255-20红颜色矩阵

矩阵的定义及其运算规则

矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为： ，或 。即： （2-3） 我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此

都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有： m ×n 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如： 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则： （1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA

矩阵行列式的概念与运算

知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列 式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式 展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数

分块矩阵的应用论文

分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的?就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法?比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵, A B 其中A 0,并且AC CA，则可求得AD BC ;分块矩阵也可以在求解线性 C D 方程组应用? 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利

1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1 分块矩阵的定义 矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的 . 就如矩阵的元素 （ 数） 一 样,特别是在运算中 , 把这些小矩阵当作数一样来处理 . 定义1设A 是一个m n 矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 A 11 ... 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即A .... A r1 . 1.2 分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1 加法 A A ij r s ， B B ij r s ， 其中 A ij ， B ij 的级数相同， A B A ij B ij r s 1.2.2 数乘 kA 1.2.3 乘法 1.2.4 转置 A A ji s r 1.2.5 分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换: A 1s ... ，其中 A ij 表示的是一个矩阵 . A rs 设 A a ij B mn b ij m n ，用同样的方法对 A,B 进行分块 设是任 A a ij mn A ij r s ,k 为任意数， 定义分块矩阵 A A ij r s 与 k 的数乘为 设 A a ij ,B sn n m 分块为 A A ij nm r l ,B B ij l r ，其中 A ij 是 s i n j 矩阵， B ij 是 n i m j 矩阵， 定义分块矩阵A A j rl 和B B ij l r 的乘积为 r C ij A i1 B 1j A i2 B 2j ... A il B lj , i 1,2,...t; j 1,2,3,..., l a ij s n 分块为 A sn A ij r s ，定义分块矩阵 A A ij r s 的转置为 rs

矩阵的各种运算详解

一、矩阵的线性运算 定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为 注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 设矩阵记 , 称为矩阵的负矩阵, 显然有 . 由此规定矩阵的减法为 . 定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为 数与矩阵的乘积运算称为数乘运算. 矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律： 设都是同型矩阵，是常数，则 (1) (2) ; (3) (4) (5) (6) (7) (8) 注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算. 二、矩阵的相乘 定义3设 矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为

其中，( 记号常读作左乘或右乘. 注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算. 若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即 . 矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)： （1） （2） （3） （4） 注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即 例如, 设则 而 于是且 从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出 或 此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设 则 但 定义4如果两矩阵相乘, 有 则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换. 注：对于单位矩阵, 容易证明 或简写成 可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1. 更进一步我们有

命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。 命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价：

矩阵方程的解法

矩阵方程的解法 本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩 阵的最佳逼近解的表达式。最后利用奇异值分解给出了矩阵方程 有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。矩阵方程问 题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。不 同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程 问题。约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析， 勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。 约束矩阵方程问题的内容非常广泛、约束矩阵方程问题又分为线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题、有关线性约束矩阵方程问题的研究成果相当丰富、其中最简单的矩阵方程AX = B是研究最透彻的一类问题、求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是 当矩阵方程无解时，如何求它的最小二乘解。对于本文所研究的AX= B、这两类简单矩阵方程，国内外学者已经作了大量研究。都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些 约束解和最小二乘解的问题。自从针对工程应用领域提出了行对

称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR分解。本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。再对矩阵方程有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解得出了有解时的充要条件及解的表达式。设表示全体n*m阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A的秩,表示次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即=,显然有成立。表示n阶正交矩阵全体。本文要讨论以下问题：问题1 给定矩阵A,B,求实行对称方阵X，使得AX=B。问题2 给定，求，使得。其中为问题1的解集。问题3 给定矩阵,求实行对称方阵X，使得=B。 定义设A = ()，若A满足，则称A为n *m行对称矩阵、所有n *m行对称矩阵的全体记为。考查满足的矩阵A，不难发现A 是关于行具有某种对称性的矩阵，即当阶数n为奇数时，以将行为对称线，矩阵A的行关于该线对称；当阶数n为偶数时，在行与行间做一条直线，则A的行关于该直线对称。或简单的说，将A 进行上下翻转后矩阵不变，我们就称这种矩阵为行对称矩阵。为了更好的了解行对称矩阵，我们介绍一下行对称矩阵的性质：（1）当n=2k时，=、（2）当n=2k+1时，=定义设A=，r(A)=r,的大于零的特征值为。则称为A的奇异值。定义设矩阵A ，若矩阵X满足如下四个Penrose方程：

