同济六版高等数学(下)知识点整理
第八章
1、向量在轴上的投影：
性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a
=），其中?为向量a 与u 轴的夹角；
u u u b a b a )()()(
+=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a
Prj u a ）.
2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x
++=，k b j b i b b z y x ++=，则
=?b a
x x b a i
y
y b a j z z b a k
=1
1)
1(+-y
y b a
z z b a i +21)1(+-x x b a
z
z
b a j +3
1)
1(+- x x b a y
y
b a k
=k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y
)()()(-+-+-
注：a b b a
?-=?
3、二次曲面
（1） 椭圆锥面：222
22z b
y a x =+；
（2） 椭圆抛物面：z b
y a x =+22
22； （旋转抛物面：z a y x =+2
22（把把xOz 面上的抛物线z a
x =22
绕z 轴旋转））
（3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122
2
22=++c
z a y x （把xOz 面上的椭圆122
22=+c
z a x 绕z 轴旋转））
（4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122
222=-+c
z a y x （把
xOz 面上的双曲线122
22=-c
z a x 绕z 轴旋转））
（5） 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x ； （旋转双叶双曲面：12
2
222=+-
c z y a x （把xOy 面上的双曲线122
22=-c
z a x 绕x 轴旋转）
） （6） 双曲抛物面（马鞍面）：z b
y a x =-22
22；
（7） 椭圆柱面：12222=+b y a x ； 双曲柱面：122
22=-b
y a x ； 抛物柱面：ay x =2
4、平面方程
（1） 平面的点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，其中
),,(0000z y x M 是平面上一点，),,(C B A n =
为平面的一个法向量.
（2） 平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax ，其中),,(C B A n =
为平面的一个
法向量.
注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量),,(C B A n =
若D =0，则平面过原点；
若???≠==轴，则平面平行于轴
则平面过x D x D A 0,0,0
若?
?
?≠===面，则平面平行于面，则平面表示
，xOy D xOy D B A 000 （3） 平面的截距式方程：
1=++c
z
b y a x ，其中
c b a ,,分别叫做平面在z y x ,,轴上的截距.
5、两平面的夹角：2
2
2
22
22
12
12
12
12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++=
θ
特殊：0212121=++?C C B B A A 两平面互相垂直
2
12121C C B B A A ==?两平面互相平行或重合 6、点),,000z y x P （到平面
0=+++D Cz By Ax 的距离公式：
2
2
2
000C
B A D
Cz By Ax d +++++=
7、空间直线方程
（1） 空间直线的一般方程：???=+++=+++00
22221111D z C y B x A D z C y B x A
（2） 空间直线的对称式（点向式）方程：
p
z z n y y m x x 0
00-=
-=-，其中),,(p n m s =
为直线的一个方向向量，),,(000z y x M 为直线上一点
（3） 空间直线的参数方程：??
?
??+=+=+=pt
z z nt y y m t x x 000
8、两直线的夹角：2
2
2
22
22
12
12
12
12121cos p n m p n m p p n n m m ++?++++=
?
特殊：0212121=++?p p n n m m 两直线互相垂直
2
1
2121p p n n m m =
=?两直线互相平行或重合 9、直线与平面的夹角：2
2
2
2
2
2
sin p
n m C B A Cp Bn Am ++?++++=
?
特殊：p
C n B m A ==?
