Mathematica在量子力学中的应用举例
量子力学中几种表象及其之间的关系
量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数， dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ
称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ
Mathematica入门教程含习题与答案
Mathematica入门教程 第1篇 第1章MATHEMATICA概述 (3) 1.1 M ATHEMATICA的启动与运行 (3) 1.2 表达式的输入 (4) 1.3 M ATHEMATICA的联机帮助系统 (6) 第2章MATHEMATICA的基本量 (8) 2.1 数据类型和常数 (8) 2.2 变量 (10) 2.3 函数 (11) 2.4 表 (14) 2.5 表达式 (17) 2.6 常用的符号 (19) 2.7 练习题 (19) 第2篇 第3章微积分的基本操作 (20) 3.1 极限 (20) 3.2 微分 (20) 3.3 计算积分 (22) 3.4 无穷级数 (24) 3.5 练习题 (24) 第4章微分方程的求解 (26) 4.1 微分方程解 (26) 4.2 微分方程的数值解 (26) 4.3 练习题 (27) 第3篇 第5章MATHEMATICA的基本运算 (28) 5.1 多项式的表示形式 (28) 5.2 方程及其根的表示 (29) 5.3 求和与求积 (32) 5.4 练习题 (33) 第6章函数作图 (35) 6.1 基本的二维图形 (35) 6.2 二维图形元素 (40) 6.3 基本三维图形 (42) 6.4 练习题 (46)
第4篇 第7章MATHEMATICA函数大全 (48) 7.1 运算符和一些特殊符号，系统常数 (48) 7.2 代数计算 (49) 7.3 解方程 (50) 7.4 微积分 (50) 7.5 多项式函数 (51) 7.6 随机函数 (52) 7.7 数值函数 (52) 7.8 表相关函数 (53) 7.9 绘图函数 (54) 7.10 流程控制 (57) 第8章MATHEMATICA程序设计 (59) 8.1 模块和块中的变量 (59) 8.2 条件结构 (61) 8.3 循环结构 (63) 8.4 流程控制 (65) 8.5 练习题 (67) --------------习题与答案在68页-------------------
量子力学期末考试题解答题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
量子力学的矩阵形式和表象变换.
§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换 态和力学量算符的不同表示形式称为表象。 态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。 1、量子态的不同表象 幺正变换 （1）直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e ,见图 其标积可写成下面的形式 )2,1,(),(==j i e e ij j i δ 我们将其称之为基矢的正交归一关系。 平面上的任一矢量A 可以写为 2211e A e A A += 其中),(11A e A =，),(22A e A =称为投影分量。 而),(21A A A = 称为A 在坐标系21X OX 中的表示。 现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e ，且同样有 )2,1,()','(==j i e e ij j i δ 而平面上的任一矢量A 此时可以写为 ''''2211e A e A A += 其中投影分量是),'('11A e A =，),'('22A e A =。 而)','(21A A A = 称为A 在坐标系'X 'OX 21中的表示。 现在的问题是：这两个表示有何关系？ 显然，22112211''''e A e A e A e A A +=+=。
用'1e 、'2e 分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有 ),'(),'('2121111e e A e e A A += ),'(),'('2221212e e A e e A A += 表成矩阵的形式为 ??? ? ?????? ??=???? ??212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A 由于'1e 、1e 及'2e 、2e 的夹角为θ，显然有 ??? ? ?????? ??-=??? ? ?????? ??=???? ??21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ 或记为 ??? ? ??=???? ??2121)(''A A R A A θ 其中 ??? ? ? ?-=θθ θθθcos sin sin cos )(R 是把A 在两坐标中的表示???? ??''21A A 和??? ? ??21A A 联系起来的变换矩阵。 变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。 很容易证明，R 具有下述性质： I R R R R ==~ ~ 由于1)(det )~ det(2==R R R , 其中 321321)1()det(p p p t R R R R -∑=， 故称这种矩阵为正交矩阵。 但1det =R （对应于真转动（proper rotation ））且R R =* （实矩阵）
Mathematica使用教程
