平面向量题型三-三角形“四心”与向量结合
题型三 三角形“四心”与向量结合 (一)平面向量与三角形内心
1、O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
+=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ）
（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心
2、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a P A b P B c P C ?+?+?=，则P 是三角形的（ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3、在三角形ABC 中，动点P 满足：?-=22
2
，则P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
(二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理”
H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ?=?=??点H 是△ABC 的垂心.
证明：由⊥?=??=-???=?00)(, 同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））
4、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：
0PA PC PA PB PB PC ?+?+?=，则P 点为三角形的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ?=?=?，则
点O 是ABC ?的 （ ）
（A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点
（C ）三条中线的交点 （D ）三条高的交点
6、在同一个平面上有ABC ?及一点Ｏ满足关系式： 2
O A ＋2
BC ＝2
OB ＋2
CA ＝
2
OC ＋2
AB ，则Ｏ为ABC ?的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
(三)平面向量与三角形重心 “重心定理”
G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0?点G 是△ABC 的重心.
证明 图中GE GC GB =+
连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ?BGCE 为平行四边形?D 是BC 的中点，
AD 为BC 边上的中线.将
GE
GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得
+=0?2-=-=，故
G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC
的重心?
)(31
PC PB PA PG ++=
.
证
明
CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=?)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=
∵G 是△ABC 的重心 ∴++=0?++=0，即
PC PB PA PG ++=3
由此可得)
(31
++=.（反之亦然（证略））
7、已知O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
)(++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
8、已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足
=31 (21+21
+2),则点P 一定为三角形ABC 的 （ ） A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB 边的中点
(四)平面向量与三角形外心
9、若O 为ABC ?内一点，OA OB OC
==，则O 是ABC ? 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心
10、ABC ?的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，
)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =
(五)平面向量与三角形四心
11、已知向量1OP ，2OP ，3
OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题）
12、在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。
13、若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证 ++=.
14、 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证 3
1=
15
已知点O 、
N 、P 在三
角形ABC 所在平面内，且
==,=++,则PB PA ?=?=?则点O 、N 、P 依次是三角形ABC 的
（A ）重心、外心、垂心 （B
）重心、外心、内心 （C ）外心、重心、垂心 （D ）外心、重心、内心
题型三 三角形“四心”与向量结合答案
1、解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为2
1e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质
知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ?中，AP 平分BAC ∠，则知选B. 4
、
解
析
:
由
=?-??=?PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即
0,0)(=?=-?CA PB PC PA PB 即
则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ?的垂心. 故选D. 8、取AB 边的中点M ，则OM 2=+，由=31 (2
1
+21
+2)可得
3MC OM OP 23+=，∴32=
，即点
P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.
9、解析：由向量模的定义知O 到ABC ?的三顶点距离相等。故O 是ABC ? 的外心 ，选B 。 10、1
11证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =2
1-，
同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =
2
1-，
∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.
反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.
即O 是△ABC 所在平面内一点，
1
OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |?点O 是正△P 1P 2P 3的中心. 12【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：
112222,0)(,)(,22222x x x y x y E F +D （、、 由题设可设1324,)(,)
2x Q y H x y （、122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--，
212(,)BC x x y =- 2212422142
()0()
AH BC
AH BC x x x y y x x x y y ⊥∴?=-+=-∴=-
2122232212
32(
)()0222
()22QF AC
x x y
QF AC x y y x x x y y y ⊥∴?=-+-=-∴=+
1212212
24323()(,),)
22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--2（22y 21122122212
3212212212212
2()(,),)
3233223()23()1 (,)(,)
6321 =3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH
+--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y 即=3QH QG ，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2 13证明 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .
∴AB AD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BC AH ⊥，AB CH ⊥， ∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，
∴四边形AHCD 为平行四边形，
∴OC DO DC AH +==，故OC OB OA AH OA OH ++=+=.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
14证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心?)
(31
++=
按垂心定理 ++= 由此可得 OH
OG 31=.
三角形“四心”与向量结合总结
1．O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心，则
ABC AOB AOC BOC S 31
S S S ????=
==故
0OC OB OA =++;
1()
3
PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心.