直线与平面垂直 直线与平面平行或在平面内：0=++Cp Bn Am 10、平面束的方程：
设直线L 由方程组???=+++=+++00
22221111D z C y B x A D z C y B x A 所确定，其中222111,,,,C B A C B A 与不
成比例，则平面0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ为通过直线L 的所有平面（不包含平面02222=+++D z C y B x A ）
第九章
1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点
2、二重极限存在是指),(y x P 以任何方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 都无限接近于A ，因此当),(y x P 以不同方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 趋于不同的值，那么这个函数的极限不存在
3、偏导数：求x f
??时，只要把其他量),,( z y 看作常量而对x 求导数；
求
y
f
??时，只要把其他量),,( z x 看作常量而对y 求导数； 注意：（1）偏导数都存在并不一定连续；
（2）x
z
??为整体，不可拆分；
（3）分界点，不连续点处求偏导数要用定义求
4、若函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，则该函数在点),(y x 的偏导数
x z ??、y
z
??必定存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为dy y
z dx x z dz ??+??=
5、若函数),(y x f z =的偏导数
x z ??、y
z
??在点),(y x 连续，则函数在该点可微分 6、),(y x f 连续,偏导数不一定存在，偏导数存在,),(y x f 不一定连续； ),(y x f 连续,不一定可微，但可微,),(y x f 一定连续； 可微,偏导数一定存在，偏导数存在, ),(y x f 不一定可微； 可微,偏导数不一定都连续；偏导数都连续, ),(y x f 一定可微 7、多元复合函数的求导法则：
（1）一元函数与多元函数符合的情形：若函数)(t u ?=及)(t v ψ=都在点t 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),([t t f z ψ?=在点t 可导，且有
dt
dv
v z dt du u z dt dz ??+??= （2）多元函数与多元函数复合的情形：若函数),(y x u ?=及),(y x v ψ=都在点
),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导
数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψ?=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且
x v v z x u u z x z ????+????=??；y
v v z y u u z y z ????+
????=?? （3）其他情形：若函数),(y x u ?=在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数
)(y v ψ=在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合
函数)](),,([y y x f z ψ?=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且
x
u u z x z ????=??；y
v v z y u u z y z ????+????=?? 8、隐函数求导公式： （1）函数),(y x F ：
y
x F F dx dy
-= （2）函数),,(z y x F ：z x F F x z -=??，z
y F F y z
-=??
9、空间曲线的切线与法平面：设空间曲线Γ的参数方程为
??
?
??===),(),(),
(t z t y t x ωψ? ],[βα∈t ),,(000z y x M 为曲线上一点
假定上式的三个函数都在],[βα上可导，且三个导数不同时为零
则向量=T ))('),('),('()('0000t t t t f ωψ?=
为曲线Γ在点M 处的一个切向量，曲线
Γ在点M 处的切线方程为：
)
(')(')('00
0000t z z t y y t x x ωψ?-=
-=-，法平面方程为：0))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωψ?
如果空间曲线Γ的方程以???==),(),
(x z x y ψ?的形式给出，
则Γ在点M 处的切线方程为：
)
(')('100
000x z z x y y x x ψ?-=-=-， 法平面方程为：0))(('))((')(00000=-+-+-z z x y y x x x ψ?
如果空间曲线Γ的方程以???==,0),,(,
0),,(z y x G z y x F 的形式给出，则Γ在点M 处的切线方程
为：
M
y
y
x x M x x z z M z z y y G F G F z z G F G F y y G F G F x x 0
00-=-=-
法平面方程为：0)()()(000=-+
-+
-z z F F G F y y G F G F x x G F G F y
y x x M
x
x z z M
z
z y y
10、曲面的切平面与法线：设曲面方程为0),,(=z y x F ，),,(000z y x M 为曲面上一点，则曲面在点M 处的切平面方程为：
0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ，法线方程为：
)
,,(),,(),,(000
0000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x o z o y x -=
-=- 11、方向导数：若函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，那么函数在该点沿任一方向
l 的方向导数存在，且 βαcos ),(cos ),(000o y x y x f y x f l
f
+=??，其中βαcos ,cos 是方向l 的方向余弦 12、梯度：j y x f i y x f y x
),(),(0000+称为函数),(y x f 在点),(000y x P 的梯度，记
作),(),(000y x f y x gradf o ?或，
即),(),(000y x f y x gradf o ?==j y x f i y x f y o x
),(),(000+
13、设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则
0),(,0),(0000==y x f y x f y x
14、设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数，又
0),(,0),(000==y x f y x f y o x ，令
C y x f B y x f A y x f yy xy o xx ===),(,),(,),(00000，则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：
（1）02>-B AC 时具有极值，且当0A 时有极小值； （2）02<-B AC 时没有极值；
（3）02=-B AC 时可能有极值，也有可能没有极值 15、具有二阶连续偏导数的函数),(y x f z =的极值求法：
第一步：解方程组0),(,0),(==y x f y x f y x ，求得一切实数解，即可求得一切驻点；
第二步：对每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值B A ,和C ；
第三步：定出2B AC -的符号，按14的结论判定),(00y x f 是不是极值，是极大值还是极小值 注：上述步骤是求．．．．．．．．具有二阶连续偏导数的函数得情况下，那么在考虑函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．极值时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．点．也要考虑．．．．
16、拉格朗日乘数法：要找函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x ?下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数),(),(),(y x y x f y x L λ?+=，其中λ为参数.求其对x 及y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程0),(=y x ?联立起来：
?
