专题一：集合、映射、简易逻辑与函数(经典)
专题一：集合、映射、简易逻辑与函数
【考点审视】
（本部分内容是根据近几年高考命题规律和趋势透视本单元考查的重点。）一．三年科学归纳：
时间题号分
值题
型
高考
要求
考试内容能力
层次
2002 (文)40分(理)35
分(文)4、6、9、
10
20 选
择
理解
掌握
集合、充要条件、函数图象与性质 B (理)5、9、10 15
(文)13、14 8 填
空
掌握
应用
函数图象与性质 C (理)13、16 8
(文) 20 12 解
答
掌握函数图象与性质 C (理)21 12
2003 (文)27分(理)26
分(文) 6、7、8 15 选
择
理解函数图象与性质 B (理)3、9 10
(文)无0 填
空
掌握函数图象与性质、不等式 C (理)14 4
(文)20 12 解
答
掌握
应用
（三角）函数图象与性质
函数性质、不等式
C (理)19 12
2004 (文)36分(理)24
分(文)1、8、9、
12
20 选
择
掌握集合、充要条件、函数性质及其应
用
C
(理)1、8、11、
12
20
(文)13 4 填
空
掌握函数表达式、不等式 C (理)13 4
(文)21 12 解
答
掌握函数图象与性质、导数 B (理)无0
综合上述三年统计表可知本单元在高考中试题类型与特点有：
1．集合、映射、简易逻辑、四种命题一般都是基本题，综合性题目少，且综合性的深度较小．解答题少．今年理科试题中没有出现本单元的解答题型．2．函数及其性质考查更是高考函数试题的主干，是中学与大学数学相衔接的重要内容，是承上启下的必备知识，也是历年高考的热点．本考点每年必考。近年高考对函数知识的考查，除了保持函数各知识点比较高的覆盖面外，还强化了对函数本质和函数应用的考查，体现了函数知识考查的深度和广度，函数的概念的考察多数是与其它知识以综合题的形式出现，有关函数的综合题较难。
具体考查：
（1）常见初等函数的图像及其性质，其中二次函数及其对数函数更为重要，属中档题；
（2）考查函数与方程、不等式、三角、数列、曲线方程、导数（尤其要重视与导数的结合）等知识的交叉渗透及其应用，属中、高档题；
（3）考查以函数为模型的实际应用题，让考生从数学角度观察事物、阐释现象，分析解决问题，属中档题；
（4）变函数的具体形式为抽象形式，用以考查抽象思维水平，以及将抽象与具体进行相互转化的思维能力，可结合在函数的各种题型中进行考查。
【疑难点拔】
（解释重点、难点及知识体系，尤其是考试中学生常见错案分析。）
二．本章重点、难点及知识体系
1．集合与简易逻辑在中学数学教材中并不是新增内容，在过去的教材中散见于各章知识。而在新教材中将其整合到一起，单独列为一章，置于高中数学教材之首，足见其在数学中的基础地位，是进一步学习近现代数学的必要基础知识。其内容为集合的概念及其运算、逻辑联结词、四种命题及其相互关系、充要条件。本单元内容还初步体现了中学数学中的数形结合、分类讨论、函数与方程、化归的数学思想。由于其在数学中的基础地位，在复习中不宜深入展开，只要灵活掌握知识点的小型综合即可。
2．函数是中学数学的重要内容，像一条红线贯穿在整个中学数学之中，函数这一单元的知识有五个特点：
（1）内容的丰富性：“函数”这一单元包括函数的概念和记号，函数的定义域、值域和对应规律，函数的图像，函数的单词性、奇偶性和周期性，反函数、指数函
数和对数函数，此外，一次函数、二次函数、反比例函数虽然是在初中所学，但
在高中阶段的“函数”一章中完成它的深化过程。
（2）强烈的渗透性：函数网络具有强大的渗透和辐射功能，函数与中学数学中的绝大部分内容都有联系，与数列、不等式、解析几何、复数、立体几何等均有着千丝
万缕的联系．
（3）高度的思想性：“函数”这一章蕴含着中学数学中重要的数学思想，如函数的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、化归思想等。
（4）与高等数学衔接的紧密性：函数与极限、微分、积分、概率、统计等数学内容联系非常紧密。
（5）知识的应用性：函数知识在日常生活、生产、科学技术及其他学科中有着广泛的应用。
对函数及其性质这部分内容的考查，可分横向和纵向两个方面，横向涉及的函数有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本初等函数；还有由基本初等函数迭加和复合成的一次分式、二次分式函数以及复合函数等．纵向即函数的性质：定义(解析式、定义域、值域)、单调性、奇偶性、最值、周期性、对称性等．函数问题几乎涉及中学数学所有数学思想和方法，如数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想和等价转化的思想等．解函数问题用到很多典型的数学方法，如配方法、待定系数法、数学归纳法、消元法、反证法、比较法、代人法等．因此，学好中学数学，提高高考复习效率，函数这部分内容是基础，也是重点．
本章重点解决以下四个问题：
1．准确地理解函数有关的概念；
2．充分揭示函数与其它知识的联系；
3．熟练运用函数思想，分类讨论思想和数形结合思想解题；
4．深刻认识函数的实质，强化应用意识。
上述四个问题同时也是本章的难点。
三．根据最近几年命题立意的发展变化，宜运用以下应试对策：
1．在复习中首先把握基础性知识，深刻理解本单元的基本知识点、基本数学思想和基本数学方法．重点掌握集合、充分条件与必要条件的概念和运算方法．要真正掌握数形结合思想——用文氏图解题．
2．涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多．所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型(如集合与映射，集合与自然数集，集合与不等式，集合与方程等，充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等) 映射的概念以选择题型出现，难度不大。就可以了
3．活用“定义法”解题。定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点。利用定义，可直接判断所给的对应是否满足映射或函数的条件，证明或判断函数的单调性与奇偶性并写出函数的单调区间等。
