马克思主义基本原理知识点大全

马克思主义基本原理知识点大全
马克思主义基本原理知识点大全

一、唯物论(2个核心、2大原理)

2个核心:物质、意识

2大原理:唯物主义一元论(世界物质统一性原理)、物质和意识辩证关系原理

二、辩证法(2个核心、3大规律、4对范畴)

2个核心:联系、发展

3大规律:质变量变律、否定之否定、对立统一律

4对范畴:现象与本质、必然与偶然、原因与结果、可能与现实

三、认识论(3个核心、3大规律)

3个核心:实践、认识、真理

3大规律:实践与认识的辩证关系原理、认识发展律、真理发展律

四、历史观(2个核心、2大规律)

2个核心:社会、人

2大规律:社会发展律、社会发展与人的发展律

一、唯物论(2个核心、2大原理)

2个核心:物质、意识

物质(客观实在性)

物质是标志客观实在的哲学范畴,物质是对一切可感知的事物的共同本质的抽象,它的唯一特性是客观实在性。

意识(反映性)

1、(起源)意识与人脑:意识是人脑的机能,人脑是意识的物质器官。

2、(本质)意识与客观存在:

(近似、能动、原形)意识是对客观存在近似的、能动的反映;任何意识都是客观存在的反映,都能从客观实在找到原形,也即没有被反映者就没有反映。

(内容与形式)意识的内容是客观的,但形式是主观的;意识体现了客观内容和主观形式的统一。

2大原理:唯物主义一元论(世界物质统一性原理)、物质和意识辩证关系原理

唯物主义一元论(世界物质统一性原理)

(多样性的统一性在于物质性)世界是多样的,又是统一的;世界的统一性在于物质性;物质世界的统一,是多样性的统一:自然界和人类社会都具有物质统一性。

物质和意识辩证关系原理(意识对物质的依赖性原理、意识能动性原理)

1、意识对物质的依赖性原理,即物质第一性、意识第二性,意识的起源和本质的原理。

2、意识的能动作用,亦称为主观能动性,指意识能动地反映世界和指导实践,通过实践改造世界的能力和活动,是人之所以区别于物的特点。具体3表现①认识世界;②指导实践、改变世界;③对人体生理活动的控制和调节。

二、辩证法(2个核心、3大规律、4对范畴)

2个核心:联系、发展

联系(客观性、普遍性、多样性)

1、(内部要素及相互之间的关系)联系是指事物内部诸要素之间以及事物之间的相互影响、相互作用和相互制约。

2、(客观性)联系是客观的,凡真实的联系都是事物本身所固有的,人们可以从事物的固有联系中把握事物,但决不能用臆想的联系代替真实的联系,否则将陷入诡辩论。

3、(普遍性)联系是普遍的,任何事物内部和外部都处在相互联系之中,世界是相互联系的统一整体,每一事物都是世界普遍联系中的一个环节并通过它体现出联系的普遍性。

4、(多样性)联系在内容上和形式上是多种多样的。

PS:联系的普遍性造成了物质世界普遍地以系统的形态存在。

引申概念:系统(整体性、结构性、层次性和开放性)

a、(整体性)系统具有其部分在孤立状态下所没有的整体特性;

b、(结构性)系统的性质不仅取决于构成系统的各要素的性质,更取决于这些要素的组成方式即结构。

发展(永恒性、普遍性)

1、(实质)是新事物的产生和旧事物的灭亡;(本质)是创新。

2、(永恒性、普遍性)过程论5要点:a、世界上没有永恒存在的事物;b、一切事物都是运动、变化、发展的;c、一切事物都有其产生、发展和转化为其他事物的历史;d、一切事物都有它的过去、现在和未来;e、因此世界是过程的集合体,而不是具体事物的集合体。

3大规律:质变量变律、否定之否定、对立统一律

质变量变律(区别与联系-转化与渗透)

1、质、量、度

a、质是一事物成为它自身并区别于他事物的规定性。质和事物存在是直接同一的。

b、量是事物存在和发展的规模、程度、速度以及它的构成成分在空间的排列组合等可以用数量表示的规定性。量和事物存在不是直接同一的。

C、度是事物保持自己质的量的范围、幅度和限度。要掌握适度原则。

2、量变和质变的关系

a、区别:量变是事物数量的增减和场所的变更,体现了事物的连续性;质变是事物由一种质态向另一种质态的飞跃,是事物根本性质的变化,是连续性的中断(即非连续性)。量变一般不显著,速度缓慢,质变则变化显著、迅速;事物变化是否超越量变的范围是区分量变和质变的根本标志。量变和质变的区别具有相对性。

b、联系:相互转化和相互渗透

相互转化:量变向质变转化,量变是质变的必要准备,质变是量变的必然结果;质变向量变转化,质变体现和巩固量变的成果,并为新的量变开拓道路;