??
??==+=+0
),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ?λ?λ?，由这方程组解出y x ,及λ，这样得到的),(y x 就是函数),(y x f 在附加条件0),(=y x ?下的可能极值点
第十章
1、二重积分的性质
性质1：设βα、为常数，则
??????+=+D
D
D
d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([.
性质2：如果闭区域D 被有限曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.（二重积分对于积分区域具有可加性）
性质3：如果在D 上，1),(=y x f ，σ为D 的面积，则
????=?=D
D
d d σσσ1
性质4：如果在D 上，),,(),(y x y x f ?≤则有：????≤D
D
d y x d y x f .),(),((σ?σ
特殊地，由于,),(),(),(y x f y x f y x f ≤≤-则????≤D
D
d y x f d y x f σσ),(),(.
性质5：设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有??≤≤D
M d y x f m σσσ),(.
性质6（二重积分的中值定理）：设函数),(y x f 在闭区域D 连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ,使得???=D
f d y x f σηξσ),(),(.
2、二重积分直角坐标的计算法：
（1）若积分区域D 可用不等式)()(21x y x ??≤≤，b x a ≤≤（X 型）来表示，其中)(1x ?、)(2x ?在区间],[b a 上连续.则???
?=D
x x b
a dy y x f dx d y x f )
()
(21.),(),(??σ
（2）若积分区域D 可用不等式)()(21x x x φφ≤≤，b y a ≤≤（Y 型）来表示，其中)(1x φ、)(2x φ在区间],[d c 上连续.则???
?=D
x x d
c dx y x f dy
d y x f )
()
(21.),(),(φφσ
注：确定次序原则：
（1） 函数原则：内层积分可以积出； （2） 区域原则； （3） 少分块原则.
3、二重积分极坐标的计算法：（极坐标系中的面积元素：θρρd d ）
若积分区域D 可用不等式)()(21x x ?ρ?≤≤，βθα≤≤来表示，其中)(1x ?、)(2x ?在区间],[βα上连续.则：
??
??
??==β
α
θ?θ?ρρθρθρθθρρθρθρσ)
()
(21)sin ,cos ()sin ,cos (),(d f d d d f d y x f D
D
（详见
P145,146）
4、确定上下限原则：
（1）每层下限小于上限；
（2）内层一般是与外层积分变量的有关的函数，也可以是常数； （3）外层一定为常数.
5、利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性简化： （1）若积分区域D 关于0=x 对称，则：
??
????
??
???
=--=-=D
D y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1
),(),(,),(2),(),(,0),(当当，
其中}{0,),(),(1≥∈=x D y x y x D
（2）若积分区域D 关于0=y 对称，则：
??
????
??
???
=--=-=D
D y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1
),(),(,),(2),(),(,0),(当当，
其中}{0,),(),(2≥∈=y D y x y x D 6、直角坐标三重积分的计算：
（1）先一后二：若}{
xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),(),,(),(),,(21，闭区域
}{b x a x y y x y y x D xy ≤≤≤≤=),()(),(21，则：
?
?????
=Ω
)
,()
,(2221
),,(),,(y x z y x z y y b
a
dz z y x f dy dx dv z y x f （详见P158,159）
（2）先二后一（截面法）：
S1：将Ω向某轴投影，如z 轴，],[21c c z ∈；
S2：对],[21c c z ∈，用平行于xoy 面的平面截Ω，截出部分记为z D ；
S3：计算??z
D dxdy z f )(；
S4：计算?2
1
),(c c dz y x F
若空间区域{}21,),(),,(c z c D y x z y x z ≤≤∈=Ω，其中z D 是竖坐标为z 的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域，则：
??????