4．重视“数形结合”渗透。“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议便是：画个图!利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题。 5．实施“定义域优先”原则。函数的定义域是函数最基本的组成部分，任何对函数性质的研究都离不开函数的定义域。例如，求函数的单调区间，必须在定义域范围内；通过求出反函数的定义域，可得到原函数的值域；定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要条件。为此，应熟练掌握求函数定义域的原则与方法，并贯彻到解题中去。 6．强化“分类思想”应用。指数函数与对数函数的性质均与其底数是否大于1有关；对于根式的意义及其性质的讨论要分清n 是奇数还是偶数等。
专题一：集合、映射、简易逻辑与函数
【经典题例】
例1：给出下列四个命题：
（1）函数y =a x （a ＞0且a ≠1）与函数)10(log ≠>=a a a y x
a 且的定义域相同： （2）函数y =x 3与y =3x 的值域相同；
（3）函数x
x x x y y 2)21(121212
?+=
-+=与都是奇函数； （4）函数y =(x －1)2与y =2x －
1在区间),0[+∞上都是增函数.
其中正确命题的序号是 ①③ .（把你认为正确的命题序号都填上） [简要评述]
通过这几种命题的真假判断，进一步增强学生对比学习意识和数形结合思想
例2：已知f （x ）是偶函数，且f （1）=993，g （x ）=f （x —1）是奇函数
求f （2005）的值。(993) [简要评述]
利用抽象形式推理出函数的重要性质（以4为周期） 例3：关于x 的方程,042=---b ax x
（1） 对于任意,R a ∈当且仅当_____∈b 恒有实数解；key ：),4[+∞ （2） 当且仅当_____时恰有两个实数解；key ：02,22>+<<-b a a （3） 当且仅当_____时由无穷多个实数解；key ：4,2-==b a 或4,2=-=b a （4） 当且仅当_____时无实数解。Key ：22≤≤-a 且02<+b a [简要评述]
通过此题分析增强学生的属性结合思想意识，培养灵活机动的思维品质。
例4：已知集合{}{}01|,2,1=+=-=mx x B A ，若A ∪B=A ，则符合条件的m 的实数值组成的集合
是 __________key:}1,0,2
1
{-
[简要评述]
在高考应试能力中，，审题是关键，通过此题训练学生思维的严谨性。 例5：已知函数11
2
)(>+-+
=a x x a x f x . （1）证明：函数)(x f 在),1(+∞-上为增函数；
（2）用反证法证明方程0)(=x f 没有负数根. [思路分析]
证明：设1
111,110,1212121+>
+∴
+<+<∴<<-x x x x x x ）（113
1321?+-<+-∴x x 又x
a y a =∴>,1 在),1(+∞-上是增函数。 ）
（221
?<∴x x a a ， 由（1）（2）得1
3
11312122
+-+<+-
+∴x a x a
x x 即)(),()(21x f x f x f ∴<),1(+∞-上是增函数。
（反证法）设
0)(=x f 存在负数根，：
)0(00 )1,0(1 2 012000000∈=+--?=+-+ x x a x x x x a ???????<+->+-?11 201 2 0000x x x x )2,21(211210000∈??????>-<<<-?x x x x 或，又00 所以假设不成立。 则0)(=x f 没有负数根。 [简要评述]通过（1）的证明让学生在处理函数单调性的证明时，能充分利用几种基本函数的性质直接处理，同时增强应变能力训练，通过（2）的证明使学生增强对反证法这种重要数学思想方法的认识。 例6：设)0()1( )(2 >+=x x x x f . （1）求)(x f 的反函数)(1x f -； （2）若2≥x 时，不等式)()()1(1 x a a x f x ->--恒成立，试求实数a 的取值范围. [思路分析] （1）)1(1 1)(1 11 )1(012 >-= ?-=?+= ?+=?>-x x x f y x x x y x x y x （2）??->+?->+?->--1)1(1)()()1(221 a x a x a a x x a a x f x 2,2≥∴≥x x ，显然01≠+a 01 当01>+a 时，1->??a x 02 当01<+a 时，1- ?a x ? ? ?∈?>-<+φa a a 210 1，综上所述：211+<<-a [简要评述] 该题考查学生对函数与不等式的结合点的认识与处理能力，培养学生的转化能力及分类讨论思想。 例7：高三某班52名学生全部参加绿化美化环境的志愿者行动，这次行动要求完成栽400株花和种200棵树的任务，据经验如果栽花每个学生每小时可以栽3株，如果植树每个学生每小时可以值1棵，现在把这52名学生分成甲乙两组，甲组只栽花，乙组只植树，并且同时开始工作，为了在最短时间内完成这项任务，两组各应安排多少名同学？并论述这种分组的合理性。 解：设甲组x 人，乙组)52(x -人，521≤≤x 且N x ∈， 据已知，栽花总用时为x x f 3400)(1= 小时，植树总用时为x x f -=52200 )(2小时， 这样完成整个任务的时间，应该是)(1x f 和)(2x f 的较大者， 在区间[1，52]上，函数)(1x f 为减函数，)(2x f 为增函数，为使整体最少，应有 |-)(1x f )(2x f |最小，不妨先解x x -= 52200 3400，得8.200=x 因为8.200=x 不是整数，所以要比较两函数在8.20临近整数的函数值， 当20=x 时，|-)20(1f )20(2f |42.0=； 当21=x 时，|-)21(1f )21(2f |1.0=。 因此，甲组为21人，乙组为31人，完成任务时间最短。 [简要评述] 增强应用意识，提高学生学习数学的兴趣 例8：已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ， 有f (x ＋T )=T f (x )成立． （1）函数f (x )= x 是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数 f (x )= a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与y=x 的图象有公共点，证明：f (x ) = a x ∈M. [思路分析] (1)对于非零常数T ，f (x ＋T)=x ＋T ， T f (x )=T x ． 