同济-高等数学-第三版同济高数(少学时)课件引导

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点

．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +?

2-5高等数学同济大学第六版本

2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;

(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:

(完整word版)同济大学第六版高等数学课后答案详解全集

同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x)

同济六版高等数学课后答案

同济六版高等数学课后答案 高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);

高等数学(同济大学版)第一章练习(含答案)

第一章 函数与极限 一、要求： 函数定义域，奇偶性判定，反函数，复合函数分解，渐近线，求极限， 间断点类型判定，分段函数分段点连续性判定及求未知参数，零点定理应用. 二、练习： 1.函数 2112 ++-=x x y 的定义域 ；答：2x ≥-且1x ≠±； 2. 函数y = 是由： 复合而成的； 答：2 ln ,,sin y u v v w w x ====； 3. 设 ,112 2 x x x x f +=??? ? ?+ 则()f x = ；答：22x -； 4. 已知)10f x x x ?? =+≠ ??? ，则()f x = ； 答： ( )11f x x x = +=+ ()0x ≠； 5.11lim 1 n x x x →--= ，答：n ； !lim 1 n n n →∞ += ；答： 0； 6. 当a = 时,函数(), 0, x e x f x a x x ?<=? +≥?在(,)-∞+∞上连续；答：1a =； 7.设(3)(3)f x x x +=+，则(3)f x -=( B )； A.(3)x x -， B.()6(3)x x --， C.()6(3)x x +-， D.(3)(3)x x -+； 8. 1lim sin n n n →∞ =（ B ）； A.0 ， B.1， C.+∞， D.-∞； 9.1x =是函数2 2 1 ()32 x f x x x -= -+的（A ）； A.可去间断点，B.跳跃间断点， C.第二类间断点， D.连续点； 10. |sin | ()cos x f x x xe -=是（ A ）； A.奇函数， B.周期函数， C.有界函数， D.单调函数； 11.下列正确的是( A ) A.1lim sin 0x x x →∞ =，B.1lim sin 0x x x →∞ =， C.0 1lim sin 1x x x →=， D.11lim sin 1x x x →∞ =； 12. 1x =是函数)1,13, 1 x x f x x x -≤?=? ->?的（ D ）

同济版高等数学新编课后习题解析

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书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(2 11n n n x a x x + =+ 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+ =+221)(2 11（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(2 1 1n n n x a x x + =+两边取极限，得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a .

P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则2 11)1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12 --+x ax ，求常数a . 知识点：1）等价无穷小的概念； 2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。 解：由题意：1322 31lim 1cos 1)1(lim 2203 120=-=-=--+→→a x ax x ax x x 得23 -=a 或13 2]1)1()1[(2 1 1lim 1 cos 1)1(lim 31 232 22203 1 20=- =++++?--+=--+→→a ax ax x ax x ax x x （根式有理化） P42页3（4） 关于间断点：x x x f 1sin 1)(=

高等数学同济大学第六版本

习题92 1 计算下列二重积分 (1)??+D d y x σ)(22 其中D {(x y )| |x |1 |y |1} 解 积分区域可表示为D 1x 1 1y 1 于是 ??+D d y x σ)(22y d y x dx ??--+=1 11 122)(x d y y x ?--+=1 11132]31[ x d x ?-+=1 12)312(113]3232[-+=x x 3 8= (2)??+D d y x σ)23( 其中D 是由两坐标轴及直线x y 2所围成的闭区 域 解 积分区域可表示为D 0x 2 0y 2x 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=20 22]3[ dx x x ?-+=2 02)224(0232]324[x x x -+=3 20= (3)??++D d y y x x σ)3(223 其中D {(x y )| 0 x 1 0y 1} 解 ??++D d y y x x σ)3(3 2 3 ??++=1 03 2 3 1 0)3(dx y y x x dy ?++=1 001334]4 [dy x y y x x ?++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=14 12141=++= (4)??+D d y x x σ)cos( 其中D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和 ( )的三角形闭区域 解 积分区域可表示为D 0x y x 于是 ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 0 )cos(π ?+=π )][sin(dx y x x x ?-=π0)sin 2(sin dx x x x ?--=π 0)cos 2cos 2 1(x x xd +--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ?-π0)cos 2cos 21(π2 3-=

10-2高等数学同济大学第六版本

习题 10-2 1. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明: ?=L dx y x P 0),(. 证明??=L b a dx x P dx y x P )0 ,(),(. 证明L : x =x , y =0, t 从a 变到 b , 所以 ???='=b a L b a dx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(. 3. 计算下列对坐标的曲线积分: (1)?-L dx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4) 的一段弧; 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中 L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , ??+'++=a dx dt t a a t a t a 2000)cos (sin )cos 1(π (3)?+L xdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到

解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以 (5)ydz zdy dx x -+?Γ 2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对 应θ从0到π的一段弧; 解 ??--+=-+Γπ θθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x (6)dz y x ydy xdx )1(-+++?Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的 一段直线; 解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1. ?Γ-+++dz y x ydy xdx )1(?-+++++++=10 )]1211(3)21(2)1[(dt t t t t ?=+=1 013)146(dt t . 依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中 AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,

高等数学同济大学第六版本

习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1)??+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是 (2)??+D d y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域: 解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2-x . 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?- +=2 22]3[ (3)??++D d y y x x σ)3(223, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1}; (4)??+D d y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区 域.

解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是, ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 00)cos(π?+=π 00 )][sin(dx y x x x 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (2)??D d xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域; (3)??+D y x d e σ, 其中D ={(x , y )| |x |+|y |≤1}; 解 积分区域图如, 并且 D ={(x , y )| -1≤x ≤0, -x -1≤y ≤x +1}?{(x , y )| 0≤x ≤1, x -1≤y ≤-x +1}.