相互渗透:量变中渗透质变,即在总的量变过程中包含部分质变;质变中渗透量变,即在质变中包含新质在量上的扩张。

3、事物的发展就是这样由量变到质变,由部分质变到根本质变,在新质的基础上又开始新的量变,如此循环往复、相互交替、以至无穷。

否定之否定(辩证否定观、否定之否定)

1、辩证否定观

a、任何事物都包含肯定和否定两种因素,肯定是事物中保持其存在的因素,否定是事物中促使其灭亡的因素;

b、肯定和否定既是对立的,又是统一的,它们相互依存、相互渗透;

c、辩证的否定是事物内在矛盾引起的客观的自我否定:它是发展和联系环节的辩证统一,即扬弃。

2、否定之否定

辩证的否定是经历两次否定、三个阶段的有规律的过程,即“肯定―否定―否定之否定”的过程。事物的这种否定之否定过程,从内容上看,是自己发展自己、自己完善自己的过程;从形式上看,是螺旋式上升或波浪式前进的过程。

对立统一律(矛盾规律)(同一与斗争、内因与外因、普遍与特殊、两点与重点)

1、矛盾同一性和斗争性辩证关系原理

斗争性是指矛盾双方之间相互分离、相互排斥的性质和趋势,同一性是指矛盾双方之间相互联系、相互吸引的性质和趋势。矛盾的斗争性和同一性是相互联结、相互制约的:同一性不

能脱离斗争性而存在,没有斗争性就没有同一性;斗争性也不能脱离同一性而存在,斗争性寓于同一性之中。

2、内外因辩证关系原理

矛盾推动事物的发展,说明事物发展的根本原因不在事物的外部,而在事物内部的矛盾性。内因是事物发展的根本原因,是变化的根据;外因是事物发展的第二位的原因,是变化的条件,外因通过内因而起作用。

3、矛盾的普遍性和特殊性的辩证关系原理

a、矛盾的普遍性和特殊性的关系即共性和个性、一般和个别、绝对和相对的关系,它们既有区别,又有联系;

b、区别:普遍(一般)只大致包括特殊(个别)的一部分、一方面或本质;任何个别都不能完全被包括在一般之中;

c、联系:一般存在于个别之中,只能通过个别而存在;任何个别都是一般,都具有一般的本质或属性。任何事物都是普遍和特殊的统一。普遍和特殊的区别是相对的,在一定条件下可以相互转化。

4、两点论和重点论的辩证关系原理

a、两点论就是要同时看到主要矛盾和非主要矛盾、矛盾的主要方面和非主要方面以及主次之间的辩证关系,不能只看一方面而忽视另一方面;

b、重点论就是在看到两个方面的同时,必须分清主次,抓住主要矛盾和矛盾的主要方面;

c、坚持两点论反对一点论,坚持重点论反对均衡论;坚持两点论中的重点论,重点论以两点论为前提;两点论和重点论是统一的。

4对范畴:现象与本质、必然与偶然、原因与结果、可能与现实(辩证关系)

现象与本质

1、现象和本质是揭示客观事物的外部表现和内在联系相互关系的一对范畴。

2、区别与对立:

a、本质是事物的根本性质和事物基本要素的内在联系;现象是事物的外部联系和表面特征。

b、现象中有真象和假象。真象是从正面表现本质的现象,假象是从反面歪曲表现事物本质的现象,不能把它同标志主观反映范畴的错觉混为一谈。

c、现象和本质的区别与对立具体表现为:其一,现象是个别的、片面的。本质是同类现象的共性。其二,现象是多变的,易逝的;本质是相对稳定的。其三,现象表现于外,是表面的,可为人的感官直接感知;本质深藏于内,是深刻的,靠理性思维才能把握。其四,现象是丰富多样的,本质是单纯的。

3、辩证统一:

本质是现象的根据,决定现象,总要通过现象来表现;现象总是表现着本质,没有不表现本质的现象:一切事物都有现象和本质的辩证统一。

必然与偶然

1、必然性和偶然性是揭示事物产生、发展、灭亡不同趋势的一对范畴。

2、区别与对立:

a、必然性是指在事物发展中一定如此的趋势;偶然性是事物发展中并非必定发生的、不确定的趋势;

b、必然性是由事物内部的根本矛盾决定的;偶然性是由非根本矛盾决定的;

c、必然性对事物的发展起决定作用,它决定事物的发展方向;偶然性则对事物的发展起影响作用,它加速或延缓事物的发展。

3、相互依存和相互转化:

a、相互依存:必然性存在于偶然性之中,并通过大量的偶然性表现出来;

b、偶然性一定与必然性相互联系而存在,偶然性背后隐藏着必然性,偶然性是必然性的表现形式和补充,偶然性为必然性的发展开辟道路;

c、在一定条件下,两者是可以相互转化的。

原因与结果

1、原因和结果是揭示事物的前后相继、彼此制约关系的一对范畴。

2、关系特点:因果联系有时间顺序的联系,总是原因在前结果在后,但并非任何前后相继现象存在因果关系。

3、辨证关系:(相互依存、相互作用、相互转化)

a、相互依存:有因必有果,有果必有因,没有无因之果和无果之因;

b、相互作用:原因引起结果,结果又反作用于原因,使结果转化为原因,原因则转化为结果。

c、相互转化:原因和结果的区分是确定的,又是不确定的。在特定的因果链条中,原因和结果的区分是确定的,不能例因为果或倒果为因。在不断发展的因果链条中,两者的区分又是不确定的,即在一定条件下相互转化,也就是“原因和结果经常交换位置”;

