2020年4月全国自考试题及答案解析复变函数与积分变换试卷及答案解析
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全国2018年4月自学考试试题复变函数与积分变换试卷
课程代码：02199
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a z
z
+=_
，则a 2+b 2的值（ ） A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1
D ．大于1
2．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3
arg π
=
w B ．6
arg π
=
w
C ．6
arg π
-
=w
D ．3
arg π
-
=w
3．=i 2ln （ ） A ．2ln B ．i 2
2ln π
+
C ．i 2
2ln π
-
D ．i i 2Arg 2ln +
4．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C
?
=（ ）
A ．i π6
B ．i π4
C ．i π2
D ．0
5．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e z
C
2
-?
=（ ） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2π
D ．i e 22π-
6．设C 为正向圆周|z |=2，则
dz z e z z
C
4
)1(++?
=（ ）
A ．
i e
3π
B ．
e
6π
2
C ．ei π2
D ．
i e 3
π 7．z -21的幂级数展开式
∑∞
=0
n n
n
z
a 在z =-4处（ ）
A ．绝对收敛
B ．条件收敛
C ．发散
D ．收敛于6
1
8．幂级数
∑
∞
=+0
)
1(1
n n n
z i 的收敛半径为（ ） A ．2 B ．1 C ．
2
1 D ．0
9．函数z z tan 在z =0点的留数为（ ） A ．2 B ．i C ．1
D ．0
10．函数2z e e ibz
iaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为（ ）
A ．)(a b i -
B ．a b -
C ．b a -
D ．)(b a i -
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．设i z 101
103+-=，则=_
z ____________.
12．方程i z 3
1ln π
+
=的解为____________.
13．设C 为从i 到1+i 的直线段，则
=?
zdz C
Re ____________.
14．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=?
dz z z C 3_
)(____________.
15．设C 为正向圆周|z |=2，则
?
=-C
dz z z 3
2)2
(cos π
____________.
3
16．若在幂级数
∑
∞
=0
n n n z b 中，i b b n
n n 43lim
1
+=+∞→，则该幂级数的收敛半径为____________.
三、计算题（本大题共8小题，共52分）
17．（本小题6分）设复数)
2)(1(--=i i i
z
（1）求z 的实部和虚部；（2）求z 的模；（3）指出z 是第几象限的点. 18．（本小题6分）
设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程，并说明它是何种曲线. 19．(本小题7分)
设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数，试确定a,b,c 的值. 20．(本小题7分)
设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，其中xy x y y x u 2),(22--=， 求),(y x v .
21．（本小题6分）
求)2)(4(2
)(---=z z z f 在圆环域3|1|1<- 22．（本小题6分） 设z z f -=11sin )(的幂级数展开式为 ∑∞ =0 n n n z a ，求它的收敛半径，并计算系数a 1,a 2. 23．（本小题7分） 设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I = .)(21 3 dz a z ze i z C -? π 24．（本小题7分） 求) (1 )(3i z z z f -=在各个孤立奇点处的留数. 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，两题都做按前一题评分。每小题8分，共16分） 25．利用留数计算积分? +∞∞-++=dx x x x I ) 9)(1(2 22 . 4 26．设D 为Z 平面上的扇形区域.1||,3 arg 0<< 求下列保角映射： （1）)(11z f w =把D 映射为W 1平面的上半单位圆盘D 1； （2）)(12w f w =把D 1映射为W 平面上的第一象限； （3）)(z f w =把D 映射为W 平面上的第一象限. 27．求函数2 22)4(4 )(-+=p p p F 的拉氏逆变换.