数学分析知识点总结

第一篇 分析基础 1.1收敛序列

（收敛序列的定义）

定义：设}{n x 是实数序列，a 是实数，如果对任意0>ε都存在自然数N ，使得只要N n >，就有

ε<-a x n

那么}{n x 收敛，且以a 为极限，称为序列}{n x 收敛收敛于a ，记为

a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n

定理1：如果序列}{n x 有极限，那么它的极限是唯一的。

定理2（夹逼原理）：设}{n x ，}{n y 和}{n z 都是实数序列，满足条件

N n z y x n n n ∈?≤≤,

如果a z x n n ==lim lim ，那么}{n y 也是收敛序列，且有

a y n =lim

定理3：设}{n x 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价

（1） 序列}{n x 以a 为极限； （2） {}n x a -是无穷小序列； （3） 存在无穷小序列{}n a 使得

,

1,2,.n n x a a n =+=

（收敛序列性质）

定理4：收敛序列}{n x 是有界的。 定理5：

（1）设a x n =lim ，则a x n =lim 。

（2）设a x n =lim ，b y n =lim ，则b a y x n n ±=±)lim(。 （3）设a x n =lim ，b y n =lim ，则ab y x n n =)lim(。

（4）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，则a

x n 11lim

=。 （5）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，b y n =lim ，则lim lim

lim n n n n y y b x x a

==。 （收敛序列与不等式）

定理6：如果lim lim n n x y <，那么存在0N N ∈，使得0n N >时有

n n x y <

定理7：如果}{n x 和{}n y 都是收敛序列，且满足

0,

,n n x y n N ≤?>

那么

lim lim n n x y ≤

1.2 收敛原理

（单调序列定义）

定义：（１）若实数序列}{n x 满足

1,,n n x x n N +≤?∈

则称}{n x 是递增的或者单调上升的，记为

{}.n x ↑

（２）若实数序列{}n y 满足

1,,n n y y n N +≥?∈

则称{}n y 是递减的或者单调下降的，记为

{}n y ↓

（３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。

定理１：递增序列}{n x 收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为sup{}n x 。 定理1推论：递减序列{}n y 收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为inf{}n x 。 扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理1和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为

10,

,n n x x n N +≤?>

及

10,

,n n y y n N +≥?>

（自然对数的底e ）

自然对数的底e 通过下面这个式子求得

1lim 1n

n e n →+∞

??

=+ ???

我们先来证明序列11n

n x n ??

=+ ???是收敛的。

（1）序列11n

n x n ??

=+ ???

是单调上升的。

111112111(1)(1)(1)

2!3!1121(1)(1)(1)!1121(1)(1)(1)

!n

n x n n n n k k n n n n n n n n

??

=+=++-+-- ???

-++----++---

1

1111112111(1)(1)(1)12!13!111121(1)(1)(1)

!1111121(1)(1)(1)

!111112(1)(1)(1)(1)!111

n n x n n n n k k n n n n n n n n n n n n n ++?

?=+=++

-+-- ?

++++??

-++---+++-++---++++---++++ 对比n x 和1n x +的展开式，1n x +前面1n +项的每一项都比n x 中相应项要大，即

112

1112

1

(1)(1)(1)(1)(1)(1)!11

1!k k k n n n k n n

n

-----

>---

+++ 除此之外1n x +还比n x 在最后多一个正项。因此我们得出n x 是单调上升的，即

1,,n n x x n N +

（2）序列11n

n x n ??

=+ ???

是有上界的。

21111121

111(1)(1)(1)

(1)2!!111

11222

1112

113

111122

n

n n

n

n x n n n n n n

-??

=+=++-++---

???

<+++++??- ?

??=+<+=--

序列11n

n x n ??

=+ ???

