第一轮复习教学案 一元二次方程正好
一元二次方程复习学案
学材分析:一元二次方程是中考的考察重点,多以解答体的形式出现, 占8分左右.
复习目标:会用因式分解法,公式法,配方法解一元二次方程及相关实际问题.
复习重点:一元二次方程的解法和应用问题.
复习难点: 从实际问题中抽象出数学模型.
学习过程:
一、知识梳理
考点1一元二次方程
1．只含有，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做
一元二次方程）.通常可写成如下的一般形
式：。其中2
ax叫做，a
叫做；bx叫做，b叫做，c叫
做。
2.一元二次方程的解法
(1)直接开平方法：对于形如b
-2)
(（a≠0,a b≥0）的方程，
a=
x
k
都可以用直接开平方法解。解法的根据是。要特别注意，
由于负数没有平方根，所以括号中规定了范围，否则方程无实数解。（2）配方法：配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到方
程右边，再在方程的两边同时除以使新方程的二次项系数
为1；2、在方程的两边各加上的一半的平方，使左
边成为完全平方；3、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平
方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
（3）公式法：一元二次方程20(0)
ax bx c a
++=≠的求根公
式。
（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的根据是：若．A．·B．
＝．0．，则
．．A．＝．0．或．B．＝．0．。
3.一元二次方程20(0)
++=≠根的判别式为
ax bx c a
当时,方程有的实数根;当时,方程有的实数根;
当时,方程有的实数根;反过来也成立.
4. .一元二次方程20(0)
++=≠,当b2-4ac＞0时,设方程的两个
ax bx c a
解为x1,x2,则有x1+ x2=-ab,x1?x2=ac.
5.解一元二次方程的数学应用题的一般步骤:
找——找出题中的等量关系
设——设未知数
列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式解——解出所列的方程
验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验
答——作答下结论
二考点练习
1．下列方程中哪些是一元二次方程( )(学生独立完成,5,6号展示)
（A ）3523-=+x x （B ）42=x （C ）
211
2
x x x =-+- （D ）22)2(4+=-x x 2．一元二次方程x 2–2x = 0的解是（ ）
A 、0
B 、0或2
C 、2
D 、此方程无实数解 3. 一元二次方程(2x ＋3)2－25＝0的解为
4.用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0,则方程可变形为( ). A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9; C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57
5.(2012德州)若关于x 的方ax 2+2(a+2)x+a=0有实数解,那么实数 a 的取值范围是 .
6.关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+a 2-1=0的一个根为0，则a 的值为 ．
7.(2012攀枝花)一元二次方程x 2-3x-1=0的两根分别是x 1,x 2,则x 12+x 22的值为 .
8. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185元降到了580元.设平均每次降价的百分率为x ，则列出方程正确的是（ ） A.1185)1(5802=+x B.580)1(11852=+x C.1185)1(2802=-x D.580)1(11852=-x 三.中考链接
1. 将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
2.如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,则甬路的宽度为。
四.小结:谈谈你本节课的收获及不足之处.
五,作业:总复习p22
2.解下列方程(学生独立完成,3,4号展示)
（1）(2x＋3)2－25＝0.（直接开平方法）（2）0
x（配
-x
-
2
7
22=
方法）
（3）(x+2)2=3(x+2)（因式分解法）（4）2
x x
+-=（公式
260
法）
3.(2012德州)若关于x的方ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,那么实数 a 的取值范围是 .
4.(2012攀枝花)一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1,x2,则x12+x22的值为 .
5. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185元降到了580元.设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（） A.1185
1(
11852=
+x
)
1(
)
5802=
+x B.580
C.1185
)
11852=
-x
1(
)
-x D.580
1(
2802=
三.中考链接
1.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
2. 如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,则甬
路的宽度为 。
2.用适当的方法解下列方程：
（1）16)1(22=-x （2）0222=--x x
（3）0)52()13(22=+--x x （4）2232)2(y y y =-+
【典型例题】
1．等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A.8
B.10
C.8或
10 D.不能确定
2.钟老师出示了小黑板上的题目（如图） 后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”。则你认为（ ） （A ）只有小敏回答正确 （B ）只有小聪回答正确 （C ）小敏、小聪回答都正确 （D ）小敏、小聪回答都不正确
3.已知关于x 的一元二次方程023)3(22=-++-m x x m 的一个根是零，求m 的值。
4．已知多项式4
19
3212+-x x .试说明：不论x 为任何实数，此多项式的值总为正数。
5．用适当的方法解下列方程：
（1）16)1(22=-x （2）0222=--x x
（3）0)52()13(22=+--x x （4）2232)2(y y y =-+
【当堂反馈】
1．下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 （1）3523-=+x x （2）42=x （3）
211
2
x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x 2．一元二次方程x 2–2x = 0的解是（ ）
A 、0
B 、0或2
C 、2
D 、此方程无实数解
3．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0,若a+b+c=0 则该方程必有一根为（ ）
（A）1 （B）—1 （C）0 （D）2
4.解下列方程
（1）(2x＋3)2－25＝0.（直接开平方法）（2）0
-
-x
x（配
22=
2
7
方法）
（3）(x+2)2=3(x+2)（因式分解法）（4）2
+-=（公式
x x
260
法）
4．用适当的方法解下列方程：
（1）x(3x+1)=9x+3 （2）210
-+=
x x
（3）(2x+1)2=(x-1)2 （4）x2+6x＝1 （5）（x-2）（x+3）=66；（6）（x+1）2=3x+2．
【中考聚焦】
1.用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,则方程可变形为( ).
A.(x-4)2=9
B.(x+4)2=9;
C.(x-8)2=16
D.(x+8)2=57
2.关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0，则a的
值为 ．
3.用配方法将二次函数2432--=x x y 写成形如n m x a y ++=2)(的形式，则m 、n 的值分别是（ ） A 、310,3
2=
=n m B 、3
10
,32-=-=n m C 、6,2==n m D 、2,2-==n m 4．为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3
ｍ，东西方向缩短3ｍ，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比 ( ) A ．增加6ｍ2 B ．增加9ｍ2 C ．减少9ｍ2 D ．保持
不变
5．在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为 耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为B
A ．600m 2
B ．551m 2
C ．550 m 2
D ．500m 2
6.解下列方程
（1）3x 2-x=0． （2）3x 2-5x=2． （3）2x 2+x-7=0．
第一轮复习教学案 一元二次方程的应用
【知识梳理】
解一元二次方程的数学应用题的一般步骤:
找——找出题中的等量关系
设——设未知数
列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式解——解出所列的方程
验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验
答——作答下结论
【典型例题】
例1.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
例2.某电脑公司2007年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2009年经营总收入要达到2160万元，且计划从2007年到2009年，每年经营总收入的年增长率相同，问2008年预计经营总收入为多少万元？
例3.已知：如图，在△ABC 中，∠B=900,AB=5cm,BC=7cm .点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
(2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒
后,PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2?说明理由.
【当堂反馈】
1. 直角三角形的面积是30，两直角边的和是17，则斜边长为（）
A.17
B.26
C.30
D.13
2.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 1 185元降到了580元.设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（）
A.1185)1(5802=+x
B.580)1(11852=+x
C.1185)1(2802=-x
D.580)1(11852=-x
3. 小娟家有一块矩形花园，他爸爸想把它改建成正方形，这样就必须将长减少3m ，宽增加2m ，同时面积减少5m 2.问改建后的花园面积为 m 2
4.某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
5. 如图，等腰Rt△ABC中，cm
AB，动点P从点A出发，沿AB
=BC
8
=
向点B移动.通过点P引平行于BC、AC的直线与AC、BC分别交于点R、Q，问：AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？
【中考聚焦】
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图3-9-4所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是（）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
2. 如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地
ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,则甬路的宽度为。
3.每件商品的成本是120元，试销了一阶段后，发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系，但每天的盈利（元）却不一样.为找到每件产品的最佳定价，商场经理请一位营销策划员通过计算，在不改变每件售价（元）与日销售量（件）之间数量关系的情况下，每件定价为m元时，每日盈利可达到最佳数1600元.若请你做这位营销策划员，m的值应是几？
4.（2006年重庆市）机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、?乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，?同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用
油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
一元二次方程(6)
一、教学目标： 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根． 3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 二、教学重点、难点： 教学重点： 1．体会方程与函数之间的联系。 2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 教学难点： 1．探索方程与函数之间关系的过程。 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 三、教学方法：启发引导合作交流 四：教具、学具：课件 五、教学媒体：计算机、实物投影。 六、教学过程： [活动1] 检查预习引出课题 预习作业： 1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0.
