最优化方法及其应用考试提纲

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最优化方法及其应用第一章最优化问题总论收敛速度的计算

线性收敛

超线性收敛

二阶收敛

计算终止准则

1.点距准则

2.函数下降量准则

3.梯度准则

最优化算法分类

1.典型算法

2.构造型算法

3.改进算法

最优化问题的分类

函数优化问题

组合优化问题第二章最优化问题的数学基础根据二次型写出

矩阵形式对称矩阵正定性的判断

梯度与方向导数

Hesse矩阵的计算

第三章线性规划及其对偶问题(计算线性规划问题的标注形式

单纯形法

大M法

两阶段法

由原问题写出对偶问题

线性规划问题的灵敏度分析

价值系数的变化(基变量,非基变量资源系数的变化第四章一维搜索法(计算

搜索区间的确定-加布探索法

Newton 切线法

黄金分割法

第五章常用无约束最优化方法(计算最速下降法

Newt on 法

修正newton 法

共轭梯度法

变尺度法坐标轮换法

单纯形法

第六章常用约束最优化方法(填空,简答

第八章多目标优化

绝对最优解集,有效解集,弱有效解集解的性质

第十章最优化问题程序设计方法

五种最优化方法

五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1)无约束和有约束条件; 2)确定性和随机性最优问题(变量是否确定); 3)线性优化与非线性优化(目标函数和约束条件是否线性); 4)静态规划和动态规划(解是否随时间变化)。 1.2最优化问题的一般形式(有约束条件): 式中f(X)称为目标函数(或求它的极小,或求它的极大),si(X)称为不等式约束,hj(X)称为等式约束。化过程就是优选X,使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)是求解函数极值的一种方法; 3)是一种函数逼近法。 2.2原理和步骤

3.最速下降法(梯度法) 3.1最速下降法简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)是求解函数极值的一种方法; 3)沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向; 3.2最速下降法算法原理和步骤

4.模式搜索法(步长加速法) 4.1简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)不需要求目标函数的导数,所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3)模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向,而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤

5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中,衡量一个方案的好坏标准往往不止一个,多目标最优化的数学描述如下:min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系,进

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最优化方法及其应用 作者:郭科 出版社:高等教育出版社 类别:不限 出版日期:20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4

组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载

最优化方法及应用

陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授,曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是:最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10-11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”(每周两次,每次两节课),对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生,以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程,修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间:每周二及周四下午2:00开始,在闵行新校区第三教学楼326教室。(自10月11日至11月8日) 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注:这是一门约二十学时左右的短期课程,旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法,及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系

《最优化方法与应用》实验指导书

《最优化方法与应用》 实验指导书 信息与计算科学系编制

1 实验目的 基于单纯形法求解线性规划问题,编写算法步骤,绘制算法流程图,编写单纯形法程序,并针对实例完成计算求解。 2实验要求 程序设计语言:C++ 输入:线性规划模型(包括线性规划模型的价值系数、系数矩阵、右侧常数等) 输出:线性规划问题的最优解及目标函数值 备注:可将线性规划模型先转化成标准形式,也可以在程序中将线性规划模型从一般形式转化成标准形式。 3实验数据 123()-5-4-6=Min f x x x x 121231212320 324423230,,03-+≤??++≤??+≤??≥? x x x x x x st x x x x x

1 实验目的 基于线性搜索的对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法等的原理及方法,编写算法步骤和算法流程图,编写程序求解一维最优化问题,并针对实例具体计算。 2实验要求 程序设计语言:C++ 输入:线性搜索模型(目标函数系数,搜索区间,误差限等) 输出:最优解及对应目标函数值 备注:可从对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法中选择2种具体的算法进行算法编程。 3实验数据 2211 ()+-6(0.3)0.01(0.9)0.04 = -+-+Min f x x x 区间[0.3,1],ε=10-4

实验三 无约束最优化方法 1实验目的 了解最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等的基本原理及方法,掌握其迭代步骤和算法流程图,运用Matlab 软件求解无约束非线性多元函数的最小值问题。 2实验要求 程序设计语言:Matlab 针对实验数据,对比最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等算法,比较不同算法的计算速度和收敛特性。 3实验数据 Rosenbrock's function 222211()(100)+(1-)=-Min f x x x x 初始点x=[-1.9, 2],,ε=10-4

