高中数学_函数的奇偶性教学设计学情分析教材分析课后反思
2.1.4《函数的奇偶性》 一、教材分析 (一)教材所处的地位和作用 函数的奇偶性是普通高中标准实验教科书数学必修一B版第二章函数的第4小节,函数的奇偶性是函数的一条重要性质,教材从学生熟知的函数入手,结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称感受奇函数和偶函数的图像特征,从特殊到一般,从具体到抽象,注重信息技术的应用,比较系统地学习函数的奇偶性。从知识结构上,奇偶性既是函数概念的拓展和深化,又是后续研究基本初等函数的基础。起着承上启下的作用。 (二)学情分析 从学生的认知基础看,学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形,并且有了一定数量的简单函数的储备。同时,刚刚学习了函数单调性,已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。 从学生的思维发展看,高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,能够用假设、推理来思考和解决问题. (三)教学目标 基于以上对教材和学生的分析,以及新课标理念,我设计了这样的教学目标: 【知识与技能】 1.理解函数奇偶性的概念和图象特征。 2.能判断一些简单函数的奇偶性。
【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程,提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】 通过自主探索,体会数形结合的思想,感受数学的对称美。通过组织学生分组讨论,培养学生主动交流的合作精神,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,培养学生善于探索的思维品质。 (四)教学重点和难点 重点:函数奇偶性的概念及其建立过程,判断函数的奇偶性。 “函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解,但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式,只根据奇偶性的定义检验f(-x)=f(x)及f(-x)=-f(x) 成立即可,而忽视了考虑函数定义域的问题。因此,在介绍奇、偶函数的定义时,一定要揭示定义的隐含条件,从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此,我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解,还特意安排了一道例题,来加强本节课重点问题的讲解。 难点:对函数奇偶性概念理解与认识。 二、教法与学法分析 (一)教法 根据本节教材内容和编排特点,为了更有效地突出重点,突破难点,按照学生的认知规律,遵循教师为主导,学生为主体,训练为主
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性 考点梳理 一、函数的奇偶性 (探究:奇、偶函数的定义域有何特点?若函数f(x)具有奇偶性,则f(x)的定义域关于原点对称,反之,若函数的定义域不关于原点对称,则函数无奇偶性。) 二、奇、偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 2、在公共定义域内, (1)两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数。(2)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数。 (3)一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数。 3、若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0。 (探究:若f(x)是偶函数且在x=0处有定义,是否有f(x)=0?不一定,
如f(x)= 21x +,而f(0)=1。) 三、函数的周期性 一般的,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 (探究:若偶函数f(x)满足对任意的x R ∈,都有f(2+x)=f(-x),那么函数f(x)是周期函数吗? 是周期函数,()()(),(2)() (2)(),()=2f x f x f x f x f x f x f x f x T ∴-=+=-∴ += 是偶函数, 又所以是以为周期的函数) 例题解析 要点1:函数奇偶性的判定 判断函数奇偶性的一般方法 (1)首先确定函数的定义域,看其是否关于原点对称,否则,既不是奇函数也不是偶函数。 (2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断: ①定义判断: ()()()()-()()f x f x f x f x f x f x -=?-=?为偶函数, 为奇函数。 ②等价形式判断:
函数的单调性奇偶性和周期性和对称性之间的关系
函 数 的 对 称 性 一个函数的自对称 定义1、定义域为R 的函数()f x ,若满足()()f a x f a x +=-或是(2)()f a x f x -=,图像特征函数自身关于x a =对称。就是该函数的对称轴是x a =。 定义2、定义域为R 的函数()f x ,若满足()()f a x f a x +=--或是(2)()f a x f x -=-,图像特征函数自身关于点(,0)a 对称。就是该函数的对称点是(,0)a 。 定义3、定义域为R 的函数()f x ,若满足()()f a x f b x +=-,图像特征函数自身关于2a b x += 对称。就是该函数的对称轴是2 a b x +=。 定义2、定义域为R 的函数()f x ,若满足()()f a x f b x +=--,图像特征函数自身关于点( ,0)2a b +对称。就是该函数的对称点是(,0)2 a b +。 还可以推广为()()f a x m f b x +=-- 含义:函数()f x 关于( ,)22a b m +这个点对称。 周期性:若()f x 对于定义域中的任意x 均有()()f x T f x +=,则()f x 是周期函数. 它的变形有: (1)f(x-1)=f(x+1) (2)f(x+2)=-f(x);(3)f(x+2)=1() f x - (4)f(x+3) +f(x)=1 (5)f(x+1)=) (11)(x f x f -+ 特征是x 的符号相同。 习 题 1、已知()f x 是R 上的偶函数,且f(-x-1)=f(-x+1) 当[0,1]x ∈时,()1f x x =-+,求当[5,7]x ∈时,()f x 的解析式。 2、定义域为R 的()f x 既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个周期.问:区间[,]T T -上它有几个根?(财富:奇函数的半周期也是0点) 3、定义在R 上的偶函数()f x 以3为周期,且(2)0f =,则方程()0f x =在区间(0,6) 上有几个根? 4、()f x 是R 上的偶函数,若将()f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,且(2)1f =-,求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++L 的值. 5、定义在R 上的函数()f x 满足5()()02 f x f x ++=且5 ()4 f x +为奇函数,下列结论谁正确? ①函数()f x 的最小正周期是52;②函数()f x 的图象关于点(5,04)对称;③函数()f x 的图象关于52 x =对称;④函数()f x 的最大值为5()2f . 6、函数()f x 的定义域为R ,若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数,则( )(A) ()f x 是偶函数; (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ ; (D) (3)f x +是奇函数 例4举例子,构造新函数,用定义,平移,伸缩处理四道抽象函数题。 (1)f(x)是奇函数,则有f(-x+a)= f(x+a)是奇函数,则f(-x+a)= (2)函数f(x-1)是偶函数,求y=f(x)的对称轴。