Mathematica 教程 【Mathematica 简介】 Mathematica 软件是由沃尔夫勒姆研究公司 (Wolfram Research Inc.)研发的。Mathematica 1.0 版发布于1988年6月23日。发布之后，在科学、技术、媒体等领域引起了一片轰动，被认为是一个革命性的进步。几个月后，Mathematica就在世界各地拥有了成千上万的用户。今天，Mathematica 已经在世界各地拥有了数以百万计的忠实用户。 Mathematica已经被工业和教育领域被广泛地采用。实际上，Mathematica负责将高级的数 学和计算引入了传统上非技术的领域，极大的增加了科技软件的市场。一个包含应用、咨询、 书籍、和课程软件的行业支持着国际化的Mathematica用户群，这个行业还在不断地膨胀。 随着沃尔夫勒姆研究公司不断地扩大和Mathematica的使用被不断地扩展到不同的领域， 将会看到Mathematica在全世界范围内对未来产品、重要研究发现、和教学的巨大影响。 数学软件是现在科研工作者的必备的工具，个人比较喜欢用Mathematica，因为它是最接近数学语言的。Mathematica在15日发布，其最显著的变化是允许自由形式的英文输入，而不再需要严格按照Mathematica语法，这类似于Wolfram|Alpha搜索引擎。Mathematica 8 允许用户按照自己习惯的思考过程输入方程式或问题，最令人激动的部分是软件不是逐行执 行命令，而是能理解上下文背景。 1. En ter your queries in pla in En glish using new free-form lin guistic in put 2. Access more tha n 10 trilli on sets of curated, up-to-date, and ready-to-use data 3. Import all your data using a wider array of import/export formats 4. Use the broadest statistics and data visualizati on capabilities on the market 5. Choose from a full suite of engin eeri ng tools, such as wavelets and con trol systems 6. Use more powerful image process ing and an alysis capabilities 7. Create in teractive tools for rapid explorati on of your ideas 8. Develop faster and more powerful applicati ons
Mathematica使用教程
【Mathematica 简介】 Mathematica 软件是由沃尔夫勒姆研究公司（Wolfram Research Inc.）研发的。Mathematica 版发布于1988年6月23日。发布之后，在科学、技术、媒体等领域引起了一片轰动，被认为是一个革命性的进步。几个月后，Mathematica 就在世界各地拥有了成千上万的用户。今天，Mathematica 已经在世界各地拥有了数以百万计的忠实用户。 Mathematica 已经被工业和教育领域被广泛地采用。实际上，Mathematica 负责将高级的数学和计算引入了传统上非技术的领域，极大的增加了科技软件的市场。一个包含应用、咨询、书籍、和课程软件的行业支持着国际化的 Mathematica 用户群，这个行业还在不断地膨胀。随着沃尔夫勒姆研究公司不断地扩大和 Mathematica 的使用被不断地扩展到不同的领域，将会看到 Mathematica 在全世界范围内对未来产品、重要研究发现、和教学的巨大影响。 数学软件是现在科研工作者的必备的工具，个人比较喜欢用Mathematica，因为它是最接近数学语言的。Mathematica 在15日发布，其最显著的变化是允许自由形式的英文输入，而不再需要严格按照Mathematica语法，这类似于Wolfram|Alpha搜索引擎。Mathematica 8允许用户按照自己习惯的思考过程输入方程式或问题，最令人激动的部分是软件不是逐行执行命令，而是能理解上下文背景。 1. Enter your queries in plain English using new free-form linguistic input 2. Access more than 10 trillion sets of curated, up-to-date, and ready-to-use data 3. Import all your data using a wider array of import/export formats 4. Use the broadest statistics and data visualization capabilities on the market 5. Choose from a full suite of engineering tools, such as wavelets and control systems 6. Use more powerful image processing and analysis capabilities 7. Create interactive tools for rapid exploration of your ideas 8. Develop faster and more powerful applications Wolfram Research 的 CEO 和创立者斯蒂芬·沃尔夫勒姆表示：“传统上，让计算机执行任务必须使用计算机语言或者使用点击式界面：前者要求用户掌握它的语法；而后者则限制了可访问函数的范围。”“自由格式语言学能够理解人类的语言，并将其转化为具有特定语法结构的语言。这是产品适用性上的一个突破。 Mathematica 8 是这种创新思想下的第一个产品，但是它已经能够大幅度提高用户的工作效率。” Mathematica简明教程 第1章Mathematica概述 运行和启动：介绍如何启动Mathematica软件，如何输入并运行命令
量子力学基础简答题(经典)【精选】
量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1 ?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
Mathematica7.0简易教程