最优化方法及其Matlab程序设计

最优化方法及其Matlab程序设计 1.最优化方法概述 在生活和工作中,人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案,并通过各方面的论证,从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。最优化是每个人,每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说,是考虑如何用最少的材料,最大的性能价格比,设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说,则是如何合理、充分使用现有的设备,减少库存,降低能耗,降低成本,以实现企业的最大利润。 由于优化问题无所不在,目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域,如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等,并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术,它包含两个方面的内容: 1)建立数学模型。 即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2)数学求解。 数学模型建好以后,选择合理的最优化算法进行求解。 最优化方法的发展很快,现在已经包含有多个分支,如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 2.最优化方法(算法)浅析 最优化方法求解很大程度上依赖于最优化算法的选择。这里,对最优化算法做一个简单的分类,并对一些比较常用的典型算法进行解析,旨在加深对一些最优化算法的理解。 最优化算法的分类方法很多,根据不同的分类依据可以得到不同的结果,这里根据优化算法对计算机技术的依赖程度,可以将最优化算法进行一个系统分类:线性规划与整数规划;非线性规划;智能优化方法;变分法与动态规划。 2.1 线性规划与整数规划 线性规划在工业、农业、商业、交通运输、军事和科研的各个研究领域有广泛应用。例如,在资源有限的情况下,如何合理使用人力、物力和资金等资源,以获取最大效益;如何组织生产、合理安排工艺流程或调制产品成分等,使所消耗的资源(人力、设备台时、资金、原始材料等)为最少等。 线性规划方法有单纯形方法、大M法、两阶段法等。 整数规划有割平面法、分枝定界法等。 2.2 非线性规划 20世纪中期,随着计算机技术的发展,出现了许多有效的算法——如一些非线性规划算法。非线性规划广泛用于机械设计、工程管理、经济生产、科学研究和军事等方面。

最优化方法及其应用课后答案

1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为: 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出: s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 (1) 无约束最优点,并求出最优值。 (2) 约束最优点,并求出其最优值。 (3) 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ,其约束最优解是什么? * 解 :(1)在无约束条件下, f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上,不难看出,当 x =(3,4) 时, f (x ) 取最小值,即,最优点为 x * =(3,4):且最优值为: f (x * ) =0 (2)在约束条件下, f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示,此时,求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ,使其落在半径最小的同心圆上,显然,从图示中可 以看出,当 x * = 15 , 5 ) 时, f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中:点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点,令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到: ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) :最优值为: f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 (3).若增加一个等式约束,则由图可知,可行域为空集,即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ,怎样设计可使油箱的容量最大?试列出这个优 化问题的数学模型,并回答这属于几维的优化问题. 解:列出这个优化问题的数学模型为: max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S

最优化求解法在实际问题中的应用

本科毕业论文 (2014届) 题目:最优化求解法在实际问题中的应用学院:计算机与科学技术学院 专业:数学与应用数学 班级:10数本班 学号:1006131084 姓名:严慧 指导老师:孙钢钢

目录 1.摘要 (3) 2.关键字 (3) 3.引言 (3) 4.最优化求解法在实际问题中的应用 (4) 4.1.无约束最优化问题的求解............................................... ....... 4.2.有约束最优化问题的求解............................................... ....... 4.3.线性规划问题的求解............................................... ........... ... 4.4.非线性规划问题的求解............................................... ........... 5.结束语................................................................................................参考书目

