四点共圆基本判断方法超全

四点共圆基本判断方法超

全

1?若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。

?如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于0点，E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点，求证：E, F, G, H四个点在以0为圆心的同一个圆上

?分析指导：利用直角三角

形斜边的中点等于斜边的一

半, 再利用菱形的四边相等

即可证岀。

2■若一个四边形的一组对角互补（和为180° ）,则这个四边形的四个点共圆

?若zA+zC=180° 或

zB+zD=180° , 贝U

点A、B、C、D 四点共D

圆

四点共圆

四点共圆(圆内接四边形)的性质： 1.圆幂定理； 2.图Ⅰ：相交弦定理。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理 ∠A=∠C，所以所以有：即：图Ⅱ：割线定理。如图，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以

，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、 ∠PCB都为弦切角。弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。等于它所夹的弧的圆周角度数。三角形角平分线定理：三角形中角的平分线将对边所分成的两部分和两邻边成比例(反之也成立)。三角形的外角平分线也有类似性质。设AD、AE 是∠A 及外角的平分线，则有AB/AC=BD/DC=BE/EC。弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；反之也成立(可用于证明切线)。斯特沃特定理(Stewart)：海伦公式。梅涅劳斯定理塞瓦定理托勒密定理(Ptolemy) 西姆松定理(Simson) 欧拉定理 ( Euler ) 费马点(Fermat ) 三角形重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 ： 1 。 2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 6 三角形垂心的性质：设△ ABC 的三条高为 AD 、 BE 、 CF ， D 、 E 、 F 为垂足，垂心为 H； 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三

角形外。2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。 3、垂心 H 关于三边的对称点，均在△ ABC 的外接圆上。 4、三角形的三个顶点、三个垂足、垂心这 7 个点可以得到 6 组四点共圆，有三组 ( 每组四个 ) 相似的直角三角形，且 AH · HD=BH · HE=CH · HF。 5、 H、 A、 B 、 C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 ( 并称这样的四点为一个垂心组 ) 。 6、△ ABC ，△ ABH ，△ BCH ，△ ACH 的外接圆是等圆。 7、在非直角三角形中，过 H 的直线交 AB、 AC 所在直线分别于 P 、 Q，则AB/AP · tanB+ AC/AQ · tanC=tanA+tanB+tanC 。 8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2 倍。9、设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC ，∠ ABH= ∠ OBC ，∠ BCO= ∠ HCA 。 10 、锐角△的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2 倍。11 、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形 ( 顶点在原三角形的边上 ) 中，以垂足三角形的周长最短。 12 、西姆松定理（Simson 西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的三垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 13、设锐角△ABC 内有一点 P，那么 P 是垂心的充分必要条件是：PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。三角形内心的性质：设 I 为△ ABC 的内心，连 AI 交△ ABC 外接圆于点 K，则 1 ①∠BIC=90°+2∠A；S=pr，abcr=p· AI· BI· CI 8 ②三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其到内心的距离相等(即K 是△ BIC 的外心)。反之，I 在 AK 上且 KI=KB，则 I 为△ ABC 的内心。 1 ③P 为△ ABC 的内切圆与边 AB 的切点，则 AP=p-a=2(b+c-a)。三角形外心的性质： abc ①设 O 为△ ABC 的外心，则∠BOC=2∠A 或 360° -2∠A； R=4S 。△②锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。③设H 为△ABC 的垂心，则 OH ? OA ? OB ? OC 。面积方法所谓面积方法，就是在处理一些数学问题时，以面积的有关知识为论证或计算的手段，通过适当的变换，从而导得所考虑的量与量之间的关系，最后得到结论。由于平面上的

林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题20简单的四点共圆(附答案)

专题20 简单的四点共圆破解策略如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共圆”．四点共圆常用的判定方法有： 1．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的圆上． D 【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值是2．【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O＇，显然点M，N在以OP为直径的⊙O＇上，连结NO＇并延长，交⊙O＇于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2，而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O＇，且直径OP＝2，而MN为⊙O＇的一条弦，故MN为⊙O＇的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠MON＝90°． 2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．

D 【答案】（1）略；（2）AD ；（3）AD＝DE·tanα．【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE．（2）同（1），可得A，D，B，E四点共圆，∠AED＝∠ABD＝30°，所以AD DE ＝tan30°，即AD＝ 3 DE． 3．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．【答案】略 4．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