因为对任意x ∈R ，x ＋T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ? (2)因为函数f (x ) = a x (a ＞0且a ≠1)的图象与函数y=x 的图象有公共点， 所以方程组：???==x y a y x 有解，消去y 得a x =x ， 显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T ． 于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =?=?==++ 故f (x ) = a x ∈M ． [简要评述] 开放性、探索性问题是当今高考热点问题，通过此题培养学生科学探索精神。 【热身冲刺】 一、选择题： 1．已知集合}|{}2 |{2R x x y y B R x y y A x ∈==∈==则（ D ） （A ）}4,2{=?B A （B ）}16,4{=?B A （C ）A=B （D ）B A ≠ ? 2．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 （ A ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3．已知函数x x x f +-=11lg )(，若b a f =)(，则=-)(a f （ B ） （A ） b （B ）b - （C ） b 1 （D ） b 1 4．已知函数))((b x a x f y ≤≤=，集合A={))((|),(b x a x f y y x ≤≤=},B={}0|),(=x y x ， 则B A ?的元素个数为 （ C ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）1或2 5．在x 克a %的盐水中，加入y 克b %的盐水，浓度变成c %(a ,b >0,a ≠b )，则x 与y 的函数关系式是 （ B ） （A ）y =b c a c --x （B ）y =c b a c --x （C ）y =c b c a --x （D ）y =a c c b --x 6．已知(2，1)在函数f (x )=b ax +的图象上，又知f － 1)5(=1，则f (x )等于 （ A ） （A ）94+-x （B ）73+-x （C ）53-x （D ）74-x 7．函数))(1()1(R x x f y x f y ∈--=-=和的图象 （ C ） （A ）关于原点对称 （B ）关于直线x =0对称 （C ）关于点（1，0）对称 （D ）关于直线x =1对称 8． 设函数1 1)(-+= x x x f 的反函数为)(1x f -，若)()(1 x f x g -=-，则)(x g 是 （ B ） （A ）),(+∞-∞上增函数 （B ）)1,(--∞上增函数 （C ）),1(+∞上减函数 （D ）)1,(--∞上减函数 9．若函数)0(||)(2 ≠++=a c x b ax x f 的定义域R 分成了四个单调区间，则实数c b a ,,满 足 ( C ) （A ）0,042 >>-a ac b （B ）042 >-ac b （C ）02>- a b （D ）02<-a b 10．已知命题p ：若n S 是无穷等差数列}{n a 的前n 项和，则点列),{n S n 在一条抛物线上， 命题q ：若实数,1>m 则01)22(2 >--+x m mx 的解集是R 。又知s 是p 的逆否命题， r 是q 的逆命题，那么下列判断正确的是 （ C ） （A ）s 是假命题，r 是真命题 （B ）s 是真命题，r 是真命题 （C ）s 是假命题，r 是假命题 （D ）s 是真命题，r 是假命题 二、填空题： 11．下列命题（1）}1,1{}1|),){(3(},,1|{)2(},0{22-==∈+?∈x y x R x x x φφ， },14|{},12|){4(Z k k x x Z k k x x ∈±==∈+=},12|{},4|){5(Z k k x x Z k k x x ∈=?∈=≠ 中正确的是 （1）（3）（5） （把所有错误的序号全填上） 12．方程192 14=-+x x 的解集为 {2} 13．设A=}2 ,3, 0,3 ,{ππππ- -， B=}1,2 1,0,1{-，定义x x f cos :→是A 到B 的函数，x x g π→: 是B 到A 的映射，若2 )]([π = x f g ，则x = 3 π ± 14．设函数的取值范围是则若0021 ,1)(,. 0,, 0,12)(x x f x x x x f x >??? ??>≤-=-),1()1,(+∞?--∞ 三、解答题： 15．已知函数2)(,2 )(2+?=+= x x x h x x x g ，)()()(x h x g x f 与是的积， 求：)(x f 解析式，并画出其图象； 解：)02(2)(),2()()()(2 ≠-≥+=∴+=?=x x x x x f x x x h x g x f 且 图略 16．.函数1 2)(--= x x x f 的定义域为集合A ，关于x 的不等式)(222R a x a ax ∈<+的解集为 B ，求使B A A =的实数a 的取值范围. 解：}21|{≤<=x x A ，})12(|{a x a x B <-= 则当21> a 时，}12|{-<=a a x x B ；当21=a 时，B=R ；当21 2|{->=a a x x B 又B A A B A ??=? ，则 ?????∈?>->)32,21(22121a a a a ，A B A a =?=∴,21成立?? ???≤-<1 1221a a a ，?? ???-∞∈?< ≥<)21,(21,121a a a a 综上所述：)3 2 ,(-∞∈a 17．对于函数),()(2 R b a b ax x x f ∈++=，当]1,1[-∈x 时，|)(|x f 的最大值为m ， 试用反证法证明：2 1≥m 证明：假设21< m ，则2 1 )1(,21)1(<- ??? ? ????? ?<+-?<++?<=) 3(211)2(211)1(21)0(b a b a b f ，由（2）（3）得?????-<<-?-<-<--<<-?-<+<-212321231232123b a b b b a 2 1 <∴b 与（1）矛盾,所以原命题成立。 18．已知函数1 8)(2 2+++=x b x ax x g 的值域是[1，9]，试求函数b x ax x f ++=8)(2 的定义域和值域。 