高数下练习题
练习题： 一、填空
1、设)(32xy x
y z ?+=
，其中有?连续导数，求y z
xy x z x ??-??2= . 答案：2
y -
2、求由曲线?
??==+012
2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧
的单位法向量是 。 答案：
)3,2,0(5
1
3.已知级数
∑∞
=1
n n
u
的前n 项部分和() ,2,1,1
3=+=
n n n
S n ,则此级数的通项n u = . 答案：()
13
+=
n n u n
4、L:沿椭圆122
22=+b y a x 逆时针方向绕一周，计算?--+L
dy y x dx y x )4()23(= 。
答案： ab π3-
5、 设f(x)是以π2为周期的周期函数，它在区间],[ππ-上定义为???≤<-≤<=0
,00,)(x x e x f x ππ
，
则f(x)的付里叶级数在π=x 收敛于________2
π
e _______
6、设2
2
2
z y x r ++=，则计算r grad 1= 答案：)(113k z j y i x r
r grad
++-=
7、确定常数m,使
??=+D
dxdy y x m 2)cos(，其中D 是由直线2
,2,π
=
==x x y x y 所围成
的区域，则m= 。 答案 m=-3 8. 微分方程0152=-'+''y y y 的通解是x x
e C e C y 2
5
231+=-
二、选择 1、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积S=( B )
(A) π3 (B) π2 (C) π5 (D) π22
2、 ??
?=++=++1
02
22z y x z y x 则dz dx
=（ B ）
(A )
z y z x --； (B )y x z y --; (C )z x z x 24421+--; (D) z
x y
x -- 3、设f(x,y)连续，
??
??
-+1
21
20
2
),(),(x x
dy y x f dx y x f dx =（ D ）
(A) ?
?-2
22),(y
y dx y x f dy (B)
?
?
-1
2),(y
y dx y x f dy (C)
??
??
-+1
21
20
),(),(y
y
dx y x f dy dx y x f dy (D)
??
-1
2),(y y
dx y x f dy
4、设)()(y x y x z -++=?φ，则必有（ B ）
a) 0=+yy xx z z ; b) 0=-yy xx z z ; c) 0=xy z ; d) 0=+xy xx z z 5、若L 是以)0,0(O ，)0,1(A 和)1,0(B 三点为顶点的三角形的边界，则?+L
ds y x )(的值等
于(C)
（A ）21-（B ）
22
1
+（C ）21+（D ）2 6、若区域D 由x y x 22
2
=+所围成，则 )()(22=++??
dxdy y x y x D
。
（A ）
dxdy x y x D
??
+2)( （B ）
??
+-10
112
),(y
y dx y x f dy
（C ）dr r d ?
?
+θ
π
θ
θθcos 20
3
2
)sin (cos 2
（D ）
?
?
-
+2
2
cos 20
3)sin (cos π
πθ
θ
θθdr r d
7、设)(x f 有连续的一阶导数，则?
=+++)
2,1()
0,0()()()(dy y x f dx y x f
（A ）0 （B ）
?3
)(dx x f （C ）dx x f ?1
)( （D ）)1()3(f f -
8、设??
???=≠=0,00
,)sin(),(2xy xy xy
y x y x f ，则)()1,0(=x f （A ）0 （B ）2 （C ）不存在 （D ）1 三.1、计算dx e
dy
y
x ??1
10
2
2、设),(y x y x yf z -+=，f 具有二阶连续偏导数，求y z
??及x
y z ???2
答案：
()21f f y f y
z
-+=?? ()22211211212f f f f y f f x
y z
--+++=???()221121f f y f f -++=
3、 求球面03222=-++x z y x 与平面04532=-+-z y x 的交线在点（1，1，1）处的切线及法平面的方程。 答案: 切线方程为
,1
1
91161--=-=-z y x 法平面方程为024916=--+z y x 4、求曲面32=+-xy e z z
在点)0,2,1(处的切平面与法线方程。 答案：42=+y x ，
1221-=
-=-z y x 5、设L 为正向圆周22
2
=+y x 在第一象限中的部分，计算曲线积分
?