=Ω
2
1
),,(),,(c c D z
dxdy z y x f dz dv z y x f
注：适用于被积函数只有一个变量或为常数 7、柱面坐标三重积分的计算：
+∞<≤ρ0；πθ20≤≤；+∞<<∞-z
ρ=常数，即以z 轴为轴的圆柱面；
θ=常数，即过z 轴的半平面；
z =常数，即与xoy 面平行的平面
??
?
??===z z y x θρθρsin cos 柱面坐标系中的体积元素：dz d d dv θρρ=
??????Ω
Ω
=dz d d z F dxdydz z y x f θρρθρ),,(),,(，其中),sin ,cos (),,(z f z F θρθρθρ=
再化为三次积分计算
?
?????
=Ω
)
,()
,(2121
21
),,(),,(θρθρ??θθθρρρθz z dz z F d d dxdydz z y x f ，其中),(1θρz ，),(2θρz 为沿z
轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）
8、球面坐标三重积分的计算：
+∞<≤r 0，π?≤≤0，πθ20≤≤
??
?
??===?θ?θ?cos sin sin cos sin r z r y r x 球面坐标系中的体积元素：θ??d drd r dv sin 2=
??????Ω
Ω
=θ??θ?d drd r r F dxdydz z y x f sin ),,(),,(2
， 其中)cos ,sin sin ,cos sin (),,(?θ?θ?θ?r r r f r F =，再化为三次积分计算
???
???=Ω
2
1
21
21sin ),,(),,(2)
,()
,(θθ
??θ?θ??θ??θdr r r F d d dxdydz z y x f r r ，其中),(1θ?r ，),(2θ?r 为
沿z 轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）
典例：求由曲面a z y x 2222≤++与22y x z +≥所围成立体体积（利用三种坐标系求解）
解：a z y x 2222≤++表示球心在原点，半径为a 2的球体，22y x z +≥表示xoy 上半面圆锥体 直角坐标：
3
22220
20
)12(3
4)2(1
1
a dz z a dz z dxdy dz dxdy dz dv V a
a
a
a
a D a D -=-+=+==?
?
?????????Ω
πππ
柱面坐标：??
????-Ω
==a
a dz d d v d V 0
220
2
2ρρ
π
ρρθ
球面坐标：??
????==Ω
40
2220
sin π
π
??θa
o
dr r d d v d V
十一章
1、对弧长的曲线积分的计算法：
设(,)f x y 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()
()x t y t ?φ=??=? ，()t αβ≤≤，
其中(t ?），)t φ（在[,]αβ上具有一阶连续导数，且22'()'()0t t ?φ+≠，则曲线积分
(,)L
f x y ds ?
存在，且(,)[(),(L
f x y ds f t t β
α
?φ=?? ()αβ<
同理：空间曲线Γ：()
()()x t y t z t ?φω=??
=??=?
(,,)[(),(),(f x y z ds f t t t β
α
?φωΓ
=?
?
2、对坐标的曲线积分的计算方法：
设(,)P x y 、(,)Q x y 在有向曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()
()x t y t ?φ=??=?
，
当参数t 单调地由α变到β时，点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(t ?），)t φ（在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且22'()'()0t t ?φ+≠，则曲线积分(,)(,)L
P x y dx Q x y dy +?存在，且
(,)(,){[(),()]'()[(),()]'()}L
L
P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt ?φ??φφ+=+?
?（下限α对应于
L 的起点，上限β对应于L 的终点）
同理：空间曲线Γ：()
()()x t y t z t ?φω=??
=??=?
(,,)(,,)(,,){[(),(),()]'()[(),(),()]'()[(),(),()]}L
L
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P t t t t Q t t t t R t t t dt
?φω??φωφ?φω++=++?
?
3、平面曲线L 上两类曲线积分的联系：
(cos cos )L
L
Pdx Qdy P Q ds αβ+=+?
?，其中(,,),(,,)x y z x y z αβ为有向曲线弧L 在
点(,)x y
处的切向量方向角cos α=
，cos α=
同理：空间曲线Γ上两类曲线积分的联系：
(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓ
Γ
++=++?
?