函数的奇偶性教学设计优秀
一.教材分析 1 . 教材的地位与作用 内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节; 函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用; 奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。 2 . 学情分析 已经学习了函数的单调性,对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称,对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识; 在研究函数的单调性方面,学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识; 高一学生具备一定的观察能力,但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高;
高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机,能自觉配合教师完成教学内容。 二.目的分析 教学目标知识与技能目标: ……理解函数奇偶性的概念 ……能利用定义判断函数的奇偶性 过程与方法目标: ……培养学生的类比,观察,归纳能力 ……渗透数形结合的思想方法,感悟由形象到具体,再 从具体到一般的研究方法 情感态度与价值观目标: ……对数学研究的科学方法有进一步的感受 ……体验数学研究严谨性,感受数学对称美 重点与难点 重点:函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断 难点:函数奇偶性概念的探究与理解 三.教法、学法 教法 借助多媒体和几何画板软件 以引导发现法为主,直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式遵循研究函数性质的三步曲 学法
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y =f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数y =f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数,则f (-x )+f (x )=0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×) (3)如果函数f (x ),g (x )为定义域相同的偶函数,则F (x )=f (x )+g (x )是偶函数.(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(√) (5)若T 是函数的一个周期,则nT (n ∈Z ,n ≠0)也是函数的周期.(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x +a )=-f (x ),则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数.(√) (7)函数f (x )=0,x ∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(×) (8)若函数y =f (x +a )是偶函数,则函数y =f (x )关于直线x =a 对称.(√) (9)若函数y =f (x +b )是奇函数,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称,则该函数为偶函数;若某函数的图象关于(0,0)对称,则该函数为奇函数.(√) 考点一 判断函数的奇偶性
函数的奇偶性及周期性
函数的奇偶性及周期性 1.函数的奇偶性 (1)周期函数 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x +T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [小题体验] 1.下列函数中为偶函数的是() A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x|D.y=2-x 答案:B 2.若函数f(x)是周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(8)-f(14)=________. 答案:-1 3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则x<0时,f(x)=________. 答案:x(1-x) 1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x)或f(-
x )=f (x ),而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)或f (-x 0)=f (x 0). 3.分段函数奇偶性判定时,误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性. [小题纠偏] 1.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是( ) A .-13 B.13 C.12 D .-1 2 解析:选B ∵f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数, ∴a -1+2a =0,∴a =1 3.又f (-x )=f (x ), ∴b =0,∴a +b =1 3 . 2.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时, f (x )= ? ???? -4x 2+2,-1≤x <0,x , 0≤x <1,则f ????32=________. 解析:由题意得,f ????32=f ????-12=-4×????-122+2=1. 答案:1 考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透) [题组练透] 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=1-x 2+x 2-1; (2)f (x )=3-2x +2x -3; (3)f (x )=3x -3- x ; (4)(易错题)f (x )=4-x 2 |x +3|-3 ; (5)(易错题)f (x )=????? x 2+x ,x >0, x 2-x ,x <0. 解:(1)∵由? ???? x 2-1≥0, 1-x 2≥0,得x =±1, ∴f (x )的定义域为{-1,1}. 又f (1)+f (-1)=0,f (1)-f (-1)=0,
高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案)
§2.3函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数,关于y轴对称 奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值 时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正 数就叫做f(x)的最小正周期.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )=0,x ∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( × ) (2)若函数y =f (x +a )是偶函数,则函数y =f (x )关于直线x =a 对称.( √ ) (3)若函数y =f (x +b )是奇函数,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.( √ ) (4)若函数f (x )=x (x -2)(x +a ) 为奇函数,则a =2.( √ ) (5)函数f (x )在定义域上满足f (x +a )=-f (x ),则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数.( √ ) (6)函数f (x )为R 上的奇函数,且f (x +2)=f (x ),则f (2 014)=0.( √ ) 2.(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数,且当x >0时,f (x )=x 2+1 x ,则f (-1)等于( ) A .-2 B .0 C .1 D .2 答案 A 解析 f (-1)=-f (1)=-(1+1)=-2. 3.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是() A .-13B.13C.12D .-12 答案 B 解析 依题意b =0,且2a =-(a -1), ∴a =13,则a +b =13 . 4.已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),当x ∈(0,2)时,f (x )=2x 2,则f (2 015)等于( ) A .-2 B .2 C .-98 D .98 答案 A 解析 ∵f (x +4)=f (x ), ∴f (x )是以4为周期的周期函数,