4、因果联系具有客观普遍性和复杂性。

PS:否认因果关系的客观性-非决定论-唯心主义

可能与现实

1、可能性和现实性是揭示事物的过去、现在和将来的相互关系的一对范畴。

2、相互对立:

a、现实性是指现在的一切事物和现象的实际存在性,是已经实现了的可能性。

b、可能性是指包含在现实事物中、预示着事物发展前途的各种趋势。

3、可能性的复杂性及可能性和现实性的相互依存和转化

a、把握可能性这一范畴,要注意区分:可能和现实;可能和不可能;现实的可能和抽象的可能即非现实的可能(看根据和条件是否充分,前是后非);多种可能性(特别是两种相反的可能);性的量,即概率的大小。

b、立足现实,认识可能性的复杂性,创造条件使事物的可能性成为现实。

三、认识论(3个核心、3大规律)

3个核心:实践、认识、真理

实践(物质性、直接现实性、主观能动性、社会历史性)

1、(主观见之于客观)实践是人类特有的“主观见之于客观”的一切活动,特别是改造物质世界的对象性活动。

2、基本特征:

a、(物质性)唯物主义实践观与唯心主义实践观的区别;

b、(直接现实性)实践与认识的区别;

c、(主观能动性)人的实践活动与生物消极适应活动的区别;

d、(社会历史性)实践是人和社会的存在方式。

3、基本形式:物质生产;社会关系;科学实验及精神生产实践。

认识(反映论、能动性、创造性)

1、(能动的反映论)认识是在实践基础上主体对客体的能动反映。

a、坚持了唯物主义反映论原则,认为认识是主体对客体的反映;

b、揭示出人的认识所具有的能动性和创造性的特征;

c、强调能动性和反映性在实践基础上的统一,主体对客体的能动反映是以实践为中介而实现的。

2、(能动性)主体反映客体的过程就是主体获取并加工、处理客体信息的过程,需要发挥人

的信息选择机制和信息重构机制的作用。

3、(创造性)人的认识不仅仅是客观事物的“摹本”,并且为改造客观事物提供“蓝图”。

真理(客观性、具体性)

1、(真理和谬误相伴而生,既有原则区别,又相互包含和转化)真理是客观事物及其规律在人的意识中的正确反映。

2、(客观性)a、真理中包含着不以人的意志为转移的客观内容;b、检验真理的标准是客观的社会实践。

3、(具体性)真理的具体性是指真理是在一定时间、地点、条件下主观对客观的符合,它要受条件的制约,并随条件的变化而变化;离开具体的时间、地点和条件,真理就是抽象的、无意义的。

3大规律:实践与认识的辩证关系原理、认识发展律、真理发展律

实践与认识的辩证关系原理(实践决定认识,认识指导实践)

1、实践是认识的基础,它对认识具有决定作用,具体表现在:实践是认识的(源泉),实践是认识发展的(动力),实践是检验认识是否具有真理性的根本(标准),实践是认识的最终(目的)。

2、认识对于实践也有巨大的反作用:实践作为主观见之于客观的活动,本身就包含(认识的因素),需要以正确的认识作先导;认识活动及其成果具有(相对独立性),遵循其特有的逻辑;认识能够反过来(指导)实践。

3、认识反作用于实践有两种情况:a、正确的理论指导实践会促进实践;b、错误的理论指导实践会阻碍或破坏实践。

认识发展律(认识发展是从感性到理性、反复与无限的过程)

感性认识和理性认识的辩证关系(相互区别、相互依赖)

1、相互区别:

a、感性认识是认识的低级阶段;理性认识是认识的高级阶段。

b、感性认识是客观事物直接作用于人的感官而产生的对事物表象的认识;理性认识是在感性材料的基础上通过抽象和概括对事物本身及规律的认识。

c、感性认识通过感觉、知觉、表象三种形式反映;理性认识则通过概念、判断、推理三种形式来反映。

d、感性认识反映事物的现象;理性认识反映事物的本质。

2、相互依赖:

a、理性认识依赖于感性认识。感性认识是认识活动的起点。

b、感性认识有待于发展到理性认识,这是认识的任务。

c、感性认识和理性认识是相互包含,相互渗透的。

d、感性认识和理性认识是辩证统一的,统一的基础是时间。

3、割裂感性认识和理性认识的辩证关系会导致唯理论或经验论的错误。

PS1:理性因素与非理性因素

1、认识过程主要是理性思维的过程,同时又包含非理性因素的参与。

2、理性因素是指人的理性直观、理性思维等能力,它在认识过程中起主导作用;

