高三立体几何试题及答案

1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱

AD 上一点，且AP ＝a 3，过B 1，D 1，P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________.

2．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠ADC ＝90°，

且AA 1＝AD ＝DC ＝2，M ∈平面ABCD ，

当D 1M ⊥平面A 1C 1D 时，DM ＝________.

3．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC ＝4，E 是PD 的中点．

(1)求证：平面PDC ⊥平面PAD ；

(2)求点B 到平面PCD 的距离；

4．如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD 为直角梯形，BC ⊥AB ，BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝12

CD .

(1)求证：BC ⊥平面ABPE ；

(2)直线PE 上是否存在点M ，使DM ∥平面PBC ，若存在，求出点M ；

若不存在，说明理由．

5．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别

为DD1、DB的中点．

(1)求证：EF∥平面ABC1D1；

(2)求证：EF⊥B1C；

(3)求三棱锥B1－EFC的体积．

6．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD ＝90°

(1)求证：PC⊥BC

(2)求点A到平面PBC的距离．

1. 223a ∵B 1D 1∥平面ABCD ，平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，∴B 1D 1∥PQ ， 又B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ ，设PQ ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ，∴△APM ∽△DPQ ，

∴PQ PM ＝PD

AP

＝2，即PQ ＝2PM ， 又△APM ∽△ADP ，∴PM BD ＝AP AD ＝13，∴PM ＝13

BD ， 又BD ＝2a ，∴PQ ＝223

a . 2.[答案] 2 2 ∵DA ＝DC ＝DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直，故当点M 使四边形ADCM 为正方形时，D 1M ⊥平面A 1C 1D ，∴DM ＝2 2.

(2)过A 作AF ⊥PD ，垂足为F .

在Rt PAD 中，PA ＝2，AD ＝BC ＝4，PD ＝42＋22

＝25， AF ·PD ＝PA ·AD ，∴AF ＝2×425

＝455，即点B 到平面PCD 的距离为455. 4.[解析] (1)∵PO ⊥平面ABCD ，

BC ?平面ABCD ，∴BC ⊥PO ，

又BC ⊥AB ，AB ∩PO ＝O ，AB ?平面ABP ，PO ?平面ABP ，∴BC ⊥平面ABP ，

又EA ∥PO ，AO ?平面ABP ，∴EA ?平面ABP ，∴BC ⊥平面ABPE .

(2)点E 即为所求的点，即点M 与点E 重合．

取PO 的中点N ，连结EN 并延长交PB 于F ，∵EA ＝1，PO ＝2，∴NO ＝1，

又EA与PO都与平面ABCD垂直，

∴EF ∥AB ，∴F 为PB 的中点，∴NF ＝12OB ＝1，∴EF ＝2， 又CD ＝2，EF ∥AB ∥CD ，∴四边形DCFE 为平行四边形，∴DE ∥CF ，

∵CF ?平面PBC ，DE ?平面PBC ，∴DE ∥平面PBC .∴当M 与E 重合时即可．

5. (1)证明：连结BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则EF ∥D 1B ，又EF ?平面ABC 1D 1，D 1B ?平面ABC 1D 1，∴EF ∥平面ABC 1D 1.

(2)证明：∵B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ，

∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1，

又BD 1?平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥BD 1，

又EF ∥BD 1，∴EF ⊥B 1C .

(3)解：∵CF ⊥BD ，CF ⊥BB 1，∴CF ⊥平面BDD 1B 1，

即CF ⊥平面EFB 1，且CF ＝BF ＝2

∵EF ＝12

BD 1＝3，B 1F ＝BF 2＋BB 12＝22＋22＝6，B 1E ＝B 1D 12＋D 1E 2＝12＋22

2＝3， ∴EF 2＋B 1F 2

＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°，

∴VB 1－EFC ＝VC －B 1EF ＝13

·S △B 1EF ·CF ＝13×12·EF ·B 1F ·CF ＝13×12

×3×6×2＝1. 6.[解析] (1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，∴PD ⊥BC .

由∠BCD ＝90°知，BC ⊥DC ，

∵PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ，∴BC ⊥PC .

(2)设点A 到平面PBC 的距离为h ，

∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°，

∵AB ＝2，BC ＝1，∴S △ABC ＝12

AB ·BC ＝1， ∵PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1，∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PD ＝13

， ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥DC ，∵PD ＝DC ＝1，∴PC ＝2，

∵PC ⊥BC ，BC ＝1，∴S △PBC ＝12PC ·BC ＝22

， ∵V A －PBC ＝V P －ABC ，∴13S △PBC ·h ＝13，∴h ＝2，∴点A 到平面PBC 的距离为 2.

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