矩阵的概念和运算

1。4 矩阵的概念和运算 教学要求 : (1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。 (2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系〉 教学内容： 前面介绍了利用行列式求解线性方程组，即Cramer 法则。但是Cramer 法则有它的局限性： 1.0 2. D ≠?? ?所解的线性方程组存在系数行列式（行数＝列数） 同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer 法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念。 一．矩阵的概念 123123123 23124621x x x x x x x x x -+=?? -+-=-??+-=? 它的系数行列式 1 232 4601 1 1 D -=--=- 此时Cramer 法则失效，我们可换一种形式来表示： 123124621111A ?-? ?=--- ? ?-?? 这正是“换汤不换药”， 以上线性方程组可用这张“数表”来表示，二者之间互相翻译。 这种数表一般用圆括号或中括号括起来，排成一个长方形阵式，《孙子兵法》中说道：长方形阵为矩阵。 123246111A -?? ?=-- ? ?-?? 这也是矩阵，是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成，称为“系数矩阵” 而“A ”多了一列常数列，称为以上方程组的“增广矩阵”。 注意：虽然D 和A 很相像，但是区别很大。D 是行列式，实质上是一个数，而A 是一张表格，“数是数，表是表，数不是表，表也不是数”，这是本质意义上不同。况且，行列式行数必须与列数相同，矩阵则未必。 关于以上线性方程组我们后面将介绍。 更一般地，对于线性方程组：

秩约束矩阵方程中若干问题的研究

秩约束矩阵方程中若干问题的研究 【摘要】：1.秩约束下矩阵方程的极秩和秩约束条件下矩阵方程的最小二乘解首先我们给出秩约束条件r(X)=k下r(A-BX)的极小值；其次给出秩约束条件r(x)=k,X≥0下r(A-BXBH)的极小值,其中A∈Cm×m 是Hermite矩阵,B∈Cm×n,r(B)=b；最后给出秩约束条件r(C-AXB)=min下‖C-AXB‖F=min的解,其中A∈Cm×n,B∈Cp×q,C∈Cm×q给定。2.若干矩阵广义逆的表示.首先利用矩阵A的秩为r的子矩阵Aα,*(A*,β)给出矩阵A的{2｝-逆的表示;其次,给出矩阵A的κ-阶子式给出Moore-Penrose逆、群逆的表示,其中κ≥(A)；最后我们应用广义奇异值分解给出一类秩约束条件下矩阵和的Moore-penrose逆的表示。3.EP和加权EP矩阵的刻画.设A∈Cm×m,我们称A是EP矩阵,若R(A)=R(AH).A是EP矩阵当且仅当r[AAH]=r(A).我们首先罗列出已有文献中关于EP矩阵的等价关系,并利用矩阵Moore-Penrose逆、群逆和秩等式r(A)=r(A2)等给出EP矩阵的若干新的刻画,最后,我们给出加权EP矩阵的若干刻画。【关键词】：秩等式EP矩阵分块矩阵广义逆 【学位授予单位】：华东师范大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2011

【分类号】：O151.21 【目录】：摘要6-7Abstract7-8目录8-10第一章引言10-161.1研究背景和现状10-111.2本文的主要工作111.3预备知识11-16第二章秩约束矩阵方程的极大、极小秩16-382.1秩约束下A-BX的极小秩17-242.2秩约束下A-BXB~H的极小秩24-332.3秩约束下[A,X]-[B,C]的极小秩33-38第三章秩约束下矩阵方程的最小二乘解38-543.1秩约束下矩阵方程AXB=C的最小二乘解38-473.2秩约束下矩阵方程BXB~H=A的最小二乘解47-54第四章若干矩阵广义逆的表示54-704.1矩阵{2}-逆的表示54-634.2矩阵Moore-Penrose逆的表示63-664.3秩约束矩阵和的Moore-Penrose逆的表示66-70第五章EP和加权EP矩阵的刻画70-965.1主要引理70-725.2EP矩阵72-795.3加权EP矩阵79-96附录A96-98附录B98-100参考文献100-108在校期间发表/待发表文章目录108-109致谢109 本论文购买请联系页眉网站。