(完整版)函数的奇偶性教学设计
《函数的奇偶性》教学设计 深圳市第一职业技术学校数学科-----黄美德 课标分析 函数的奇偶性是函数的重要性质,是对函数概念的深化.它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起,反映在图像上为:偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于坐标原点成中心对称.这样,就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析. 教材分析 教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象,概括出了函数奇偶性的准确定义.然后,为深化对概念的理解,举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例.最后,为加强前后联系,从各个角度研究函数的性质,讲清了奇偶性和单调性的联系.这节课的重点是函数奇偶性的定义,难点是根据定义判断函数的奇偶性. 教学目标 1. 通过具体函数,让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论,体验数学概念的建立过程,培养其抽象的概括能力. 教学重难点 1.. 理解、掌握函数奇偶性的定义,奇函数和偶函数图像的特征,并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性. 2. 在经历概念形成的过程中,培养学生归纳、抽象概括能力,体验数学既是抽象的又是具体的. 学生分析 这节内容学生在初中虽没学过,但已经学习过具有奇偶性的具体的函数:正比例函数y =kx,反比例函数,(k≠0),二次函数y=ax2,(a≠0),故可在此基础上,引入奇、偶函数的概念,以便于学生理解.在引入概念时始终结合具体函数的图像,以增加直观性,这样更符合学生的认知规律,同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔.对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析,让学生理解:奇函数、偶函数的定义域是关于原
函数的奇偶性与周期性专题练习
函数的奇偶性与周期性专题练习 一、选择题 1.(2019·肇庆三模)在函数y =x cos x ,y =e x +x 2,y =lg x 2-2,y =x sin x 中,偶函数的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 y =x cos x 为奇函数,y =e x +x 2为非奇非偶函数,y =lg x 2-2与y = x sin x 为偶函数. 答案 B 2.(2019·湖南卷)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则f (x )是( ) A.奇函数,且在(0,1)内是增函数 B.奇函数,且在(0,1)内是减函数 C.偶函数,且在(0,1)内是增函数 D.偶函数,且在(0,1)内是减函数 解析 易知f (x )的定义域为(-1,1),且f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),则y =f (x )为奇函数, 又y =ln(1+x )与y =-ln(1-x )在(0,1)上是增函数, 所以f (x )=ln(1+x )-ln(1-x )在(0,1)上是增函数. 答案 A 3.已知函数f (x )=x ? ?? ??e x -1e x ,若f (x 1)x 2 B.x 1+x 2=0 C.x 10时,f ′(x )>0,∴f (x )在[0,+∞)上为增函数,
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 奇函数偶函数 定义 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做 偶函数 图象特征关于原点对称关于y轴对称 2. (1)周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×) (3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(√) (5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.(√) (6)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.(√) (7)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(×) (8)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(√) (9)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.(√) (10)若某函数的图象关于y轴对称,则该函数为偶函数;若某函数的图象关于(0,0)对称,则该函数为奇函数.(√) 考点一判断函数的奇偶性
第二课时 函数的奇偶性(二)
第二课时函数的奇偶性( 二) 课标要求素养要求 1.掌握函数奇偶性的简单应用 . 2.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件. 1.通过函数奇偶性的应用,熟悉转化、对称等思考方法,提升逻辑推理素养. 2.通过函数图象的对称轴、对称中心条件,提升直观想象和数学抽象素养. 新知探究 被誉为“上海之鸟”浦东国际机场的设计是一个硕大无比展开双翅的海鸥,它的两翼呈对称状,看上去舒展优美,它象征着浦东将展翅高飞,一些函数的图象也有着如此美妙的对称性. 问题这种对称性体现了函数的什么性质? 提示函数的奇偶性. 奇函数、偶函数性质 (1)奇函数的图象关于原点对称,若函数的图象关于原点对称,则该函数是奇函数. 偶函数的图象关于y轴对称,若函数的图象关于y轴对称,则该函数是偶函数. (2)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a
2.若对f(x)定义域内任意的x都有f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于x=a+b 2 对称.(√) 3.若奇函数f(x)在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最大值-M.(×) 提示奇函数的图象关于原点对称,在[a,b]上有最大值M,则在[-b,-a]上有最小值-M. [微训练] 1.定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则() A.f(3)0时,f(x)=-x+1,则当x<0时,f(x)=________. 解析当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)+1=x+1=-f(x),所以f(x)=-x-1. 答案-x-1 [微思考] 若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称,则f(x),g(x)是偶函数吗? 提示不是偶函数,因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数. 题型一利用奇偶性求解析式