秋冀教版数学九上25.1《比例线段》word导学案

课堂探究

能力点 利用比例性质求值

题型导引与比例有关的求值问题是常见的题型，一般有以下两种解题方法：

(1)利用比例的基本性质可将比例式转化为等积式，进而解方程求出字母的值；

(2)在与比例式有关的求值问题中，用设k 法求解往往比较简单，即设所给比例式的值是一个常数k ，得出所有未知量与这个常数的关系式，再将它们代入求值．

【例题】已知x ∶2＝y ∶3＝z ∶4，求3x 2x ＋3y －5z

的值． 分析：已知条件给出的是一个连比，而比是一个商，是一个数值．如果我们设两个量a ，b 的

比值为k ，由a b

＝k 可以得等式a ＝bk ，所以比反映的又是两个量之间的一种关系． 解法一：设x 2＝y 3＝z 4

＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ， 故3x 2x ＋3y －5z ＝6k 4k ＋9k －20k

＝－67. 解法二：∵x 2＝y 3＝z 4，∴x ＝23y ，z ＝43

y . ∴

3x 2x ＋3y －5z ＝3×23y 2×23y ＋3y －5×43y ＝2y －73y ＝－67. 规律总结两种解法均建立在对“比”的意义的理解上，在解法一中，设辅助元即已知比的比值为k ，分别得x ，y ，z 与k 的关系，代入所求代数式中得到结果，这就是数学中的参数思想的运用；解法二，将已知式子中的两个量分别用第三个量表示，再代入求值，体现了消元思想．

变式训练

1．已知a ，b ，c 三个数满足ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ca c ＋a ＝15，那么abc ab ＋bc ＋ca

的值为( ) A ．16 B ．112 C ．215 D ．120

2．已知x ∶y ∶z ＝3∶5∶6，且2x －y ＋3z ＝38，求3x ＋y －2z 的值．

分析解答

1．解析：注意到a ≠0，b ≠0，c ≠0，那么根据分式基本性质，得abc ca ＋bc ＝13，abc ab ＋ca ＝14

，abc bc ＋ab ＝15

. ∴3abc ca ＋bc ＝4abc ab ＋ca ＝5abc bc ＋ab

＝1.

根据等比性质，得

∴

3abc＋4abc＋5abc

（ca＋bc）＋（ab＋ca）＋（bc＋ab）

＝1.

即有

12abc

2（ab＋bc＋ca）

＝1.

所以

abc

ab＋bc＋ca

＝

1

6.

答案：A

2．分析：设辅助元k，用含k的代数式表示x，y，z，建立方程求解．解：因为x∶y∶z＝3∶5∶6，

所以可设x

3＝

y

5＝

z

6＝k，

则x＝3k，y＝5k，z＝6k，

又2x－y＋3z＝38，

所以6k－5k＋18k＝38，即k＝2

所以3x＋y－2z＝9k＋5k－12k＝2k＝4.