解：)(x g 的定义域为R ，令)(x g y =，则有.08)(2 =-+--b y x x a y 若a y ≠，由,0≥?得,0))((464≥---b y a y 即016)(2 ≤-++-ab y b a y 。 ,91b a +=+∴且1691-=?ab ，5==∴b a 。 若a y =，取5=a ，则]9,1[∈y 成立。 585)(2++=∴x x x f ，而585,0100642/++∴<-=?x x 恒成立， 又5 959)251658(55852 2≥+++=++x x x x ∴函数)(x f 的定义域为R ，值域是),553 [+∞ 19．是否存在常数R k ∈，使)2()2()(2 4k x k x x f -+-==，在]1,(--∞上是减函数， 且在 )0,1[-上是增函数？ 提示：由题意知,1-=x 是函数)(x f 的一个极值点，由,)2(24)(3 x k x x f -+=' 令,0|)(1='-=x x f 得,4=k )1)(1(444)(3 -+=-='∴x x x x x x f ，故 当]1,(--∞∈x 时，)(,0)(x f x f ≤'为减函数； 当)0,1[-∈x 时，)(,0)(x f x f ≥'为增函数，,4=∴k 适合题意 20． 已知集合A={x |x 2＋3x ＋2 ≥0}，B={x |mx 2－4x ＋m －1＞0 ，m ∈R}， 若A ∩B=φ， 且A ∪B=A ，试求实数m 的取值范围． [思路分析]由已知A={x |x 2＋3x ＋20≥}，得=?-≥-≤=B A x x x A 由或},12|{φ得： (1)∵A 非空 ，∴B=φ； (2)∵A={12|-≥-≤x x x 或}，∴}.12|{-<<-=x x B 另一方面， A B A B A ?∴=?,， 于是上面(2)不成立，否则R B A =?，与题设A B A =?矛盾．由上面分析知，B=φ． 由已知B={ } R m m x mx x ∈>-+-,014|2 ，结合B=φ， 得对一切x 014,2 ≤-+-∈m x mx R 恒成立，于是， 有m m m m m ∴-≤ ?? ?≤--<217 10 )1(4160解得的取值范围是}2 17 1|{-≤ m m {}9B =,;B A =B B = )()(); U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+ ()()card B card A B - ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有两相)(,2121x x x x <有两相等a b x x 221- ==无实根 有意义的 ①一个命题的否命题为真，它的逆 命题一定为真. （否命题?逆命 题.）②一个命题为真，则它的逆 否命题一定为真.（原命题?逆 否命题.） 4.反证法是中学数学的重要方法。 会用反证法证明一些代数命题。 充分条件与必要条件 答案见下一页 数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案 例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3 a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集 合中元素用字母表示，检验必不可少。 例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④ 例7填2 例8C 例9? 例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y |y =f (x )，x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y =x 2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。 例11填?注：点集与数集的交集是φ. 例12埴?,R 例13解：∵C U A = {1，2，6，7，8} ,C U B = {1，2，3，5，6}, ∴(C U A)∩(C U B) = {1，2，6} ,(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8}, A ∪ B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-; 例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332 2x R x x ??∈-<-+-->+?? ≥或,即3344123x x x x ? 2或x <31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x < 31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1- 一. 本周教学内容： 集合与简易逻辑 知识结构： 【典型例题】 例1. 已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有 A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 解：集合A可有三类：第一类是空集；第二类是A中不含奇数；第三类是A中只含一小结：应充分理解“至多”两字，然后进行分类计数。 例2. 设全集I=R，集合A={x|(x－1)(x－3)≤0}，B={x|(x－1)(x－a)<0}且 解：解不等式(x－1)(x－3)≤0，得1≤x≤3，故A={x|1≤x≤3}，当a<1时， 是[1，3] 小结：这类问题一般可采用画数轴进行分析解决。 例3. 解： 小结：此题将解方程与集合运算有机地结合起来，对解题能力的要求略高一些，当然 例4. 解不等式|x+2|+|x|>4 解法一： 综上可知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>1} 解法二：不等式|x+2|+|x|>4表示数轴上与A(－2)，O(0)的距离之和大于4的点，如图所示。 小结：①我们常用脱去绝对值的方法来解含有绝对值的不等式，即零点分区间法，其实质是转化为分段求解，如解法一。 ②解法二是充分考虑绝对值的几何意义，从形的方面来考虑的，解决任何一个数学问题都要养成从数、形两个方面去思考的习惯，数形结合是数学中的一种基本的思维方法。 