2．O 是ABC ?的垂心??=?=?;
若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心
，
则
C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++
3．O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2
2
2
OC OB OA ==)
若O 是ABC ?的外心
则
C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：：
故C 2sin B 2sin A 2sin =++
4．O 是内心
A B ?的
充
要条件是
|
CB ||
CA ||
BC ||
BA |(
AC
|
AB |(
=?=?=?
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才
O
是
ABC
?内心的充要条件可以写成
0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ，O 是ABC ?内心的充要
条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=???
故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?是ABC ?的内心;
向量
()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在
直线)；
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳 （1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是. 例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二：向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1（1）,a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-
为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3： 已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(2 1，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α －3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的
取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－
三角形“四心” 与向量的完美结合(精.选)
三角形的“四心”与向量的完美结合 三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心， 则 C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心 则 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：： 故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 ( =- ?=- ?=- ? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ?内 心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 C sin B sin A sin c b a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ABC ?的内心;
讲义---平面向量与三角形四心的交汇
讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 [ OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂 足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理⊥，⊥ ?O 为ABC ?的垂心 : （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b c 、 分别为 方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ ∴ c b a bc ++= （b c +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a B C D
平面向量部分常见的考试题型
平面向量部分常见的题型练习 类型（一）：向量的夹角问题 1.平面向量, 4==且满足2.=，则与的夹角为 2.已知非零向量, （2-⊥=，则与的夹角为 类型（二）：向量共线问题 1. 已知平面向量），（x 32=，平面向量），，（182--=b 若a ∥b ，则实数x 2. 设向量），（，（3212==若向量b a +λ与向量)74(--=，共线，则=λ 3.已知向量） ，（，（x 211==若24-+与平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2 类型（三）: 向量的垂直问题 1．已知向量b a b x a ⊥==且），（)6,3(,1，则实数x 的值为 2 ．已知向量=--==b b a n b n a 与），若，（），，（211 3．已知=（1，2），=（-3，2）若k +2与2-4垂直，求实数k 的值 4． 42==，且b a 与的夹角为 3 π ，若的值垂直，求与k b a k b a k 22-+。 类型（四）投影问题 1． ，45==，与的夹角3 2π θ=，则向量在向量上的投影为 2． 在Rt △ABC 中，===∠AC C .,4,2 则π 类型（四）求向量的模的问题 1. 已知零向量====b a a ，则），（2510.,12 2. 已知向量, ====221 3. 已知向量a )3,1(= ，=+-=)0,2( 4. 设向量， 1== 及34=- ，求3+的值 类型（五）平面向量基本定理的应用问题 1．若=（1，1），=（1，-1），=（-1，-2），则等于 （ ） (A) 2321+- (B)2321-- (C)b a 2123- (D)b a 2 123+-
三角形四心的向量性质
三角形“四心”的向量性质及其应用 一、三角形的重心的向量表示及应用 命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若 GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心． 证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0， 所以 ()GA GB GC =-+． 以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+， 所以GD GA =-． 又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =． 所以AE 是ABC △的边BC 的中线． 故G 是ABC △的重心． 点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法． 例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ， =OC c ，试用a b c ，，表示OG ． 解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点， ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 图2
3 c b a OG ++= ∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键． 变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则 AD BE CF ++=0． 证明：如图的所示， ??? ? ? ???? -=-=-=GC CF GB BE GA AD 232323 )(23 GC GB GA CF BE AD ++-=++∴ 0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．． 变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点， 则1 ()4 PO PA PB PC PD =+++． 证明：1()2PO PA PC =+，1()2 PO PB PD =+， 1()4 PO PA PB PC PD ∴=+++． 点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0． 二、三角形的外心的向量表示及应用 命题二：已知G 是ABC △内一点，满足MC MB MA ==，则点M 为△ABC 的外心。 例2 已知G 、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心，点A ，B 的坐标分别为A （-1，0），B （1，0），且GM ∥AB ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l 过 图3