矩阵方程的解法

两类矩阵方程的行对称矩阵解 及AX=B的最佳逼近 摘要本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义 逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩阵的最佳 逼近解的表达式。最后利用奇异值分解给出了矩阵方程T 有行 AXA B 对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。 矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的 解的问题。不同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程问题。约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析，勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。 约束矩阵方程问题的内容非常广泛. 约束矩阵方程问题又分为 线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题. 有关线性约束 矩阵方程问题的研究成果相当丰富. 其中最简单的矩阵方程AX = B 是研究最透彻的一类问题. 求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是当矩阵方程无解时，如何求它的最小

二乘解。对于本文所研究的AX=B 、T AXA B =这两类简单矩阵方程，国 内外学者已经作了大量研究。都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些约束解和最小二乘解的问题。 自从针对工程应用领域提出了行对称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR 分解。 本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B 有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。再对矩阵方程 T AXA B =有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解 得出了有解时的充要条件及解的表达式。 设*m n R 表示全体n*m 阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A 的秩,n J 表示 次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即n J =*0 101n n ?? ? ? ?? ? ,显然有1 ,T n n n n J J J J -==成立。*n n OR 表示n 阶正交矩阵全体。 本文要讨论以下问题： 问题1 给定矩阵A,B ∈*m n ,求实行对称方阵X ，使得AX=B 。

第一讲矩阵的概念运算

第一讲 Ⅰ 授课题目（章节）： §2.1 矩阵的概念； §2.2 矩阵的计算 Ⅱ 教学目的与要求： 理解矩阵概念； 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。 Ⅲ 教学重点与难点： 矩阵的乘法 Ⅳ 讲授内容： §2.1 矩阵 定义2.1 由n m ?个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij ΛΛ=排成的m 行n 列的数表 mn m m n n a a a a a a a a a Λ M M M ΛΛ21222 2111211 称为m 行n 列矩阵,简称n m ?矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作 ?????? ? ??=?mn m m n n n m a a a a a a a a a A ΛM M M ΛΛ212222111211 两个矩阵B A ，，如果都是m 行n 列的，称它们是同型矩阵。否则，称它们是不同型的。 n 行n 列的矩阵n n A ?称为n 阶矩阵（或n 阶方阵），简记为n A 。 只有一行的矩阵)(21n a a a A Λ=称为行矩阵,又称行向量.只有一列的矩阵 ?????? ? ??=n b b b B M 21 称为列矩阵,又称列向量. 定义2.2 如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵,并且它的对应元素相等 ,即

),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij ΛΛ=== 那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =. 元素都是零的m 行n 列矩阵称为零矩阵,记作n m O ?，简记为O .不同型的零矩阵是不同的. ?????? ? ??=100010001ΛM M M ΛΛn I 称为n 阶单位矩阵,简记作I .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0. §2.2 矩阵的运算 1. 矩阵的加法 定义2.3 设有两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为 n m ij ij b a B A ?+=+)( 设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-. 2. 数与矩阵相乘: 定义2.4 数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ?=)(λλ 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ= )(ii A A A μλμλ+=+)( )(iii B A B A λλλ+=+)( 3. 矩阵与矩阵相乘: 定义 2.5 设)(ij a A =是一个s m ?矩阵,)(ij b B =是一个n s ?矩阵,那么规定矩阵

矩阵行列式的概念与运算(标准答案)

矩阵、行列式的概念与运算 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：111213111211122122 2321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ? ?????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如1 11 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式; 算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的 对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解

分块矩阵及其应用

分块矩阵及其应用 徐健,数学计算机科学学院 摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量， 而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix

几类约束矩阵方程问题的理论与计算

几类约束矩阵方程问题的理论与计算 【摘要】：约束矩阵方程问题是指在一定的约束矩阵集合中求矩阵方程(组)的解.其研究是近年来数值代数研究领域的重要课题.本文研究以下几类特殊约束矩阵方程问题的理论与计算.1.两类线性约束矩阵方程问题及其最佳逼近问题的迭代算法提出了求线性矩阵方程组：A1XB1=C1,A2XB2=C2的(最小二乘)双对称解的迭代算法；从算子角度,将十余种常见的矩阵结构约束(如对称、中心对称、自反等)划归为一类特殊的算子约束.针对一般形式的线性矩阵方程组,提出了求这一类特定算子约束(最小二乘)解的迭代算法.在不计舍入误差的前提下,所提出的算法均可在有限步内获得上述线性矩阵方程(组)相应的约束(最小二乘)解,并可解决其最佳逼近问题.2.非线性矩阵方程：Xs+A*X-1A=Q的Hermitian正定解深入研究了非线性矩阵方程：Xs+A*X-tA=Q(s,t为正整数)的定解理论和数值算法.利用矩阵分解原理给出了方程存在Hermitian正定解的两个充分必要条件.给出了方程仅有两个解的充分条件及解的计算公式.研究了AQ(?)=Q(?)A情形下,方程可解的必要条件和解的特性.分析了固定点迭代算法的收敛性,给出了单调收敛条件.此外还考虑了s≥1,0t≤1或0s≤1,t≥1的情形,给出了方程存在Hermitian正定解的充分条件和必要条件.探讨了解的特性,并提出了计算其极端解的免逆迭代算法.3.非线性矩阵方程：Xs-A*X-1A=Q的Hermitian正定解研究了非线性矩阵方程：Xs-A*X-1A=Q(s,t为正整数)的Hermitian正定解.证明了解的存在性.

给出了方程存在唯一解的充分条件.获得了解范围的最新估计.进行了解的扰动分析,导出了一般解和唯一解的扰动界.4.非对称代数Riccati 方程的极小非负解分析了当非对称代数Riccati方程的四个系数矩阵构成一个非奇异M-矩阵或奇异不可约M-矩阵时,方程极小非负解的敏感性.基于不变子空间的扰动性质,导出了极小非负解在任意酉不变范数意义下的扰动界,并获得了条件数的显式表达式.5.TLS问题和LS 问题解的相关量比较在TLS问题和LS问题解残量的比较基础上,在更一般情形下,对TLS问题和LS问题解的加权残量进行了比较.导出了TLS解、改进的LS解及普通LS解加权残量之间的误差界,进一步完善了已有的相关结果.【关键词】：线性矩阵方程双对称矩阵算子约束解非线性矩阵方程Hermitian正定解非对称代数Riccati方程TLS 问题LS问题加权残量 【学位授予单位】：华东师范大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2010 【分类号】：O241.6 【目录】：摘要6-8Abstract8-10目录10-12主要符号对照表12-13第一章前言13-171.1研究背景13-141.2研究现状14-151.3本文的主要工作15-17第二章两类线性约束矩阵方程问题的迭代算法17-662.1矩

矩阵的定义及其运算规则

矩阵的定义及其运算规则

矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或 。即： （2-3）我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a 的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用 表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝

B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1，

如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩 阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）m ×n 表示矩阵A及B的和，则有： 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B 的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A

矩阵的概念及其线性运算

第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念及其线性运算 学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念 矩阵是一张简化了的表格,一般地 ?????? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列，共n m ?个元素，其中第i 行、第j 列的元素 用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ?A 或() i j m n a ?表示。矩阵既然是一张表，就不能象行 列式那样算出一个数来。 所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。 两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。 如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。 在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即 ???? ?? ? ??=100010001 E n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y …… 表示。向量中的元素又称为向量的分量。11?矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。 二．矩阵的加、减运算 如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如