4、格林公式：
设闭区域D 由分段光滑曲线L 围城，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则有(
)L D
Q P
dxdy Pdx Qdy x y
??-=+?????，其中L 是D 的取正向的边界曲线
注：取,P y Q x =-=，则2L
D
dxdy xdy
ydx =
-???，左端表示闭区D 的面积A 的两
倍，因此，1
2
L
A xdy ydx =-?
5、设D 为单连通区域，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则下列四个命题等价：
（1）沿D 内任一条光滑曲线有(,)(,)0L
P x y dx Q x y dy +=?
（2）对D 内任一条分段光滑曲线L 曲线积分(,)(,)L
P x y dx Q x y dy +?与路径无关
（3）存在(,)u x y D ∈，使得(,)(,)du P x y dx Q x y dy =+ （4）在D 内没一点都有
Q P
x y
??=??
6、对面积的曲面积分的计算法：
(,,)[,,(,xy
D f x y z dS f x y z x y ∑
=????
(,,)[,(,),xz
D f x y z dS f x y x z z ∑
=??
??
(,,)[(,),,yz
D f x y z dS f x y z y z ∑
=????
7、对坐标的区面积分的计算法：
(,,)[,,(,)]xy
D R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑
=±????，等式右端符号取决于积分曲面上下侧
(,,)[,(,),]zx
D Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx ∑
=±????，等式右端符号取决于积分曲面左右侧
(,,)[(,),,]xy
D P x y z dydz P x x y y z dydz ∑
=±????，等式右端符号取决于积分曲面前后侧
8、两类曲面积分之间的联系：
cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑
∑
++=++????，
其中cos ,cos ,cos αβγ时有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦
9、高斯公式：
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围城的，函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、
(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有：
(
)(cos cos cos )P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS
x y z
αβγΩ
∑
∑
???++=++=++??????????
10、斯托克斯公式：
设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有：
(
)()()R Q P R Q P
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz y z z x x y
Γ
∑
??????-+-+-=++?????????
同济六版高等数学(下)知识点整理
第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））
高等数学同济大学第六版 总复习六答案
总 习 题 六 1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足?? +=+30011211 1dt t dt t x . 因为212]12[1 100-+=+=+?x t dt t x x , 1]12[2111213030=+=+?t dt t , 所以 1212=-+x , 4 5=x (m). 2. 求由曲线ρ=a sin θ, ρ=a (cos θ+sin θ)(a >0)所围图形公共部分的面积. 解 ?++?=432 222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S 2432224 1)2sin 1(28a d a a -=++=?πθθπππ. 3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 且当x ∈[0, 1]时, y ≥0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为9 4, 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. 解 因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 所以c =0, 从而 bx ax y +=2.
抛物线bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为 23)(1 02b a dx bx ax S +=+=?. 令9423=+b a , 得9 68a b -=. 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 )235()(22102 2ab b a dx bx ax V ++=+=?ππ )]9 68(2)968(315[22a a a a -+-+=π. 令0)]128(181********[=-+-?+2=a a a d dV π, 得3 5-=a , 于是b =2. 4. 求由曲线2 3x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所求旋转体的体积为 πππ7512722240274023=?=?=?x dx x x V . 5. 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 )2(1223 12?--??=dx x x V π 22 224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=-?-tdt t t x 令. 6. 抛物线22 1x y =被圆322=+y x 所需截
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
高等数学(同济第六版)上册期末复习重点
高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）
第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间
《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]
《高等数学》试卷（同济六版上） 一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1、若函数x x x f =)(，则=→)(lim 0 x f x （ ）. A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）. A 、1ln (0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4 x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）. A 、极大值点 B 、极小值点 C 、驻点 D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）. A 、必要但非充分条件 B 、充分但非必要条件 C 、充分必要条件 D 、既非充分又非必要条件 5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A 、?+∞0 sin xdx B 、dx e x ?+∞-0 2 C 、dx x ? +∞ 1 D 、dx x ?+∞01 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 6、当k= 时，2 , 0(), x e x f x x k x ?≤?=?+>??在0=x 处连续. 7、设x x y ln +=,则 _______________dx dy =. 8、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是 . 9、若?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x = 10、定积分dx x x x ?-+5 54231 sin =____________.
