求下列微分方程的通解

二次微分方程的通解

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解

这是因为 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且 x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 2 1y y i x e x -= βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解

二次微分方程的通解

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为

微分方程练习题基础篇答案

常微分方程基础练习题答案 求下列方程的通解 1.dy xy dx = 分离变量 dy xdx y =，2 2x y Ce =，C 为任意常数 2.0xydx = 分离变量 dy y = ，y =C 任意常数 3.ln 0xy y y '-= 分离变量 1 ln dy dx y y x =，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量 22 11ydy xdx y x =+-，22 (1)(1)y x C +-= 2 5.(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du dx u =+ 1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11y dy x y dx x + =-，令y u x =，dy du u x dx dx =+，代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+ ， y u x = 回代得通解 2arctan ln y y x C x x =++ 7.0xy y '-= 方程变形为0dy y dx x =+=，令y u x = dx x = arctan ln u x C =+， y u x = 回代得通解arctan ln y y x C x x =++ 8.ln dy y x y dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令y u x =，(ln 1)du dx u u x =-，1 Cx u e +=，1Cx y xe +=

9.24dy xy x dx +=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --??=+=+? 210.2dy y x dx x -=,一阶线性公式法112 3(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -??=+=+? 2211.(1)24x y xy x '++=，方程变形为2 222411x x y y x x '+=++一阶线性公式法3 2 14()13 y x C x =++ 212.(6) 20dy y x y dx -+=，方程变形为312dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+ 2 13.3y xy xy '-=，方程变形为2113dy x x y dx y -=伯努利方程，令12,dz dy z y y dx dx --==-代入方程得 3dz xz x dx +=-一阶线性公式法再将z 回代得23 2 113x Ce y -=- 411 14. (12)33 dy y x y dx +=-，方程变形为4 3 1111(12)33dy x y dx y +=-伯努利方程，令 34, 3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dz z x dx -=-，一阶线性公式法再将z 回代得3121x Ce x y =-- 15.560y y y '''++=，特征方程为2560r r ++=，特征根为122,3r r =-=-，通解 2312x x y C e C e --=+ 16.162490y y y '''-+=，特征方程为2 162490r r -+=，特征根为1,23 4 r =，通解 34 12()x y C C x e =+

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3） 23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x

3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

习题12。4求下列微分方程的通解

习题12-4 1. 求下列微分方程的通解: (1)x e y dx dy -=+; 解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dx x dx +=+?=+???=-----? ?. (2)xy '+y =x 2+3x +2; 解 原方程变为x x y x y 2 31 ++=+'. ])23([1 1C dx e x x e y dx x dx x +? ?++?=?- ])23([1 ])23([12C dx x x x C xdx x x x +++=+++=?? x C x x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223. (3)y '+y cos x =e -sin x ; 解 )(cos sin cos C dx e e e y xdx x dx +???=?-- )()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+?=---?. (4)y '+y tan x =sin 2x ; 解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +???=?- )2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +?=?- ?+?=)cos 1 cos sin 2(cos C dx x x x x =cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x . (5)(x 2-1)y '+2xy -cos x =0; 解 原方程变形为1cos 1222-=-+'x x y x x y . )1cos (1221222C dx e x x e y dx x x dx x x +??-?=?--- )(sin 11 ])1(1cos [11 2222C x x C dx x x x x +-=+-?--=?.

用Matlab软件求常微分方程的解或通解

《高等数学》实验报告 实验人员:系(班): 学号: 姓名: 实验地点:电教楼五号机房 实验名称:Matlab 高等数学实验 实验时间:2014-6-3 16:30--18:30 实验名称:用Matlab 软件求常微分方程的解(或通解) 实验目的:熟练掌握Matlab 软件求常微分方程的解(或通解) 实验内容:(给出实验程序与运行结果) 1、求微分方程的特解. 1、?? ?? ?===+-10)0(,6)0(034'2 2y y y dx dy dx y d 程序:>> dsolve('D2y-4*Dy+3*y','y(0)=6,Dy(0)=10','x') ans = 4*exp(x)+2*exp(3*x) 吕梁学院《高等数学》实验报告 情况试高中