2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解. 师生行为：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。 教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。 设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识；2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。 [活动2] 创设情境探究新知 问题 1．课本P16问题. 2．结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m? （结合预习题1，完成课本P16 观察中的题目。） 师生行为：教师提出问题1，给学生独立思考的时间,教师可适当引导,对学生的解题思路和格式进行梳理和规范；问题2学生独立思考指名回答，注重数形结合思想的渗透；问题3是由学生分组探究的，这个问题的探究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳出正确结论。 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x 轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2－4ac 两个交点两个相异的实数根 b2－4ac > 0 一个交点两个相等的实数根 b2－4ac = 0 没有交点没有实数根 b2－4ac < 0 教师重点关注：
解一元二次方程--教学设计(张洁)
一、关联认知经验， 明确研究方向 问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？ 活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案： 根据已有的学习一元一次方程和分式 方程的经验，我们是按照方程的概念、解 法和应用的顺序展开研究，下面应该研究 一元二次方程的解法了. 学生预案： 分类方法可能有： （1）按等号左边多项式所含的项数分； （2）按系数是否为零分等情况； 教师预案： 根据学生的分类情况及时回应，如果 学生分类范围比较大，追问还能细分么？ 例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学 生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环 节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共 有9种不同的类型；当a<0时，依据等式 的基本性质可将方程变为a>0的情形，因 此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案： 类别的呈现会出现直接罗列、树状 图、列表格等不同的形式。 教师预案： 用实物投影全班展示,比一比谁的呈 现方式更加直观简洁。 让学生有意识的 根据自己的学习经验， 总结代数学中研究方 程的一般顺序.自主提 出研究的内容和方向. 让学生自己写一 元二次方程，是对定义 的一次复习，同时也是 训练学生的发散思维， 提高同学的参与度和 研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活 动中逐步认识一元二 次方程的各种形式，为 探究一元二次方程的 解法布好局，学生在接 下来的学习中探究每 个不同形式的方程解 法，也就完成了整个单 元中解法探索的整合 教学.使学生的学习是 连贯的、系统的，知识 的建构是完整的. “列表格”是数学中 常用的分析问题的方 法，既有直观简洁的特 征，又能体现分类者的 思维顺序。这里，通过 填表加深学生对一元 二次方程各项系数的 认识，以及方程不同类 型的理解，并为后续研
[初中数学]一元二次方程说课稿 3 人教版
一元二次方程说课稿 新华学校张玉芳我说课的题目人教版版九年级（上）第22章第一节《一元二次方程》. 下面我就从以下几个方面对一元二次方程进行说课⑴说教材⑵说目标⑶说教学方法、学法⑷说教学程序⑸说评价 一、说教材 教材分析 本节课介绍了一元二次方程的概念及一般形式.一元二次方程的学习是一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是函数等重要数学思想方法的基础。本节课是研究一元二次方程的导入课，它为进一步学习一元二次方程的解法及简单应用起到铺垫作用。 二、说目标 ⑴教学目标 1.知识目标：使学生充分了解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式. 2.能力目标：经历抽象一元二次方程的过程, 使学生体会出方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型; 经历探索满足方程解的过程，发展估算的意识和能力. 3.情感目标：培养学生主动探索、敢于实践、勇于发现、合作交流的精神. ⑵教学重点 建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。 ⑶教学难点