4 矩阵的概念与运算

上海市莘庄中学高三数学训练 板块二：向量矩阵行列式 4 矩阵的概念与运算 一.填空题 1.方程组21 320x y x y +=?? -=?对应的增广矩阵为 . 2.若0ln 1a b π?? ??? 是单位矩阵，则a b -= 3．矩阵A=121037695804-?? ? ? ?-?? ，则23a = ， 32a = ，22a = ，第二行的行向量为 ， 第四列的列向量为 . 4．已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是? ?? ? ??-210211，则y x +=_________. 5.关于 x y 、的方程组 { 2542 x my nx y +=-=的增广矩阵经过变换后得到 ()103011，则() m n = . 6.已知 1 4 1 4x+3 y 2y+7 y x y -+???? = ? ????? ，则x y += . 7.已知32 x-3y 1 7,x+y x-y a b x y A B +-????== ? ????? ，若A=B ，则x y a b +++= 8．某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯30S ，黄灯3S ，红灯20S ，如果分别用1，0，—1表示绿灯、黄灯、红灯，试用23?矩阵表示该路口的时间设置为 . 9.已知A=754312541?? ? ? ???，B=121211111?? ? ? ?-?? ，则2A+B= 10.设矩阵A 为33?矩阵，且规定其元素,,ij ij i j a i j i j =?=? +≠?，其中,1,2,3i j =，那么A 中所有元素之和为 . 11．若二元一次方程组的增广矩阵为 6 -4 58 -3 2? ? ??? ，则以该方程的解为坐标的点和圆C ：2 24x y +=的位置 关系为 . 12.定义 1* 111,11n n n n x x n N y y ++-??????=∈ ? ? ???????， 为向量(,)n n n op x y = 到向量111(,)n n n OP x y +++= 的一个矩阵变换，设向量1(1,0)OP = ，O 为坐标原点，则2013OP 的坐标为 13．已知一个九行九列的矩阵中的元素是由互不相等的 81 个数组成: ? ?? ??a 11 a 12 ? a 19 a 21 a 22 ? a 29 ? ? ? ?a 91 a 92 ? a 99 , 若每行9个数 与每列的9个数按表中顺序分别构成等差数列，且正中间的一个数a 55=7则矩阵中所有元素之和为_____________. 14.设n 阶方阵??????? ? ? ? -+-+-+--+++-+++-=125)1(23)1(21)1(2165434141452321 2125312n n n n n n n n n n n n n n n n A n ， 任取n A 中的一个元素，记为1x ；划去1x 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成1-n 阶方阵 1-n A ，任取1-n A 中的一个元素，记为2x ；划去2x 所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为n x ， 记n n x x x S +++= 21，则n n x x x S +++= 21，则1 lim 3+∞ →n S n n =______________. 二.选择题 15.关于x 、y 的二元一次方程组1, 323,mx y mx my m +=-??-=+? 的系数行列式0D =是该方程组有解的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既非充分也非必要条件 16.已知A(3,1),B(5,2)，则表示AB 的列向量为（ ） A 、21?? ? ?? B 、21-?? ?-?? C 、 3 51 2?? ??? D 、 5 32 1?? ? ?? 三.解答题 17.已知矩阵A=3021?? ?-??，矩阵B=2122-?? ??? ，求矩阵X ，使期满足2A －3X-=B. 18.已知(4)n n ≥阶方阵1112131212223 2123 n n n n n nn a a a a a a a a a a a a ?? ? ? ??? 中的各元素均为正数， 其中每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列．已知23348 20a a ==， ， (1) 求11a 和ik a 的值； (2) 计算行列式 1112 2122 a a a a 和im ik jm jk a a a a ；

分块矩阵的应用研究报告

1引言 在数学名词中，矩阵（英文名Matrix ）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据.这个定义很好的解释了Matrix 代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵.把它用在解线性方程组上既方便，又直观.例如对于方程组 111122223333 (1.1)(1.2)(1.3) a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=++=++= 我们可以构成一个矩阵 111122223 3 3 3(1.4)a b c d a b c d a b c d ?? ???????? 因为这些数字是有规则的排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来.数学上，一个*m n 矩阵乃一个m 行 n 列的矩形阵列.矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成. 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常用于很多学科中.如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等.在实际生活中有许多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算的证明中则会是一个很繁琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解决，矩阵分块的思想由此产生，对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分，分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并

矩阵的概念及其线性运算

.. 第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念及其线性运算 学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念 矩阵是一张简化了的表格,一般地 ?????? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列，共n m ?个元素，其中第i 行、第j 列的元素 用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ?A 或() i j m n a ?表示。矩阵既然是一张表，就不能象行 列式那样算出一个数来。 所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。 两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。 如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。 在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即 ?????? ? ? ?=10 0010001Λ ΛΛΛΛΛΛE n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列 向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。向量中的元素又称为向量的分量。11?矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。 二．矩阵的加、减运算 如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如

分块矩阵在行列式计算中的应用

矩阵与行列式的关系 矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1． 行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势． 矩阵的定义 有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法． 定义1[]2 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则 ?? ?? ? ? ? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A 21 22221 11211 ， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）． 注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块，