3、非理性因素是指人的情感、意志,包括动机、欲望、信念、信仰、习惯、本能等,以非逻辑形式出现的幻想、想象、直觉、灵感等也属于非理性因素。非理性因素对人的认识活动的发动与停止、对主体认识能力的发挥与抑制起着重要的控制和调节的作用。

4、非理性因素对理性因素起着动力调控的作用,同时又要受人的理性因素的决定与制约。PS2:直接经验与间接经验

1、经验属于感性认识范畴;

2、直接经验和间接经验归根到底都源于实际;

3、直接经验与间接经验是“源”与“流”的关系;

4、直接经验与间接经验都是人类知识的来源;直接经验是一切知识的最终来源。

认识的(反复性和无限性)与(认识和实践的具体的历史的统一)

1、由于客观事物本身的复杂性及发展过程的无限性,人对事物的认识要受到主观和客观条件的限制,特别是受到具体的实践水平的限制,因此,认识的发展要经过“实践、认识、再实践、再认识”的循环往复、以至无穷的过程。就某个具体事物而言,人们对它的正确认识,往往要经过由实践到认识、由认识到实践的多次反复才能完成;

2、就对于过程的推移而言,人们的认识又是一个无限发展的过程。

3、认识运动的反复性和无限性决定了主观和客观、认识和实践的统一是具体的和历史的。也就是说,人们的认识和客观过程的符合是一定的具体历史条件下的符合,是在社会实践发展的一定的具体历史阶段上的符合。反对割裂二者统一的“左”和右的错误。

PS3:理论创新与实践创新

1、创新包括理论创新和实践创新;

2、理论创新是实践创新的先导,实践创新是理论创新的基础,两者相互依赖、相互促进。真理发展律(真理发展过程中,真理与实践标准的绝对与相对)

绝对真理与相对真理的辩证关系(相互区别、相互渗透、相互联结)

1、相互区别:

a、任何绝对真理都是对客观事物及其规律的正确反映,都具有不依赖于人的(客观)内容,这是无条件的,绝对的;人的认识按其(本性)能够正确认识无限发展的客观世界,也是无条件的,绝对的。

b、相对真理是指人们在一定条件下对客观事物及其规律的正确认识是(有限)的,即真理是有条件的。从认识的广度和深度来看任何真理都是一定范围一定程度上(近似)的反映。真理有待扩展和深化。

2、相互渗透:任何相对真理中都包含着绝对真理的部分;无数绝对真理的综合构成绝对真理。

3、相互联结:真理是由相对走向绝对的永无止境的发展过程,任何真理认识都是由相对真理向绝对真理转化中的一个环节。

实践标准的绝对性与相对性(辩证统一)

1、实践标准的绝对性:(唯一、时间)

a、检验认识是否具有真理性的唯一标准只能是实践,这是无条件的,绝对的;

b、时间对一切认识最终都能作出检验,没有实践检验不了的认识。

2、实践标准的相对性:(具体、过程)

a、任何实践都是具体的,都受一定历史条件的限制;

b、实践对认识的检验不是一劳永逸的,是一个过程。

c、因此,一定历史阶段的实践对认识真理的检验是有条件的、相对的。

四、历史观(2个核心、2大规律)

2个核心:社会、人

社会(物质要素、基础、本质、结构)

(物质要素)地理环境、人口和生产方式是构成社会运动的基本的物质要素,这些要素的总和构成了人类社会的物质生活条件。

PS1:社会与自然(可持续、协调)

1、地理环境、人口因素在社会发展中的作用:

a、是人类社会赖以存在和发展的自然前提和必要条件;

b、对人类社会的发展起加速或延缓的作用;

c、维护生态平衡,自觉控制人口增长,实施可持续发展战略。

2、努力实现人类社会与自然界的协调发展:

a、社会发展是一个人类与自然协调发展的过程;

b、社会发展是合目的性和合规律性的统一;

c、将发展科技与生产力与保护生态环境有机地统一起来;

d、将人类生活的内在尺度和生态环境规律的外在尺度有机的结合起来。

(基础)社会生产实践和生产方式是人类社会存在和发展的基础。

(本质)如何理解社会的本质,这是历史观的核心问题。马克思说:“全部社会生活在本质上是实践的。”

(结构)经济结构;政治结构;观念结构

1、经济结构:基础性的结构;决定社会的政治结构、观念结构;指与生产力发展的一定阶段相适应的(生产关系的总和)。经济结构所反映的内容是生产关系、经济关系,表现为一定的社会经济制度。

2、政治结构:又称政治上层建筑,由两部分构成:政治法律(制度);政治法律(设施)。(国家政权是核心)

