初等数论第三版复习题解答

第一章 整数的可除性

§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3

定理3 若12n a a a L ，，

，都是m 得倍数，12n q q q L ，，，是任意n 个整数，则1122n n q a q a q a +++L 是m 得倍数．

证明：Q 12,,n a a a L 都是m 的倍数。

∴ 存在n 个整数12,,n p p p L 使 1122,,,n n a p m a p m a p m ===L

又12,,,n q q q L 是任意n 个整数

1122n n

q a q a q a ∴+++L

1122n n q p m q p m q p m =+++L

1122()n n p q q p q p m =+++L

即1122n n q a q a q a +++L 是m 的整数 2．证明 3|(1)(21)n n n ++

证明 (1)(21)(1)(21)n n n n n n n ++=+++-Q (1)(2)(1)(1)n n n n n n =+++-+

又(1)(2)n n n ++Q ，(1)(2)n n n -+是连续的三个整数 故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n ++-+

3|(1)(2)(1)(1)n n n n n n ∴+++-+

从而可知 3|(1)(21)n n n ++

3．若00ax by +是形如ax by +（x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00()|()ax by ax by ++．

证： ,a b Q 不全为0

∴在整数集合{}|,S ax by x y Z =+∈中存在正整数，因而有形如ax by +的最小整数

00ax by +

,x y Z ?∈，由带余除法有0000(),0ax by ax by q r r ax by +=++≤<+

则00()()r x x q a y y q b S =-+-∈，由00ax by +是S 中的最小整数知0r =

00|ax by ax by ∴++

00|ax by ax by ++Q （,x y 为任意整数） 0000|,|ax by a ax by b ∴++ 00|(,).ax by a b ∴+ 又有(,)|a b a ，(,)|a b b 00(,)|a b ax by ∴+ 故00(,)ax by a b +=

4．若a ，b 是任意二整数，且0b ≠，证明：存在两个整数s ，t 使得

||,||2

b a bs t t =+≤

成立，并且当b 是奇数时，s ，t 是唯一存在的．当b 是偶数时结果如何？ 证：作序列33,,,,0,,,,2222

b b b b

b b -

--L L 则a 必在此序列的某两项之间 即存在一个整数q ，使

1

22

q q b a b +≤<成立 ()i 当q 为偶数时，若0.b >则令,22

q q

s t a bs a b =

=-=-，则有 02222

b q q q

a bs t a

b a b b t ≤-==-=-<∴<

若0b < 则令,2

2

q q

s t a bs a b =-=-=+

，则同样有2b t <

()ii 当q 为奇数时，若0b >则令11

,22

q q s t a bs a b ++=

=-=-，则有

1102222

b b q q t a bs a b a b t ++-

≤=-=-=-<∴≤ 若 0b <，则令11,22

q q s t a bs a b ++=-=-=+，则同样有2b t ≤

，综上所述，存在性得证．

下证唯一性

当b 为奇数时，设11a bs t bs t =+=+则11()t t b s s b -=-> 而111,22

b b

t t t t t t b ≤

≤∴-≤+≤ 矛盾 故11,s s t t == 当b 为偶数时，,s t 不唯一，举例如下：此时

2

b

为整数 11312(),,22222b b b b b b b t t ?

=?+=?+-=≤

§2 最大公因数与辗转相除法 1．证明推论4.1

推论4.1 a ，b 的公因数与（a ，b ）的因数相同． 证：设d '是a ，b 的任一公因数，∴d '|a ，d '|b 由带余除法

111222111111,,,,,

0n n n n n n n n n n a bq r b r q r r r q r r r q r r r r b

---++-=+=+=+==≤<<<

∴(,)n a b r =

∴d '|1a bq -1r =， d '|122b r q r -=，┄, d '|21(,)n n n n r r q r a b --=+=,

即d '是(,)a b 的因数。

反过来(,)a b |a 且(,)a b |b ，若|(,),d a b ''则|,|d a d b ''''，所以(,)a b 的因数都是,a b 的公因数，从而,a b 的公因数与(,)a b 的因数相同。