Mathematica7.0简易教程 第1章Mathematica概述 1.1 Mathematica的启动与运行 Mathematica是美国Wolfram研究公司生产的一种数学分析型的软件，以符号计算见长，也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能。 假设在Windows环境下已安装好Mathematica7.0，启动Windows后，在“开始”菜单的“程 序”中单击就启动了Mathematica7.0，在屏幕上显示如图的Notebook 窗口，系统暂时取名“未命名-1”，直到用户保存时重新命名为止。 输入1+1，然后按下Shif+Enter键，这时系统开始计算并输出计算结果，并给输入和输出附上次序标识In[1]和Out[1]，注意In[1]是计算后才出现的；再输入第二个表达式，要求系统将一个二项式展开，按Shift+Enter输出计算结果后，系统分别将其标识为In[2]和Out[2].如图 在Mathematica的Notebook界面下，可以用这种交互方式完成各种运算，如函数作图，求极限、解方程等，也可以用它编写像C那样的结构化程序。在Mathematica系统中定义了许多功能强大的函数，我们称之为内建函数（built-in function）, 直接调用这些函数可以取到事半功倍的效果。这些函数分为两类，一类是数学意义上的函数，如：绝对值函数Abs[x]，正弦函数Sin[x]，余弦函数Cos[x]，以e为底的对数函数Log[x]，以a为底的对数函数Log[a,x]等；第二类是命令意义上的函数，如作函数图形的函数Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]，解方程函数Solve[eqn,x]，求导函数D[f[x],x]等。 必须注意的是：
量子力学的表象与表示
第五章 量子力学的表象与表示 §5.1 幺正变换和反幺正变换 1, 幺正算符定义 对任意两个波函数)(r ?、)(r ψ，定义内积 r d r r )()(),(ψ?ψ?*?= (5.1) 按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r ψ时，找 到粒子处在状态()r ?的概率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下： “对任意两个波函数?、ψ，如果算符 U 恒使下式成立 ),()?,?(ψ?ψ?=U U (5.2) 而且有逆算符1?-U 存在，使得I U U U U ==--11????1，称这个算符U ?为幺正算符。” 任一算符A ?的厄米算符+A ?定义为：+A ?在任意?、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定 ??(,)(,)A A ?ψ?ψ+= (5.3) 由此，幺正算符U ?有另一个等价的定义： “算符U ?为幺正算符的充要条件是 I U U U U ==++???? (5.4a) 或者说 1??-+=U U 。” (5.4b) 证明：若),()?,?(ψ?ψ?=U U 成立，则按+U ?定义， ),??()?,?(),(ψ?ψ?ψ?U U U U +== 由于?、ψ任意，所以 I U U =+?? 又因为U ?有唯一的逆算符1?-U 存在，对上式右乘以1?U -，即得 1??U U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。 2, 幺正算符的性质 幺正算符有如下几条性质： i, 幺正算符的逆算符是幺正算符 证明：设 1-+=U U ， 则()()(),1 11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正 1 这里强调了 U -1 既是对 U 右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U 有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U -1 。
Mathematica入门教程
Mathematica入门教程 Mathematica的基本语法特征 如果你是第一次使用Mathematica，那么以下几点请你一定牢牢记住： Mathematica中大写小写是有区别的，如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名。 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，而且一定是以大写英文字母开头，如Sin[x],Conjugate[z]等。 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 3＝2*3＝6 ,x y,2 Sin[x]等；乘幂可以用“^”表示，如x^0.5,Tan[x]^y。 自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。 当你赋予变量任何一个值，除非你明显地改变该值或使用Clear[变量名]或“变量名=.”取消该值为止，它将始终保持原值不变。 一定要注意四种括号的用法：()圆括号表示项的结合顺序，如(x+(y^x+1/(2x)));[]方括号表示函数，如Log[x],BesselJ[x,1]；{}大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，如{2x,Sin[12 Pi],{1+A,y*x}}；[[]]双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如a[[2,3]]、{1,2,3}[[1]]=1。 Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）。当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果。 一.数的表示及计算 1.在Mathematica中你不必考虑数的精确度，因为除非你指定输出精度，Mathematica总会以绝对精确的形式输出结果。例如：你输入 In[1]:=378/123，系统会输出Out[1]:=126/41，如果想得到近似解，则应输入 In[2]:=N[378/123,5],即求其5位有效数字的数值解，系统会输出Out[2]:=3.073 2，另外Mathematica还可以根据你前面使用的数字的精度自动地设定精度。 Mathematica与众不同之处还在于它可以处理任意大、任意小及任意位精度的数值，如100^7000,2^(-2000)等数值可以很快地求出，但在其他语言或系统中这是不可想象的，你不妨试一试N[Pi,1000]。 Mathematica还定义了一些系统常数，如上面提到的Pi(圆周率的精确值)，还有E(自然对数的底数)、I(复数单位)，Degree(角度一度，Pi/180)，Infinity(无穷大)等，不要小看这些简单的符号，它们包含的信息远远大于我们所熟知的它们的近似值，它们的精度也是无限的。 二.“表”及其用法 “表”是Mathematica中一个相当有用的数据类型，它即可以作为数组，又可以作为矩阵；除此以外，你可以把任意一组表达式用一个或一组{}括起来，进行运算、存储。可以说表是任意对象的一个集合。它可以动态地分配内存，