由实际问题抽象出方程模型的能力 三、说教学方法和学生的学法 ⑴教法分析 本节课主要采用以类比发现法为主，以讨论法、练习法为辅的教学方法. ⑵学法指导 本节课的教学中，教会学生善于观察、分析讨论、类比归纳，最后抽象出有价值。让时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。 ⑶教学手段 采用电脑多媒体辅助教学，利用实物投影进行集体交流，及时反馈相关信息四、说教学程序 ⑴知识回顾导入新课⑵自主探索归纳新知⑶巩固练习深化知识 ⑷归纳小结反思提高⑸布置作业分层落实 ⑴知识回顾导入新课 什么是一元一次方程?（请学生举例） 请同学们阅读教材25页的“问题1”和"问题2"，进一步明确列方程解实际问题的思路和方法. （培养学生的自学能力） 设计意图：方程模型的建立为下一环节的教学做好铺垫。 ⑵自主探索归纳新知 比较一： 与一元一次方程作纵向比较得
《配方法》解一元二次方程案例
《配方法》解一元二次方程教学案例 教学目标 【知识与技能】 使学生会用配方法解数学系数的一元二次方程。 【过程与方法】 经历列方程解决实际问题的过程，体会配方法和推导过程，熟练地运用配方法解一元二次方程，渗透转化思想，掌握一些转化的技能。 【情感、态度与价值观】 通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 教学重点难点 【重点】用配方法解一元二次方程 【难点】配方的过程 教学过程设计 （一）创设情境 导入新课 导语一（1）你能解哪些一元二次方程？ （2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ （3）解方程x 2 +12x-15=0的困难在哪里？你能将方程x 2 +12x-15=0转化为上面方程的形式吗？ 导语二 1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2、将下列各式配成完全平方式。 （1）a 2 +12a+ 62 =(a+ 6 )2 ； （2）x 2- x +4 1=(x+ 2 1 )2 ； 3、若4x 2 -mx+9是一个完全平方式，那么m 的值是 ±12 。 导语三 为了响应国家“退耕还林”的号召，改变水土流失严重的状况，2007年某市退耕还林1600亩，计划2009年退耕还林1936亩，则这两种平均每年退耕还林的增长率是多少？ 你能用所学过的一元二次方程知识解决这个问题？ [设这两年的年平均增长率为x ，则1600(1+x)2 =1936，解得x=10%，x 2=-210%（舍），即平均每年退耕还林的增长率为10%] （二）合作交流 解读探究 1、配方法
[问题]要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2 ，场地的长和宽应各是多少个？（注：这是一个比较简单的几何题，学生经过思考，不难得出答案，请一位同学回答，教师演示答案。） 即：设场地宽xm ，长(x+6)m 。根据矩形面积为16m 2 ，列方程x(x+6)=16，即x 2 +6x-16=0 （注：本题选择以解决问题作为本节课的开端，有益于培养学生的应用意识。） （思考）怎样解方程x 2 +6x-16=0? 对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x+9=2，可以发现方程x 2 +6x+9=2的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方 程x 2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把x 2 +6x-16=0化为具有上述形式的方程吗？（注：教师提出问题，学生思考、讨论发表意见，同 时教师要引导学生发现问题的关键；若要解方程x 2 +6x-16=0，只要将其符号左边转化为一个完全平方式——配方，而配方的关键是常数项的选择，学生找出常数项，教师演示配方的过程，完成方程由不可解到可解的转化，师生完成后续步骤。） 移 项 9（即(2 6)2）使左边配成 2的形式 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方
配方法解一元二次方程导学案[1]
配方法解一元二次方程. 学习目标：掌握用配方法解数字系数的一元二次方程； 重 点：用配方法解数字系数的一元二次方程； 难 点：配方的过程。 知识链接 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋2 3x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；(4) x 2＋x+( )=(x+ )2 从这些练习中你发现了什么特点? (1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 例1、用配方法解下列方程： （1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x ＋1＝0. 总结规律:用配方法解二次项系数是1的一元二次方程有哪些步骤？ 例2、 用配方法解下列方程： （1）011242=--x x （2）03232=-+x x 总结规律:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程有哪些步骤？ 达标检测 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 ⑤、4x 2－6x ＋（ ）＝4（x － ）2＝（2x － ）2.
