近世代数习题解答5

近世代数习题解答

第五章 扩域

1 扩域、素域

1. 证明:)(S F 的一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集是一个域.

证 一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集为

∑ 1)若 ∑∈b a , 则一定有),,(2,1n F a ααα ∈

),,(2,1m F b βββ ∈易知m n F b a βββααα,,,,,,(2121 ∈-

但∑?),,,,,,(2121m n F βββααα 从而∑∈-a b

2)若,,∑∈b a 且0≠b 则 ),,,(21m F b βββ ∈-

从而有∑?∈-),,,,,,(21211m n F ab βββααα

２ 单扩域

１． 令E 是域F 的一个扩域，而F a ∈证明 a 是F 上的一个代数元，并且

证 因0=-a a 故a 是F 上的代数元．其次，因F a ∈，故F a F ?)(易见F a F ?)(，从而F a F =)(

２．令F 是有理数域．复数i 和11

2-+i i 在F 上的极小多项式各是什么？ )(i F 与)112(-+i i F 是否同构？ 证 易知复数i 在F 上的极小多项式为11

2,12-++i i x

在F 上的极小多项式为252+-x x 因)11

2()(-+=i i F i F 故这两个域是同构的．

３．详细证明，定理３中a 在域F 上的极小多项式是)(x p

证 令?是)(x F 中的所有适合条件0)(=a f 的多项式作成)(x f 的集合．

1) ?是)(x F 的一个理想

(ⅰ)若 ?∈)(),(x g x f 则0)(,0)(==a g a f

因而0)()(=-a g a f 故??-)()(x g x f

ⅱ)若)(,)(x h x f ?∈是)(x F 的任一元

那么0)()(=a f a h 则?∈)()(x f x h

2)是一个主理想

设 )(1x p 是?中a ！的极小多项式

那么，对?中任一)(x f 有

)()()()(1x r x q x p x f +=

这里0)(=x r 或r(x)的次数

但)()()()(1x R a q a p a f +=

因 )(,0)(1a p a f =0= 所以0)(=a r

若 0)(≠x r 则与x p 1是a 的极小多项式矛盾．

故有 )()()(1x q x p x f = 因而)((1x p =?

（３）因 p(a)=0 故p(x)?∈

)()(1x p x P 因二者均不可约，所以有)()(1x ap x p =

又)(),(1x p x p 的最高系数皆为1那么1=a

这样就是)()(1x P x p =

４． 证明：定理３中的K a F =)(

证 设,K f ∈，则在定理３的证明中，'K K ?之下有．

a x a x a f n n n

n +++→------ 1

1

但 ,x a → -

→11a a 故必011a a a f n n n n ++=--αα

这就是说)(αF k ? 因而K a F =)(

３ 代数扩域

１．令E 是域F 的一个代数扩域，而α是E 上的一个代数元，

证明α是E 上的一个代数元

证 因为α是F 上的代数元

所以n n e e e αα+++ 10

又因为E 是F 的代数扩域，从而),,(10n e e e F 是F 的代数

扩域，再

有α是),,(10n e e e F 上的代数元，故),,(10n e e e F ()(α

n n e e e e F ,,,,(110- )的有限扩域，由本节定理１，知 ),,,,,(110αn n e e e e F -

是F 的有限扩域，因而是F 的代数扩域，从而a 是F 上的一个代数元．

２．令F ,E 和L 是三个域，并且，假定

！！！！而E 的元α在F 上的次数表示E L F ??，并且1),(=n m

证明α在I 上的次数也是１

证 设r I I =:)((α

因为 F I I ??)(α

由本节定理1 rm F a I =):)(( 另一方面，因为F I F F :)(():)((αα

仍由本节定理！！ 即有rm n

但由题设知 1),(=n m 故 r n

又α在I 上的次数是r ，因而其在I 上的极小多项式的次数是１ α在I 上的次数是n ，因而其在F 上的极小多项式的次数是n

由于α在上的极小多项式能整除α在F 上的极小多项式

所以n r ≤

因而n r =

３．令域！的特征不是２，E 是F 的扩域，并且

4):(=F E

证明存在一个满足条件E I F ??的E 的二次扩域F 的充分与必要条是：4):(=F E ，而α在F 上的极小多项式是b ax x ++24

证 充分性：

由于α在F 上的极小多项式为b ax x ++24

故F a ?2及)(22αF a ?