例5. 若关于x的不等式x2－ax－6a<0的解集为一开区间，且此区间的长度不超过5，试求a的取值范围。 解： 小结： 解a的范围。但韦达定理不能保证有实根，故应注意Δ>0这一条件。 例6. 解： 依题意有： 小结：关于方程根的讨论一般用函数的观点和方法去解决会使问题简洁。 例7. 等差数列{a+bn|n=1，2，…}中包含一个无穷的等比数列，求a，b（b≠0）所需满足的充分必要条件 解：设有自然数n1 集合与简易逻辑 知识点整理 班级： 姓名： 1.集合中元素的性质（三要素）： ； ； 。 2.常见数集：自然数集 ；自然数集 ；正整数集 ； 整数集 ；有理数集 ；实数集 。 3.子集：A B ?? ； 真子集：A B ≠ ?? ； 补（余）集：A C B ? ； 【注意】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 4.交集：A B ?? ； 并集：A B ?? 。 笛摩根定律：()U C A B ?= ；()U C A B ?= 。 性质：A B A ?=? ；A B A ?=? 。 5.用下列符号填空: "","","","","",""≠ ∈???=≠ 0 N ；{}0 R ；φ {}0；{}1,2 {}(1,2)；{}0x x ≥ {} 0y y ≥ 6.含绝对值的不等式的解法：【注意】含等号时端点要取到。 x a < (0)a >的解集是 ；x a > (0)a >的解集是 。 (0)ax b c c +<>? a x b <+< ；(0)ax b c c +< 一元二次不等式2 0ax bx c ++>(0)a ≠恒成立? 。 一元二次不等式2 0ax bx c ++≥(0)a ≠恒成立? 。 9．简单分式不等式的解法： () 0()f x g x > ?()()0f x g x ?>?()0()0f x g x >??>?或()0()0f x g x ；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>?；则p q 是的 条件； 若p q ?；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>≠>；则p q 是的 条件。 高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1.集合用列举法表 2.设集合，，则 3.已知集合，，则集合_ 4.设全集，集合，，则实数a 的值为_____． 【范例解析】 例.已知为实数集，集合.若，或，求集合B . 【反馈演练】 1．设集合，，，则=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =，则P +Q 中元素的个数是______个． 3．设集合，. （1）若，求实数a 的取值范围； {(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈{21,}A x x k k Z ==-∈{2,}B x x k k Z ==∈A B ?={0,1,2}M ={2,}N x x a a M ==∈M N ?={1,3,5,7,9}I ={1,5,9}A a =-{5,7}I C A =R 2{320}A x x x =-+≤R B C A R ?={01R B C A x x ?=<<23}x <<{ }2,1=A {}3,2,1=B {}4,3,2=C ()C B A U ?},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q 2{60}P x x x =--<{23}Q x a x a =≤≤+P Q P ?= 集合、简易逻辑 知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； 一、选择题： 1．已知集合A ={}31<<-x x ，B ={}52≤ [课题]第一章集合与简易逻辑测试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合A={x|x≤}，a=3，则( ) A.a A B.a A C.{a}∈A D.{a} A 2.集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，Q={y|y=3l+1，l∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z}之间的关系是( ) A.S Q M B.S=Q M C.S Q=M D.S Q=M 3.若A={1，3，x}，B={x2，1}，且A∪B=A，则这样x的不同取值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.符合条件{a}P{a，b，c}的集合P的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.若A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|x2-6x+8＜0}，C={x|2x2-9x+a＜0}，(A∩B)C，则a的取值范围是( ) A.a≤10 B.a≥9 C.a≤9 D.9≤a≤10 6.若a＞0，使不等式|x-4|+|3-x|＜a在R上的解非空，则a的值必为( ) A.0＜a＜1 B.0＜a≤1 C.a＞1 D.a≥1 7.集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-5x+6≥0}，则A∩B= ( ) A.{x|1≤x≤2，或3≤x≤4} B.{x|1≤x≤2，且3≤x≤4} C.{1，2，3，4} D.{x|1≤x≤4或2≤x≤3} 8.如果方程x2+(m-3)x+m的两根都是正数，则m的取值范围是( ) A.0＜m≤3 B.m≥9或m≤1 C.0＜m≤1 D.m＞9 9.由下列各组命题构成“P或Q”，“P且Q”，“非P”形式的复合命题中，“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，“非P”为真命题的是( ) 2013高考数学基础检测：01专题一-集合与简易逻辑 专题一 集合与简易逻辑 一、选择题 1．若A={x ∈Z|2≤22-x <8}, B={x ∈R||log 2x|>1}， 则A ∩(C R B)的元素个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．