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题 向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在 给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。 一、重心(baryce nter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。 结论1 : 若G为ABC所在平面内一点，则G 是三角形的重心 证明：设BC中点为D，则2GD GA GB GC 0 GA GB GA 2GD, 这表明，G在中线AD上 同理可得G在中线BE,CF上 故G为ABC的重心
结论2: 1 —. 若P 为 ABC 所在平面内 点，贝S PG (PA PB 3 G 是ABC 的重心 PC) - 1 — 证明：PG (PA PB PC) (PG PA) (PG PB) (PG PC) 0 GA GB GC 0 G 是ABC 的重心 二、垂心(orthocenter) 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。 结论3: H 是ABC 的垂心 证明：HA HB HB HC HB ? S- HB AC 0 HB AC 同理，有 HA CB,HC AB 故H 为三角形垂心 若H 为ABC 所在平面内一点，则HA HB HB HC HC HA (HA
结论4: 2 ------ 2 ------ 2 ------ 2 -------- 2 ------ 2 若H 为 ABC 所在平面内一点，贝U HA BC HB AC HC AB H 是ABC 的垂心 2 2 2 2 HB CA 得,HA (HB HC)2 HB (HC HA)2 HB HC HC HA 同理可证得，HA HB HB HC HC HA 由结论3可知命题成立 三、外心(circumcenter) 三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点 做圆心可以画三角形的外接圆。 结论5: 若0是ABC 所在平面内一点，则 OA OB OC 0是ABC 的外心 证明：由外心定义可知 命题成立 2 2 证明：由HA BC 结论6: 若0是ABC 所在平面内一点，则
平面向量部分常见的考试题型总结
平面向量部分常见的题型练习 类型(一)：向量的夹角问题 1?平面向量a,b，满足a =1,b =4且满足a.b = 2，则a与b的夹角为 _________ 2?已知非零向量a,b满足a = b,b丄(b—2a),则a与b的夹角为___________ 3?已知平面向量a,b满足(a -b).(2a - b) —4且*2,” 以且，则a与b的夹角为_________________ 4?设非零向量a、b、c满足| a |=| b |=| c |,a ■ b = c，则：::a, b = ____ 5?已知a =2」b| =3, a +b = J7,求a与b的夹角。 6?若非零向量a,b满足a = b ,(2a+b).b=0,则a与b的夹角为____________ 类型(二)：向量共线问题 1. 已知平面向量a =(2,3x),平面向量b =( 一2,18),若a // b，则实数x ____________ 2. 设向量a = (2,1),b = (2,3)若向量，a - b与向量c = (- 4, - 7)共线，则，- 3?已知向量a (1,1),b (2, x)若a b与4b - 2a平行，则实数x的值是( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 4已知向量OA =(k,12),0B =(4,5),OC =(-k,10),且A, B, C三点共线， 则k = ___ 5. 已知A (1,3), B (—2,—3), C (x,7)，设AB =a , BC = b 且a // b，则x 的值为() (A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18 6. 已知a= (1, 2), b= (-3 —2)若k a+2b与2a-4b共线，求实数k的值； 7. 已知a —c是同一平面内的两个向量，其中 a = (1 —2)若|^ = 2. 5，且a // c，求c的坐标 —I- 8. n为何值时，向量a ( n ,1)与b = (4, n)共线且方向相同？ 9. 已知a = 3,b = (1,2),且a // b，求a的坐标。 10. 已知向量a (2, -1),b ( -1, m),c =(-1,2)，若(a b)// c，则m= ________________ 11. 已知a,b不共线，c =ka ? b,d =a -b，如果c // d，那么k= _________ ,c与d的方向关系
与三角形四心相关的向量结论
与三角形“四心”相关的向量结论 濮阳市华龙区高中 张杰 随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。 问题：设点O 在ABC ?内部，且有03=++OC OB OA ，则BOC ?与AOC ?的面积的比值是____. 分析：∵03=++OC OB OA 设OD OB =3，则0=++OC OD OA ， 则点O 为ADC ?的重心.∴ACD AOD COA DOC S S S S ????= ==31. 而 AOC COD BOC S S S ???==3131， ∴3 1:=??COA BOC S S . 探究：实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。 结论： 设O 点在ABC ?内部，若()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S A O B C O A B O C ::::=?? 证明： 已知O 点在ABC ?内部，且()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0 设：OF OC r OE OB n OD OA m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ??=1，DOF AOC S mr S ??=1，DOE AOB S mn S ??=1， ∴r n m S S S AO B CO A BO C ::::=?? 说明: 此结论说明当点O 在ABC ?内部时，点O 把ABC ?所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。 应用举例：设点O 在ABC ?内部，且40OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与OBC ?的面积之比是： A ．2：1 B ．3：1 C ．4：3 D ．3：2 分析：由上述结论易得：1:1:4::=??AO B CO A BO C S S S ，所以2:34:6:==?O BC ABC S S ，故选D 当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。 引申：设O 点在ABC ?内部，且角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,, 结论1：若O 为ABC ?重心，则0=++OC OB OA 分析：重心在三角形的内部，且重心把ABC ?的面积三等分. 结论2 ：O 为ABC ?内心，则0=++OC c OB b OA a 分析：内心在三角形的内部，且易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =c b a :: 结论3： O 为ABC ?的外心，则02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A 分析： 易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =sin2A ：sin2B ：sin2C.
