山东省青岛市2020届高三上学期期末考试数学试题
高三教学质量检测
数学试题
2020．01
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第I 卷(选择题 共60分)
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()1
122
1,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +
B ．1i -+
C ．1i --
D ．1i -
2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．向量a b ，
满足()()
1,2,2a b a b a b ==+⊥-，则向量a b 与的夹角为
A ．45
B ．60
C ．90
D ．120
4．已知数列{}n a 中，37
2,1a a ==．若1n a ??
????
为等差数列，则5a = A ．
23
B ．
32
C ．
43
D ．
34
5．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是 A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．在ABC ?中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+，若，则 A ．2y x =
B ．2y x =-
C ．2x y =
D ．2x y =-
7．已知双曲线()22
22:1,0,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P 是双曲
线在第一象限上的点，()2
1212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >?=，则双曲线C 的渐近线方程为
A ．1
2
y x =±
B ．2
y x =±
C ．y x =±
D ．2y x =±
8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则
A. 233231log 224g g g --?????
?>> ? ? ???????
B ．23
3231log 224g g g --?????
?>> ? ? ???????
C. 2
3323122log 4g g g --?????
?>> ? ? ???????
D. 23
323122log 4g g g --?????
?>> ? ? ???????
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分。 9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是： A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4
π
B ．点
C 到面11ABC
D 的距离为
22
C ．两条异面直线11
D C BC 和所成的角为4
π D ．三棱柱1111AA D BB C -外接球半径为
32
10．要得到cos 2y x =的图象1C ，只要将sin 23y x π??
=+
??
?
图象2C 怎样变化得到? A ．将sin 23y x π??
=+
??
?的图象2C x 沿轴方向向左平移12
π
个单位 B ．sin 23y x π??
=+
??
?
的图象2C x 沿轴方向向右平移
1112
π
个单位
C ．先作2C x 关于轴对称图象3C ，再将图象3C x 沿轴方向向右平移512
π
个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ，再将图象3C x 沿轴方向向左平移12
π
个单位
11．已知集合()(){}=
,M x y y f x =，若对于()()1
1
2
2
,,,x y M x y M ?∈?∈，使得12
120
x x
y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：(){}2
1,1M x y y x =
=+；
(
){2,M x y y =
=
；(){}3,x
M x y y e =
=；(){}4
,sin 1M x y y x ==+．其中是“互垂
点集”集合的为 A ．1M
B ．2M
C ．3M
D ．4M
12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ，1805～l859)在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义
了一个“奇怪的函数” ()1,0,R
x Q y f x x C Q ∈?==?∈?其中R 为实数集，Q 为有理数集．则关于函数()
f x 有如下四个命题： A ．函数()f x 是偶函数
B ．()()()121212,,R x x
C Q f x x f x f x ?∈+=+恒成立
C ．任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对任意的x R ∈恒成立
D ．不存在三个点()()()()()()
112233,,,A x f x B x f x C x f x ，，，使得△ABC 为等腰直角三角形其中真命题的个数是__________________．
第II 卷(非选择题 共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线2
2
02x y a y -+=+=与圆O ：x 相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且AOB ?为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；
14．已知直线2y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为_________；
l5．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时
间t(单位：年)的衰变规律满足573002
T N N -=?
(0N 表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳
14的质量变为原来的__________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的
31
72
至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到__________年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)(本题第一空2分，第二空3分)
16．已知ABC ?的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α异侧，且2AB AC ==，AB ，AC
与α所成的角分别为
36
ππ
，，则线段BC 长度的取值范围为___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 l7．(本小题满分10分)
已知()()
2cos sin f x x x x =+ (I)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； (II)求函数()f x 在区间,02π??
-????