2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 5．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7. 用配方法解方程： （1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0. （3）2x 2-x=6 （4）x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0). （5）3x 2-5x=2． （6）x 2+8x=9 （7）x 2+12x-15=0 （8） 41 x 2-x-4=0 8. 用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。 （3） 已知代数式x 2-5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
北师大版初三数学上册认识一元二次方程说课稿
《认识一元二次方程》说课稿张苒利我说课的题目北师大版九年级（上）第二章第一节《认识一元二次方程》下面我就从以下几个方面对一元二次方程进行说课⑴说教材⑵说目标⑶说教学方法、学法⑷说教学程序⑸说评价。 一、说教材教材分析：本节课介绍了一元二次方程的概念及一般形式。一元二 次方程的学习是一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是函数等重要数学思想方法的基础。本节课是研究一元二次方程的导入课，它为进一步学习一元二次方程的解法及简单应用起到铺垫作用。 二、说目标 ⑴教学目标 1. 知识目标：使学生充分了解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。 2. 能力目标：经历抽象一元二次方程的过程使学生体会出方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型经历探索满足方程解的过程，发展估算的意识和能力。 3. 情感目标：培养学生主动探索、敢于实践、勇于发现、合作交流的精神。 ⑵教学重点建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。 ⑶教学难点 由实际问题抽象出方程模型的能力 三、说教学方法和学生的学法
⑴教法分析 本节课主要采用以类比发现法为主，以讨论法、练习法为辅的教学方法⑵学法指导 本节课的教学中，教会学生善于观察、分析讨论、类比归纳，最后抽象出有价值。让时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。 ⑶教学手段 采用电脑多媒体辅助教学，利用实物投影进行集体交流，及时反馈相关信息 四、说教学程序 ⑴知识回顾导入新课 1. 什么是一元一次方程?（请学生举例） 2. 列方程解实际问题的思路和方法是什么？设计意图：方程模型的建立为下一环节的教学做好铺垫。 （2）明确学习目标 1.理解掌握一元二次方程的定义及相关概念。 2.会判断一个方程是否为一元二次方程。 （3）情景引入 1. 幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同。
九年级数学一元二次方程教学案例
九年级数学（上）一元二次方程教学案例 1、创设情境 我们学校要建一个面积是150平方米一边靠墙的自行车棚，另外的三边用铁篱笆围成，如果铁篱笆周长是35米，请你设计一下车棚的长和宽各是多少？ 2、激发兴趣 教师设计符合学生生活实际的情景，一下子引起学生的兴趣，激发学习的动机，出示问题现在就请我们的各小组就这个问题讨论一下。 3、学生的新旧知识迁移阶段 经过讨论，各个小组使用以前的知识列出统一的方程，由原有的认知结构经过一系列的转化，产生新的知识结构，这时候各个小组都出现了迷惑的状态。从没有见过这样的方程，此时教师引入课题，这就是今天所讲的一元二次方程，然后进入一个阶段，好动的学生具有极强的好奇心，他们热衷于探求事物的本质，此时吊起他们的胃口，使他们在不知不觉中进入状态，确实是一个好的开始，也就意味着取得了成功的一半。 4、学生小组讨论阶段 现在我们来看这个方程有怎样的特点？教师抛出这样一个问题，并把他板书到黑板上，学生分组讨论交往互动，此时教师在小组内指导，宏观上能做到对全体的指导，并把学生的讨论结果即时的有选择的板书到黑板上。 “我们发现这个方程的次数是二次的” “我们还发现只有一个未知数” “我们又发现是按X的降幂排列的”“我们发现等式的右边是0” 这样老师尽力的把学生的各种观点板书，对于学生来说有一种成功感，特别是对于成绩相对比较差的学生，即时的表扬，调动各类学生积极参与教学过程，把课堂教学的主线定义为发展学生的创造性思维。 5、梳理归纳阶段。 通过上一步的讨论我们能否给出一个一元二次方程的定义及标准形式，通过上面的板书，请大家归纳一下，老师抛出第二个问题，根据这个阶段学生争强好胜的特点，他们会尽一切办法把自己的想法加到定义中，已表现出他们高人一筹，老师正是利用他们的这种心理，使他们朝着老师设计的轨道前进。当然，他们完全能够偏离轨道，只要产生思考的火花，就理应即时的表扬，学生归纳出以下的定义： “含有一个未知数并且次数是2的方程” “含有一个未知数并且次数是2的按X的降幂排列的方程”“含有一个未知数并且次数是2的X的降幂排列的等式的右边是0的方程” 老师把学生的讨论总结即时的板书，水到渠成最后得出一个统一的结论，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的次的方程叫一元二次方程，这样就对该概念的外延及内函有了充分的探讨，对于该知识的后续学习是极有协助的。教学反思： 我这次仅仅选了教学过程的一个极小的方面（概念教学）。就这个阶段来说，可能是上课伊始，学生的注意力比较集中的缘故，采用这种方法效果还是比较明显的。也可能是尊重学生的个性的原因，绝大部分的学生能积极地参与到合作讨论中，学生课堂上生动活泼，自由的发言，做到课堂活而不乱，学生说而有章，初步达到了最初设想到的目的，所以只要尊重学生的个性，适时引导，让每一个人
一元二次方程的定义教案
第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知
你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠
因式分解法解一元二次方程 说课稿
