

a 2＝36

b 2

＝12

，∴双曲线方程为x 236－y 2

12＝1.

14． [答案] 17或

17

4

[解析] 若双曲线焦点在x 轴上，依题意得，b a ＝4，∴b 2

a 2＝16，即c 2－a 2a 2＝16，∴e 2＝17，e ＝17.

若双曲线焦点在y 轴上，依题意得，a b ＝4.∴b a ＝14，b 2a 2＝1

16，即c 2－a 2a 2＝116.

∴e 2＝1716，故e ＝174，即双曲线的离心率是17或17

4.

三、解答题

15． [解析] ∵点A 与圆心O 连线的斜率为－1

4，∴过A 的切线的斜率为4.

∴双曲线的渐近线方程为y ＝±4x . 设双曲线方程为

x 2－

y 2

16

＝λ. ∵点A (4，－1)在双曲线上，∴16－116＝λ，λ＝25516. ∴双曲线的标准方程为x 225516－y 2

255

＝1.

16． [解析] 因双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，故设双曲线方程为4x 2－y 2＝λ(λ≠0)．

当λ>0时，a 2＝λ4，b 2＝λ，∴c 2＝a 2＋b 2＝54λ. 即焦点坐标为(±5

2λ，0)．

据点到直线的距离公式有2×5

2λ

5＝8，得λ＝8. 此时双曲线方程为x 22－y 2

8＝1.

当λ<0时，双曲线方程可化为y 2－λ－x 2－λ

4＝1. 则a 2＝－λ，b 2＝－λ

4，

∴c 2＝a 2＋b 2＝－54λ. 故焦点坐标为(0，±5

2

λ)，

据点到直线的距离公式有|5

2λ|5＝3，得λ＝－16. 此时双曲线方程为y 216－x 2

4＝1.

故所求双曲线的方程为x 22－y 28＝1或y 216－x 2

4＝1.

17． [解析] 由条件知F (c,0)，A (－a,0)， ∴BA →＝(－a ，－b )，BF →

＝(c ，－b )， ∵BA →·BF →＝3ac ，∴－ac ＋b 2＝3ac ， 又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－4ac ＝0， ∵e >1，∴e ＝c

a

＝2＋ 5.

18． [解析] 由双曲线的方程，知a ＝3，b ＝4，所以c ＝5. 由双曲线的定义得， ||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6. 上式两边平方得，

|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝100， 由余弦定理得，

cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2| ＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，

所以∠F 1PF 2＝90°.

[点评] 在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．