1.摘要:本文介绍最优化及相关知识在实际生活中的应用,主要是利用运筹 学来研究解决在实际生活中所遇到的一些问题,找到最优的解决方案,帮助人们提供最好的最有科学依据的最佳方法。 2.关键字:最优化,运筹学,生活,应用。 Abstract:This paper introduced the Optimization in the real life application,this is use of Operations research to solve the problem in real life,finding the best solution,and provide the best and scientifically valid solution to the people . Key words: Optimization, Operations research, life, application. 3.引言 随着社会迅速发展,各行各业中的竞争日益激烈,我们日常生活中好多事情都会牵扯到最优化,比如运输成本问题、效益分配问题等等。 什么是数学最优化问题,就是利用合理的安排和规划在一件事情或者问题上取得利润最大,时间最少,路线最短,损失最少的方法。所以最优化解决方法对实际生活现实社会的帮助作用很大。现如今,最优化解决问题已经渗透到生活中的方方面面。 一个好的决策也许会让你绝处逢生,反败为胜,譬如中国历史上田忌赛马的故事,田忌的聪明之处在于在已有的条件下,经过策划安排,选择了最好的方案,所以最后就是自己看似劣势也能取胜,筹划是非常重要的,这就是运筹学的魅力。 我们在中国的古代史上就可以看到中国古人已经具有很好的运筹学思想了,在战争中,两兵交战,各方都会有自己的军师,历史上有很多著名的军师,比如诸葛亮,刘伯温等。他们在战争中所起到的作用就是“运筹于帷幄之中,决胜于千里之外”,运筹学二字也是来源于此,了解敌方的军情,以此做出相应的对策,筹划最佳作战计划,做到“知己知彼百战不殆”,历史上也不乏一些以少胜多以弱胜强的战争,由此可见运筹学在军事中的力量有多强大。 现代社会中运筹学不仅在军事方面发挥着重要作用,同样在企业经营管理方面也是非常重要的,最优化理论最早是在工业领域产生的,它的对象可以是产

最优化方法在计算机专业的应用

动态规划方法在计算机专业的应用 科目:最优化方法 姓名:*** 专业:计算机科学与技术 学号:201320405 指导老师:*** 日期:2014/1/9

动态规划方法在计算机专业的应用 摘要:最优化方法是一门很有用的学科,本文结合计算机专业,讨论了用动态规划方法解决计算最长公共子序列、最大字段和、背包问题的过程,并对比其它算法以说明动态规划方法的高效、实用。 关键词:动态规划,最优化,算法分析 Abstract: The optimization method is a useful discipline, this paper, a computer professional, discusses the process used to calculate the dynamic programming method to solve the longest common subsequence, the maximum field and, knapsack problem, and compared to other algorithms to illustrate the dynamic programming method efficient and practical. Keywords: dynamic programming, optimization, algorithm analysis 动态规划(dynamic programming)是通过结合子问题的解而解决整个问题的。(此处“programming”是指一种规划,而不是指写计算机代码。)动态规划适用于子问题不是独立的情况,也就是各子问题包含公共的子子问题。在这种情况下,若用分治法则会做很多不必要的工作,即重复地求解公共的子子问题。动态规划算法对每个公共的子子问题只求解一次,将其结果保存在一张表中,从而避免了每次遇到各个子问题时重新计算答案。 一、算法设计与优化 动态规划通常应用于最优化问题。此类问题可能有很多可行解。

最优化方法在化学工程中到的应用

最优化方法在化学工程中到的应用 摘要:随着高新技术、信息技术及计算机领域的飞速发展,最优化在众多领域的应用日益广泛,涉及问题的规模越来越大,复杂程 度越来越高。最优化方法主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据。其目的在于针对所研究的系统,求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案,发挥和提高系统的效能及效益,最终达到系统的最优目标。随着最优化理论的发展,最优化模型和算法的不断完善、创新,如遗传算法、神经网络的建立,进一步为建立可靠模型、精确求解铺平道路。在化工生产与产品销售过程中,最优化的踪迹更是无处不在,如生产设备最优化、生产流程最优化、运输管道最优化、产品利润最优化,以及涉及相关化学实验、化学反应动力学的最优化模型。最优化方法的日益成熟使化工生产低投入高产出得以实现,节约了资源提高了效率,降低了污染。而一系列最优化软件,如Matlab、lingo等在化工过程中得到了广泛应用。关键词:最优化;化学工程;应用现状;管网 最优化方法(也称运筹学方法)是近几十年形成的,主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据[1]。随着科学技术,尤其是计算机技术发展,最优化方法已经在各个领域,如化学工程、生化工程、机械工程、土木工程、经济管理等,得到越来越广泛的运用[2]。化工过程系统最优化设计的研究在