-L
ydx xdy 2
答案：
2
3π
6、设)10(:2
2≤≤+=
∑z y x z 的下侧，求
??∑
-++d x d y z y d x d z x d y d z )1(32
答案：π2
7、求
()??∑
+ds z xy 2
，其中∑为半球面228y x z --=
位于圆柱面422=+y x 内的部
分。 答案：()
1223
128-π
8、计算
??∑
γ,ds cos z
2
其中∑是上半平面：01222>=++z ,z y x ；γ是球面∑的法线与
z 轴正向夹成的锐角。 答案：
2
π 9、求幂级数
n x n n n n ∑∞
=-+1)
2(31
的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性. 答案: 收敛域[-3，3）；
10、设0>x ，求微分方程()0622
=-+dy x y ydx 通解. 答案：通解为32
2
Cy y x += 11.求微分方程y y y y y '='-''2
2的通解。 答案：)( 1
121C y e C e C y x
C x C =-=包含
12、求??
???=+≠+++=0
,00,1sin )(),(22222
22
2y x y x y
x y x y x f 的偏导数，并讨论在点(0,0)处偏
导数的连续性。 答案：不连续 13、已知曲面方程为)0,0,0(1>>>=z y x xyz 在曲面上求一点，使其到原点的距离最短
并求出最短距离。 答案：（1,1,1）最短距离：3 14、设),()2(xy x g y x f z +-=，其中)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导，求
y
x z
???2。解：2221221
)2(2,)2(2g g xy g x y x f z g y g y x f z xy x '+''+''+-''-='+'+-'=。 15．设n
是曲面42222=++z y x 在点M(1,1,1)处的外法线向量，求函数32z xy u =在点M 沿方向n
的方向导数，并求方向导数的最大值。
解:6
8
}1,2,1{}3,2,1{61},,{},1,2,1{61},2,4,2{}2,4,2{00=
?=???????=??===n z u y u x u n u n z y x n M M , 方向导数的最大值为:14=M gradu . 16． 设)(22y z y z x ?=+,求y
z
??.
解 )(2,)()(),(),,(22y z
z F y z y z y z F y z y z x z y x F z y ????'-='+-=-+=，
)
(2)
()(x
z
z y
z
x z y
z F F y z
z
y ???'-'-=-=?? 17、设4:2
2
2
=++z y x S ，计算
dS y x S
)(22??
+。 答案：3
128π
18、验证dy ye y x x dx xy y x y
)128()83(2
3
2
2
++++是某个函数),(y x u 的全微分，并求
),(y x u 。
答案：)1(124),(223+-++=y
y e ye y x y x y x u 19、计算曲线积分?
++-L
y dy x e dx y )()22(2
，其中L 是从点O(0,0)到点A(1,0)的上半圆
周x y x =+2
2
。
20、设物体占空间区域Ω，Ω是由曲面224y x z --=
，22y x z +=围成，试分别用
直角坐标、柱面坐标、球面坐标将三重积分???
Ω
=
dv z y x f I ),,(化为三次积分。
21设)(x f 可微，1)0(=f ，曲线积分dy x x f dx x f x xy I L ]2
)([)(12
2
-++=?
与路径无关。 （1）试求)(x f ;（2）计算dy x x f dx x f x xy I y x ]2
)([)(12
)
,()
0,0(2
-++=
?
的值。 22、判别级数
()
[
]∑∞
=-+1123
1
n n
n n 的敛散性。 答案：收敛
23、证明??