量子力学习题
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释 各项的几率意义。 二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态能级和波函数。 三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。 四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2 )0(1。在不含时微扰H '?作用下，总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为????? ? ?=**2110 0E E E H βαβα。求 受微扰后的能量至一级。 五（20分）对电子，求在x S ?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。 A —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分）
量子力学的矩阵形式及表象理论
第三章一维定态问题
第三章 目 录 §3.1一般性质 (2) （1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简 并的 ...................................... 2 （2）不同的分立能级的波函数是正交的。 .......... 4 （3）振荡定理 .................................. 4 （4）在无穷大位势处的边条件 .................... 5 §3.2阶梯位势 ....................................... 6 §3.3位垒穿透 (8) （1） E
量子力学的矩阵形式及表象理论
量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年
第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。
第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2
第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= ().n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系，
量子力学之狄拉克符号系统与表象
Dirac 符号系统与表象 一、Dirac 符号 1. 引言 我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。 2. 态矢量 （1）. 右矢空间 力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。例如： =n n a n ψ∑ （2）. 左矢空间 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。
的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开： |ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ... 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： 12 n a a a ψ?? ? ? ?= ? ? ?? ? <ψ| 按 Q 的左基矢 和 <φ| 的标积为：*n n n b a ?ψ=∑。显然<φ|ψ>* = <ψ|φ>。对于满足归 一化条件的内积有：*1n n n a a ψψ= =∑。 这样，本征态的归一化条件可以写为：
量子力学习题分解
量子力学习题 （三年级用） 山东师范大学物理与电子科学学院 二O O七年
第一部分 量子力学的诞生 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能 量可能值。
第二部分 波函数与Schr?dinger 方程 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的 结论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2
第三部分 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+=