2、?? ???===++0)0(,2)0(044'2 2y y y dx dy dx y d 程序:>>dsolve('4*D2y+4*Dy+y','y(0)=2,Dy(0)=0','x') ans = 2*exp(-1/2*x)+exp(-1/2*x)*x 3、?? ???===++15)0(',0)0(029422y y y dx dy dx y d 程序:>>dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=9,Dy(0)=15','x') ans = 33/5*exp(-2*x)*sin(5*x)+9*exp(-2*x)*cos(5*x) 4、?? ???===+-3)0(',0)0(013422y y y dx dy dx y d 程序:>>dsolve('D2y-4*dy+13*y=0','y(0)=0','Dy(0)=3','x') ans = 3/13*sin(13^(1/2)*x)*13^(1/2)-4/13*cos(13^(1/2)*x)*dy+4/13*dy 5、?? ???-===--5)0(',0)0(04322y y y dx dy dx y d 程序:>>dsolve('D2y-3*Dy-4*y','y(0)=0,Dy(0)=-5','x') ans = exp(-x)-exp(4*x)

微积分微分方程练习题及答案

一、 选择题: 1、 一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y +=' 的通解是( ). (A)?+??=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ； (B)???=-dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(； (C)?+??=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ； (D)? =-dx x P ce y )(. 2、方程y y x y x ++='22是( ). (A)齐次方程； (B)一阶线性方程； (C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 . 3、2)1(,022==+y x dx y dy 的特解是( ). (A)222=+y x ； (B)933=+y x ； (C)133=+y x ； (D)13 333=+y x . 4、方程 x y sin ='''的通解是( ). (A) 322121cos C x C x C x y +++=； (B)32212 1sin C x C x C x y +++=； (C)1cos C x y +=； (D)x y 2sin 2=. 5、方程0='+ '''y y 的通解是( ). (A)1cos sin C x x y +-=； (B)321cos sin C x C x C y +-=； (C)1cos sin C x x y ++=； (D)1sin C x y -=.

6、若1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解,则 2211y C y C y +=(其中21,C C 为任意常数)( ) (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解； (C)是该方程的特解； (D)不一定是该方程的解. 7、求方程0)(2='-'y y y 的通解时,可令( ). (A)P y P y '=''='则,； (B) dy dP P y P y =''='则,； (C)dx dP P y P y =''='则,； (D)dy dP P y P y '=''='则,. 8、已知方程02=-'+''y y x y x 的一个特解为x y =,于是方程的通解为( ). (A)221x C x C y +=； (B)x C x C y 121+=； (C)x e C x C y 21+=； (D)x e C x C y -+=21. 9、已知方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的一个特1y 解为, 则另一个与它线性无关的特解为( ). (A) ??=- dx e y y y dx x P )(21 121； (B) ??=dx e y y y dx x P )(21 121 ； (C) ??=-dx e y y y dx x P )(1 121； (D) ??=dx e y y y dx x P )(1 121. 10、方程x e y y y x 2cos 23=+'-''的一个特解形式是 ( ). (A) x e A y x 2cos 1=； (B) x xe B x xe A y x x 2sin 2cos 11+=； (C) x e B x e A y x x 2sin 2cos 11+=； (D) x e x B x e x A y x x 2sin 2cos 2121+=.

(完整版)常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答 一、问答题： 1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。 2．举例阐述常数变易法的基本思想。 答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。 例：求 ()()dy P x y Q x dx =+的通解。 首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dx y c ?=l ，然后将 常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dx y c x ? =l ，微分之，得到 ()()()()()P x dx P x dx dy dc x c x P x dx dx ?? =+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()() P x dx P x dx P x dx dc x c x P x dx c x P x Q x ??+?=+l l l 即 ()() ()P x dx dc x Q x dx -? =l 积分后得到()()()P x dx c x Q x dx c -?=+? %l 进而得到方程的通解 ()()(()) P x dx P x dx y Q x dx c -? ?=+?%l l 3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？ 答：n 阶线性微分方程的初值问题 ()(1) 11(1) 01020()...()()()(),(),....()n n n n n n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈， 12,,...,n ηηη是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题

(整理)微分方程练习题

第７章 微分方程练习题 习题７.1 1．选择题 （1）（ ）是微分方程 （（A ））d x x d y )14(-=． (（B ）) 12+=x y ． (（C ）) 0232 =+-y y ． (（D ）)? =0sin xdx ． （2）( )不是微分方程 （（A ））03=+'y y ． (（B ）) x x dx y d sin 32 2+=． (（C ）) 0232=+-y x y ． (（D ）) 0)()(2 222=-++dy y x dx y x ． （3）微分方程x xy y sin 43)(2 =+'的阶数为（ ） (（A ）) 2． (（B ）) 3． (（C ）) 1． (（D ）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）25, 2x y y y x =='． （ ） (2) C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(. ( ) (3) C x y y dy dx +==+arccos ,0sin . ( ) (4) x y y x y 1 ,2 2 = +=''. ( ) 习题7.2 1．解微分方程 (1) x dx dy 1=． (2) 2 2 11x y dx dy --=．