因式分解法解一元二次方程说课稿 一、教材分析 1、教材的地位和作用 一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。 2、学生学情 任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的。这就要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发。分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。当他们在解决实际问题时，发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的配方法问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式，用配方法公式法后，这就为我们继续研究用因式分解法解一元二次方程奠定了基础。 3、教学目标 根据大纲的要求、本节教材的内容和学生的心理特征及已有的知识经验，本节课的三维目标主要体现在： 知识与能力目标： （1）理解因式分解法的思想，掌握用因式分解法解一元二次方程;（2）能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。过程与方法目标：通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”的数学思想方法。 情感与态度目标：培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。 4、教学重点与难点
一元二次方程的解法教学设计
一元二次方程的解法教学设计Teaching design of solving quadratic equation of one variable
一元二次方程的解法教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 教学目标 1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程； 2．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程； 3．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程； 4．会用因式分解法解某些一元二次方程。 5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。 教学重点和难点 重点：一元二次方程的四种解法。
难点：选择恰当的方法解一元二次方程。 教学建议： 一、教材分析： 1．知识结构： 2．重点、难点分析 （1）熟练掌握开平方法解一元二次方程 用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。 如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。 配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。 （2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：
因式分解法解一元二次方程导学案(教师版)
24、2因式分解法解一元二次方程导学案 学习目标： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、会灵活选择合适的方法求解一元二次方程 学习重点： 1、会用因式分解法解一元二次方程 学习难点： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、根据方程特征选择适当的方法解一元二次方程 温故而知新 1、什么叫因式分解？ 2、你所知道的因式分解的方法有哪些？ 3、将下列各式因式分解 (1) x2-x (2) x2-4 (3) x2-2x+1 (4) x2+x-12 4、回想乘法法则：几个数相乘，有一个因式为零，则积为零。反之，若ab=0，那么________ 运用这一结论，快速求解下列方程 （1）x(x-1)=0 （2）(x-3)(x-5)=0 （3） (x+1)(x-4)=0 5、思考：试试这个吧！（要求群学） 解方程：x2=3x
闪亮登场 1、试一试 （群学）试着用上面的方法求解一元二次方程 x 2 =3x （请一名同学上台演示，必须说明理论依据和步骤） 2、总结因式分解法解一元二次方程的定义（投影) 先将一元二次方程通过（ ）化为两个一次式的乘积等于（ ）的形式，再使这两个一次式分别等于（ ），从而实现（ ），这种解法叫做因式分解法。 3、总结因式分解的步骤 （学生总结） （投影展示）【右化零，左分解，两因式，各求解】 4、把关练习（师傅把关） (1)x(x-2)+x-2=0 (2)(x －1)(x ＋2)=2(x ＋2) (3)5x 2-2x-41=x 2-2x+4 3 (4)x 2-12x+35=0 5、找找茬 （对学） 有一个很爱动脑筋的同学，又发现了一种更简洁的解法，大家看一看，这样行吗？ x 2 =4x 解：方程同除以x ，得 x=4
配方法解一元二次方程说课稿
《解一元二次方程——配方法》说课稿内江师范学院数学与信息科学学院2012级4班陈静尊敬的各位评委专家老师，大家好！我是_____号考生。 今天我说课的题目是《解一元二次方程——配方法》，我将从教材分析、教学目标、教法、学法、教学程序设计等方面进行说明。 一、教材分析 首先我们来进行教材分析： 《解一元二次方程——配方法》是人民教育出版社出版的义务教育课程标准实验教科书初中数学九年级上册第二十二章第二节第一小节第5页至第9页的教学内容。一元二次方程的解法是本章的重点内容，“配方法”是学生接触到的的第二种一元二次方程的解法，它是以直接开方法为基础的一次深入探究，是由特殊到一般的一个拓展过程，又对继续学习后面的公式法有着指导和铺垫的作用。在“配方法”的探索过程中让学生体会“转化”的数学思想方法，为今后学习高次方程、函数等奠定了基础，具有承上启下的作用。 根据初中九年级学生的认知结构和心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。当他们在解决实际问题时发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的问题；而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统地研究了完全平方式、二次根式，这就为我们继续研究用配方法一元二次方程组奠定了基础。 基于教材内容的安排以及学情分析，本节课的教学重点：配方法解一元二次方程的步骤；教学难点：掌握配方法与配方法的技巧。 二、教学目标分析 依据教材的编排和学生实际，结合《数学新课程标准》中对初中学生的要求，我确定了以下三个教学目标： (一)知识目标： 会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程，了解用配方法解一元二次方程的基本步骤。 (二)能力目标： 理解配方法，知道“配方”是一种常用的数学方法；理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题。 (三)情感目标： 通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力。