???==≠++==0,00,),(2
22
2y x y x y x xy y x f z 在点(0,0)连续、偏导数存在，但不可微。
24、设曲面h z z y x ≤≤=+∑0,:2
2
2
. γβαcos ,cos ,cos 是∑的外法线方向余弦，求
??∑
++=ds z y x I )cos cos cos (222γβα 答案：421
h π-
25、设正向数列{n a }单调减少，且
∑+∞=-1
)1(n n n
a 发散，证明级数∑+∞
=+1
)1
1(
n n
n a 收敛 证：由}{n a 单调递减有下界（非负），故极限存在 a a n n =∞
→lim
则有0>≥a a n （0≠a 否则与
∑∞
=-1
)
1(n n n
a 发散矛盾）
≤+∑∞
=1)11(n n
n
a ∑∞
=+1
)11(
n n a ， 111
<+a
由等比级数收敛，由比较判别法原级数收敛。 26、求幂级数
∑∞
=+11
n n x n n
在其收敛域1 ???=≠-∈-+-=000111111 x ,,x ,,x ,x ln x x x s 27.函数 x y cos =展开成 ?? ? ? ?-4πx 的幂级数。 28. 计算三重积分 ??? Ω zdv ,其中Ω为曲面2 22y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域. 答案： 12 7π 29、求级数 ∑ ∞=++?????????+??? ??+21 ) 1ln(ln )1(11ln n n n n n n n n 的和。 答案： 2 ln 21 lim = =∞ →n n s s 30、求二元函数2 2 3),(xy y x xy y x f --=的极值. 答案： 驻点: ?? ?==???==???==?? ?==1 1 ,30,03,00y x y x y x y x )1,1(是极值点，()11,1=f 是极大值. 31、求微分方程 02sin =+'+''x y y 满足初始条件1,1='===ππx x y y 的特解。 答案：特解为：x x e e y x 2sin 5 1 2cos 1015323++-= -π。 第 八 章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 () αβ→ → ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ →→→ →±+； (C)2 2 αα ββ →→→ →±+； (D)2 2 2αα ββ →→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴； x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于 轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距 的一半，试求该动点轨迹曲面与 yoz 面的交线方程 . 大一高数基础练习题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY- 《高等数学》（理工类） 1.设()y f x =的定义域为(0,1]，()1ln x x ?=-，则复合函数[()]y f x ?=的定义域为________；0ln 1,[1,)x x e ≤<∈ 2.已知0x +→时，arctan3x 与 cos ax x 是等价无穷小，则a =______；0arctan 33 lim 1,3x x a ax a →===； 3．函数6cos 2sin π+=x x y ，则=y d ________；21 (2cos 2sin 2)x x dx x -； 4．函数x xe y -=的拐点为____________；(2)0,2x y e x x -''=-==，2(2,2)e - 5．设函数?? ??? ≥ +<=2,2,sin )(ππx x a x x x f ，当a =____时，)(x f 在2 π=x 处连续； 12π-； 6. 设()y y x =是由方程20y e xy +-=所确定的隐函数，则y '=__；y y e x -+ 7．函数x x e x f --= 111)(的跳跃间断点是______；(1)0,(1)1,f f -+==1x =； 8 ．定积分1 1 sin )x dx -?＝________ ；0 22π=? 9．已知点空间三个点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(B A M 则AMB = _______； 3π； 10．已知(2,3,1)(1,2,3)a b ==，则a b ?＝_________。(751)-，， 二、计算题（每小题6分，共42 分） 1．求极限220ln(1)1 lim 2 sin 2x x arc x →+=。 高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 高数 高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】 院（系）别班级学号姓名成绩 大题一二三四五六七 小题12345 得分 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量、满足，，，则． 2、设，则． 3、曲面在点处的切平面方程为． 4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数 在处收敛于，在处收敛于． 5、设为连接与两点的直线段，则． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线在点处的切线及法平面方程． 2、求由曲面及所围成的立体体积． 3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设，其中具有二阶连续偏导数，求． 5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 高数 四、（本题满分10分） 计算曲线积分， 其中为常数，为由点至原点的上半圆周． 五、（本题满分10分） 求幂级数的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分） 计算曲面积分， 其中为曲面的上侧． 七、（本题满分6分） 设为连续函数，，，其中是由曲面 与所围成的闭区域，求． ------------------------------------- 备注：①考试时间为2小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。 高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】 参考解答与评分标准 一、填空题【每小题4分，共20分】1、；2、；3、；4、3，0；5、. 