是单调上升且有上界，因此必是收敛的，此收敛值用e 表示。通过计算机

模拟，我们可以得到e 的近似值，前几位是2.718281828459045…

在数学中，以e 为底的对数称为自然对数，e 称为自然对数的底，正实数x 的自然对数通常记为ln x ，log x 或者log e x 。

（闭区间套原理）

定理2（闭区间套原理）：如果实数序列{}n a 和{}n b （或闭区间序列[]{}

,n n a b ）满足条件 （1）[][]11,,n n n n a b a b --?（或者11,1n n n n a a b b n --≤≤≤?>） （2）()lim 0n n b a -= 那么

（i ）闭区间序列[]{}

,n n a b 形成一个闭区间套。 （ii ）实数序列{}n a 和{}n b 收敛于相同的极限值c 。

lim lim n n a b c ==

（iii ）c 是满足以下条件的唯一实数值。

,n n a c b n N ≤≤?∈

证明：

（ii ）由条件（1）可得

111n n n n a a b b b --≤≤≤≤≤

我们可以看到{}n a 单调上升而有上界，{}n b 单调下降而有下界，因此{}n a 和{}n b 都是收敛序列。由条件（2）可得()lim lim lim 0n n n n b a b a -=-=，因此实数序列{}n a 和{}n b 收敛于相同的极限值。

lim lim n n a b c ==

（iii ）因为

{}{}sup inf n n c a b ==

所以显然有

,n n a c b n N ≤≤?∈

假如还有一个实数'c 满足

',n n a c b n N ≤≤?∈

由于

lim lim n n a b c ==

那么根据夹逼准则，有

'lim 'lim lim n n c c a b c ====

则证明了c 是唯一的。

（Bolzano-Weierstrass 定理） 定义：设{}n x 是实数序列，而

1231k k n n n n n +<<<

<<<

是一串严格递增的自然数，则

1231,,,,,,

k k n n n n n x x x x x +

也形成一个实数序列。我们把序列{}

k n x 叫做序列{}n x 的子序列（或部分序列），要注意的是子序列{}

k n x 的序号是 k 。

定理3：设序列{}n x 收敛于a ，则它的任何子序列{}

k n x 也都收敛于同一极限a 。 证明：对于任意0ε>，存在0N N ∈，使得只要0n N >，就有

n x a ε-<

当0k N >时就有0k n k N ≥>，因而此时有

k n x a ε-<

定理4（Bolzano-Weierstrass ）：设{}n x 是有界序列，则它具有收敛的子序列。

（柯西收敛原理）

柯西序列定义：如果序列{}n x 满足条件：对于任意0ε>，存在0N N ∈，使得当0,m n N >时，就有

m n x x ε-<

则此序列为柯西序列，又称基本序列。 引理：柯西序列{}n x 是有界的。

证明：对于任意1ε=，存在0N N ∈，使得当0,m n N >时，就有

1m n x x -<

于是对于0n N >，我们有

0001111n n N N N x x x x x +++≤-+<+

若记

{

}

00121max ,,

,,1N N K x x x x +=+

则有

,n x K n N ≤?∈

定理5（收敛原理）：序列{}n x 收敛的必要充分条件是：对任意0ε>，存在0N N ∈，使得当0,m n N >时，就有

m n x x ε-<

换句话说：

序列{}n x 收敛?{}n x 序列是柯西序列

1.3 无穷大

定义：（1）设{}n x 是实数序列，如果对任意正实数E ，存在自然数N ，使得当n N >时就有

n x E >

那我们就说实数序列{}n x 发散于+∞，记为

lim n x =+∞

（2）设{}n y 是实数序列，如果对任意正实数E ，存在自然数N ，使得当n N >时就有

n y E <-

那我们就说实数序列{}n y 发散于-∞，记为

lim n y =-∞

（3）设{}n z 是实数序列，如果序列{}

n z 发散于+∞，即l i m n z =+∞，那么我们就称{}n z 为无穷大序列，记为

lim n z =∞

注记：（1）若集合E R ?无上界，则记

sup E =+∞

（2）若集合F R ?无下界，则记

sup F =-∞

定理1：单调序列必定有（有穷的或无穷的）极限，具体而言是： （1）递增序列{}n x 有极限，且

{}lim sup n n x x =

（2）递减序列{}n y 有极限，且

{}lim inf n n y y =

定理2：设{}n x 和{}n y 是实数序列，满足条件

,

n n x y n N ≤?∈

则有：

（1）如果lim n x =+∞，那么lim n y =+∞； （2）如果lim n y =-∞，那么lim n x =-∞。

定理3：如果lim n x =+∞（或-∞，或∞），那么对于{}n x 的任意子序列{}

k n x 也有

lim k n x =+∞（或-∞，或∞）

定理4：设0,n x n N ≠?∈，则

{}n x 是无穷大序列?1n x ??

?

???