平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心 已知0是 ABC 内的一点， BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证: S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 °D 罟0B 誥0C 0D S B0D S C0D S B0D S C0D S A 0A S B0A E OA S B0A S C0A S B S C 0D S B S C S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 推论o 是 ABC 内的一点，且x ?0A y ?0B z ?0c 0，则 S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z 如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则 BD DC S A BD S B0D S ABD S B0D S ACD S C0D S ACD S C0D S C S 鱼 0B 生 0C S B S C S B S C 0A oA S B S B S C S B S C 0B 二0 C
有此定理可得三角形四心向量式 O是ABC的重心 S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0 0是 S ABC的内心 BOC : S COA :S AOB ■ a:b:c a ?OA b?oB c?oC 0 0是ABC的外心 S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0 O是ABC的垂心 S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanC tan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0 tanA 竺,tanB AD CD DB tan A: tanB DB: AD S BOC : S COA DB: AD S BOC : S COA tan A:tan B 同理得S COA : S AOB tan B :tanC, S BOC：S AOB tan A:tanC S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统 证明：如图0为三角形的垂心,
平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心 已知O 是ABC ?内的一点，AOB AOC BOC ???,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证： 0=++???OC S OB S OA S C B A 如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则 B C COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===??????? 图1 = OD BC DC OB +BC BD OC =C B B S S S +OB +C B C S S S +OC C B A COA BOA COD BOD COA COD BOA BOD S S S S S S S S S S S OA OD +=++== = 图2 ∴ C B A S S S OD +- =OA ∴C B A S S S +- OA = C B B S S S +OB +C B C S S S +OC ∴0=++???OC S OB S OA S C B A 推论O 是ABC ?内的一点，且 0=++???OC OB OA z y x ，则 z y x S S S AOB COA BOC ::::=??? O A B C D O A B C
有此定理可得三角形四心向量式 O 是ABC ?的重心 ?1:1:1::=???AOB COA BOC S S S ?0=++OC OB OA O 是ABC ?的内心 ?c b a S S S AOB COA BOC ::::=????0=++???OC OB OA c b a O 是ABC ?的外心 ?C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=??? ?02sin 2sin 2sin =++???OC C OB B OA A O 是ABC ?的垂心 ?C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? ?0tan tan tan =++???OC C OB B OA A 证明：如图O 为三角形的垂心，DB CD B AD CD A == tan ,tan ?AD DB B A :tan :tan = =??COA BOC S S :AD DB : ∴B A S S COA BOC tan :tan :=?? 同理得C B S S AOB COA tan :tan :=??，C A S S AOB BOC tan :tan :=?? ∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
平面向量典型题型大全
平面向量 题型1.基本概念判断正误： 例2 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r ____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____ （2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r ＝_____ （3）若O 是ABC V 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 的形状为_ 9．与向量a =（12，5）平行的单位向量为 （ ） A ．125,1313??- ??? B ．12 5,1313??-- ??? C ．125125,,13131313????-- ? ?????或 D ．125125,,13131313???? -- ? ????? 或 10．如图，D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则下列等式中成立的有_________： ①+-=u u u r u u u r u u u r FD DA AF 0 ②+-=u u u r u u u r u u u r FD DE EF 0 ③+-=u u u r u u u r u u u r DE DA BE 0 ④+-=u u u r u u u r u u u r AD BE AF 0 11.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A.0PA PB +=u u u r u u u r r B.0PC PA +=u u u r u u u r r C.0PB PC +=u u u r u u u r r D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 12.已知点(3,1)A ，(0,0)B ，(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=u u u r u u u r ，其中λ等于 （ ） A.2 B. 1 2 C.-3 D.－13 13.设向量a=(1, －3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形， 则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(－2,6) C.(2,－6) D.(－2,－6) 14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ，则 x = ，y = . 图2 15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 题型3平面向量基本定理 F E C B A