因而1):)((2≠F a F 由本节定理１知：

所以 2):)((2=F a F 这就是说，)(a F 是一个满足条件的的二次扩域必要性：

由于存在I 满足条件E I F ??且为F 的二次扩域

即2):1(=F 因此可得（2)1:(=E

我们容易证明，当F 的特征不是２时，且

则 而！在！上的极小多项式是！

同样 )(a I E =而β在f x -2上的极小多项式是

这样 ,,2F f f ∈=β

I i i ∈=,2α

那么ββ2

2212122f f f f i ++=

所以24i =α

2

2221212ββf f f f ++=

2

22212122ββf f f f ++=

令12f a -= f f f b 2221-=

同时可知b a ,均属于F 024=++∴b a αα

由此容易得到0(a F E =

４．令E 是域F 的一个有限扩域，那么总存在E 的有限个元m ααα ,,21使),,(21m F E ααα =

证 因为E 是F 的一个有限扩域，那么把E 看成F 上是向量空间时，则有一个基n ααα ,,21显然这时

),,(21m F E ααα =

５．令F 是有理数域，看添加复数于F 所得扩域＂

)2,2(3

1311i F E = )2,2(31312wi F E = 证明6):(,2)2((131==F E F

证 易知！在！上的极小多项式是！ 即（3:)2(3

2=F F 同样312上的极小多项式是3

2

2324222?+-x x 即4))2((31;2=F E

由此可得（12):(,6):(21==F F F E

４ 多项式的分裂域

１．证明：有理数域F 上多项式14+x 的分裂域是一个单扩域)(a F 其中a 是14+x 的一个根

证 14+x 的４个根为

2

222,2222,2222,22223210i a i a i

a i a --=+-=-=+=

又a a a a a a -=-==--31

211,;

所以)(),,,(321a F a a a a F =

２．令F 是有理数域，a x -3是F 上一个不可约多项式，而a 是a x -3 的一个根，证明)(a F 不是a x -3在F 上的分裂域．

证 由于a 是a x -3的一个根，则另外两个根是2,εεa a ，这里ε，2ε是

12++x x 的根若)(a F 是a x -3的在H 上的分裂域那么)(,2a F a a ∈εε这样，就是)()(a F F F ??ε由3。3定理！有但

))(():)((F a F F F ε此为不可能.

３．令)(,),(),(21x p x P x p m 是域F 上m 个最高系数为1的不可约多项式，

证明存在F 的一个有限扩域)21,,,(m a a a F ，其中i a 在F 上的极小多项式是)(x p i

证 令=)(x f )(,),(),(21x p x P x p m 由本节定理２)(a f 在F 上的分裂域E 存在，根据4.3定理３， 知E 是F 上的有限扩域，取)(x p i 的根i a 则有

E a a a

F F m ??),,(21

因 E 是F 的有限扩域，故m a a a F ,,(21也是F 的有限扩域，显然)(1x p ！

是i a 在F 上的极小多项式．

４．令p 是一个特征为素数p 的域，)(a p F =是p 的一个单扩域，

而a 是][x p 的多项式a x p -的一个根，)(a p 是不是a x p -在F 上的分裂域？

证 因α是a x p -的根

故0=-a a p 即p a α=

由于P 的特征为素数！

所以p p x a x =-

因此)(αp 是a x p -在P 上的分裂域

５ 有限域

１．令F 是一个含n p 个元的有限域，证明，对于n 是每一个

因数0?m ，存在并且只存在F 的一个有m p 个元的子域L

证 因为m 是n 的因数，所以)1()1(-=-m n p p

那么1-m p x 是x x n p -的因式，

但x x m p -在F 中完全分裂，所以x x m p -在F 中也完全分裂，那么F 中含有x x m p -的m p 个根，由这m p 个根作成F 一个子域L ．