二、试解下列各题【每小题7分，共35分】 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是 同阶 无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是 无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f . 9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续; 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 高等数学（上）模拟试卷一 一、 填空题（每空3分，共42分） 1 、函数lg(1)y x = -的定义域是 ； 2、设函数20() 0x x f x a x x ?<=?+≥?在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C =+? ，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ； 8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、201x dx -?= ； 10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+r r r r r r r r ，且a b ⊥r r ，则λ= ； 11、2 lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ； 12、311lim x x x -→= ；13、设 ()f x 可微，则()()f x d e = 。 二、 计算下列各题（每题5分，共20分） 1、011lim()ln(1)x x x →-+2 、y =y '； 3、设函数()y y x =由方程xy e x y =+所确定，求0x dy =； 4、已知cos sin cos x t y t t t =??=-?，求dy dx 。 三、 求解下列各题（每题5分，共20分） 1、421x dx x +? 2、2sec x xdx ?3 、40?4 、2201dx a x + 四、 求解下列各题（共18分）： 1、求证：当0x >时，2 ln(1)2x x x +>- （本题8分） 2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋 南京工业大学继续教育学院南京高等职业技术学校函授站 《高等数学一》课程复习题库 选择题 sin3x / 、 1. Iim () x 0 x 1 A.0 B. C.1 D.3 3 sin ax 2. Iim 2,则 a =() x 0 2x 1 A.2 B. - C.4 D. 2 sin5x sin 3x Iim x 0 A.0 B. - C.1 D.2 2 4.极限Iim tan3x 1等于 （ ) x 0 x A 0 B 3 C 7 D 5 5.设 f x 2 x x,x 0 且f x 在x 0处连续，则a （） a,x 0 3. A.0 B. 1 C.1 D.2 6.设 f x a x x 1，x 1 ，且f x 在x 1处连续，则a A.1 B. 1 C.-2 D. 2 1 2 x , x 2 7.设 f x a,x 0 在x 0处连续，则a () x, x 0 A.1 B. 1 C.0 D. 2 8?设y COsx2，贝U y () 2 A. sin x B. sin x2 C. 2 2xsin x D. 2xsin x2 9.设 y x 2 1，则 y = () x A.2x 3 B. 2x 1 C. 2x 3 D. 2x 1 1 10.设 y x 5 'sin x 贝U y =( ) A. 5x 6 cosx B 5x 4 cosx C. 5x 4 cosx D. 5x 6 cosx 11.设 1 y 5 x ，则dy () A. 5x 4 . B. 5x 4dx C. 5x 4dx D. 5x 4dx 12.设 y 1 cos2x,则dy =() 13. 设 y In 14 .叽 A. e B. C. D. 15. lim 1 x 0 2x 丄 2x oo e 2 16. A. e B. C.0 D. 1 A. sin 2xdx sin 2xdx C. 2sin 2xdx D. 2sin 2xdx A.- 1 dx -2 x dx -2 C. 2xdx x 2 D. 2xdx 2" x 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x ２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 练习题： 一、填空 1、设)(32xy x y z ?+= ，其中有?连续导数，求y z xy x z x ??-??2= . 答案：2 y - 2、求由曲线? ??==+012 2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧 的单位法向量是 。 答案： )3,2,0(5 1 3.已知级数 ∑∞ =1 n n u 的前n 项部分和()Λ,2,1,1 3=+= n n n S n ,则此级数的通项n u = . 答案：() 13 += n n u n 4、L:沿椭圆122 22=+b y a x 逆时针方向绕一周，计算?--+L dy y x dx y x )4()23(= 。 答案： ab π3- 5、 设f(x)是以π2为周期的周期函数，它在区间],[ππ-上定义为???≤<-≤<=0 ,00,)(x x e x f x ππ ， 则f(x)的付里叶级数在π=x 收敛于________2 π e _______ 6、设2 2 2 z y x r ++=，则计算r grad 1= 答案：)(113k z j y i x r r grad ρ ρρ++-= 7、确定常数m,使 ??=+D dxdy y x m 2)cos(，其中D 是由直线2 ,2,π = ==x x y x y 所围成 的区域，则m= 。 答案 m=-3 8. 微分方程0152=-'+''y y y 的通解是x x e C e C y 2 5 231+=- 二、选择 1、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积S=( B ) (A) π3 (B) π2 (C) π5 (D) π22 2、 ?? ?