讲义平面向量与三角形四心的交汇
讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为 AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ B C D
向量与三角形四心的一些结论
【一些结论】：以下皆是向量 1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0 2 若P是△ABC的垂心PA?PB=PB?PC=PA?PC(内积） 3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边） 4 若P是△ABC的外心|PA|2=|PB|2=|PC|2（AP就表示AP向量|AP|就是它的模） 5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心 6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心 7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心 8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点 【以下是一些结论的有关证明】 1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与
(完整版)平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心 已知0是 ABC 内的一点， BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证: S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 0D 罟0B 誥0C 0D S B0D S C0D S B0D S C0D S A 0A S B0A E OA S B0A S C0A S B S C 0D S B S C S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 推论o 是ABC 内的一点，且 x ?0A y ?0B z ?0c 0，则 S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z 如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则 BD DC S A BD S B0D S ABD S B0D S ACD S C0D S ACD S C0D S C S 鱼 0B 生 0C S B S C S B S C 0A oA S B S B S C S B S C 0B 二0C
有此定理可得三角形四心向量式 O是ABC的重心 S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0 是 S ABC的内心 BOC : S COA :S AOB ■ a:b:c a ?OA b?oB c?oC 0 0是ABC的外心 S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0 O是ABC的垂心 S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanC tan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0 tanA 竺,tanB AD CD DB tan A: tanB DB: AD S BOC : S COA DB: AD S BOC : S COA tan A:tan B 同理得S COA : S AOB tan B :tanC, S BOC：S AOB tan A:tanC S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统 证明：如图0为三角形的垂心,
高中数学-平面向量及常见题型
高中数学-平面向量及常见题型 向量知识点 ☆零向量：长度为o 的向量，记为0 ,其方向是任意的， 0与任意向量平行 ☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量a 0为单位向量 I a 0 I = 1 ☆平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 平行向量也称为共线向量 uuu uuu uuu ☆向量加法AB BC = AC 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： uuu LUUT uuur uuu uuu uuu AB BC CD L PQ QR AR ，但这时必须“首尾相连”. ☆实数与向量的积: ①实数入与向量a 的积是一个向量，记作入a ，它的长度与方向规定如下： （】）a a ； （n ）当 0时，入a 的方向与a 的方向相同；当 0时，入a 的方向与a 的方向相反；当 0时，a 0， 方向是任意的 ☆两个向量共线定理： 向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b = a ☆平面向量的基本定理： 如果e i ,e 2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 i , 2使: a i0 2e 2，其中不共线的向量 e n e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ☆平面向量的坐标运算： uun ⑵若 A X i , 2i , B X 2, 22 ，则 AB X 2 X i ,y 2 y ⑶若 a =（x,y ），贝u a =（ x, y) ☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 ra 若 r b y2 r b ra 则 y2 X y2 % X2 X r b ra x i y 2 X 2 y i r X>, y 2，则 a//b r b y1 ra 若 o 2 y 卷 ^1 X ra 则 y2 X2, r b y2 ra 若 5)
平面向量题型三三角形“四心”与向量结合