过去二三十年中取得了很大的进展,这主要得益于计算及技术的发展,计算机的应用不仅仅体现在为大规模数值问题的处理提供了强有力 的工具, 而更多地体现在为过程设计的经验和艺术插上了数字化的 翅膀.大约在十多年前, 当大规模数学规划方法的实施仍面临一系列 问题时, 在过程设计领域中一种新引入的概念方法一专家系统以及 由此而引申的人工智能方法在解决实际问题上表现出的优势, 引起 了人们的关注目前基于知识和规则的智能系统研究取得了很大的进展, 基于经验、工况分析以及逐渐演进方法等的设计过程也越来越多地由计算机完成, 应用知识和经验规则进行过程设计的计算机辅助 系统逐步趋于完善, 特别是针对更加复杂(例如同时考虑环境影响以 及安全性)的大规模过程系统设计问题, 这些方法仍会有很好的应用 前景。 化工生产遍布现代生活的方方面面,涉及生活用品、工业材料、油气能源,不一而足。化工过程是一个由原料到产品的过程,其中包含物质的转化与能量的传递,而节能省材一直是工业生产的目标之一;化学反应需要在特定的反应设备里进行,怎样设计反应器,使其既能满足生产要求又能高效率的利用资源,是化工设计者的设计原则;原料、产物与成品的输送需要管线,适当的管路管道尺寸的选择,管道的成本;产量的设定,产品的销售等这一系列问题都需要最优化选择,而最优化算法从建立模型、求解方法方面使这一系列决策尽可能达到最理想结果,以下将对最优化方法在化工过程各个部分的应用作简要介绍。针对化学工程,最优化方法主要应用领域包括“三传一反”过

最优化方法及其应用

最优化方法及其应用

第一章 最优化问题总论 无论做任何一件事,人们总希望以最少的代价取得最大的效益,也就是力求最好,这就是优化问题.最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优目标的学科.例如,从甲地到乙地有公路、水路、铁路、航空四种走法,如果我们追求的目标是省钱,那么只要比较一下这四种走法的票价,从中选择最便宜的那一种走法就达到目标.这是最简单的最优化问题,实际优化问题一般都比较复杂. 概括地说,凡是追求最优目标的数学问题都属于最优化问题.作为最优化问题,一般要有三个要素:第一是目标;第二是方案;第三是限制条件.而且目标应是方案的“函数”.如果方案与时间无关,则该问题属于静态最优化问题;否则称为动态最优化问题. §1.1 最优化问题数学模型 最简单的最优化问题实际上在高等数学中已遇到,这就是所谓函数极值,我们习惯上又称之为经典极值问题. 例1.1 对边长为a 的正方形铁板,在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大? 解 设剪去的正方形边长为x ,由题意易知,与此相应的水槽容积为 x x a x f 2 )2()(-=. 令 0)6)(2()2()2)(2(2)('2 =--=-+--=x a x a x a x x a x f , 得两个驻点: a x a x 6 121== ,.

第一个驻点不合实际,这是因为剪去4个边长为2 a 的正方形相当于将铁板全部剪去.现在来判断第二个驻点是否为极大点. ∵ a x f 824)(''-=, 4)6 (''<-=a a f , ∴ 6 a x = 是极大点. 因此,每个角剪去边长为6 a 的正方形可使所制成的水槽容积最大. 例 1.2 求侧面积为常数)0(62 >a a ,体积最大的长方体体积. 解 设长方体的长、宽、高分别为z y x ,, 体积为v ,则依题意知体积为 xyz z y x f v ==)(,,, 条件为 06)(2)(2 =-++=a xy xz yz z y x ,,?. 由拉格朗日乘数法,考虑函数 )6222()(2 a xy xz yz xyz z y x F -+++=λ,,, 2()02()02()0x y z F yz y z F xz z x F xy x y λλλ'=++='=++='=++=,, , 由题意可知z y x ,, 应是正数,由此0≠λ,将上面三个等式分别乘以z y x ,, 并利用条件2 3a xy zx yz =++,得到 22 22(3)02(3)02(3)0xyz a yz xyz a zx xyz a xy λλλ?+-=?+-=??+-=? ,,. 比较以上三式可得 xy a zx a yz a -=-=-222333, 从而a z y x ===.又侧面积固定的长方体的最大体积客观存在,因此侧面积固定的长方体中以正方