3、观念结构:又称思想(或观念)的上层建筑,由各种意识形态组成的有机系统,包括政治法律(思想)、道德观念、宗教观点、艺术思想和哲学等社会意识形式及其联结方式。

人(本质、价值、自由)

(本质)(唯物史观与资产阶级“人性论”的比较)

1、人的本质在其现实性上是一切社会关系的总和。人的本质是(人的社会性);资产阶级“人性论”-生物属性。

2、规定人的本质最主要的是(生产关系);资产阶级“人性论”-抽象的共性。

3、人的本质是(具体的、历史的);资产阶级“人性论”-永恒不变的人性。

4、在阶级社会,人的社会性主要表现为(阶级性);资产阶级“人性论”-超阶级的“人性论”。(价值)(唯物史观强调人的社会价值是第一位的)

1、人的价值在社会关系中存在。

2、人的价值包括两方面内容:个人对社会的责任;社会对个人的尊重和满足。

3、人的价值关系就是个人的自我价值和社会价值的关系。

PS2:真理与价值

1、真理是人对客观规律的正确认识,只有正确的认识,才符合人的利益。

2、价值体现的是客观事物对作为认识主体的人的意义,是一种主体尺度,它推动人去认识客观事物的规律。

3、认识真理和实现价值对社会都是重要的。认识真理是实现价值的前提和基础;实现价值是认识真理的动力和归宿。

(自由)(自由在本质上是一种社会状态,人的自由的真正实现就是人类的解放)

PS3:自由与必然

1、自由和必然是对立的统一;

2、必然是事物发展一定如此的规律性;自由是对必然的正确认识和对客观世界的改造;

3、自由在于认识和把握必然并利用必然来达到改造世界的目的;

4、自由是具体的、历史的,没有绝对的自由。

2大规律:社会发展律、社会发展与人的发展律

社会发展律(生产关系与生产力、上层建筑与经济基础,社会基本矛盾是社会发展的根本动力)

生产关系一定要适合生产力发展状况规律(相互制约、相互作用)

生产力和生产关系是相互制约、相互作用的:生产力决定生产关系,生产力状况决定生产关系的性质和发展;生产关系对生产力具有能动的反作用,这种反作用的性质取决于生产关系是否符合生产力的状况。

上层建筑一定要适合经济基础发展状况规律(重视上层建筑对经济基础的反作用)

1、经济基础决定上层建筑,决定它的产生、性质、变化和发展方向。

2、上层建筑对经济基础具有巨大的反作用:

a、上层建筑必须为自己的经济基础服务;(自发去服务)

b、上层建筑利用政权力量和思想影响促进自己经济基础的形成、巩固和发展,同不利于自身经济基础的旧生产关系及上层建筑作斗争;(主动来干预)

c、上层建筑对自身经济基础是起促进作用,还是阻碍作用,主要看它是否适合自身经济基础的要求。(匹配是关键)

3、上层建筑对生产力乃至整个社会发展作用的性质,取决于它所服务的经济基础的性质。服务于先进生产关系时促进生产力及社会发展,反之阻碍。

PS4:社会意识与社会存在

1、社会存在主要是指社会物质生活过程和社会物质生活条件,主要指生产方式。社会意识是精神生活,是社会存在的反映,主要是对物质资料生产方式的反映。社会意识包括社会的人的一切意识要素和观念形态。

2、社会存在决定社会意识,决定其内容、形式和产生、发展。

3、社会意识对社会存在有反作用。先进的社会意识对社会存在的发展起促进作用,反之阻碍。

社会发展与人的发展律(人民群众是历史的主体和历史的创造者)

1、生产方式是社会发展的决定力量,生产力是最终决定力量,而人民群众是(生产力的体现者);

2、人民群众是社会物质财富和精神(财富的创造者);

3、人民群众是(社会变革的决定力量),是推动社会历史由低级向高级发展的决定力量;

4、人民群众的历史创造作用受社会经济、政治、精神等条件的制约。

高中不等式知识点总结

1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解; (2)m f x g x >>0,()()与mf x mg x ()()>同解, m f x g x <>0,()()与mf x mg x ()()<同解; (3) f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解); 2.一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之,还要注意?=-b ac 2 4的三种情况,即?>0或 ?=0或?<0,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)|g(x)?f(x)>g (x)或f(x)?()()()11当时,a f x g x >>; ()()()201当时,<<?(1)当a >1时, g x f x g x ()()()>>?? ???0;(2)当01<在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚 线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式

基本不等式知识点和基本题型

基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+(2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当 b a =时取“=” (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=,求证:2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5:不等式选讲

不等式知识点汇总

不等式知识点汇总 1、不等式的基本性质 ②(传递性),a b b c a c >>?> ①(对称性)a b b a >?> ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑦(开方法则)0,1)a b n N n >>?∈>且 ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性) 0,0a b a b c d c d >>< ⑥(平方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则)b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ②(基本不等式) 2 a b +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ⑤3 3 3 3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>(当且仅当a b c ==时取到等号). ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式: 22 .2 a b ab +≤