《一元二次方程》教学案例
《一元二次方程》教学案例 单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等． （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求
根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论． 3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键 1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导． 课时划分
一元二次方程优质课教学设计
《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计 一、内容和内容解析 （1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式 （2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。 二、目标和目标解析 （1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、学情分析 教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。 四、教学问题诊断分析
3.4用因式分解法解一元二次方程导学案
3.4用因式分解法解一元二次方程导学案 学习目标 掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．?难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 学习过程 一、课前预习： （学生活动）解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 二、课内探究 1、自主学习： 思考下面各题． （1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ 上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-． （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2． 结论：因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 2、合作交流： 先自己完成，后小组对照答案，改正错误 例1．解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，?另一边为0的形式 解：（1） （2）移项，得
一元二次方程全章说课稿
人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学（九年级上册）》 第二十一章《一元二次方程》说课标说教材稿 陵城区郑家寨镇中学司艳红 尊敬的各位评委，各位老师： 大家好！ 我是来自陵城区郑家寨镇中学的司艳红。今天我说课标说教材的内容是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学（九年级上册）》第二十一章《一元二次方程》。我将从说课程标准、说教材、说建议三个方面进行阐述。 一、说课程标准 （一）本章的课程目标 1.以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念。 2.根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法。选学“一元二次方程的根与系数的关系”，拓展对一元二次方程的认识。 3.经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。 （二）本章的内容标准（课程内容） 1．能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。 2．经历估计一元二次方程解的过程。 3．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。4．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。5．*了解一元二次方程的根与系数的关系。 6．能根据具体问题的实际意义，检验一元二次方程的解是否合理。 二、说教材 （一）人教版教材的编写特点 1．体现整体性，螺旋上升地呈现重要的概念和思想 人教版教材整体体现课程内容的核心，整体考虑知识之间的关联。例如，人教版教材为了体现方程、不等式和函数内在的整体性，在八年级上册特意安排了“14.3 用函数观点看方程（组）与不等式”一节。 螺旋上升地呈现重要的概念和思想，不断深化对它们的认识。人教版教科书改变了以往教科书“先集中出方程，后集中出函数”的做法，而是按照“一次”和“二次”的数量关系，使方程和函数交替出现，即按一次方程（组）、一次函数、二次方程、二次函数的顺序螺旋上升。这样处理，一方面克服直线式发展所产生的不易理解消化的弊病，分阶段地不断地深化对方程和函数的理解；另一方面强化基本概念之间的内在联系，从函数角度提高对方程等内容的认识，八年级上册的“14.3 用函数观点看方程（组）与不等式”等就是为此而特意安排的。
二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题
二次函数与一元二次方程教学案 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ， ，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离 21AB x x =-= . ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 例：二次函数ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2与x 轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由: ⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑶ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数