2．证明：见本书P2，P3第3题证明。

3．应用§1习题4证明任意两整数的最大公因数存在，并说明其求法，试用你的所说的求法及辗转相除法实际算出（76501，9719）．

解：有§1习题4知：

,,0,,,a b Z b s t Z ?∈≠?∈使,||2

b

a bs t t =+≤

。， 11,s t ∴?，使1112

||,||,,22t b

b s t t t =+≤≤L 如此类推知： 21,,;n n n n n n s t t t s t --?=+ 11111,,;n n n n n n s t t t s t ++-++?=+

且1221||||||||

||2222

n n n n n t t t b t --+≤

≤≤≤≤L 而b 是一个有限数，,n N ∴?∈使10n t +=

1121(,)(,)(,)(,)(,)(,0)n n n n a b b t t t t t t t t t +∴=======L ，存在其求法为：1(,)(,)(,())a b b a bs a bs b a bs s =-=---=L

(76501,9719)

(9719,7650197197)

(8468,97198468)

(1251,846812516)(3,1)1

∴=-?=-=-?===L 4．证明本节（1）式中的log log 2

b

n ≤

证：由P3§1习题4知在（1）式中有 12112102222

n n n n n n r r r b

r r --+-=<≤

≤≤≤≤L ，而1n r ≥ 1,22n

n

b b ∴≤

∴≤， 2

log log log 2b n b ∴≤=，即log log 2b n ≤ §3 整除的进一步性质及最小公倍数

1．证明两整数a ，b 互质的充分与必要条件是：存在两个整数s ，t 满足条件1ax bt +=． 证明 必要性。若(,)1a b =，则由推论1.1知存在两个整数s ，t 满足：(,)as bt a b +=，

1as bt ∴+=

充分性。若存在整数s ，t 使as+bt=1，则a ，b 不全为0。 又因为(,)|,(,)|a b a a b b ，所以(,|)a b as bt + 即(,)|1a b 。 又(,)0a b >，(,)1a b ∴= 2．证明定理3

定理3 [][]1212,,||,||,||n n a a a a a a =L L 证：设121[,,,]n a a a m =L ，则1|(1,2,,)i a m i n =L ∴1|||(1,2,,)i a m i n =L 又设122[||,||,,||]n a a a m =L 则21|m m 。反之若2|||i a m ，则2|i a m ，12|m m ∴ 从而12m m =，即12[,,,]n a a a L =122[||,||,,||]n a a a L 3．设1110n n n n a x a x a x a --++++L （1）

是一个整数系数多项式且0a ，n a 都不是零，则（1）的根只能是以0a 的因数作分子以n a 为

不是有理数．

证：设（1）的任一有理根为

p

q

，(,)1,1p q q =>。则

1110()()0n n n n p p p

a a a a q q q

--++++=L

111100n n n n n n a p a p q a pq a q ---++++=L （2）

由11110(2)n n n n n n a p a p q a pq a q ----=+++L ，

所以q 整除上式的右端，所以|n n q a p ，又(,)1,1p q q =>， 所以(,)1,|n n q p q a =∴；

又由（2）有11110n n n n n n a p a p q a pq a q ---+++=-L

因为p 整除上式的右端，所以0|n P a q ，(,)1,1p q q =>，所以(,)1, |n n q p p a =∴ 故（1）的有理根为

p

q

，且0|,|n p a q a 。

220x x =∴-=，次方程为整系数方程，则由上述结论，可知其有有理根只能是

1,2±±为无理数。

=

,p

q

(,)1,1p q q =>，则2

222222222,2,(,)(2,)1p q p p q q p q q

=∴=∴==>

但由(,)1,1p q q =>知22(,)1p q =不是有理数。 §4 质数·算术基本定理 1．试造不超过100的质数表 解：用Eratosthenes 筛选法

（110=a

（2）10内的质数为：2，3，5，7

（3）划掉2，3，5，7的倍数，剩下的是100内的素数 将不超过100的正整数排列如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2．求82798848及81057226635000的标准式．

解：因为8|848，所以38|,827988488103498562A A B ==?=?， 又8|856，所以8|B ，3812937322B C =?=?， 又4|32，所以4|C ，243234332C D =?=?