④()2 2 2 a b c ab bc ca a b R ++≥++∈,(当且仅当a b c ==时取到等号). ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 3 ()a b c R + ∈、、(当且仅当 a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号)0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 2 2 .x a x a a x a >>>,,规律:小于1同加则变大, 大于1同加则变小. ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式: 112a b a b --+≤≤ +()a b R + ∈, (当且仅当a b =时取 ""=号).(即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式:2 22 ;22a b a b ab ++??≤≤ ??? 222 ().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式:222212121 ...(...).n n a a a a a a n +++≥+++ ③≥1122(,,,).x y x y R ∈ ④二维形式的柯西不等式2 2 2 2 2 ()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当 ad bc =时,等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式:2222222 123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++ ⑥一般形式的柯西不等式:222222 1212(...)(...) n n a a a b b b ++++++

必修五-不等式知识点总结

不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110,> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式

1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2112a b a b +≥+(当 a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +?∈,||ax b c x φ+?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结: ①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式:转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f

基本不等式知识点归纳.doc

基本不等式知识点总结 向量不等式: ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】: a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ; a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ; a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式: ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.) 放缩不等式: ①00a b a m >>>>,,则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】: b b m a a m +<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则,,000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈, b d a c <,则b b d d a a c c +<<+; ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0).

基本不等式知识点归纳

向量不等式: 【注意】:同向或有; 反向或有; 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式: 同号或有; 异号或有. 绝对值不等式: 双向不等式: (左边当时取得等号,右边当时取得等号.) 放缩不等式: ①,则. 【说明】:(,糖水的浓度问题). 【拓展】:. ②,,则; ③,; ④,. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式

1、和积不等式:(当且仅当时取到“”). 【变形】:①(当a = b 时,) 【注意】: , 2、均值不等式: 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ); 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) *.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 3、含立方的几个重要不等式(a 、b 、c 为正数): (,); *不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当0>ab 时, ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数,b a b a -≥22 八种变式: ①222b a ab +≤ ; ②2 )2(b a ab +≤; ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+;⑤若b>0,则b a b a -≥22;⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11;⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+; ⑧ 若0≠ab ,则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 (积定和最小)

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >>< ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a

最新高中数学不等式知识点归纳汇总

最新高中数学不等式知识点归纳汇总 知识点一:绝对值三角不等式 1.定理1:如果a ,b 是实数,则|a +b|≤|a|+|b|, 当且仅当ab ≥0时,等号成立. 2.定理2:如果a ,b ,c 是实数,那么|a -c|≤ |a -b|+ |b -c|,当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.知识点二:绝对值不等式的解法 1.不等式|x|a 的解集: 不等式 a>0a =0a<0|x|a {x|x>a ,或x<-a}{x|x ≠0}R 2.|ax +b|≤c(c>0)和|ax +b|≥c(c>0)型不等式的解法: (1)|ax +b|≤c?-c ≤ax +b ≤c; (2)|ax +b|≥c?ax +b ≤-c 或ax +b ≥c. (3)|x -a|+|x -b|≥c(c>0)和|x -a|+|x -b|≤c(c>0)型不等式的解法: 巩固专区:典例 [例1].函数y=|x+1|+ |x+3|的最小值为___________. 解析:由|x+1|+ |x+3|≥|(x+1)-(x+3)|=2,故y 的最小值2。 [例2].不等式|2x-1|0的解集是________. 解析:∵|x|2-2|x|-15>0,∴|x|>5或|x|<-3(舍去),∴x<-5或x>5. 答案:(-∞,-5)∪(5,+∞) [例4].若存在实数x 满足不等式|x -4|+|x -3|

高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc

1 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)与同解; (2)与同解,与同解; (3)与同解); 2.一元一次不等式 情况分别解之。 3.一元二次不等式 或分及情况分别解之,还要注意的三种情况,即或或,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)|g(x)?f(x)>g (x)或f(x)在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式 0Ax By C ++≥所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把 直线画成实线。 说明:由于直线0Ax By C ++=同侧的所有点的坐标(,)x y 代入 Ax By C ++,得到实数符号都相同,所以只需在直线某一侧取一个特 殊点00(,)x y ,从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直

1 线哪一侧的平面区域。特别地,当0C ≠时,通常把原点作为此特殊点。 (2)有关概念 引例:设2z x y =+,式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ,求z 的最大值和最 小值。 由题意,变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当 0,0x y ==时,20z x y =+=,即点(0,0)在直线0l :20x y +=上, 作一组平行于0l 的直线l :2x y t +=,t R ∈,可知:当l 在0l 的右上方时,直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>,即0t >,而且,直线l 往右平移时,t 随之增大。 由图象可知,当直线l 经过点(5,2)A 时,对应的t 最大, 当直线l 经过点(1,1)B 时,对应的t 最小,所以, max 25212z =?+=,min 2113z =?+=。 在上述引例中,不等式组是一组对变量,x y 的约束条件,这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式,所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式,叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式,所以又叫线性目标函数。 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-=