四点共圆的判定和性质

四点共圆的判定和性质四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”. 证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1:从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2:把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆．方法3:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点. 方法4:把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法5:把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．方法6:证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。如四边形ABCD内接于圆O，延长AB至E，AC、BD交于P，则A+C=180度，B+D=180° ∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等） ∠CBE=∠D（外角等于内对角） △ABP∽△DCP（三个内角对应相等） AP×CP=BP×DP（相交弦定理） AB×CD+AD×CB=AC×BD（托勒密定理）托勒密定理及证明：如图，四边形ABCD内接于圆O，那么AB*CD+AD*BC=AC*BD 证明：作∠BAE=∠CAD，交BD于点E ∵∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD ∴△ABE∽△ACD ∴AB：AC=BE：CD ∴AB×CD=AC×BE ∵∠BAC=∠EAD，∠ACB=∠ADE ∴△ABC∽△AED ∴BC：DE=AC：AD ∴BC×AD=AC×DE ∴AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×DE=AC（BE+DE）=AC×BD

四点共圆的判定与性质

四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（一）判定方法 1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。 2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。 3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。 6、若AB、CD 两线段相交于P 点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D 四点共圆（相交弦定理的逆定理）。 7、若AB、CD 两线段延长后相交于P。且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D 四点共圆（割线定理）。 8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定理的逆定理。（二）证明 1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D 四点在以O 为圆心OA 为半径的圆上。 2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。若∠A+∠C=180 °或∠B+∠D=180 °，则点A、B、C、D 四点共圆。

3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。若∠B=∠CDE，则A、B、C、D 四点共圆证法同上。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。若∠A=∠D 或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D 四点共圆。 6、若AB、CD 两线段相交于P 点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D 四点共圆（相交弦定理的逆定理）。

九年级数学四点共圆例题讲解

九年级数学四点共圆例题讲解知识点、重点、难点四点共圆就是圆得基本内容，它广泛应用于解与圆有关得问题．与圆有关得问题变化多，解法灵活，综合性强，题型广泛，因而历来就是数学竞赛得热点内容。在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆得有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此，掌握四点共圆得方法很重要。判定四点共圆最基本得方法就是圆得定义：如果A、B、C、D四个点到定点O得距离相等，即OA＝OB＝OC ＝OD，那么A、B、C、D四点共圆．由此，我们立即可以得出 1、如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形得四个顶点共圆。将上述判定推广到一般情况，得： 2、如果四边形得对角互补，那么这个四边形得四个顶点共圆。 3、如果四边形得外角等于它得内对角，那么这个四边形得四个顶点共圆。 4、如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等得顶角，那么这两个三角形得四个顶点共圆。运用这些判定四点共圆得方法，立即可以推出：正方形、矩形、等腰梯形得四个顶点共圆。其实，在与圆有关得定理中，一些定理得逆定理也就是成立得，它们为我们提供了另一些证明四点共圆得方法．这就就是： 1、相交弦定理得逆定理：若两线段AB与CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。 2．割线定理得逆定理：若相交于点P得两线段PB、PD上各有一点A、C，且PA·PB =PC·PD，则A、B、 C、D四点共圆。 3、托勒密定理得逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA= AC·BD，则ABCD就是圆内接四边形。另外，证多点共圆往往就是以四点共圆为基础实现得一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际就是同一个圆。例题精讲例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上。已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F 四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。证明连PD、PE、PF．由于P、D、C、F四点共圆，所以∠BDP = ∠PEC．又由于A、E、P、F四点共圆，所以∠PEC =∠AFP．于就是∠BDP= ∠AFP，故B、D、P、F四点共圆。例2：设凸四边形ABCD得对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA得对称点共圆。为1 2 ，此变换把E关于AB、BC、证明以E为相似中心作相似变换，相似比 CD、DA得对称点变为E在AB、BC、CD、DA上得射影P、Q、R、S（如图）、只需证明PQRS就是圆内接四边形。由于四边形ESAP、EPBQ、EQCR及ERDS都就是圆内接四边形（每个四边形都有一组对角为直角），由E、P、B、Q共圆有∠EPQ = ∠EBQ、由E、Q、C、R共圆有∠ERQ=∠ECQ，于就是∠EPQ＋∠ERQ = ∠EBQ＋∠ECQ=90°、同理可得∠EPS ＋∠ERS =90°、从而有∠SPQ＋∠QRS =180°，故PQRS就是圆内接四边形。例3：梯形ABCD得两条对角线相交于点K，分别以梯形得两腰为直径各作一圆，点K位于这两个圆之外，证明：由点K向这两个圆所作得切线长度相等。证明如图，设梯形ABCD得两腰为AB与CD，并设AC、BD与相应二圆得第二个交点分别为M、N、由于∠AMB、∠CND就是半圆上得圆周角，所以∠AM B=∠CND = 90°．从而∠BMC =∠BNC=90°，故B、M、N、C四点共圆，因此∠MNK=∠ACB．又∠ACB =∠KAD，所以∠MNK =∠KAD、于就是M、N、D、A四点共圆，因此KM·KA = KN·KD、由切割线定理得K向两已知圆所引得切线相等。例4：如图，A、B为半圆O上得任意两点，AC、BD垂直于直径EF，BH⊥OA，求证：DH=AC、证法一在BD上取一点A'，使A'D = AC，则ACDA'就是矩形。连结A'H、AB、OB、由于BD⊥EF、BH⊥OA，所以∠BDO =∠B HO=90°、于就是D、B， H、O四点共圆，所以∠HOB =∠HDB、由于∠AHB =∠AA'B = 90°，所以A、H、A'、B四点共圆。故∠DA'H=∠OAB，因此∠DHA'=∠OBA、而OA = OB，所以∠OBA=∠OAB，于就是∠DHA'=∠D A'H、所以DH=DA'，故DH =