又9|（3+2+3+4+3+3），所以9|D ，29359373D E =?=?， 又9|（3+5+9+3+7），所以9|E ，93993E =? 又3399331331311=?=? 所以8532311A =；

同理有3343281057226635000235711172337=???????。 3．证明推论3.3并推广到n 个正整数的情形． 推论3.3 设a ，b 是任意两个正整数，且

1212n n a p p p ααα=???L ，0i α≥，1,2,,i k =L ，

1212n n b p p p βββ=???L ，0i β≥，1,2,,i k =L ， 则1212(,)k k a b p p p γγγ=???L ，12

12[,]k k a b p p p δδδ=???L ，

其中min(,)i i i γαβ=，min(,)i i i δαβ=，1,2,,i k =L 证：Q min(,)i i i γαβ=，∴0,0i i i i γαγβ≤≤≤≤ ∴ |,|i i i i i i i i p p p p γαγβ (1,2)i k =L ∴

1

1

i

i

k

k

i i

i i p p

γα==∏∏，

1

1

i

i

k

k

i i

i i p p

γβ==∏∏.

∴ 1212|(,)k k p p p a b γγγL ，又显然12

12(,)|k k a b p p p γγγL

∴ 121

2(,)k k p p p a b γγγ=L ，同理可得1212[,]k k p p p a b δδδ=L ，max{,}i i i δαβ= 推广

设11112112k k a p p p βββ=L ,22122

212k k a p p p βββ=L ,1212,n n nk n k a p p p βββ=L L

(其中j p 为质数1,2,,,i j k a =L 为任意n 个正整数1,2,,,0ij i n β=≥L )， 则

1212121(,,,),min{},

1,2,,i i ik

k n ij ij i n

p p p a a a j k γγγγβ≤≤===L L L

1212121[,,,],max{},1,2,,i i ik k n ij ij i n

p p p a a a j k δδδδβ<<===L L L

4．应用推论3.3证明§3的定理4（ii ）

证：设1211

1212k k k k a p p p b p p p αβααββ==L L ，，

其中p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数，

i

，

i

（1 i k ）都是非负整数，有

11

1

1

1212(,)min{,}1[,]max{,}1k k

k i i i k i i i a b p p p i k a b p p p i k λλλμμμλαβμαβ==≤≤==≤≤L L ，，，

，，。

由此知(a , b )[a , b ] =

min{,}max{,}

1

1

1

i i

i i i i i i k

k

k

i

i

i i i i p p

p λμαβαβαβ+++=====∏∏∏=ab ；从而有[,](,)

ab

a b a b =

． ５．若n 21+是质数（n>1），则n 是2的方幂． 证：（反证法）设2(k n l l =为奇数）， 则2222(1)

2(2)

212

1(2)1(21)[2

2

1]k k k k k n

l

l l l ??-?-+=+=+=+-++L

∵ 22121(2)121k k

l n <+<+=+， ∴ 21n +为合数矛盾，故ｎ一定为２的方幂． §5 函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 1．求30！的标准分解式．

解：30内的素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29

22345303030303022222α??????????

=+++++????????????????????L

15431023=++++=

3234303030303333α????????

=++++????????????????

L 1031014=+++=

5233030306107555α??????

=+++=++=????????????

L

72303040477α????=++=+=????????L ，11230302021111α????

=++=+=????????L

13230302021313α????=++=+=????????L ，13230302021313α????

=++=+=????????L 17230301011717α????

=++=+=????????

L ，191923291αααα==== ∴ 2314542230!2357111317192329=????????? 2．设n 是任一正整数，是实数，证明：

(i) [][]n n αα??=????

(ii) [][]11n n n n αααα-????

+++???++=???????

? 证：(i)设[]m α=.则由性质II 知1m m α≤<+,