题型三 三角形“四心”与向量结合 (一)平面向量与三角形内心 1、O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 2、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ?+?+?=，则P 是三角形的（ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 3、在三角形ABC 中，动点P 满足：CP AB CB CA ?-=22 2 ，则P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 (二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理” H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ?=?=??点H 是△ABC 的垂心. 证明：由⊥?=??=-???=?00)(, 同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 4、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足： 0PA PC PA PB PB PC ?+?+?=，则P 点为三角形的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 5、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足?=?=?，则 点O 是ABC ?的 （ ） （A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点 （D ）三条高的交点 6、在同一个平面上有ABC ?及一点Ｏ满足关系式： 2 O A ＋2 BC ＝2 OB ＋2 CA ＝ 2 OC ＋2 AB ，则Ｏ为ABC ?的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 (三)平面向量与三角形重心 “重心定理” G 是△ABC 所在平面内一点，++=0?点G 是△ABC 的重心. 证明 图中GE GC GB =+
平面向量部分常见考试题型总结
平面向量部分常见得题型练习类型（一):向量得夹角问题 1、平面向量，满足且满足，则得夹角为 2、已知非零向量满足,则得夹角为 3、已知平面向量满足且,则得夹角为 4、设非零向量、、满足，则 ５、已知 6、若非零向量满足则得夹角为 类型(二)：向量共线问题 1.已知平面向量,平面向量若∥，则实数 2.设向量若向量与向量共线，则 ３、已知向量若平行，则实数得值就是( ) A.－2??Ｂ.0 ?C.1?D.２ _____ ) 10 , ( ), 5 4( ), 12 , ( .4 = - = = = k C B A k k 则 三点共线， ， ， ，且 ， 已知向量 5．已知,设,且∥,则ｘ得值为() (A）0 (B）3 (Ｃ）1５(D) １8 6．已知=(１,２），=(-３,2)若k＋2与２-4共线,求实数k得值； ７.已知,就是同一平面内得两个向量,其中＝(1，2）若,且∥,求得坐标 8、n为何值时，向量与共线且方向相同? ９、已知∥,求得坐标。 1０、已知向量,若()∥,则m= １1、已知不共线,,如果∥，那么ｋ=，与得方向关系就是 １2、已知向量∥,则 类型(三）: 向量得垂直问题 １.已知向量,则实数得值为 2．已知向量 3.已知=(1,2),=(-３,2)若k＋2与2-4垂直,求实数k得值 4.已知,且得夹角为,若。 5、已知求当为何值时,垂直？ 6、已知单位向量 7、已知求与垂直得单位向量得坐标。
8、 已知向量的值为垂直，则实数与且向量），（λλb a b a b a 2)0,1(,23-+-=-= 9、 10、 ∥, 类型(四)投影问题 1． 已知,得夹角,则向量在向量上得投影为 2． 在△中, 3.关于且,有下列几种说法: ① ; ② ;③ ④在方向上得投影等于在 方向上得投影 ；⑤;⑥ 其中正确得个数就是 ( ) (Ａ)4个 (B)３个 (C)2个 (Ｄ)1个 类型（四)求向量得模得问题 1. 已知零向量 2. 已知向量满足 3. 已知向量, 4.已知向量得最大值为 5、 设点M 就是线段B Ｃ得中点,点A 在直线BC 外， (A) ８ (B ） ４ (C) 2 (D ） 1 6、 设向量,满足及，求得值 ７、 已知向量满足求 8、 设向量,满足 类型(五)平面向量基本定理得应用问题 1．若=（1,1),＝(1,-1),=(-１,-2)，则等于 ( ） （A) （B) (C) (Ｄ） 2、已知b a c c b a μλμλ+=-===的值，使和），求，（），，（），，（011101 ３、设就是平面向量得一组基底，则当时, 4、下列各组向量中,可以作为基底得就是( ） (A ） （B) (Ｃ) （D) 5、 (A) (B) （Ｃ) (D) d c d c m R m m +⊥∈-=+===平行与若为何值时）当（ ） 与,)2?(,1623,23.6π 类型(六）平面向量与三角函数结合题
(完整版)平面向量与三角形四心问题.docx
平面向量基本定理与三角形四心 已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0 A 如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则 O B C 图 1 BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OC BC BC A O S B OB S C OC S B S C S B S C B D C OD S BOD S COD S BOD S COD S A OA S BOA S COA S BOA S COA S B S C 图2 OD S A OA S B S C S A OA S B OB S C OC S C S B S B S C S B S C S A? OA S B? OB S C? OC 0 推论 O 是 ABC 内的一点，且 x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z
有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的内心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的外心 S BOC: S COA: S AOB AOB AOB 1:1:1OA OB OC0 a : b : c a ?OA b ?OB c ?OC0 sin 2A :sin 2B : sin 2C sin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0 O 是ABC 的垂心 S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0 C O A D B 证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DB S BOC: S COA DB : AD S BOC: S COA tan A : tan B 同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
高中数学基础题型(平面向量)
平面向量 1、向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重 合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－。 如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C =，则A B C D 是平行四边形。（4）若A B C D 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若/,/a bb c ，则//a c 。 其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等； （3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如 （1）若(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：1322 a b -）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24e e =-=-（答：B ）；（3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____