四点共圆例题及答案

证明四点共圆的基本方法证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）方法3 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理) 方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．例1 如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证：E、F、G、H 四点共圆．证明菱形ABCD的对角线AC和 BD相交于点O，连接OE、OF、OG、OH． ∵AC和BD 互相垂直， ∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、 Rt△DOA中，E、F、G、H，分别是AB、 BC、CD、DA的中点，

即E、F、G、H四点共圆． (2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点共圆．例2 如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．证明∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＋∠AFD=180°，即A、E、D、F四点共圆， ∠AEF=∠ADF．又∵AD⊥BC，∠ADF＋∠CDF=90°， ∠CDF＋∠FCD=90°， ∠ADF=∠FCD． ∴∠AEF=∠FCD， ∠BEF＋∠FCB=180°，即B、E、F、C四点共圆． (3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆．【例1】在圆内接四边形ABCD中，∠A-∠C=12°，且∠A∶∠B=2∶3．求∠A、∠B、∠C、∠D的度数．解∵四边形ABCD内接于圆，

四点共圆(习题)

圆内接四边形与四点共圆思路一：用圆的定义：到某定点的距离相等的所有点共圆。→若连在四边形的三边的中垂线相交于一点，那么这个四边形的四个顶点共圆。（这三边的中垂线的交点就是圆心）。产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。基本模型： AO=BO=CO=DO ? A、B、C、D四点共圆（O为圆心）思路二：从被证共圆的四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可证明这四点共圆。→要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。思路三：运用有关性质和定理： ①对角互补，四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形的对角互补。基本模型： ∠ + = 180 B）? A、B、C、D四点共圆 ∠D 180 = ∠ + ∠D A（或0 ②张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等，则这两个点和线段的两个端点共四个点共圆。产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。方法指导：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角（即：张角）相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。

∠? A、B、C、D四点共圆 = CAB∠ CDB ③同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。产生原因：直径所对的圆周角是直角。 ∠D = C? A、B、C、D四点共圆 = ∠ 90 ④外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形的外角等于内对角。基本模型： ∠? A、B、C、D四点共圆 = ECD∠ B

四点共圆

四点共圆一、知识点梳理 1、四点共圆的概念如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。性质：①圆内接四边形的对角互补； ②圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。 2、初中阶段四点共圆的常见判定方法（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补?四点共圆。（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ， PD BP PC AP ?=??四点共圆。（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ， PD PC PB PA ?=??四点共圆。 A B C D P A C D P

3、四点共圆的妙用巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长等问题。二、例题精练 1、四点共圆的性质 a.例题讲解 1．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．1：4：2：3 D．1：2：4：3 2．如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=3∠BAC，则∠ADC的度数为（） A．100°B．112.5°C．120°D．135° 3．如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．

4.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长 8．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F．连接AC，若∠ACD=∠BAD．（1）求证：DG⊥AB；（2）若AB=6，tan∠FCB=3，求⊙O半径． D C B A