三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 11、求极限 x x x 2sin 2 4lim -+→. 12、求极限 2 cos 1 2 0lim x t x e dt x -→? . 13、设)1ln(25x x e y +++=，求dy . 14、设函数)(x f y =由参数方程? ??=+=t y t x arctan )1ln(2所确定，求dy dx 和22dx y d .
同济大学第六版高等数学综合测试题
第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无
《高等数学》(同济六版上)期末模拟试题答案
《高等数学》试卷（同济六版上）答案 《一》 一．选择题（每小题3分，本题共15分） 1-5 DBCAB 二．填空题（每小题3分，本题共15分） 6、1 7、 1x x + 8、1y = 9、2cos2x 10、0 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 11、解：x x x 2sin 2 4lim -+ →x →= 3分 01128 x →= = 6分 12、解： 2 cos 1 2 lim x dt e x t x ?-→2 cos 0sin lim 2x x xe x -→-= 3分 1 2e =- 6分 13、解：) 111(112 2 x x x y ++++= ' 4分 211 x += 6分 14、解：t t t t dx dy 211211 22= ++= 3分 2 22 2 321 12()241d y t d dy dx t dt t dt dx dx t t - +===-+ 6分 15、解：212122 sin(3)sin(3)(3)23 dx d x x x +=-++? ? 3分
12 cos(3)2C x =++ 6分 16、解：?? ??--+==-01 1 11 2 0d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 01 10 d 1x x e dx x -=++?? 3 分 1 010 |ln(1)x e x -=++ 11ln 2e -=-+ 6分 四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17、证明：10 1 (1)(1)m n m n x x dx t t dt -=--?? 4分 1 1 (1)(1)m n m n t t dt x x dx =-=-?? 8分 18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈，0a b << 显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有 ()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分 由于1 ()f x x '= , 因此上式即为 ln ln b a b a ξ--=. 又由.a b ξ<< b a b a b a b a ξ---∴ << 当0a b <<时， ln b a b b a b a a --<< 8分 五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分） 19、解：2V r h π= ∴表面积222 2222222V V S r rh r r r r r ππππππ=+=+=+ 4分 令22'40V S r r π=- = 得 r = 2h =
高等数学同济第六版上册课后答案
2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用
了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。
最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案4-3
同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案4-3
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 习题4-3 求下列不定积分: 1. ?xdx x sin ; 解 C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=???sin cos cos cos cos sin . 2. ?xdx ln ; 解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=???ln ln ln ln ln . 3. ?xdx arcsin ; 解 ??-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ?--=dx x x x x 21arcsin C x x x +-+=21arcsin . 4. ?-dx xe x ; 解 ???----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ?xdx x ln 2; 解 ???-==x d x x x xdx xdx x ln 3 1ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=?33239 1 ln 3131ln 31. 6. ?-xdx e x cos ; 解 因为 ????------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 ??-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin ?-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin , 所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----?)cos (sin 21)cos sin (21cos . 7. ?-dx x e x 2sin 2; 解 因为 ???-----==x x x x de x x e x d e dx x e 22222 cos 22cos 22cos 22sin ??----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222x d e x e dx x e x e x x x x ?----+=x x x de x x e x e 2222 sin 82sin 82cos 2 ?---++=dx x e x e x e x x x 2 sin 162sin 82cos 2222, 所以 C x x e dx x e x x ++- =--?)2sin 42(cos 1722sin 22. 8. ?dx x x 2cos ; 解 C x x x dx x x x x xd dx x x ++=-==???2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos . 9. ?xdx x arctan 2; 解 ???+?-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ??+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx x x x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223. 10. ?xdx x 2tan 解 ?????+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222 C x x x x xdx x x x +++-=-+-=?|cos |ln tan 2 1tan tan 2122.