的取值范围．
18．(本小题满分12分)
在ABC ?，,,a b c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且(
)222
8sin 3ab C b c a
=+-，若
5a c ==．
(I)求cosA
(Ⅱ)求ABC ?的面积S ．
19．(本小题满分l2分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,21,n n a S S n N *+=-=∈． (I)证明：{}1n S +为等比数列，求出{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若n n
n
b a =
，求{}n b 的前n 项和n T ，并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -?=+成立?若存在求出所有n 值；若不存在说明理由．
20．(本小题满分12分)
《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵111ABC A B C -中，
AB AC ⊥．
(I)求证：四棱锥11B A ACC -为阳马；
(Ⅱ)若12C C BC ==，当鳖膈1C ABC -体积最大时，求锐二面角11C A B C --的余弦值．
21．(本小题满分12分)
给定椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，称圆心在原点O ，
C 的“卫星圆”.
若椭圆C
，点(在C 上． (I)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；
(Ⅱ)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l ， 与椭圆C 与椭圆C 都只有一个交点，且12,l l ，分别交其“卫星圆”于点M ，N ，证明：弦长MN 为定值．
22．(本小题满分12分)
已知函数()()()ln 2sin ,f x x x x f x f x '=-+为的导函数． (I)求证：()()0f x π'在，上存在唯一零点； (Ⅱ)求证：()f x 有且仅有两个不同的零点
高三数学试题参考答案2020.01
一、选择题
二、填空题
13. 14. 315.
1
2
，687616.
三、解答题
17. 解: (Ⅰ) 由题意，化简得2
()2cos sin1)
f x x x x
=--
sin2x x
=
2sin(2)
3
x
π
=-
所以函数()
f x的最小正周期π. ………………………………………3分
sin
y x
=的减区间为
3
2,2,
22
k k k Z
ππ
ππ
??
++∈
??
??
由3
222
232
k x k
πππ
ππ
+≤-≤+
得511
1212
k x k
ππ
ππ
+≤≤+
所以函数()
f x的单调递增区间为511
,
,
1212
k k k Z
ππ
ππ
??
++∈
??
??
. ·················
·····6分
（Ⅱ）因为,0
2
x
π
??
∈-??
??
，所以4
2,
333
x
πππ
??
-∈--
??
??
.
所以22sin(2)
3
x
π
-≤-.
所以函数()
f x在区间,0
2
π
??
-??
??
上的取值范围是?-?.····························10分
18. 解:由题意得
222
8sin3()
22
ab C b c a
bc bc
+-
=
由余弦定理得:4sin3cos
a C
A
c
=
由正弦定理得4sin3cos
A A
=
所以3
tan
4
A=
ABC
∴?中,
4
cos
5
A=············································································6分(Ⅱ)由余弦定理2222cos
a b c bc A
=+-得28150
b b
-+=
解得3
b=或5
b=····················································································9分
3tan 4A =,3
sin 5
A ∴=
由1sin 2S bc A =?得152S =或9
2
S =·
·····················································12分 19. 解: (Ⅰ)
121n n S S +-=
112(1)n n S S +∴+=+*n N ∈
{}1n S ∴+为等比数列··················································2分
112S +=，公比为2
12n n S ∴+=，21n n S =-1121n n S --∴=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式
12n n a -∴=···························································5分 (Ⅱ) 12
n n n n n
b a -=
= 011
12222n n n T -=
++???+ 121122222n n n T =++???+两式相减得：011111122222222
n n n n n n T -+=++???+-=- 12
42n n n T -+=-··························································9分
代入1250n n T n -?=+得2260n n --=·
····································10分 令()226x f x x =--(1)x ≥，()2ln 210x f x '=->在[)1,x ∈+∞成立，
()226x f x x ∴=--(1,)x ∈+∞为增函数；·····························································11分
有(5)(4)0f f ?<，所以不在正整数n 使得1250n n T n -?=+成立.················12分 20. 解：(Ⅰ)
1A A ⊥底面ABC ，AB ?面ABC
1A A AB ∴⊥································2分
又AB AC ⊥，1A A
AC A =
AB ∴⊥面11ACC A ，·
···························4分
又四边形11ACC A 为矩形
∴四棱锥11B A ACC -为阳马······················5分
(Ⅱ) AB AC ⊥,2BC =，224AB AC ∴+=
又
1A A ⊥底面ABC ，
1111
32
C ABC V C C AB AC -∴=???