又因为x x m p -在F 中的分裂域只有一个，所以F 中有m p 个元的子L

只有一个．

２．一个有限域一定有比它大的代数扩域．

证 设F 是有q 个元的有限域．

看F 上的1)(+-=x x x f q

因为对F 的任一元1)(,=a f a

因此，)(x f 在F 上没有一次因式．

这样，)(x f 在F 上有一个一次数1?的不可约因式)(x p ．

作)(x p 分裂域E

则F E ? 而F E ≠且E 是F 的代数扩域．

３．令F 是一个有限域，?是它所含素域，且α是否必须F 是的非零元所作成的乘群的一个生成元？

证 我们的回答是未必．

令?是３元素域 x x x f -=9)(在?上的分裂域为F ，若令)(x f 的因

式！的根为i ，

则F 由 ,1,1,1,,1,1,0i i i i --+-+-所组成，14=i ！

故i 不是F 非零元所作成的乘群的生成元．

但)(x F ?=。

４．令?是特征为２的素域．)(x ?!找出的一切三次不可约多项式． 证 容易证明

123++x x 及13++x x 是)(x ?的一切三次不可约多项式．

６ 可离扩域

１．令域F 的特征是)(,x f p 是F 上一个不可约多项式，并且)(x f 可以写成F 上e p x ，但不能写成1+e p x 的多项式)1(≥e ，证明，)(x f 的每一个根的重复度都是e p

证 由于)(x f 可以写成F 上p x 的多项式，而不是1+e p x 的多项式，

我们以)()()(y g x g x f e p == 表示

因为 )(x f 在F 上不可约，所以)(y g 也不可约．

假定)(y g 的次数是m ，首系数是1，在它的分裂域中，分裂为1次因

式i y β-的)()(1β-∏==y y g m

i 因此)()(1β-∏==e

p m

i x x f

若1α是β-e

p x 的根，则 βα=e p

那么e

p e e p e

i p i p x x x )(ααβ-=-=-

所以)(x f 有m 个互异个根m αα ,,1，并且它们都是e

p 重根．

２．设域F 没有不可离扩域，证明F 的任一代数扩域

都没有不可离扩域．

证 设E 是F 的一个代数扩域，α是E 的一个不可离元，

那么α便是E 上一个有重根是不可约多项式)(x p 的根．

根据题设α是F 上是可离元，令)(1x p 是起极小多项式，则

)(1x p 无重根．那么)()(1x p x p ，因)(1x p 无重根，故)(x p 亦无重根，这与α是E 的不可离元的假设矛盾．

３．令域F 的特征是p 而),(βαF E =，这里a 是F 上次可离元而β是F 上P 次非可离元，=):(F E ？

证 由本节引理４，β是F 上的非可离元，否则可以推出β是

F 上的可离元，这与β是F 上非可离元矛盾，

由于β是F 上P 次非可离元，由本节引理１，！在p 在F 上的极小多项式是

a x x f p -=)(

我们易知p 是使p β在F 上为可离元的最小正整数，那么β！ 在)(a F 上也一定是p 次非可离元．

这样a x x f p -=)(

)(:),(a F F βα

故有（)(:),(a F F βα）pn a F F ==)(:),(βα

４．找一个域F ，使F 有一个有限域E 而不是E 的单扩域． 证 取域0F 其特征是P 并设y x ,是0F 的无关无关未定元． 令 ),(0y x F F =

),(11p p y x F E =

易知 都是-f 上不可约的单位元

所以E 是F 的一个有限扩域，并且

2):(p F E =

我们说，E 不是F 的单扩域：

若)(θF E =，则θ为q p y x 11,的有理式，从而θ为y x ,的有理式，故θ的次数，因此在E 上次数p ≤与2):(p F E =矛盾．