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Mathematica 5.0使用教程目录 第1章Mathematica概述 (3) 1.1 运行和启动：介绍如何启动Mathematica软件，如何输入并运行命令 (3) 1.2 表达式的输入：介绍如何使用表达式 (5) 1.3 帮助的使用：如何在mathematica中寻求帮助 (6) 第2章Mathematica的基本量 (8) 2.1 数据类型和常量：mathematica中的数据类型和基本常量 (8) 2.2 变量：变量的定义、变量的替换、变量的清除等 (10) 2.3 函数：函数的概念，系统函数，自定义函数的方法 (12) 2.4 表：表的创建，表元素的操作，表的应用 (15) 2.5 表达式：表达式的操作 (16) 2.6 常用符号：经常使用的一些符号的意义 (19) 第3章Mathematica的基本运算 (19) 3.1 多项式运算：多项的四则运算，多项式的化简等 (19) 3.2 方程求解：求解一般方程，条件方程，方程数值解以及方程组的求解 (21) 3.3 求积、求和：求积与求和 (24) 第4章函数作图 (25) 4.1 二维函数作图：一般函数的作图，参数方程的绘图 (25) 4.2 二维图形元素：点、线等图形元素的使用 (29) 4.3 图形样式：图形的样式，对图形进行设置 (31) 4.4 图形的重绘和组合：重新显示所绘图形，将多个图形组合在一起 (33) 4.5 三维图形的绘制：三维图形的绘制，三维参数方程的图形，三维图形的设置 (36) 第5章微积分的基本操作 (42) 5.1 函数的极限：如何求函数的极限 (42)
5.2 导数与微分：如何求函数的导数、微分 (43) 5.3 定积分与不定积分：如何求函数的不定积分和定积分，以及数值积分 (45) 5.4 多变量函数的微分：如何求多元函数的偏导数、微分 (47) 5.5 多变量函数的积分：如何计算重积分 (49) 第6章微分方程的求解 (51) 6.1 微分方程的解：微分方程的求解 (51) 6.2 微分方程的数值解：如何求微分方程的数值解 (53) 第7章Mathematica程序设计 (54) 7.1 模块：模块的概念和定义方法 (54) 7.2 条件结构：条件结构的使用和定义方法 (56) 7.3 循环结构：循环结构的使用 (59) 7.4 流程控制 (61) 第8章Mathematica中的常用函数 (63) 8.1 运算符和一些特殊符号：常用的和不常用一些运算符号 (63) 8.2 系统常数：系统定义的一些常量及其意义 (63) 8.3 代数运算：表达式相关的一些运算函数 (64) 8.4 解方程：和方程求解有关的一些操作 (65) 8.5 微积分相关函数：关于求导、积分、泰勒展开等相关的函数 (65) 8.6 多项式函数：多项式的相关函数 (66) 8.7 随机函数：能产生随机数的函数函数 (67) 8.8 数值函数：和数值处理相关的函数，包括一些常用的数值算法 (67) 8.9 表相关函数：创建表，表元素的操作，表的操作函数 (68) 8.10 绘图函数：二维绘图，三维绘图，绘图设置，密度图，图元，着色，图形显示等函数 (69) 8.11 流程控制函数 (72)
量子力学 第三章 表象理论
第三章表象理论 本章提要：本章讨论态矢和算符的具体表示形式。首先，重点讨论了本征矢和本征函数、态矢量和波函数之间的关系，指出了函数依赖于表象。之后，引入投影算符，讨论了不同表象下的态矢展开，尤其是位置和动量表象，并顺带解决了观测值问题。接着，用投影算符统一了态矢内积与函数内积。最后，简单介绍了一些矩阵力学的内容。 1.表象：完备基的选择不唯一。因此可以选用不同的完备基把态矢量展开。除了态矢量，算符在不同表象下的具体表示也不同。因此，我们把态矢量和算符的具体表示方式统称为表象 ①使用力学量表象：我们还知道每个力学量对应的（厄米）算符的本征矢都构成一组完备基。若选用算符G 的（已经标准正交化（离散谱）或规格正交化（连续谱））的本征矢作为态空间的基，就称为使用G 表象的描述 ②波函数：把态矢展开式中各项的系数（“坐标”）定义为G 表象下的波函数 ③本征函数与本征矢的关系：设本征方程ψ=ψλQ ?又可写作()()G Q G Q ψψ=? 则两边乘G 有()()ψ===ψ=ψ=ψQ G Q G Q G Q Q G Q G ???ψψ 因此：本征函数()ψ=G G ψ就是Q ?的本征态ψ在表象G ?下的“坐标”（波函数） 如果离散谱：()ψ=i i G ψ就是Q ?的本征态ψ在表象G ?的i G 方向上的“坐标” ④结论：算符和态矢量的抽象符号表示不依赖于表象，具体形式依赖于表象选择 但本征函数和波函数相当于“坐标”，依赖于态矢（向量）和表象（基） *注意：第二章在展开态矢量、写算符和本征函数时使用都是位置表象（也称坐标表象） 2.投影算符：我们将使用这个算符统一函数与矢量的内积符号 （1）投影算符：令()()连续谱离散谱dG G G i i P i ?∑==?，称为投影算符 （2）算符约定：求和或积分遍历算符G 的标准（或规格）完备正交基矢量 （3）本征方程：ψ=ψ=ψI P ??，表明投影算符就是单位算符 （4）单位算符代换公式：()()连续谱离散谱dQ G G i i I i ?∑==?
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此文档9.0.1.0版的mathematica为例，侧重函数作图、方程求解、置信区间等方面，仅限学习交流。 以后更新在blog：https://www.360docs.net/doc/815275776.html,/post/228eea_1507ef1，email：misaraty@https://www.360docs.net/doc/815275776.html,。 misaraty 2014.8.9
mathematica简介 (1) 特殊字符插入（希腊字母、积分号、运算符号...） . (3) 特殊排版插入（上下标、根号...） (4) 运算的执行和中断 (4) 已完成计算的简单调用 (4) 数的类型及表达 (4) 数型之间的转换 (5) 系统中常见的数学常量 (6) 函数与变量的命名规则 (7) 变量赋值和变量替换 (7) 表的使用方法 (7) 四则运算 (7) 初等函数 (8) 常用函数 (8) 函数的定义与输入格式 (8) 分段函数 (9) 绘制函数图形 (10) 数据组的绘图 (15) 图形的合并与排列 (16) 计算极限 (17) 求函数导数 (17) 求函数的积分 (18) 求解微分方程 (18) 计算行列式 (19) 方程的求解 (19) 曲线拟合及回归分析 (20) 描述统计 (22) 置信区间 (23) 参考文献 (24)
mathematica简介 mathematica界面： mathematica是美国wolfram research公司于1988年开发的数学计算软件，目前有中文版，人们称之“数学草稿纸”，具有数值计算（计算过程和结果不包含任何未知数/代数，以具体的数值形式进行）、符号计算（运算过程包含代数的运算）及作图功能，每个输入命令需要全名（输入时会有列表提示），还有强大的帮助-参考资料中心等，为数学外学科提供智力支持。