命题“若x 2<1，则-1 {x|x>0}=ф，则实数m 的取值范围是_________． 10．（2008年高考·全国卷Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充分条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件①_____________________； 充要条件②_____________________．（写出你认为正确的两个充要条件） 11．下列结论中是真命题的有__________（填上序号即可） ①f(x)=ax 2+bx+c 在[0, +∞)上单调递增的一 个充分条件是-2a b <0； ②已知甲：x+y ≠3；乙：x ≠1或y ≠2．则甲是乙的充分不必要条件； ③数列{a n }, n ∈N * 是等差数列的充要条件是 P n (n, n S n )共线． 三、解答题 12．设全集U=R ，集合A={x|y=log 2 1 (x+3)(2-x)}, B={x|e x-1 ≥1}． （1）求A ∪B ； （2）求(C U A)∩B ． 课 题：1.1集合－集合的概念（1） 教学过程： 一、复习引入： 1．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）； 2．“物以类聚”，“人以群分”； 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？ （2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有关概念 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素. 定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合． 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合。记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合。记作R {} 数轴上的点所对应的数 =R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括 数0 （2）非负整数集内排除0的集，记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示， 例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 3、元素对于集合的隶属关系 （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 4、集合中元素的特性 函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{} A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为 B A f →: ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 [误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a [正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而 高考数学概念方法题型易误点技巧总结（一） 集合与简易逻辑 基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若 {0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。 （答：8）（2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________（答：5,1<->n m ）；（3）非空集合 }5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6” ，这样的S 共有_____个（答：7） 2.遇到A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2 a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??； ⑵A B B B A =??；⑶A B ?? u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???痧； ⑸u A B U A B =??e； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =） 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如 （1）设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =___（答： [4,)+∞） ；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+， }R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--） 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函 数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使 0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3(3,)2 -） 7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或 集合与简易逻辑专题训练 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1、下列表示方法正确的是 A 、1?{0,1,2} B 、{1}∈{0,1,2} C 、{0,1,2}?