(3) y x e y -='2． (4)0)1()1(2 2=++-dx y x dy x y ． (5) 4,2 12 ==+'=x y y xy y x ． 2．解微分方程 (1) 0)()(=-+'+y x y y x ． (2) dx dy xy dx dy x y =+2 2 ． (3) x y x y y tan +='．

二次微分方程的通解

二次微分方程的通解 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线 性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使ye rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将ye rx 代入方程 ypyqy 0 得 (r 2prq )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2prq 0 函数ye rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2prq 0叫做微分方程ypyqy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(21212 1-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1、验证下列各题所给出得隐函数就是微分方程得解、 (1) (2) 2、、已知曲线族,求它相应得微分方程(其中均为常数) (一般方法:对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数、) (1); (2)、 3.写出下列条件确定得曲线所满足得微分方程。 (1)曲线在处切线得斜率等于该点横坐标得平方。 (2)曲线在点P处得法线x轴得交点为Q,,PQ为y轴平分。 (3)曲线上得点P处得切线与y轴交点为Q, PQ长度为2,且曲线过点(2,0)。 §2可分离变量与齐次方程 1、求下列微分方程得通解 (1); (2); (3); (4)、 2.求下列微分方程得特解 (1); (2) 3、求下列微分方程得通解 (1); (2)、 4、求下列微分方程得特解 (1); (2)、 5、用适当得变换替换化简方程,并求解下列方程 (1); (2) (3) (4) 6、求一曲线,使其任意一点得切线与过切点平行于轴得直线与轴所围城三角形面积等于常数、

7、设质量为得物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时速度为0,求物体速度与时间得函数关系、 8、有一种医疗手段,就是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能、正常胰脏每分钟吸收掉染色,现内科医生给某人注射了0、3g染色,30分钟后剩下0、1g,试求注射染色后分钟时正常胰脏中染色量随时间变化得规律,此人胰脏就是否正常？ 9、有一容器内有100L得盐水,其中含盐10kg,现以每分钟3L得速度注入清水,同时又以每分钟2L得速度将冲淡得盐水排出,问一小时后,容器内尚有多少盐？ §3 一阶线性方程与贝努利方程 1.求下列微分方程得通解 (1); (2); (3); (4); (5) 2.求下列微分方程得特解 (1); (2) 3.一曲线过原点,在处切线斜率为,求该曲线方程、 4.设可导函数满足方程 ,求、 5.设有一个由电阻,电感,电流电压串联组成之电路,合上开关,求电路中电流与时间之关系、 6.求下列贝努利方程得通解 (1) (2) (3) (4) §4 可降阶得高阶方程 1、求下列方程通解。 ;(2); (2) 3.求得经过且在与直线相切得积分曲线 4.证明曲率恒为常数得曲线就是圆或直线、 证明:可推出就是线性函数;可取正或负 5.枪弹垂直射穿厚度为得钢板,入板速度为,出板速度为,设枪弹在板内受到阻力与速度成正比,问枪弹穿过钢板得时间就是多少？ §5 高阶线性微分方程 1、已知就是二阶线性微分方程得解,试证就是得解 2、已知二阶线性微分方程得三个特解,试求此方程满足得特解、 3.验证就是微分方程得解,并求其通解、 §6 二阶常系数齐次线性微分方程 1、求下列微分方程得通解 (1);

二次微分方程的通解.

第六节二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性 微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程:方程 y''+py'+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数. 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解. 我们看看,能否适当选取r,使y=e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=e rx代入方程 y''+py'+qy=0 得 (r2+pr+q)e rx=0. 由此可见,只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=e rx就是微分方程的解.

特征方程: 方程r 2 +pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 1 1=、 x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又 x r r x r x r e e e y y )(21212 1-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2 1 21+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 1 1=、x r xe y 1 2=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, x r e y 1 1=是方程的解, 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 1 1 1 1 1 1 )1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(12111 1 =++++=q pr r xe p r e x r x r , 所以x r xe y 1 2=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1 11 2不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1 1 21+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e ( α+i β)x 、

常微分方程习题及答案.