高等数学(同济第六版)上册期末复习重点
第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长
第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。
2-5高等数学同济大学第六版本
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2-7 1. 已知y =x 3 -x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;
(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:
同济六版高等数学课后答案
同济六版高等数学课后答案 高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);
高等数学同济大学第六版本
习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1)??+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=2 22]3[ ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 00)cos(π?+=π )][sin(dx y x x x
(2)??D d xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域; ? ?? ???+--+---++=1 1 1 1 1 1 x x y x x x y x D y x dy e dx e dy e dx e d e σ ??+---+--+=1 1101 11][][dy e e dx e e x x y x x x y x ??---+-+-=1 120 1 11 2)()(dx e e dx e e x x
3. 如果二重积分??D dxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘积, 即f (x , y )= f 1(x )?f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d c b a D ?????=? 证明 dx dy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f d c b a d c b a D ???????=?=?])()([)()()()(212121, 而 ??=?d c d c dy y f x f dy y f x f )()()()(2121, 故 dx dy y f x f dxdy y f x f b a d c D ????=?])()([)()(2121. 由于?d c dy y f )(2的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d c b a D ?????=? 4. 化二重积分??=D d y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同 的两个二次积分), 其中积分区域D 是: (1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且 D ={(x , y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤}, 或D ={(x , y )| y x y y ≤≤≤≤24 1 ,40}, 所以 ? ?=x x dy y x f dx I 24 0),(或??=y y dx y x f dy I 4 40 2),(. (2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且
高等数学(同济第六版)上册-期末复习题(含答案)
※高等数学上册期末复习 一.填空题 1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim 30 2 3 2.曲线x xe y -=的拐点是 )2,2(2 -e 3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x x f x ) (lim 0 )0(f ' 4.曲线x x y +-= 22cos 1在)2 1,2(π π+处的切线方程为 1y x =+ 5.曲线1 22 -=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y 6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =，则=dy dx e e f e f x x x ?'?)()]([2sin #7.=?dx e x 4 0 )1(22+e 8.若3)(0-='x f ，则=--+→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 12- 9.若 dx x p ? +∞ 1 收敛，则p 的范围是 1-
=0 ,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61 - #14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12+=x y 15.已知函数?????=≠=0 ,0 ,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时，函数)(x f 是无穷小；当 =a 1时，函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 （一）类间断点。 16.已知 ?+=c x F dx x f )()(，则? =-dx x f x )(arcsin 112 c x F +)(arcsin
高等数学同济大学第六版本
习题92 1 计算下列二重积分 (1)??+D d y x σ)(22 其中D {(x y )| |x |1 |y |1} 解 积分区域可表示为D 1x 1 1y 1 于是 ??+D d y x σ)(22y d y x dx ??--+=1 11 122)(x d y y x ?--+=1 11132]31[ x d x ?-+=1 12)312(113]3232[-+=x x 3 8= (2)??+D d y x σ)23( 其中D 是由两坐标轴及直线x y 2所围成的闭区 域 解 积分区域可表示为D 0x 2 0y 2x 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=20 22]3[ dx x x ?-+=2 02)224(0232]324[x x x -+=3 20= (3)??++D d y y x x σ)3(223 其中D {(x y )| 0 x 1 0y 1} 解 ??++D d y y x x σ)3(3 2 3 ??++=1 03 2 3 1 0)3(dx y y x x dy ?++=1 001334]4 [dy x y y x x ?++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=14 12141=++= (4)??+D d y x x σ)cos( 其中D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和 ( )的三角形闭区域 解 积分区域可表示为D 0x y x 于是 ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 0 )cos(π ?+=π )][sin(dx y x x x ?-=π0)sin 2(sin dx x x x ?--=π 0)cos 2cos 2 1(x x xd +--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ?-π0)cos 2cos 21(π2 3-=
10-2高等数学同济大学第六版本
习题 10-2 1. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明: ?=L dx y x P 0),(. 证明??=L b a dx x P dx y x P )0 ,(),(. 证明L : x =x , y =0, t 从a 变到 b , 所以 ???='=b a L b a dx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(. 3. 计算下列对坐标的曲线积分: (1)?-L dx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4) 的一段弧; 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中 L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , ??+'++=a dx dt t a a t a t a 2000)cos (sin )cos 1(π (3)?+L xdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到
解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以 (5)ydz zdy dx x -+?Γ 2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对 应θ从0到π的一段弧; 解 ??--+=-+Γπ θθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x (6)dz y x ydy xdx )1(-+++?Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的 一段直线; 解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1. ?Γ-+++dz y x ydy xdx )1(?-+++++++=10 )]1211(3)21(2)1[(dt t t t t ?=+=1 013)146(dt t . 依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中 AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,
同济大学第六版高等数学课后答案详解全集
同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)?g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ? x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.