一元一次不等式知识点汇总

一元一次不等式知识点汇总 【知识点一】不等式的有关概念 1、不等式定义:用符号“<”、“≤”、“>”、“≥”、“≠”连接而成的数学式子,叫做不等式。这5个用来连接的符号统称不等号。 2、列不等式:步骤如下 (1)根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式; (2)正确理解题目中的关键词语,如:多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等确切的含义; (3)选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。 3、用数轴表示不等式 (1)x a <表示小于a 的全体实数,在数轴上表示a 左边的所有点,不包括a 在内。 (2)x a ≥表示大于或等于a 的全体实数,在数轴上表示a 右边的所有点,包括a 在内。 (3)()b x a b a <<<表示大于b 而小于a 的全体实数。

1、不等式的基本性质 (1)基本性质1:若a b <,b c <,则a c <。(不等式的传递性) (2)基本性质2:不等式的两边都加上(或减去)同一个数,所得到的不等式仍成立。 ①若a b >,则a c b c +>+,a c b c ->-;②若a b <,则a c b c +<+,a c b c -<-。 (3)基本性质3:①不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所得的不等式仍成立; 若a b >,且0c >,则ac bc >, a b c c >。 ②不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必须把不等号的方向改变,所得的不等式成立。 若a b >,且0c <,则ac bc <,a b c c <。 2、比较等式与不等式的基本性质

1、一元一次不等式的概念:不等号的两边都是整式,而且只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次。 2、不等式的解集:能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集,简称不等式的解。 3、一元一次不等式的解法:步骤如下 (1)去分母:在不等式两边同乘分母的最小公倍数;(根据基本性质3) (2)去括号:把所有因式展开;(根据单项式乘多项式法则) (3)移项:把含未知数的项移到不等式的左边,不含有未知数的项移到不等式的右边;(根据基本性质2) (4)合并同类项:将所有的同类项合并,得ax b >或ax b <(0a ≠)的形式; (5)系数化为1:不等式两边同除以未知数的系数,或乘未知数系数的倒数。(根据基本性质3) 4、一元一次不等式的应用:解有关应用题步骤如下 (1)审题:认真审题,分清已知量、未知量及其关系,抓住题设中的关键字眼,如“大于”、“不小于”等; (2)设:设出适当的未知数; (3)找:找出不等关系; (4)列:根据题中的不等关系,列出不等式; (5)解:解出所列不等式的解集; (6)答:写出答案,并检验答案是否符合题意。

一元一次不等式知识点总结

四、列一元一次方程解应用题的步骤有: 1、审清题意:应认真审题,分析题中的数量关系,找出问题所在。 2、设未知数:用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法,当直接设法使列方程有困难可采用间接设法,注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系:可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系,列出等式两边的代数式,注意它们的量要一致,使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程:根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件:各类是同类量,单位一致,两边是等量。 5、解方程:求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性:不但要检查方程的解是否为原方程的解,还要检查是否符合应用题的实际意义,进行取舍,并注意单位。 7、作答:正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题: 1、和差倍分问题: (1)增长量=原有量×增长率; (2)现在量=原有量+增长量 2、等积变形问题: 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但面积不变。 (1)圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S ·h = r 2h (2)长方开的面积 周长=2×(长+宽) S=长×宽 3、数字问题: 一般可设个位数字为a ,十位数字为b ,百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a , 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题:( 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ) (1)商品利润=商品售价-商品成本价 (2)商品利润率=商品利润商品成本价 ×100% (3)售价=成本价×(1+利润率) (4)商品销售额=商品销售价×商品销售量 (5)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量 (6)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折: 折后价(售价)=标价×10 x 计算。 5、行程问题:路程=速度×时间; 时间=路程÷速度; 速度=路程÷时间。 (1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距 (2)追及问题: 快行距-慢行距=原距 (3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系. 6、工程问题: (1)工作总量=工作效率×工作时间; 工作效率=工作总量÷工作时间 (2)完成某项任务的各工作总量的和=总工作量=1 (3)各组合作工作效率=各组工作效率之和 (4)全部工作总量之和=各组工作总量之和

基本不等式知识点归纳教学内容

基本不等式知识点归 纳

基本不等式知识点总结 向量不等式: ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】: a b r r 、同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ; a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ; a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式: ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得 等号.) 放缩不等式: ①00a b a m >>>>,,则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】: b b m a a m +<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则,,000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈, b d a c <,则b b d d a a c c +<<+; ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ;