{0,1,3} D 、φ {0} 2、已知A={1，2，a 2－3a －1},B={1,3},=B A {3,1}则a 等于 A 、-4或1 B 、-1或4 C 、-1 D 、4 3、设集合},3{a M =，},03|{2 Z x x x x N ∈<-=，}1{=N M ，则N M 为 A 、 {1,3,a} B 、 {1,2,3,a} C 、 {1,2,3} D 、 {1,3} 4、集合P=},2|),{(R x y x y x ∈=-，Q=},2|),{(R x y x y x ∈=+，则P Q A 、（2，0） B 、{（2，0 ）} C 、{0，2} D 、{}|2y y ≤ 5、下列结论中正确的是 A 、命题p 是真命题时，命题“P 且q ”一定是真命题。 B 、命题“P 且q ”是真命题时，命题P 一定是真命题 C 、命题“P 且q ”是假命题时，命题P 一定是假命题 D 、命题P 是假命题时，命题“P 且q ”不一定是假命题 6、“0232=+-x x ”是“x=1”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 7、一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 A 、真命题的个数一定是奇数 B 、真命题的个数一定是偶数 C 、真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D 、上述判断都不正确 8、设集合},2|{Z n n x x A ∈==，},2 1 |{Z n n x x B ∈+==，则下列能较准确表示A 、B 关系的图是 9、命题“对顶角相等”的否命题是 A 、对顶角不相等 B 、不是对顶角的角相等 金华中学2010届高三第一轮复习《集合与简易逻辑》单元测试 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分） 1.设合集U=R ，集合}1|{},1|{2 >=>=x x P x x M ，则下列关系中正确的是（ ） A ．M=P B ．M P C ． P M D ．M ?P 2．如果集合{ }8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ， 那么( A U )B I 等于 （ ） (A){}5 (B) { }8,7,6,5,4,3,1 (C) {}8,2 (D) {}7,3,1 3．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若 }6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是( ) （ ） (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 4. 设集合{}21|<≤-=x x A ，{}a x x B <=|，若φ≠B A I ，则a 的取值 范围是( ) （A ）2a （C ）1->a （D ）21≤<-a 5． 集合A ＝｛x |1 1 +-x x ＜0｝，B ＝｛x || x －b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件， 则b 的取值范围是 （ ） （A ）－2≤b ＜0 （B ）0＜b ≤2 （C ）－3＜b ＜－1 （D ）－1≤b ＜2 6．设集合A ＝｛x | 1 1 +-x x ＜0}，B ＝｛x || x －1|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ ”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 7. 已知23:,522:>=+q p ,则下列判断中，错误．．的是 （ ） (A)p 或q 为真，非q 为假 (B) p 或q 为真，非p 为真 (C)p 且q 为假，非p 为假 (D) p 且q 为假，p 或q 为真 8．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1<0和a 2x 2 ＋b 2x ＋c 2<0的解集分别为集合M 和N ，那么“111222 a b c a b c ==”是“M ＝N ” ( ) （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 9．“2 1 = m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的 （ ） (A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 10. 已知01a b <<<，不等式lg()1x x a b -<的解集是{|10}x x -<<，则,a b 满足的关系是( ) （A ）1110a b -> （B ）1110a b -= （C ）1110a b -< （D ）a 、b 的关系不能确定 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 11．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数” 的充要条件 ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中为真命题的是 12．若集合{ }x A ,3,1=，{}2 ,1x B =，且{}x B A ,3,1=Y ，则=x 13．两个三角形面积相等且两边对应相等，是两个三角形全等的 条件 14．若0)2)(1(=+-y x ，则1=x 或2-=y 的否命题是 15．已知集合M ＝{x |1≤x ≤10，x ∈N }，对它的非空子集A ，将A 中每个元素k ，都乘以(－1)k 再求和(如A={1，3，6}，可求得和为(－1)·1＋(－1)3·3＋(－1)6·6＝2， 则对M 的所有非空子集，这些和的总和是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 第一章 集合与简易逻辑 一、集合的定义小测 姓名 ： 座号： 1、下列对象中不能组成集合的是（ B ） A.所有小于10的自然数； B.某班个子高的同学 C.方程012=-x 的所有解 D.不等式02>-x 的所有解。 2、指出下列各集合中，（ C ）集合是空集。 A.方程60x +=的解集； B.方程012=-x 的解集 C.大于-4且小于-2的所有偶数组成的集合 D.