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9．221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06='-''?y y y 是 阶微分方程。

7．x y 1= 所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9．0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程() 012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()32+=x y C ．()2C x y += D ． ()31x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=

求下列微分方程的通解

第一章 绪 论 例1-1 求下列微分方程2 3x dx dy =的通解，并分别求满足下列条件的特解。 （1）通过点)1,2(； （2）与直线x y =相切； （3）与直线13+-=x y 正交。 解 直接积分得方程的通解为C x y +=3。 （1）将代入通解中1,2==y x 得7-=C ，则通过点)1,2(解为73-=x y 。 （2）与直线x y =相切的解满足在切点处斜率相同，有132=x ，即得3 1± =x ，切 点坐标为)3 1, 3 1( 和)3 1,31(- - 。同（1）的解法，与直线x y =相切的解为 3 323 + =x y 和3 32 3- =x y 。 （3）与直线13+-=x y 正交的解在正交点处斜率满足3 132 =x ，即得3 1± =x ，正交 点坐标为)0,31 (和)2,3 1(- 。同（1）的解法所求方程的解为27 553 +=x y 和27 13 -=x y 。 评注：求方程满足某条件的特解，关键要找到所求积分曲线经过的某一特定点的坐标，代入通解中确定出任意常数即可得特解。 例1-2 求与曲线族x Ce y =正交的曲线族。 解 因为曲线族x Ce y =满足的微分方程为y y ='，所以与曲线族x Ce y =正交的曲线族满足的微分方程为y y 1- ='，解之得C x y +-=22 ，这就是所求曲线族方程。 评注：首先对已给定的曲线族求得其满足的微分方程，其次借助于正交性得到所求曲线族满足的微分方程，再求解此微分方程。有时直接给出一个微分方程，要求求得与此微分方程的积分曲线族正交（或夹角为某一固定值）的曲线族。 例1-3 求一曲线方程，使曲线上任一点平分过该点的法线在两坐标轴之间的线段。 解 设所求的曲线为)(x y y =，过曲线上任一点),(y x 的法线方程为

微分方程求解

微分方程求解Newly compiled on November 23, 2020

求解微分方程 ：简单地说，就是去微分（去掉导数），将方程化成自变量与因变量关系的方程（没有导数）。 近来做毕业设计遇到微分方程问题，搞懂后，特发此文，来帮广大同学，网友。 1.最简单的例子： x dx dy 2= ——————》 C x y +=2 求微分方程 xy dx dy 2=的通解。 解 方程是可分离变量的，分离变量后得 两端积分 ： ,2??=xdx y dy 得： ,ln 12C x y += 从而 ： 2112 x C C x e e e y ±=±=+。 又因为 1C e ±仍是任意常数，可以记作C 2 x Ce y =。 非齐次线性方程 求方程25 )1(12'+=+-x x y y 的通解. 解：非齐次线性方程。 先求对应的齐次方程的通解。 01 2=+-x y dx dy ， 1 2+=x dx y dy ， 用常数变易法：把C 换成)(x u ，即令 2)1(+=x u y （1）

则有 )1(2)1('2+++=x u x u dx dy ， 代入原方程式中得 21 )1('+=x u ， 两端积分，得 C x u ++=23)1(3 2。 再代入（1）式即得所求方程通解 ])1(32[)1(23 2C x x y +++=。 法二： 假设待求的微分方程是: )()(x Q y x P dx dy =+ 我们可以直接应用下式 得到方程的通解，其中， 1 2)(+-=x x P ， 25 )1()(+=x x Q 代入积分同样可得方程通解 ])1(32[)1(23 2C x x y +++=， 2.微分方程的相关概念：(看完后你会懂得各类微分方程) 即得齐次方程通解。 ，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成 齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。 得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x y y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0 ),(),(),(???一 阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程： 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

高数微分方程求解

学习目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等 学习重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 学习难点：微分方程的通解概念的理解 学习内容： 1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2 /4.0s m -. 问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函 数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件：

0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020 s t == 。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。 微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1） 是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- 是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是 ,0),,',,()(=n y y y x F （11） 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，) (n y 是必须出现的，而

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为x.y的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有 函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧 拉方程，这里 5、设的某一解，则它的 任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。

3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题 2 一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 微分方程是. 2、方程的通解中含有任意常数的个数为. 3、方程有积分因子的充要条件为. 4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件． 5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它 们(有或无)共同零点．

7、设是方程的通解，则 . 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与 线性无关的另一解 . 9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线 性无关解是 . 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是 . 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给 出在解的存在区间的误差估计.（10分） 四、求解微分方程组