生活中地三角函数问题
生活中的三角函数问题
一、教学背景
在现实生活中,特别是普通老百姓把数学看似一个非常遥远的独立的神秘王国,人们误解数学就是搞难题,没有什么实际用途。这与我们在数学教学中不讲数学的意义,不讲数学与生活的联系,不讲数学与其他学科的关系及其在实际社会生活中的应用价值,而是讲解题,把数学教学变成了一种纯粹的演题训练,使学生看不见数学的本来面目和它的真正意义,失去了对大自然的“好奇心”有着很大的关系。本课题是在学生学完三角函数这部分内容以后,通过书47 页的第4 题的启发,把几何图形变式后联系三角函数在生活中的实例,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
二、教学目标
1、知识目标:巩固三角函数知识,建立函数模型;
2、能力目标:掌握数学建模的方法和应用;培养学生的化归的思想和抽象概括及计算能
力;
3、情感目标:渗透数学建模的思想,培养数学的应用意识;体会具体的实际问题如何转
化为抽象的数学问题,让学生意识到数学来源于生活,数学有用。
三、教学方法
1、启发式讲授法;
2、探究发现法;
以主体——主导相结合,情景——探究模式。
四、教学分析
1 、重点:如何把问题转化为数学问题,并通过变式对问题加深理解;
2 、难点:如何把问题转化为数学问题(如何建立数学模型);
五、教学过程
1、设置情景
欣赏图片说明随着人类的进步和科技的发展,数学的应用已经渗透到社会的各个方面。
人们的日常生活和工作都离不开数学,“数学已无处不在”。让学生举一些生活中有关数学的
例子,那么对于我们这学期所学的三角函数有哪些应用呢?这就是我们这节课所要学习的内容一一三角函数的应用问题。(引出课题)
2、探索研究
老师用几何画板动画演示在纵多矩形中内接矩形的面积前一段时间,针对三角函数在生活中的
慢慢变大,学生简述两种方法解题过程,比较两种方法应用,我们学习了这样一个例题:把一段半径
得出三角函数方法解题的优越性。引出变式题让学生用三为R的圆木,锯成横截面为矩形的木料,问怎
角函数方法解题。
样锯才能使横截面积最大?
生1 :设边为自变量的方法
生2:设角为自变量的方法
师:学生讲述完毕,老师总结,将每个同学的发言简单整理;引出变式例题:
在一住宅小区里,有一块空地,这块空两种情况分小组探究解决,小组
地可能有这样两种情况:探究时,是把两种图形放在几何
(1 )是半径为10米的半圆;如图(1)画板中,让学生把静的数学图形
(2)是半径为10米,圆心角为60的扇形;通过电脑转化成动态,培养学生
如图(2)
现在要美化小区,准备在这块空地里分别种植一块矩形的
的动手能力和观察能力,通过图形
草皮,使得其一边在半径上且内接于这块空地,应如何设
观察结果,再用数学知识来求解,计,使得此草皮面积最大?并求出面积的最大值。
然后找小组代表发布探究成果,小
组间相互评价成果,培养学生的数
学的应用意识和小组合
作意识。
(各个小组的代表用实物投影展示小组成果,并解释设计方案: 生3:(略)
生5: (略)
学生展示完毕,老师总结,将每个同学的发言简单整理;
引导学生分析此题与
生4: (略)
引例中的题的联系。归纳出求解应用题的步骤过三关,走四步:
生6: (略)(图1)(图2)
(先由学生总结,老师再归纳总结。)
三关:
(一)、事理关:需要读懂题意,知道讲的是什么事件,即需要一定的阅读理解能力;
实用文案
2
90cos , MP 90sin
PQ AB AM MB 100 90cos
PR MR MP 100 90sin
故矩形 PQCR 的面积为
S PQ
PR (100 90 cos )(100 90sin )
令 t sin
cos ) 8100 sin
cos
cos (1 t 、2)贝y sin cos
t 2 (二) 、文理关:需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学 式子表达数量关系;
(三) 、数理关:在构建数学模型的过程中,要根据已知的知识结构,构建相 应的函数模型,完成由实际问题向数学问题的转化。
四步:
(一) 、读题理解题意;
(二) 、挖掘数量关系,建立数学模型; (三) 、求解数学问题; (四) 、回归实际,进行答题。
3、随堂练习:(试试身手,看谁做得快又准确)
如图,ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮, 其中ATPS 是一座半径为90米的扇
形小山,P 是弧TS 上一点,其余部分都是平地, 现一开发商想在平地上建在一个边落在 BC
解:设 PAB (0
90 )
与CD 上的长方形停车场 PQCR ,求长方形停车场
PQCR 面积的最大值和最小值。
延长RP 交AB 于M ,贝U AM