四点共圆练习题

作业16 1、锐角ABC ?的三条高AD 、BE 、CF 交于H ，在A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 七个点中．能组成四点共圆的组数是（） A 、4组 B 、5组 C 、6组 D 、7组 2、已知点)02(，A ，)53(，B ，直线l 过点B 与y 轴交于点)0(c ，C ，若 O 、A 、B 、C 四点共圆，则c 的值为（） A 、 522 B 、5 28 C 、17 D 、无法求出 3.如图, AB 是⊙O 的直径, 弦CD ⊥AB, P 是弧CAD 上一点(不与C 、D 重合) . (1) 求证：∠CPD ＝∠COB ； (2) 若点P 在劣弧CD 上(不与C 、D 重合), ∠CPD 与∠COB 的数量关系是否发生变化?若不变, 请画图并证明；若变化, 请写出新的关系式并画图证明. 4、如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠为钝角，且BC AE ⊥，CD AF ⊥．（1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；（2）设线段BD 与（1 ）中的圆交于M 、N ．求证：ND BM =． 5、如图所示， I 为ABC ?的内心，求证：BIC ?的外心O 与A 、B 、C 四点共圆. B

B A 6.如图, ⊙O 的内接△ABC 的外角∠AC B 的平分线交⊙O 于E, EF ⊥BD 于F. (1) 探索EO 与AB 的位置关系, 并予以证明； (2) 当△AB C 的形状发生改变时, AC CF BF +的值是否发生改变?若不变, 请求出该值；若改变, 请求出其变化范围. 7.如图，已知AB 是⊙O 的直径，D 是弧AB 上一点，C 是弧AD 的中点，AD 、BC 相交于E ，CF ⊥AB ，F 为垂足，CF 交AD 于G ，求证：CG=EG. 8、如图，已知ABC ?中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，?=∠60B ，F 在AC 上，且AF AE =．（1）证明：B ，D ，H ，E 四点共圆；（2）证明：CE 平分DEF ∠． B

四点共圆例题及答案

四点共圆的应用例1 如图1，已知P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交AB 于E ．求证：∠APC ＝∠BPD ．例2 如图2，从⊙O 外一点P 引切线PA 、PB 和割线PDC ，从A 点作弦AE 平行于DC ，连结BE 交DC 于F ，求证：FC ＝FD ．例3 如图3，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，∠B 的两条三等分线交AD 于E 、G ，交AC 于F 、H ．求证：EH ∥GC ． P P

例4 如图4，⊿ABC 为等边三角形，D 、E 分别为BC 、AC 边上的点，且BD=31BC,CE=3 1 AC,AD 与 BE 相交于P 点。求证：CP ⊥AD 例5 如图5，AB 为半圆直径，P 为半圆上一点，PC ⊥AB 于C ，以AC 为直径的圆交PA 于D ，以 BC 为直径的圆交PB 于E ，求证：DE 是这两圆的公切线．例6 AB 、CD 为⊙O 中两条平行的弦，过B 点的切线交CD 的延长线于G ，弦PA 、PB 分别交CD 于E 、F ．求证：FG FD CF EF

例7 ABCD 为圆内接四边形，一组对边AB 和DC 延长交于P 点，另一组对边AD 和BC 延长交于Q 点，从P 、Q 引这圆的两条切线，切点分别是E 、F ， (如图 7)求证：PQ 2＝QF 2＋PE 2．例8 如图8，△ABC 的高AD 的延长线交外接圆于H ，以AD 为直径作圆和AB 、AC 分别交于E 、F 点，EF 交 AD 于 G ，若 AG=16cm ，AH=25cm ，求 AD 的长．例9 如图9，D 为△ABC 外接圆上任意一点，E 、F 、G 为D 点到三边垂线的垂足，求证：E 、F 、G 三点在一条直线上．例10 如图10，H 为△ABC 的垂心，H 1、H 2、 H 3为H 点关于各边的对称点，求证：A 、B 、 C 、H 1、H 2、H 3六点共圆． 2 B

四点共圆练习题

C F E A H B N M C A B 四点共圆练习题 1. 如图，ABC ?三边上的高交于H ，H 不于任一顶点重合，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四个点可以确定的圆共有多少个？ 2. 在梯形ABCD 中，AB ‖DC ，DC AB >，K 、M 分别在AD 、BC 上，CBK DAM ∠=∠，求证：CKB DMA ∠=∠ 3. 正方形ABCD 的中心为O ，面积为2 1989cm ，P 为正方形内一点，?=∠45OPB ， 14:5:=PB PA ，求PB 。 4.如图8，△ABC 的高AD 的延长线交外接圆于H ，以AD 为直径作圆和AB 、AC 分别交于E 、F 点，EF 交 AD 于 G ，若 AG=16cm ，AH=25cm ，求 AD 的长． 5. 如图，在平行四边形ABCD 中，BC AM ⊥于M ，CD AN ⊥于N ，若13=AB ，5=BM ，9=MC ，求MN 的长度 6.如图所示，棱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,四条边AB,BC,CD,DA 的中点为E,F,G ,H. 求证：E,F,G ,H 四点共圆 7. 如图2，从⊙O 外一点P 引切线PA 、PB 和割线PDC ，从A 点作弦AE 平行于DC ，连结 BE 交DC 于F ，求证：FC ＝FD ． B C M K D A C B O P D A F E D A B O C