方程226>0x x -+的解集 3、指出下列各集合中，(B )是空集,( A)是有限集,(C D )是无限集. A.{|10}x x += B.2{|10}x x += C.{(,)|}x y x y = D.{|50}x x -≤< 4、用符号“∈”或“?”填空 1）3- ? N 5.0 ? N 3 ∈ N 2)5.1 ? Z 5- ∈Z 3 ∈ Z 3)2.0- ∈ Q π ?Q 21.7∈ Q 4) 5.1∈ R 2.1- ∈ R π ∈ R 5、用列举法表示下列各集合； 1）大于-4且小于12的所有偶数组成的集合{2,0,2,4,6,8,10}- ； 2）方程2560x x -+=的解集 {2,3} ； 6、描述法表示下列各集合 1）小于5的所有整数组成的集合 {|5,}x x x Z <∈ ； 2）不等式210x +≤的解集 1{|}2 x x ≤- ； 3）所有的奇数组成的集合 {|21,}x x k k Z =+∈ ； 4）在直角坐标系中，由x 轴上所有的点组成的集合 {(,)|0}x y y = ； 5）在直角坐标系中，由第一象限的所有点组成的集合 {(,)|0,0}x y x y >> 。 7、用列举法表示下列各集合； 1）方程2340x x --=的解集；2）方程430x +=的解集； {1,4}- 3{}4- 3）由数1，4，9，16，25组成的集合；4）所有的正奇数组成的集合 {1，4，9，16，25} {|21,}x x k k N =+∈ 7、描述法表示下列各集合 1）大于3的所有实数组成的集合 {|3}x x > ； 2）小于20的所有自然数组成的集合 {|20,}x x x N <∈ ； 3）大于5的所有偶数组成的集合 {|2,,2}x x k k N k =∈> ； 4）不等式450x -<的解集 5{|}4x x < ； 5）由第四象限所有点组成的集合 {(,)|0,0}x y x y >< ； 8、用列举法表示下列各集合； 1）小于5的所有正整数组成的集合； {1，2，3，4} 集合、简易逻辑 集合知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为 A ? B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； 命题知识梳理： 1、命题：可以判断真假的语句叫做命题。（全称命题 特称命题） ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 泰安三中北校高二数学滚动测试卷3 1下列命题中的假命题是 C. V XG R,x 3 > 0 D. \/xeR,2x >0 }, B=|)j I y = x 2 f x w /?},则 AnB=() B. {xlx>0} D. 0 3?已知a>0,则xo 满足关于x 的方程ax=b 的充要条件是 (A)3x G R.—ax 1 -bx > —ax^ -bx^ (B) 3x e R.—ax 1 -bx < —axi -bx a 2 2 2 2 (C) Vx w /?, * ax 2 -bx>^ axl 一 bx () (D) Vxe ax 2 -bx < ax ： - bx 0 4. i(m<丄”是“一元二次方程兀2 + x + m = 0ff 有实数解的 4 A.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.罪充分必要条件 8. 函数y = J16二4^的值域是 (B) [0,4] (D) (0,4) 9. 设于（兀）为定义在/?上的奇函数，当兀》 （）时, f(x) = 2x +2x+b (b 为常数),则/(-!) = 5 ?已知函数/（X ） = log 3 x,x>0 2\x<0 A.4 1 B.— 4 C.-4 6 ?隊[数 y = . 1 = Jlog°.5(4x_3) 的定义域为 3 3 A.( -,D B(--) 4 4 7?隊|数f (%) = log 2(3X +1)的值域为 C (1, +°°) 3 D.( -,1)U (1, +8) 4 A. (0,+ 第一章集合与简易逻辑小结 Summary of the first chapter set and simple l ogic 第一章集合与简易逻辑小结 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 教学目的：⒈理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式的解法．⒉理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件的意义．教学重点： 1.有关集合的基本概念; 2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件教学难点： 1.有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系; 2.对一些代数命题真假的判断. 授课类型：复习授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合 部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识．教学过程：一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】：【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】 1、等价转化的数学思想； 2、求补集的思想； 3、分类思想； 4、数形结合思想．【解题规律】 1、如何解决与集合的运算有关的问题: 1）对所给的集合进行尽可能的化简； 2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系； 3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素． 2．如何解决与简易逻辑有关的问题： 1）力求寻找构成此复合命题的简单命题； 2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题二、基本知识点：集合： 1、集合中的元素属性：集合与简易逻辑知识点归纳(1)
高中数学专题 集合与简易逻辑
集合与简易逻辑知识点整理
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第一章集合与简易逻辑小结