221123323
AB AC AB AC +=??≤?=
当且仅当AB AC ==11
3
C ABC V AB AC -=??取最大值·
··················7分 AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC
∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系·····8分
B
,C ,1(0,0,2)A
1(2,0,2)A B =
-
,(BC =
,11A C =
设面1A BC 的一个法向量1111(,,)n x y z =
由1110
0n A B n BC ??=???=??得1(2n =·
···························9分 同理得2(2,0,1)n =······································10分 12121215
cos ,||||
n n n n n
n ?∴<>=
=? 二面角11C A B C --··········
·············12分 21. 解：(Ⅰ)由条件可得: 22
2421c a a b ?=????+=?? 解得2a b ==
所以椭圆的方程为22
184
x y +=，·
·············································3分 卫星圆的方程为2212x y += ·
···············································4分
（II ）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为
与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =
x =- 当
方程为x =与“卫星圆”
交于点2)
和2)-，
此时经过点
2)2)-且与椭圆只有一个公共点的直线是
2y =或2y =-，即为2y =或2y =-，
12l l ∴⊥
∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，
∴||MN =····························7分
② 当都有斜率时，设点，其中220012x y +=，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,
则，0022()18
4y tx y tx x y =+-??
?+=?
?消去得到2220000(12)4()2()80t x t y tx x y tx ++-+--=，·
····9分 222
0000(648)163280x t x y t y ∴?=-++-=····································10分
22
001222
00
328328(12)
1648648y x t t x x ---∴?===---·································11分 所以，满足条件的两直线垂直.
∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，
∴||MN = 综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点MN ，且垂直，
所以线段MN 准圆220012x y +=
的直径，|MN ∴················12分 22. 解:（1）设x x
x f x g cos 211
)()(+-=
'=， 当),0(π∈x 时，01
sin 2)(2
<-
-='x
x x g ··················································· 2分 所以)(x g 在),0(π上单调递减， ································································· 3分 又因为012
)2(,0113
)3
(<-=>+-=
π
πππ
g g 12,l l 1l 1l 1l 1l 2l 12,l l ),(00y x P ),(00y x P 00)(y x x t y +-=y 121-=?t t 12,l l 12,l l ),(00y x P 12,l l
所以)(x g 在(
,)32
ππ
上有唯一的零点α，所以命题得证 ··································· 6分 （2）1°由（1）知：当),0(α∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),0(α上单调递增； 当),(πα∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 在),(πα上单调递减； ······························ 7分 所以)(x f 在(0,)π上存在唯一的极大值点()3
2
π
π
αα<<
所以02
222
2
ln
)2
()(>-
>+-
=>π
π
π
παf f ·
·············································· 8分 又因为2222
1111
(
)22sin 220f e e e e =--+<--+< 所以)(x f 在(0,)α上恰有一个零点 ····························································· 9分 又因为02ln )(<-<-=ππππf
所以)(x f 在(,)απ上也恰有一个零点 ·························································· 9分 2°当[,2)x ππ∈时，sin 0x ≤，()ln f x x x ≤- 设()ln h x x x =-，011
)(<-=
'x
x h 所以)(x h 在[,2)ππ上单调递减，所以0)()(<≤πh x h 所以当[,2)x ππ∈时，()()()0f x h x h π≤≤<恒成立
所以)(x f 在[,2)ππ上没有零点. ······························································ 10分 3°当[2,)x π∈+∞时，2ln )(+-≤x x x f 设()ln 2x x x ?=-+，1
()10x x
?'=
-< 所以()x ?在[2,)π+∞上单调递减，所以()(2)0x ??π≤< 所以当[2,)x π∈+∞时，()()(2)0f x x ??π≤≤<恒成立 所以)(x f 在[2,)π+∞上没有零点.
综上，)(x f 有且仅有两个零点． ······························································· 12分