是无穷小序列 扩充的实数系：{,}R R =?-∞+∞

定理5：实数序列{}n x 至多只能有一个极限。 扩充的实数系R 中的运算： （1）如果x R ∈，那么

()()x x +±∞=±∞+=±∞

()x -±∞=∞

（2）如果x R ∈，0x >，那么

()()x x ?±∞=±∞?=±∞

如果y R ∈，0y <，那么

()()y y ?±∞=±∞?=∞

（3）如果x R ∈，那么

0x x ==+∞-∞

（4）()()+∞++∞=+∞，()()+∞--∞=+∞

()()-∞+-∞=-∞，()()-∞-+∞=-∞ ()()+∞?+∞=+∞，()()-∞?-∞=+∞ ()()()()+∞?-∞=-∞?+∞=-∞

（5）除此之外，其余都没有定义。

1.4 函数的极限

0x 点的η领域：00000(,)(,){|||},,,0U x x x x R x x x R ηηηηηη=-+=∈-<∈> 0x 点的去心η领域：

000000(,)(,)\{|0||},,,0U x x x x x R x x x R ηηηηηη=-+=∈<-<∈>

+∞的去心H 领域：(,)(,){|},,0U H H x R x H H R H +∞=+∞=∈>∈> -∞的去心H 领域：(,)(,){|},,0U H H x R x H H R H -∞=-∞-=∈<-∈>

统一叙述：对于a R ∈，我们用()U a 表示a 的某个去心邻域，当a 为有穷实数时，()U a 的形式为(,)U a η，当a =±∞时，()U a 的形式为(,)U H ±∞。

函数极限的序列式定义：设,a A R ∈（a 和A 都可以是有穷实数或者±∞），并设函数()f x 在a 的某个去心邻域()U a 上有定义。如果对于任何满足条件n x a →的序列{}()n x U a ?，相应的函数值序列{()}f x 都以A 为极限，那么我们说当x a →时，函数()f x 的极限为A ，记为

lim ()x a

f x A →=

简单例子如：l i m s i n s i n x a

x

a →=；lim cos cos x a

x a →=；lim ||||x a

x a →=；lim x a

x a →=；

1lim sin

0x x x →=，因为1|sin |||x x x ≤；0lim 1sin x x x →=，因为cos 1sin x x x <

<；sin lim 0x x

x

→∞=，因为sin 1

||||

x x x ≤。

定理1：函数极限lim ()x a

f x →是唯一的。

定理2（夹逼原理）：设()f x ，()g x 和()h x 在a 的某个去心邻域()U a 上有定义，并且满足不等式

()()(),()f x g x h x x U a ≤≤?∈

如果

lim ()lim ()x a

x a

f x h x A →→==

那么

lim ()x a

g x A →=

定理3：关于函数的极限，有以下的运算法则：

lim(()())lim ()lim ()x a

x a

x a

f x

g x f x g x →→→±=±

lim(()())lim ()lim ()x a

x a

x a

f x

g x f x g x →→→=?

lim ()()lim ()lim ()

x a

x a x a

g x g x f x f x →→→= 定理4（复合函数求极限）：设函数g 在b 点的某个去心邻域()U b 上有定义，lim ()y b

g y c →=。

又设函数f 在a 点的某个去心邻域()U a 上有定义，f 把()U a 中的点映射到()U b 之中（用记号表示就是：(())()f U a U b ?）并且lim ()x a

f x b →=，则有

lim (())x a

g f x c →=

多项式函数与有理数分式函数求极限的法则如下： （1）设()P x 是任意多项式，a R ∈，则

lim ()()x a

P x P a →=

（2）设()P x 是任意多项式，()Q x 是非零多项式a R ∈，()Q a 不都是0，则

()()

lim

()()

x a P x P a Q x Q a →=

（3）设

1011

0100(),

(),0,0

m m m n

n n P x a x a x a Q x b x b x

b a b --=+++=++

+≠≠，则

00,

()lim ,()

0,

x m n a P x m n Q x b m n

→∞?+∞>??==???

100100,()lim lim ,()0,

m m m n x x n n

m n a

a a a P x x x x

m n b b Q x b b x x m n

-→∞→∞?

+∞>?

??+++ ??=== ?? ??++

+?

??