8.在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠B的两条三等分线交AD于E、G，交AC于F、H．求证：EH∥GC． 9.如图，△ABC为等边三角形，D,E分别为BC,AC边上的点，且BD=1 3 BC,CE= 1 3 AC ,AD与BE 相交于点P,求证：CP⊥AD 10.锐角△ABC中，BD,CE分别是AC,AB边上的高线，EM⊥BD于M,DN⊥CE于N.求证：MN//BC. 11.在△ABC中，,B C ∠∠的平分线相交于T, ,B C ∠∠的外角平分线相交于P.求证： () 1 2 BPC ABC ACB ∠=∠+∠ 12.如图所示，如果五边形ABCDE中，. ABC ADE AEC ADB ∠=∠∠=∠ 且求证：BAC DAE ∠=∠. 13.四边形ABCD内接于圆，通过M和N分别表示直线AB和CD，BC与AD的交点，设 1 B是已知圆同过点B、M、N三点的圆的异于B的交点，求证：直线 1 B D平分线段MN.

四点共圆两个判定定理的证明

四点共圆两个判定定理的证明 1，当∠A=∠C=90·时，可以在答题中仅增加两行说明A、B、C、D四点共圆连BD，设BD的中点为O′ ∵∠A = ∠C =90· ∴AO′ = BO′ = DO′ = CO′ ∴A、B、C、D在以O′为圆心，B O′为半径的圆上。 2，当那两个角不是直角时一、附：已知∠A + ∠C = 180·，则A、B、C、D 四点共圆证：设△ABD 的外接圆为⊙O ①假设C 在⊙O 内则∠C ＞∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C ＞ 180·与已知矛盾 ②假设C 在⊙O 外则∠C ＜∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C ＜ 180·与已知矛盾综合以上点C在⊙O上

上述证明可压缩为6行：证：设△ABD 的外接圆为⊙O 假设C 在⊙O 内或外时则∠C ≠∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C ≠ 180·与已知矛盾，故假设不成立，即点C 在⊙O上∴A、B、C、D四点共圆二、附：已知∠A = ∠C ，则A、B、C、D 四点共圆证：设△ABD 的外接圆为⊙O ①假设C 在⊙O 内则∠C ＞∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A ＜∠C 与已知矛盾 ②假设C 在⊙O 外则∠C ＜∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A ＞∠C 与已知矛盾综合以上点C在⊙O上上述证明可压缩为6行：证：设△ABD 的外接圆为⊙O 假设C 在⊙O 内或外时则∠C ≠∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A ≠∠C 与已知矛盾，故假设不成立，即点C 在⊙O上 ∴A、B、C、D四点共圆

四点共圆的性质(龙老师)

四点共圆的性质、判定及应用一、四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 1、四点共圆的性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。 2、四点共圆的判定方法：判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．判定定理3：对于凸四边形ABCD ，对角互补?四点共圆(或其一个外角等于其邻补角的内对角?四点共圆)．判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD ?BP =PC ?AP ?四点共圆．判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD ?PC =PB ?PA ?四点共圆．判定定理6：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个圆上?四点共圆．判定定理7：四点到某一定点的距离都相等?四点共圆．二、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．即：若四边形ABCD 内接于圆，则有BD ?AC=BC ?AD+CD ?AB ．托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 1．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ．求证：B 、E 、F 、C 四点共圆． 2．如图，在△ABC 中，BD 、CE 是AC 、AB 边上的高，∠A ＝60°. 求证：BC ED 2 1= 3．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于圆，CE ∥BD 交AB 的延长线于E ．求证：AD · BE ＝BC · DC ． 4．已知：如图所示，P 为等边三角形ABC 的外接圆的上任意一点．求证：P A ＝PB + PC ．

证明四点共圆方法

四点共圆证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法3 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么这四点共圆）方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理) 方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆．方法6 同斜边的两个RT三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径