不等式知识点归纳与总结

授课教案

③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇, 1 -= n n S S 偶 奇 (4)常用公式:①1+2+3 …+n =()2 1+n n ②()()6 1213212222++=+++n n n n Λ ③()2 2 13213333?? ??? ?+=++n n n Λ [注]:熟悉常用通项:9,99,999,…110-=?n n a ; 5,55,555,…()1109 5-=?n n a . 2 等比数列 (1)性质 当m+n=p+q 时,a m a n =a p a q ,特例:a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…,当2n=p+q 时,a n 2 =a p a q ,数列{ka n },{ ∑=k 1 i i a }成等比数列。 3 等差、等比数列的应用 (1)基本量的思想:常设首项、公差及首项,公比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等; (2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质,简化计算; (3)若{a n }为等差数列,则{n a a }为等比数列(a>0且a ≠1); 若{a n }为正数等比数列,则{log a a n }为等差数列(a>0且a ≠1)。 典型例题 例1、已知数列{a n }为等差数列,公差d ≠0,其中1k a ,2k a ,…,n k a 恰为等比数列,若k 1=1,k 2=5,k 3=17,求k 1+k 2+…+k n 。 例2、设数列{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列{ n S n }的前n 项和,求T n 。 例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ,且1a S 2n n +=,求: (1) 数列{a n }的通项公式; (2) 设1n n n a a 1b += ,数列{b n }的前n 项的和为B n ,求证:B n 2 1 <. 例4、等差数列{a n }中,前m 项的和为77(m 为奇数),其中偶数项的和为33, 且a 1-a m =18,求这个数列的通项公式。 例5、设{a n }是等差数列,n a n )21(b =,已知b 1+b 2+b 3=821,b 1b 2b 3=8 1 ,求等差数列的通项a n 。 4 练习 1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2),则它的前n 项和 S n =______。 2 设等差数列{a n }共有3n 项,它的前2n 项之和为100,后2n 项之和为200,则该等差数列的中间n 项的和等于________。 3 若不等于1的三个正数a ,b ,c 成等比数列,则(2-log b a)(1+log c a)=________。 4 已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,求这个数列的公比和项数。 5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0,公比q>-1(q ≠1),设数列{b n }的通项

不等式知识点总结

期末复习之不等式知识点 2 3 1) (x – 2)(ax – 2)>0 (2)x2–(a+a2)x+a3>0; (3)2x2 +ax +2 > 0; 注: 解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有: 1、讨论a与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小;运用的数学思想: 1、分类讨论的思想; 2、数形结合的思想; 3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题: 例1.已知关于x的不等式 在(–2,0)上恒成立,求实数a的取值范围. ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤ > ? ? > )x(g )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f 22 (3)210 x a x a +-+-< ? ? ? ? ? 用图象 分离参数后用最值 函数 、 、 、 3 2 1

例2.关于x 的不等式 对所有实数x ∈R 都成立,求a 的取值范围. 4 第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值。 5 (1),a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a =b 时取“=”号). (2),a b R +∈?2 a b +≥当且仅当a =b 时取“=”号). (3),a b R +∈?22a b ab +??≤ ??? (当且仅当a =b 时取“=”号). 总结:已知y x ,都是正数,则有 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当y x =时和y x +有最小值p 2; (2)如果和y x +是定值s ,那么当且仅当y x =时积xy 有最大值24 1s . (3)用均值不等式求最值时,若不正,则要加负号,若不定,则要凑定值,若不等,则求导考虑单调性。 )1(log 22++-=ax ax y y z x =z ax by =+22y x z +=

基本不等式知识点归纳总结

基本不等式知识点归纳 1.基本不等式2 b a ab +≤ (1)基本不等式成立的条件:.0,0>>b a (2)等号成立的条件:当且仅当b a =时取等号. [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? 提示:①当b a =时, ab b a ≥+2取等号,即.2ab b a b a =+?= ②仅当b a =时,ab b a ≥+2取等号,即.2 b a ab b a =?=+ 2.几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3.算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时,y x +有最小值是.2p (简记:积定和最小). (2)如果和y x +是定值,p ,那么当且仅当y x =时,xy 有最大值是.4 2 p (简记:和定积最大). [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理? 提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.例如,x x y 1+=在2≥x 时的最小值,利用单调性,易知2=x 时.2 5min = y [自测]

1.已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A .18 B .36 C .81 D .243 解析:选A 因为m >0,n >0,所以m +n ≥2mn =281=18. 2.若函数)2(2 1)(>-+=x x x x f 在a x =处取最小值,则=a ( ) A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 3.已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则2y xz 的( ) A .最小值为8 B .最大值为8 C .最小值为18 D .最大值为18 4.函数x x y 1+=的值域为 ____________________. 5.在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(= 的图象交于P 、Q 两点,则线段PQ 长的最小值是________.

不等式知识点归纳

第三章 不等式 3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >>< ⑥(平方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则) 0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧(倒数法则)b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2 a b ab +≤ ②(基本不等式) 2 a b +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: a b +≥ 2 .2a b ab +?? ≤ ???(也可用柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+) 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 3 a b c ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()2 2 2 a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤3 3 3 3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则 (当仅当a=b 时取等号)

(完整版)高中数学不等式知识点总结

选修4--5知识点 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >>< ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b +≥()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 3a b c ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号).

④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a

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