最优化理论与方法心得体会

最优化理论与方法心得体会 摘要:最优化方法作为研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据。该文简单叙述了最优化方法及其处理问题的步骤和在各领域的应用,在一个学期的自学,讨论的课程之后,总结对最优化问题的理解和认识,思考优化理论在现实生活的应用,如何解决实际问题,以及自我学习过程的感想与实践。 关键字:优化;应用;感想

在生产过程、科学实验以及日常生活中,人们总希望用最少的人力、物力、财力和时间去办更多的事,获得最大的效益,在管理学中被看作是生产者的利润最大化和消费者的效用最大化,如果从数学的角度来看就被看作是“最优化问题”。在最优化的研究生教学中我们所说的最优化问题一般是在某些特定的“约束条件”下寻找某个“目标函数”的最大(或最小)值,其解法称为最优化方法。最优化方法(也称做运筹学方法)是近几十年形成的,它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统,求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案,发挥和提高系统的效能及效益,最终达到系统的最优目标。实践表明,随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展,最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法,被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域,发挥着越来越重要的作用。本章将介绍最优化方法的研究对象、特点,以及最优化方法模型的建立和模型的分析、求解、应用。主要是线性规划问题的模型、求解(线性规划问题的单纯形解法)及其应用――运输问题;以及动态规划的模型、求解、应用――资源分配问题。简单点,从数学意义上说从数学意义上说,最优化方法是一种求极值的方法,即在一组约束为等式或不等式的条件下,使系统的目标函数达到极值,即最大值或最小值。从经济意义上说,是在一定的人力、物力和财力资源条件下,使经济效果达到最大(如产值、利润),或者在完成规定的生产或经济任务下,使投入的人力、物力和财力等资源为最少。不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法,即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。 ①解析法:这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。求解方法是:先求出最优的必要条件,得到一组方程或不等式,再求解这组方程或不等式,一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件,通过必要条件将问题简化,因此也称间接法。②直接法:当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时,无法用解析法求必要条件。此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。对于一维搜索(单变量极值问题),主要用消去法或多项式插值法;对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。③数值计算法:这种方法也是一种直接法。它以梯度法为基础,所以是一种解析与数值计算相结合的方法。④其他方法:如网络最优化方法等。

最优化方法及其应用

第一章 最优化问题总论 无论做任何一件事,人们总希望以最少的代价取得最大的效益,也就是力求最好,这就是优化问题.最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优目标的学科.例如,从甲地到乙地有公路、水路、铁路、航空四种走法,如果我们追求的目标是省钱,那么只要比较一下这四种走法的票价,从中选择最便宜的那一种走法就达到目标.这是最简单的最优化问题,实际优化问题一般都比较复杂. 概括地说,凡是追求最优目标的数学问题都属于最优化问题.作为最优化问题,一般要有三个要素:第一是目标;第二是方案;第三是限制条件.而且目标应是方案的“函数”.如果方案与时间无关,则该问题属于静态最优化问题;否则称为动态最优化问题. §1.1 最优化问题数学模型 最简单的最优化问题实际上在高等数学中已遇到,这就是所谓函数极值,我们习惯上又称之为经典极值问题. 例1.1 对边长为a 的正方形铁板,在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大? 解 设剪去的正方形边长为x ,由题意易知,与此相应的水槽容积为 x x a x f 2)2()(-=. 令 0)6)(2()2()2)(2(2)('2=--=-+--=x a x a x a x x a x f , 得两个驻点: a x a x 61 21== ,. 第一个驻点不合实际,这是因为剪去4个边长为2a 的正方形相当于将铁板全部剪去.现 在来判断第二个驻点是否为极大点. ∵ a x f 824)(''-=, 0 4)6(''<-=a a f , ∴ 6a x = 是极大点. 因此,每个角剪去边长为6a 的正方形可使所制成的水槽容积最大. 例1.2 求侧面积为常数 )0(62>a a ,体积最大的长方体体积. 解 设长方体的长、宽、高分别为z y x ,, 体积为v ,则依题意知体积为 xyz z y x f v ==)(,,, 条件为 06)(2)(2=-++=a xy xz yz z y x ,,?. 由拉格朗日乘数法,考虑函数 )6222()(2a xy xz yz xyz z y x F -+++=λ,,,

