数列求和及其综合应用(基础)知识梳理

数列求和与综合应用

【考纲要求】

1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2. 掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式

3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前n 项和的几种常用方法；

4.能解决简单的实际问题. 【知识网络】

【考点梳理】

纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.

与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.

有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.

有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题.

数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑. 【典型例题】

类型一：数列与函数的综合应用

例1.(2015 菏泽一模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()(

)*

1n S n n n N

=+∈.

综合应用

与函数、方程、不等式等 与几何、实际问题等

数列前n 项和

公式法 错位相减 倒序相加 裂项相消

分组求和

(1)求数列{}n a 的通项公式. (2)若数列{}n b 满足：3122331313131

n n n b b b b

a =+++???+++++，求数列{}n

b 的通项公式; (3)令()*4

n n

n a b c n N =

∈，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【解析】(1)当1n =时，112a S ==

当2n ≥时，()()1112n n n a S S n n n n n -=-=+--= 知12a =满足该式

∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =

(2)

3122331313131

n n n b b b b

a =

+++???+++++① 311212313131313131

n n

n n n b b b b b

a +++∴=+++???+++++++② ②-①得111

231

n n n n b a a +++-==+即()1

1231n n b ++=?+ ()()*231n n b n N ∴=?+∈

(3)

()3134

n n n n

n a b c n n n =

=+=?+ ()23123132333312n n n T c c c c n n ∴=+++???+=?+?+?+???+?+++???+

令231323333n

n H n =?+?+?+???+?① 则234+1

31323333n n H n =?+?+?+???+?②

①-②得：()231

1313233333

313

n n n n n H n n ++--=+++???+-?=

-?-

()121334

n n

n H +-?+∴=

∴数列{}n c 的前n 项和为()()()1*

213314

2

n n

n n n T n N +-?++=+

∈

举一反三：

【高清课堂：函数的极值和最值388566 典型例题三】

【变式1】已知数列{}n a 和{}n b 满足：1

a λ=，1243

n n a a n +=+-，()

(1)321n n n b a n =--+

其中λ为实数，n 为正整数.

（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；

解析：（Ⅰ）假设存在实数λ，使得数列{}n a 是等比数列，则1a ，2a ，3a 必然满足2

213a a a =?

12324

,3,439

a a a λλλ==-=-

由2

213a a a =?得90=，显然矛盾，

即不存在实数λ使得数列{}n a 是等比数列。 （Ⅱ）根据等比数列的定义：

()()()()()111(1)[3(1)21]

(1)3212

[43(1)21]3

3212

[214]3

3213212233213

n n n n n n n n n n n n b a n b a n a n n a n a n a n a n a n +++--++=--+-+--++=-+--+=-+-+=-?=--+

即1

23

n n b b +=- 又()1

1321(18)b a λ=--+=-+

所以当18λ

=-时，数列{}n b 不是等比数列；当18λ≠-时，数列{}n b 是等比数列.

【变式2】(2015 遵义校级模拟)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，2

3210a a =-

(1)求{}n a 的通项公式.

(2)设{}n b 是以函数2

4sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n

项和n S .

【解析】(1)设数列{}n a 的公差为d 则：

()12

1

12

210a a d a d =???+=+-??解得2d =或4d =-(舍去) ()2212n a n n =+-=

(2)

21cos 24sin 422cos 22x y x x πππ-==?

=-的最小正周期为212T π

π

==

11b ∴=3q =13n n b -∴=123n n n a b n -∴-=-

()()()

()0

1

1

2221311

234323

32

1322

n n n n n n S n n n -+-∴=-+++???+-=-

=++-?- 类型二：数列与不等式

例2. （2016 天津高考）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和

1n a +的等比中项.

(Ⅰ)设2

2

*

1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；

(Ⅱ)设

()

22

*

11

,1,n

k

n k k a d T b n N ===

-∈∑，求证：2111.2n

k k

T d =<∑

【解析】⑴2

2

112112n n n n n n n n c b b a a a a d a +++++=-=-=?

21212()2n n n n c c d a a d +++-=-=为定值．

∴{}n c 为等差数列 ⑵

()22

131

1n

k

n k k T b c c ==-=++∑2n-1

…+c =2211(1)

42(n 1)(*)2

n n nc d nc d n -+

?=+-

由已知2

2

2

12123122122()4c b b a a a a da d a d d =-=-==+= 将2

14c d =代入（*）式得2

2(1)n T d n n =+

∴2222

11

111111111111

(1)(1)2(1)22231212n

n

k k k

T d k k d n n d n d ====-+-+-=-<+++∑

∑…+，得证 举一反三：

【变式1】在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=4a n -3n+1，*N n ∈. (1)证明数列{a n -n}是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；

(3)证明不等式n n S S 41≤+，对任意*N n ∈皆成立.

解析： (1)证明：由已知1341+-=+n a a n n ， ∴)(4)1(1n a n a n n -=+-+ *N n ∈ 又a 1-1=1，∴数列{a n -n}是首项为1，公比为4的等比数列

(2)解：由(1)可知a n -n=4n-1，∴ a n =4n-1

+n

∴S n =a 1+a 2+…+a n =(40+1)+(41+2) +…+(4n-1

+n)

=2

)

1(3142)1(4141++-=++--n n n n n n

(3)证明：对任意*N n ∈

2)

2)(1(314411+++-=-++n n S S n n n -41(1)43

2n n n ??-+?+???? =)43)(1(2

1

)43(212+--=-+-

n n n n ∵n ≥1，∴ n-1≥0，3n+4>0 ∴11

4(1)(34)02

n n S S n n +-=-

-+≤ 即S n+1≤4S n

【变式2】已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列. (Ⅰ)求q 的值；

(Ⅱ)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由.

解析：(Ⅰ)由题设2a 3=a 1+a 2，即2a 1q 2

=a 1+a 1q,

∵a 1≠0，∴2q 2

-q-1=0，

∴1q =或12

q =-

， (Ⅱ)若q=1，则.2

312)1(22n

n n n n S n +=?-+

= 当n ≥2时，.b S 02

)

2)(1(n n 1>>+-=

=--，故n n S b S n n n

若21(-1)1-92(-)2224

n n n n n

q S n +=-=+=，则

当n ≥2时，-1(1)(10)

4

n n n n n S b S ---==-

故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n >b n ；当n=10时，S n =b n ；当n ≥11时，S n

【变式3】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*

n ∈N ． （Ⅰ）设3n

n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）若1n n a a +≥，*

n ∈N ，求a 的取值范围．

解析：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n

n n S S +=+，

由此得1

13

2(3)n n n n S S ++-=-．

因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*

n ∈N ．① （Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*

n ∈N ，

于是，当2n ≥时，

1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-?---?1223(3)2n n a --=?+-，

12143(3)2n n n n a a a --+-=?+-22

32[123]2

n n a --=?+-（），

当2n ≥时，2

1312()302

n n n a a a -+??+-≥≥9a ?-≥．

又2113a a a =+>．

综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．