判定与性质：圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD 交于P，则A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。角CBE=角ADE（外角等于内对角） △ABP∽△DCP（三个内角对应相等） AP*CP=BP*DP（相交弦定理）四点共圆的图片 EB*EA=EC*ED（割线定理） EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理）（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理） AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）弦切角定理四点共圆的判定定理：用反证法证明现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）证明：用反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180° ， ∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。 ∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。

四点共圆(一)

第二十四讲四点共圆（一）【知识要点】四点共圆的判定方法： 1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。 2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。 3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5、若AB 、CD 两线段相交于P 点，且PD PC PB PA ?=?，则A 、B 、C 、D 四点共圆。 6、若AB 、CD 两线段延长后相交于P 点，且PD PC PB PA ?=?，则A 、B 、C 、D 四点共圆。 7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。【典例精讲】例2、如图，、、、四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且。（1）证明：AB CD //；（2）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EG EF =，证明：A 、B 、G 、F 四点共圆. A B

例3、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：GE DG GF AG ?=?．例4、已知点)02(，A ，)53(，B ，直线l 过点B 与y 轴交于点)0(c ，C ，若O 、A 、B 、C 四点共圆，则c 的值为（） A 、522 B 、5 28 C 、17 D 、无法求出

例6、如图，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且不与顶点重合，已知m AE =，n AC =，AD ，AB 为方程0142 =+-mn x x 的两根. （1）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（2）若?=∠90A ，4=m ，6=n ，求C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径． A B E D 例7、如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ．（1）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆；（2）证明：2 2 AB BM BF AC =?+． A B 例8、如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠为钝角，且BC AE ⊥，CD AF ⊥．（1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；（2）设线段BD 与（1）中的圆交于M 、N ．求证：ND BM =． D

四点共圆判定

四点共圆判定证明四点共圆的基本方法：方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）方法3 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。

如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。角CBE=角ADE（外角等于内对角） △ABP∽△DCP（三个内角对应相等） AP*CP=BP*DP（相交弦定理）四点共圆的图片 EB*EA=EC*ED（割线定理） EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理）（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理） AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）弦切角定理编辑本段编辑本段定理判定定理方法 1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么

四点共圆练习题word版本

作业16 1、锐角ABC的三条高AD、BE、 CF交于H，在A、B、C、D、 E、F、H七个点中?能组成四点共圆的组数是( ) A、4组 B 、5组 C 、6组 D 7组 2、已知点A(2 ,0)，B(3,5)，直线I过点B与y轴交于点C(0 , c)，若 O、A、B、C四点共圆，贝U c的值为( ) 3. 如图,AB是OO的直径,弦CDLAB, P是弧CAD±一点(不与C D重合). (1) 求证：/ CP亠/ COB (2) 若点P在劣弧CD上(不与C D重合),/ CPD与Z COB的数量关系是否发生变化？若不变，请画图并证明；若变化，请写出新的关系式并画图证明? (1)求证：A、E、C、F四点共圆; (2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N .求证：BM ND . 5、如图所示，I为ABC的内心，求证: 圆?BIC的外心O与A、B、C四点共 A、22 5 28 5 C 、17 D 、无法求出 4、如图，在平行四边形ABCD 中, BAD为钝角，且AE BC，AF CD.

6. 如图,O0的内接△ ABC的外角/ ACB勺平分线交O 0于E, EF丄 BD于F. (1)探索E0与AB的位置关系,并予以证明; ⑵当厶ABC的形状发生改变时,BF CF的值是否发生改变？AC 若不变，请求出该值；若改变，请求出其变化范围. 7. 如图，已知AB是。0的直径，D是弧AB上一点，C是弧AD的中点，AD BC 相交于E, CF丄AB F为垂足，CF交AD于G 求证：CG=EG. 8、如图，已知ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H ， B 60，F在 AC 上，且AE AF . (1)证明：B，D，H，E四点共圆；(2)证明：CE平分DEF . F C A

四点共圆基本性质及证明

四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。定理 1 判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB DC+BCAD=AC BD。

例题：证明对于任意正整数n 都存在n 个点使得所有点间两两距离为整数。解答：归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n 都存在n 个点使得所有点间两两距离为整数，且这n 个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。n=1，n=2很轻松。当n=3 时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5 的三角形。我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。假设对于n 大于等于 3 成立，我们来证明n+1。假设直径为r （整数）。找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC （边长a

四点共圆基本判断方法超全

四点共圆

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