10000 9000(sin
故当t
.2 时 S max 14050 9000 2
1324(m 2)
当t
10 2
时 S min
950 (
m )
9
答:长方形停车场 PQCR 面积的最大值是1324平方米,最小值是 950平方米。
4、课时小结
通过我们的研究,我们领会了数学建模的思想,同时也深深地体会到,身边就有数学, 数学就在身
边,在以后的学习过程中,只要我们勇于探索,就可能会成为真正的发明家、仓U 造者,我们现在的研究
让它作为一个奠基, 通过我们的研究开拓思路, 为将来成为一名数学
家、发明家创造良好的条件。
5、课后作业
其实在我们生活中,还有许多关于三角函数的问题,
围可以研究的事物,例如以下两个作业题:
㈠、书面作业:
在变式例题中的扇形空地中,把条件“使得其
一边在半径上”去掉而只要求矩形在空地内且内接空
地,看结果又是怎样的是不是比我们有这个条件限制
时的面积更大?(如右图所示)
10000 9000t 8100
t 2 1
8100 ( 2
950
请同学们课后研究一下我们自己周
㈡、课后实习作业
学生自己先收集自己身边有关三角函数的例子,在小组内讨论研究,然后在班上发布小
组成果。或研究下面给定的两个例子。
(1):下表是某城市1971-2000年月平均气温(华氏T)
以月份为x轴,以平均气温为y轴,作出散点图,把这些离散点用光滑曲线连结起来,然后观察用何种曲线,拟合这些数据,求出函数解析式。
(2):受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞,卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度y(米)是时间t (0t 24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据。
根据数据求出y=f(t)的拟合函数,求出函数解析式,一般情况下,船舶航行时,
船底离海底的距离为5米或5米以上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只
需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5米,如果该船想在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多少时间?(忽略进出港所需时间)
六、教学评价
本节是一节习题课,其目的一方面是要巩固所学过的函数知识,更重要的是,让学生通
过本节的学习活动认识到学习数学的意义,认识到数学与生活的联系?本节在教学中注重这一目的的实现,首先从简单有趣的实例引入,激发学生的兴趣,通过动手对几个变式实例的
研究,抽象出三角函数模型,并通过背景更丰富的实例解释这一模型的内涵,让学生深切地
感受到数学抽象的魅力?此外还将生活中的实例揉在教学过程中,将丰富的现实世界,有机的穿插在理性的数学教学活动中,让学生轻轻松松学数学
七、教学多媒体
(powerpoi nt 课件、几何画板课件、实物投影)
八、板书设计
九、教学流程图
课题:
引例:随堂练习:
题型变式:课时小结:
归纳三关四步:课后作业:
图片欣赏
教师导入课题
引例
/ 、
题型变式
设CAB ,则AB 2Rcos ,CB 2Rsin
S巨形ABCD AB BC 4R2sin cos 2R2sin2
2
当且仅当sin2 1时,即一时,S max 2R
4
所以在圆木的横截面上截取内接正方形时,才能使横截面积最大。
师:很好,在这里提供这样一个生活中的问题,看看它们与三角函数的联系。(让学生合作探究解决)
在一住宅小区里,有一块空地,这块空地可能有这样两种情况:
(1 )是半径为10米的半圆;
(2)是半径为10米,圆心角为60o的扇形;
现在要美化小区,准备在这块空地里分别种植一块矩形的草皮,使得其一边在半径上,应如
何设计,使得此草皮面积最大?并求出面积的最大值。
(两种情况分小组探究解决,小组探究时,是把两种图形放在几何画板中,让学生把静的数学图形通过电脑转化成动态,培养学生的动手能力,通过图形观察结果,再用数
学知识来求解,然后找小组代表发布探究成果,小组间相互评价成果,培养学生的数学
的应用意识和小组合作意识。)
小组1 :我们选的是第一种情况,如图所示:连结0C,
OB 10cos
设BOC ,贝U BC 10sin ,
AB 2OB 20cos
S巨形AB BC 200sin cos
Q sin2 1 S矩形100
即2 90°, 45o
这时BO AO 10cos45°^2, BC
此时,点A 、D 分别位于点0的左右方 5 2处时S 取得最大值100 。 设 BOC ,则 BC 10sin ,OB 10cos
10、3 .