=++=++1 02 22z y x z y x 则dz dx =（ B ） 大一高等数学复习题(含答案) 复习题 一、 单项选择题： 1、5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞-Y B 、()),6(6,+∞∞-Y C 、()),4(4,+∞∞-Y D 、())5,4(4,Y ∞-Y ()),6(6,5+∞Y 2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2)的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、] 2,2[- D 、 ]2,1[]1,2[Y -- 3、函数) 1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数， 非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2)=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数= -)(1 x f （ C ） A 、2 1x - B 、2 1x -- C 、 )01(12≤≤--x x D 、) 01(12≤≤--- x x 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1 ) 1()(1 +-=+n n n f n B 、 ???? ?-+=为偶数为奇数n n n n n f ,11 ,11 )( C 、 ???? ?+=为偶数为奇数n n n n n f ,1 1,1 )( D 、 ???????-+=为偶数为奇数n n n f n n n n ,2 21,221)( 解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1 111.0个n n y Λ=，则当∞→n 时，该数列（ C ） A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于 9 1 D 、发散 解：)10 11(91101101101111.02n n n y -=+++= =ΛΛ 7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件 8、下列极限存在的是（ A ） A 、 2 ) 1(lim x x x x +∞→ B 、121lim -∞ →x x C 、x x e 10 lim → D 、x x x 1lim 2++∞ → 解：A 中原式1)11(lim =+=∞ →x x 9、 x x x x x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ） 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 高等数学下册试题库 一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线 1 1 2 z y x = -= 平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 21-=+= -z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1 y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是 __________ 9. 曲面2 22 y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数1 2 n n n n x ∞ =∑ 的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 322 2 x z y --=+= -且平行于直线 1 1 3 0 2 3 x y z +-+= =的平面方程是 _________________ 12. 设),2ln(),(x y x y x f + =则__________ )0,1(' =y f 13. 设),arctan(xy z =则____________,__________ =??=??y z x z 14. 设,),(2 2 y x y x xy f +=+则=),(' y x f x ____________________ 大一下学期高等数学考 试题 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256） 一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为 ( ) B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题 (6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、 A 2、 C 3、 C 4、 B 5、 A 6、 D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4 、 5、6、0 7、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 大一高数基础练习题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 《高等数学》（理工类） 1.设()y f x =的定义域为(0,1]，()1ln x x ?=-，则复合函数[()]y f x ?=的定义域为________；0ln 1,[1,)x x e ≤<∈ 2.已知0x +→时，arctan3x 与 cos ax x 是等价无穷小，则a =______；0arctan 33 lim 1,3x x a ax a →===； 3．函数6cos 2sin π+=x x y ，则=y d ________；21 (2cos 2sin 2)x x dx x -； 4．函数x xe y -=的拐点为____________；(2)0,2x y e x x -''=-==，2(2,2)e - 5．设函数?? ??? ≥ +<=2,2,sin )(ππx x a x x x f ，当a =____时，)(x f 在2 π=x 处连续； 12π-； 6. 设()y y x =是由方程20y e xy +-=所确定的隐函数，则y '=__；y y e x -+ 7．函数x x e x f --= 111)(的跳跃间断点是______；(1)0,(1)1,f f -+==1x =； 8 ．定积分1 1 sin )x dx -?＝________ ；0 22π=? 9．已知点空间三个点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(B A M 则AMB = _______； 3π； 10．已知(2,3,1)(1,2,3)a b ==，则a b ?＝_________。(751)-，， 二、计算题（每小题6分，共42 分） 1．求极限220ln(1)1 lim 2 sin 2x x arc x →+=。 2．求极限3sin 00 sin lim x t x e dt x x →-?=3 2sin 03sin lim 61cos x x xe x →=- 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）同济版高等数学下册练习题附答案
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