c bx ax y ++=2与 x 轴交点的 . ⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 21x x 、） ⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 【例1】 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范 围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求
21.1一元二次方程(教学设计)
第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型：新授课 编制：张媚 九年级（ ）班 姓名 学习目标： 1、知识与技能： 了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法： 通过独立思考，小组交流，探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度： 培养学生自学能力与小组合作的意识。 重点： 一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。 学情分析：本节课以实际问题为例，通过自主学习，小组探究交流讨论，引出一元二次方程的概念，有利于学生感受和理解，对每个知识点，进行归纳整理，设计适当练习，加深对知识理解，发展学生的能力，突破重点，降低难点。但现有 学生运算能力较差，将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困 难，对实际问题列一元二次方程也会出现困难。 导学过程： 一、自学指导： 阅读教材第1至4页，并完成预习内容.. 问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积 为3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为 ，宽为 .得方程 ， 整理得 化简，得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛1场，所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少？ 个 (2)它们最高次数分别是几次？ 次 方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测： 下列方程中哪些是一元二次方程？（看课件） 二、合作探究（例题学习） 活动1小组讨论 例1将方程3x （x －1）＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(
公式法解一元二次方程导学案
公式法解一元二次方程导学案 主备人： 组长： 包科领导： 学习目标： 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式， 通过判别式判断根的情况. 3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程 学习重点： 求根公式的推导，公式的正确使用 学习难点： 求根公式的推导 预 习 案 1、用配方法解下列方程 （1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 2、如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能 否用上面配方法的步骤求出它们的两根？ 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c ? 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解： 移项，得： ， 二次项系数化为1，得 配方，得： 即 ∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况： （1） b 2 -4ac ＞0，则2244b ac a -＞0 直接开平方，得： 即x=2b a -± ∴x 1= ，x 2= （2） b 2 -4ac=0，则2244b ac a -=0此时方程的跟为 即一元二次程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个 的实根。 （3） b 2 -4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取
任何实数都不能使（x+2b a ）2 ＜0，因此方程 实数根。 探 究 案 一、由预习可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定， （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0， 当b 2 -4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a -±就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。 （2）ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根。 当b 2-4a c ＞0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac=0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac ＜0，一元二次方程 实数根。 （4） 一般地，式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的 判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b 2-4ac 二、使用公式法解一元二次方程的一般步骤： ○ 1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号 ○ 2求出b 2-4ac 的值 ○ 3当b 2-4ac ≥0时，把a ，b ，c 及b 2-4ac 的值带入求根公式 x 1，x 2；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根 三、用公式法解方程（参考课本65页例题书写） （1）x 2-4x-7=0 （2）4x 2-3x+1=0 四、当堂训练 1.用公式法解下列方程：