sin
3
100 3 . 2 sin
3 50的
50sin2 (1 cos2 )
3
零in(2
-)畔 3
6
3
所以使矩形的长约为 8.66米,宽为5米且使其内接扇形时为最大值。
学生发言完毕,老师总结,将每个同学的发言简单整理; 引导学生分析此题与引例中的题 的联系。:
再归纳出求解应用题的步骤过三关,走四步:
三关:
1、 事理关:需要读懂题意,知道讲的是什么事件,即需要一定的阅读理解 能力;
2、 文理关:需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式 子表达数
量关系;
小组2 :我们选的是第二种情况,连结
0C ,
OA BC cot 600
S
巨形
AB BC
(OB OA) BC
(10cos
叵3sin ) 10sin
3
100sin cos
当且仅当sw
6) 1时,即
6 时,Smax
F
实用文案
2
3、数理关:在构建数学模型的过程中,要根据已知的知识结构,构建相应 的函数模
型,完成由实际问题向数学问题的转化。
四步:
1读题理解题意;
2挖掘数量关系,建立数学模型; 3求解数学问题; 4回归实际,进行答题。 3、试试身手,看谁做得快又准确
(1)如图,ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮,其中
ATPS 是一座半径为90米
的扇形小山,P 是弧TS 上一点, 在BC 与CD 上的长方形停车场 解:设
PAB (0
90
延长RP 交AB 于M ,则AM
PQ AB AM MB 100 90cos
PR MR MP 100 90sin
故矩形PQCR 的面积为
S PQ PR
(100 90 cos )(100 90sin
)
10000 9000(sin
cos )8100si n
cos
令t
sin cos (1 t
、
2)则 sin …
t 2 1 cos
2
故 当 t
2 时 S max 14050 9000 - 2 1324(m 2)
其余部分都是平地,现一开发商想在平地上建在一个边落 10000 9000t 8100
t 2 1
8100 ( 2
?)2 950
9
PQCR ,求长方形停车场
)
90cos , MP 90sin
实用文案
6 时Smin
950 (m2)
2
(2 )点P在直径AB=1的半圆上移动,过P点作圆的切线PT,使PT=1 ,/PAB= a,当a 为何值时,四边形ABTP 的面积最大?最大值是多少?
4、课时小结
老师小结:通过我们的研究,我们深深地体会到,身边就有数学,数学就在身边,在以
后的学习过程中,只要我们勇于探索,有些同学可能会成为真正的发明家、创造者,我们现
在的研究让它作为一个奠基,通过我们的研究开拓思路,为将来成为一名数学家、发明家创
造良好的条件。
5、课后作业
其实在我们生活中,还有许多关于三角函数的问题,如果同学们有兴趣的话,课后我们还
可以关注一下可以研究的事物,例如以下两个问题:
(1):下表是某城市1971-2000年月平均气温(华氏T)
根据数据,运用函数的图象进行直观分析处理。
以月份为x轴,以平均气温为y轴,作出散点图,把这些离散点用光滑曲线连结起来,然后观察用何种曲线,拟合这些数据,求出函数解析式。
(2):受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞,卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度y(米) 是时间t ( 0t 24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据。
根据数据求出y=f(t)的拟合函数,求出函数解析式,一般情况下,船舶航行时,
船底离海底的距离为5 米或5 米以上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只
需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,如果该船想在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多少时间?(忽略进出港所需时间)
五、教学评价
本节是一节习题课,其目的一方面是要巩固所学过的函数知识,更重要的是,让学生通过本节的学习活动认识到学习数学的意义,认识到数学与生活的联系.本节在教学中注重这
一目的的实现,首先从简单有趣的实例引入,激发学生的兴趣,通过动手对几个变式实例的研究,抽象出三角函数模型,并通过背景更丰富的实例解释这一模型的内涵,让学生深切地感受到数学抽象的魅力.此外还将生活中的实例揉在教学过程中,将丰富的现实世界,有机的穿插在理性的数学教学活动中,让学生轻轻松松学数学.
实用文案
六、教学流程图
图片欣赏标准文档
展示小组成果
教师评价总结
引例
变式1 变式2
分小组探索,讨论
随堂练习
教师评价总结