《勾股定理》培优专题训练(3)
《勾股定理》培优专题训练（3）
1.几何模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点.
问题：在直线l 上确定一点P ，使PA ＋PB 的值最小.
方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A 'B 交l 于点P ，则PA ＋PB ＝A 'B 的值最小(不必证明).
模型应用：⑴如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P ，则PB ＋PE 的最小值是__________；
(2)如图2，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值.
2．[问题背景]如图1所示，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，点D 为直线BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），连结AD ，将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90°，使点A 旋转到点E ，连结EC ．
[问题初探]如果点D 在线段BC 上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E 作EF ⊥BC 交直线
BC 于F ，如图2所示，通过证明△DEF ≌△ ，可推证△CEF 是 三角形，从而求得∠DCE ＝ °．
[继续探究]如果点D 在线段CB 的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE 的度数． [拓展延伸]连接BE ，当点D 在直线BC 上运动时，若AB ＝，请直接写出BE 的最小值．
A ’ A P B
l
B
D C
A
P
E 图1
O
A
Q P
B R
图2
O
A
Q
P
B R
P 1 P
A
B
C
D
E
F
C
3.一道结论性探索题的类比延伸：通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，45
EAF
∠=?，连接EF，
则EF BE DF
=+，试说明理由。
（1）思路梳理
∵AB CD
=，
∴把ABE
?绕点A逆时针旋转90?至ADG
?，可使AB与AD重合。
∵90
ADC B
∠=∠=?；∴180
FDG
∠=?，点F、D、G共线。
根据，易证AFG
?≌AFE
?，得EF BE DF
=+。
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB AD
=，90
BAD
∠=?，点E、F分别在边BC、CD上，
45
EAF
∠=?。若B
∠、D
∠都不是直角，则当B
∠与D
∠满足关系时，
仍有EF BE DF
=+。
（3）联想拓展
如图3，在ABC
?中，90
BAC
∠=?，AB AC
=，点D、E均在边BC上，且45
DAE
∠=?。
猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。
4.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA PB PC
，，，以BP为边作
60
PBQ
∠=，且BQ BP
=，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若::3:4:5
PA PB PC=，连结PQ，试判断PQC
△的形状，并说明理由．
5.如图,?ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,若点P从点A出发,以每秒4 cm的速度沿折线A?C?B?A运动,设运动时间为t秒(t>0)．
(1)若点P在AC上,且满足PA=PB时,求出此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上,求t的值；
(3)在运动过程中,当?BCP为等腰三角形时,请直接写出t的值．
6.在△ABC中，AB=12，AC=BC=10，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C 的对应点为点E，连接BD、BE，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BF⊥AD，AF=DF；（3）求线段BE的长.
Q
C
P
A
B
7.如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝45°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，CD 与BM 相交于点E ，且点E 是CD 的中点，连接MD ，过点D 作DN ⊥MD ，交BM 于点N ． （1）求证：△DBN ≌△DCM ；
（2）请探究线段NE 、ME 、CM 之间的数量关系，并证明你的结论．
8、阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图(1)，等边△ABC 内有一点P 若点P 到顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5则∠APB =__________，由于PA ，
PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP 绕顶点A 旋转到△ACP ′处，此时△ACP ′≌__________
这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB 的度数．
图(1)
(2) 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图(11)，△ABC 中，∠CAB =90°，AB =AC ，E 、F 为BC 上的点且∠EAF =45°，求证：EF 2=BE 2+FC 2 ．
C
A
P
P '
F C
B
A
E N
M
B
C
D
E
A
9.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和． （1）求、，并比较它们的大小； （2）请你说明的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
10.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣6，6），以A 为顶点的∠BAC 的两边始终与x 轴交于B 、C 两点（B 在C 左面），且∠BAC ＝45°．
（1）如图1，连接OA ，当AB ＝AC 时，试说明：OA ＝OB ．
（2）过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，当DC ＝2时，将∠BAC 沿AC 所在直线翻折，翻折后边AB 交y 轴于点M ，求点M 的坐标．
()A ()B X 50km AB A =，B X 10km 40km P A B AP X P P A B 1S PA PB =+A X A 'BA 'X P P A B 2S PA PB =+1S 2S 2S PA PB =+Y B Y 30km X Y P Q P A B Q
B
A P
X
图（1）
Y
X
B
A Q
P O
图（3）
B
A P X
图（2）
11.长方形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 为边AD 上一点，将ABE △沿BE 折叠后得到BEF △． （1）如图1，若点E 为AD 的中点，延长BF 交边CD 于点G ． ①求证： DG FG =． ②求FG 的长度．
（2）如图2，若点E 为边AD 的一动点，连接FD ，DEF △能否为直角三角形？若能，求出AE 的值，若不能，请说明理由．
图2
A B
D
C E
F 备用图
C
D
B
A 图1
G E F D A B
C
备用图
C
D
B
A