1.5单侧极限

定义（序列方式）：设R A R a ∈∈,，并设函数)(x f 在),(a a η-有定义。如果对任意满足条件a x n →的序列),(}{a a x n η-?，相应的函数值序列)}({n x f 都以A 为极限，那么我们就说：-

→a x 时函数)(x f 的极限为A ，记为

A x f a x =-

→)(lim

定义（δε-方式）：设R A a ∈,，并设函数)(x f 在),(a a η-有定义。如果对任意0>ε，存在0>δ，使得只要

a x a <<-δ

就有

ε<-|)(|A x f

那么我们就说：-

→a x 时函数)(x f 的极限为A ，记为

A x f a x =-

→)(lim

定义（δε-方式，特殊的+∞=?A R A ,）：设R a ∈，并设函数)(x f 在),(a a η-有定义。如果对任意0>E ，存在0>δ，使得只要

a x a <<-δ

就有

E x f >)(

那么我们就说：-

→a x 时函数)(x f 的极限为∞+，记为

+∞=-

→)(lim x f a x

可用类似的方式来定义+

→a x 的极限。

定理1：设R a ∈，并设函数)(x f 在a 点的去心邻域),(ηa U

上有定义。则极限)(lim x f a

x →存

在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等：

A x f x f a

x a x ==+-

→→)(lim )(lim

当这条件满足时，我们有

A x f a

x =→)(lim

单调函数定义：设函数f 在集合R S ?上有定义。

（1）如果对任意S x x ∈21,，21x x <，都有

)()(21x f x f ≤

那么我们就说函数f 在集合S 上是递增的或者单调上升的。 （2）如果对任意S x x ∈21,，21x x <，都有

)()(21x f x f ≥

那么我们就说函数f 在集合S 上是递减的或者单调下降的。 （3）单调上升函数与单调下降函数统称为单调函数。

1.6 连续与间断

定义I ：设函数)(x f 在0x 点的邻域),(0ηx U 上有定义。如果对任何满足条件0x x n →的序列),(}{0ηx U x n ?，都有

)()(lim 00

x f x f n x x n =→

那么我们就说函数f 在0x 点连续，或者说0x 点事函数f 的连续点。

定义II ：设函数)(x f 在0x 点的邻域),(0ηx U 上有定义。如果对任意0>ε，存在0>δ，使得只要δ<-||0x x ，就有

ε<-|)()(|0x f x f

那么我们就说函数f 在0x 点连续，或者说0x 点事函数f 的连续点。

定理1：设函数f 在0x 点连续，则存在0>δ，使得函数f 在),(0δx U 上有界。（证明过程参考函数极限）

定理2：设函数)(x f 和)(x g 在0x 点连续，则 （1）)()(x g x f ±在0x 点连续； （2）)()(x g x f ?在0x 点连续； （3）

)

()

(x g x f 在使得0)(0≠x g 的0x 处连续； （4）)(x cg 在0x 点连续。

定理3：设函数)(x f 在0x 点连续，则函数|)(|x f 也在0x 点连续. 证明：|)()(|||)(||)(||00x f x f x f x f -≤-，余下易证。

定理4：设函数)(x f 和)(x g 在0x 点连续。如果00()()f x g x <，那么存在0δ>，使得对于0(,)x U x δ∈有

()()f x g x <

定理5（复合函数的连续性）：设函数)(x f 在0x 点连续，函数()g y 在00()y f x =点连续，那么复合函数(())g f x 在0x 点连续.

定义单侧连续：设函数)(x f 在00(,]x x η-上有定义，如果

0lim ()()x x f x f x -

→=

那么我们就说函数)(x f 在0x 点左侧连续。类似的可以定义右侧连续。引入记号

00()lim (),()lim ()x x x x f x f x f x f x -+

-+→→== 我们知道极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等（这个相等值为极限值A ，不一定是该点的函数值0()f x ），可以写成

00()()f x f x A -+

==

但是如果在0x 点左连续和右连续，则说明在0x 点两个单侧极限存在并且相等，且这个相等的值一定是该点的函数值0()f x ），可以写成

000()()()f x f x f x -+==

)(x f 在0x 点左连续和右连续是)(x f 在0x 点连续的充分必要条件。

简单的说就是：

00000()()()()()

f x x f x x f x x f x x f x ??在点连续在点左连续,右连续

在点连续在点两个单侧极限存在,且值为

定理6：设函数)(x f 在0(,)U x η上有定义，则)(x f 在0x 点连续的充分必要条件是

000()()()f x f x f x -+==

反过来说，如果)(x f 在0(,)U x η上有定义，但)(x f 在0x 点不连续，则称0x 为间断点。有情形I 和情形II ，这两种情形下0x 点分别成为第一类间断点和第二类间断点。 情形I （第一类间断点）：两个单侧极限都存在，但

00()()f x f x -+

≠

或者

000()()()f x f x f x -+=≠

情形II （第二类间断点）：至少一个单侧极限不存在。

注意：单侧极限存在并不代表单侧连续，如果)(x f 在0x 点单侧极限存在，并且此极限值等于)(x f 在0x 点的函数值0()f x ，那么就说)(x f 在0x 点单侧连续。

简单的例子，例如函数

sin ,0()0,

0x

x f x x

x ?≠?