最优化方法及其应用郭科课后答案+复习资料

1 2 ( ( ? 1.一直优化问题的数学模型为: 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ 0 ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出: s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 (1) 无约束最优点,并求出最优值。 (2) 约束最优点,并求出其最优值。 (3) 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ,其约束最优解是什么? * 解 :(1)在无约束条件下, f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上,不难看出,当 x =(3,4) 时, f (x ) 取最小值,即,最优点为 x * =(3,4):且最优值为: f (x * ) =0 (2)在约束条件下, f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示,此时,求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ,使其落在半径最小的同心圆上,显然,从图示中可 以看出,当 x * = 15 , 5 ) 时, f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ? g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中:点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点,令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到: ? 4 5 即最优点为 x * = ??g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) :最优值为: f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 (3).若增加一个等式约束,则由图可知,可行域为空集,即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ,怎样设计可使油箱的容量最大?试列出这个优 化问题的数学模型,并回答这属于几维的优化问题. 解:列出这个优化问题的数学模型为: max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S ? s .t . ?x 1 > 0 ?x 2 > 0 ??x 3 > 0 该优化问题属于三维的优化问题。

最优化方法的应用讲解

最优化方法 姓名张炯 学号 201200144423

a a a a 图 黄金分割法 一、一维搜索方法的分类 为了每次缩短区间,只需要在区间内再插入一点并计算其函数值。然而,对于插入点的位置,是可以用不同的方法来确定的。 ? 黄金分割法 ? 一类称作解析法或函数逼近法:构造一个插值函数来逼近原来函数,用插值函数的极小点作为区间的插入点 – 牛顿法、二次插值法等 黄金分割法 黄金分割法要求插入点、的位置相对于原区间[a,b]的两端点具有对称性,即 ()()12 b b a a b a a l l a l =--ì??í ?=+-??其中 为待定系数 2 1l l - =10.618 2 l -? = =

黄金分割法的搜索过程 ⑵出初始搜索区间[a,b]及收敛精度,将赋以0.618 ⑵按前页中坐标点比例公式计算α 1和α 2 ,并计算其对应的函数值f(α 1 )和f (α 2 )。 ⑶比较函数值,利用进退法缩短搜索区间 ⑷检查区间是否缩短到足够小和函数值是否收敛到足够近,如果条件不满足则返回到步骤⑵ ⑸如果条件满足则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似值 黄金分割法程序框图

牛顿法 对于一维搜索函数,假定已给出极小点的一个较好的近似点a0,因为一个连续可微的函数在极小点附近与一个二次函数很接近,所以可以在a0点附近用一个二次函数来逼近函数,即在点a0将f(a)进行泰勒展开,并保留到二次项,有 然后以二次函数的极小点作为极小点的一个新近似点,根据极值必要条件 得 得 牛顿法的计算步骤 ⑴给定初始点a0,控制误差ε,令k=0 ⑵计算f(x)在a k 点的一阶和二阶导数 ⑶利用牛顿法迭代公式求a k+1 ⑷若|a k+1-a k |≤ε,则求得近似解a*=a k+1,停止计算,否则作第⑸步 ⑸令k=k+1,然后转第⑵步 牛顿法的优缺点 最大优点是收敛速度快 缺点 每一点处都要计算函数的导数和二阶导数,因而增加了每次迭代的工作量 用数值微分代替二阶导数时,舍入误差会影响牛顿法的收敛速度,当二阶导数很小时问题更严重 牛顿法要求初始点选得比较好,即不能离极小点太远,否则在可能使极小化序列发散或收敛到非极小点 1()0a f ¢=()()()00100f a f a a a ⅱ ?+-=() ()0100f a a a f a ¢=-ⅱ

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