=??=? (0)(0)(0)f f f -+=≠，0为第一类间断点。如果改成

sin ,0()1,

0x

x f x x

x ?≠?

=??=? (0)(0)(0)1f f f -+===，则0是连续点。

例如函数

1

sin ,

0()0,

0x f x x

x ?≠?=??=? 左右侧不连续，故0是第二类间断点。

狄里克莱（Dirichlet ）函数

1,()0,

x D x x ?=?

?如果是有理数

如果是无理数

任何x R ∈都是函数D 的第二类间断点。 黎曼（Riemann ）函数

1,,0()0,

q x p q q R x x >?=?

?如果是既约分数如果是无理数

所有五里店都是黎曼函数的连续点；所有有利点都是第一类间断点。

1.7 闭区间上连续函数的重要性质

函数在闭区间上连续的定义：如果函数f 在闭区间[,]a b 上有定义，在每一点(,)x a b ∈连续，在a 点右侧连续，在b 点左侧连续，那么我们就说函数f 在闭区间[,]a b 上连续。

引理：设{}[,]n x a b ?，0n x x →，则0[,]x a b ∈。

定理1：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续。如果()f a 与()f b 异号，那么必定存在一点

(,)c a b ∈，使得

()0f c =

定理2（介值定理）：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续。如果闭区间的两端点的函数值

()f a α=与()f b β=不相等，那么在这两点之间函数f 能够取得介于α与β之间的任意

值γ。这就是说，如果()()f a f b γ<<，那么存在(,)c a b ∈，使得

()f c γ=

定理3：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在闭区间[,]a b 上有界。

定理4（最大值与最小值定理）：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，M ，m 分别是函数f 在闭区间[,]a b 上的最大值与最小值，记

[,]

[,]

sup (),inf ()x a b x a b M f x m f x ∈∈==

则存在',''[,]x x a b ∈，使得

('),

('')f x M f x m ==

一致连续定义：设E 是R 的一个子集，函数f 在E 上有定义，如果对任意0ε>，存在0δ>，使得只要

1212,,||x x E x x δ∈-<

就有

12|()()|f x f x ε-<

那么j 我们就说函数f 在E 上是一致连续的。

定理5（一致连续性定理）：如果函数f 在闭区间[,]I a b =连续，那么它在I 上是一致连续的。

1.8 单调函数和反函数

引理：集合J R ?是一个区间的充分必要条件为：对于任意两个实数,J αβ∈，介于α和β之间的任何实数γ也一定属于J 。

定理1：如果函数f 在区间I 上连续，那么

(){()|}J f I f x x I ==∈

也是一个区间。

定理2：如果函数f 在区间I 上单调。则函数f 在区间I 上连续的充分必要条件为：()f I 也是一个区间。

反函数定义：设函数f 在区间I 上连续，则()J f I =也是一个区间。如果函数f 在区间I 上严格单调，那么f 是从I 到()J f I =的一一对应。这时，对任意()y J f I ∈=，恰好只有一个x I ∈能使得()f x y =。我们定义一个函数g 如下：对任意的y J ∈，函数值()g y 规定为由关系()f x y =所决定的唯一的x I ∈。这样定义的函数g 称为是函数f 的反函数，记为

1g f -=

我们看到，函数f 及其反函数1

g f -=满足如下关系：

()()g y f f x y =?=

定理3：设函数f 在区间I 上严格单调并且连续，则它的反函数1

g f -=在区间()J f I =上

严格单调并且连续。

1.9 指数函数，对数函数和初等函数连续性小结

定理1：设,1a R a ∈>，则有 （1）lim x

x a →∞

=+∞

（2）lim 0x

x a →-∞

=

定理2：初等函数在其有定义的范围内是连续的。