人教版高中数学《导数》
导数的背景
教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度
问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2
2
1gt s =
（其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量：
222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=?
从而，t t
s
v ?+=??=
-
-9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时，
t
s
??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t
s
??的极限是29.4.
当t ?趋向于0时，平均速度t
s
??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做
瞬时速度.
一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间
内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+=
??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t
s
??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s
??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t
的瞬时速度. 2. 切线的斜率
问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.
析：设点Q 的横坐标为1＋x ?，则点Q 的纵坐标为（1＋x ?）2，点Q 对于点P
的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1(x x x y ?+?=-?+=?， 所以，割线PQ 的斜率x x
x x x y k PQ
?+=??+?=??=2)(22. 由此可知，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，x ?变得越来越小，PQ k 越来越接近2；当点Q 无限接近于点P 时，即x ?无限趋近于0时，PQ k 无限趋近于2. 这表明，割线PQ 无限趋近于过点P 且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P 处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：12-=x y .
一般地，已知函数)(x f y =的图象是曲线C ，P （00,y x ），Q （y y x x ?+?+00,）是曲线C 上的两点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，割线PQ 绕着点P 转动. 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即x ?趋向于0时，如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线. 此时，割线PQ 的斜
率x
y
k PQ ??=
无限趋近于切线PT 的斜率k ，也就是说，当x ?趋向于0时，割线PQ 的斜率x
y
k PQ ??=的极限为k.
3. 边际成本 问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ?对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：
222)(3300)10503(10)50(3)50()50(q q q C q C C ?+?=+?-+?+=-?+=?.
产量变化q ?对成本的影响可用：
q q C ?+=??3300来刻划，q ?越小，q
C
??越接近300；当q ?无限趋近于0时，
q
C
??无限趋近于300，我们就说当q ?趋向于0时，q
C
??的极限是300. 我们把
q
C
??的极限300叫做当q ＝50时103)(2+=q q C 的边际成本.
一般地，设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，产量变化q ?对成本的影响可用增量比
q
q C q q C q C ?-?+=??)
()(00刻划. 如果q ?无限趋近于0时，
q
C
??无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）. 二、小结
瞬时速度是平均速度t
s
??当t ?趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率
x
y
??当x ?趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ??当
q ?趋近于0时的极限.
三、练习与作业：
1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度.
2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.
3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本.
4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度.
5. 判断曲线221x y =在（1，2
1
）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.
6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.
导数的概念（5月4日）
教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课：
1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数
)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比
x
y
??（也叫函数的平均变化率）有极限即
x
y
??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0
/x x y =，即
x
x f x x f x f x ?-?+=→?)
()(lim
)(000
0/
注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。
3.
x
y
??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率。
4.导数x
x f x x f x f x ?-?+=→?)
()(lim
)(000
0/
是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，
它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)
(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/
0x x x f x f y -=-。
5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ?无关。
6.在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成0
0000/
)
()(lim )()(lim
)(0x x x f x f x x f x x f x f x x o
x --=?-?+=→→?。 7.若极限x
x f x x f x ?-?+→?)
()(lim
000
不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
8.若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在。反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数
)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线。
一般地，
a x
b a x =?+→?)(lim 0
，其中b a ,为常数。
特别地，a a x =→?0
lim 。
如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/
x f ，从而构成了一个新的函数)(/
x f 。称这个函数)(/
x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/
y ，即
)(/x f ＝/y ＝x
x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)
()(lim lim
00
函数)(x f y =在0x 处的导数0
/x x y
=就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导
数)(/
x f 在0x 处的函数值，即0
/
x x y
=＝)(0/
x f 。所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作
)(0/x f 。
注：1.如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间
),(b a 内可导。
2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/
x f 在点0x 的函数值。
3.求导函数时，只需将求导数式中的0x 换成x 就可，即)(/
x f ＝x
x f x x f x ?-?+→?)
()(lim 0
4.由导数的定义可知，求函数)(x f y =的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=?。
（2）.求平均变化率
x
x f x x f x y ?-?+=
??)
()(。 （3）.取极限，得导数/
y ＝x
y x ??→?0lim 。
例1.求122
-=x y 在x ＝－3处的导数。
例2.已知函数x x y +=2
（1）求/
y 。
（2）求函数x x y +=2
在x ＝2处的导数。
小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。 练习与作业：
1.求下列函数的导数：
（1）43-=x y ； （2）x y 21-=
(3)x x y 1232
-= (3)3
5x y -=
2.求函数12
+=x y 在－1,0，1处导数。
3.求下列函数在指定点处的导数：
（1）2,02
==x x y ； （2）0,3
102
==
x x y ；
（3）1,)2(02=-=x x y （4）1,02
-=-=x x x y .
4.求下列函数的导数：
（1）;14+=x y （2）2
10x y -=；
（3）;323
x x y -= （4）722
+=x y 。
5.求函数x x y 22
-=在－2,0，2处的导数。
导数的概念习题课（5月6日）
教学目标 理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则 教学重点 导数的概念及求导法则 教学难点 导数的概念 一、课前预习
1.)(x f 在点0x 处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.若)(x f 在开区间（a ，b ）内每一点都有导数)(/
x f ，称)(/
x f 为函数)(x f 的导函数；求一个函数的导数，就是求＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿.函数)(x f 在点0x 处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
3.常数函数和幂函数的求导公式： )_____()(___)(*
//N n x c n ∈==
4.导数运算法则：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则：
)()]([)()()]()([/////x cf x f c x g x f x g x f =?±=±
二、举例
例1.设函数1)(2
-=x x f ，求：
（1）当自变量x 由1变到1.1时，自变量的增量x ?； （2）当自变量x 由1变到1.1时，函数的增量y ?； （3）当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率；
（4）函数在x ＝1处的变化率.
例2.生产某种产品q 个单位时成本函数为2
05.0200)(q q C +=，求 （1）生产90个单位该产品时的平均成本；
（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率； （3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.
例3.已知函数2
)(x x f =，由定义求)(/
x f ，并求)4(/
f .
例4.已知函数2
)()(b ax x f +=(a,b 为常数)，求)(/
x f .
例5.曲线2
2
3x y =
上哪一点的切线与直线13-=x y 平行？
三、巩固练习
1.若函数3)(x x f =，则/
)]2([-f ＝＿＿＿＿＿＿ 2.如果函数)(x f y =在点0x 处的导数分别为：
（1）0)(0/
=x f （2）1)(0/=x f （3）1)(0/-=x f （4）2)(0/
=x f ，
试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.
3.已知函数2
2)(x x x f -=，求)0(/f ，)4
1(/
f ，.
4.求下列函数的导数 （1）23212++=
x x y （2）153
1
4123-+-=x x x y （3）)4(2
3
-=x x y （4）)23()12(2
+-=x x y
四、作业
1.若)(lim 0
x f x →存在，则/
)](lim [x f x →＝＿＿＿＿＿
2.若2
)(x x f =，则1
)
1()(lim 1
--→x f x f x ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3.求下列函数的导数：
（1）1402022
4+--=x x x y （2）43
26
15423x x x x y -
-++=
（3）)3)(12(23x x x y ++= （4）3
2)1()2(-+=x x y
4.某工厂每日产品的总成本C 是日产量x 的函数，即2
571000)(x x x C ++=，试求： （1）当日产量为100时的平均成本；
（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本； （3）当日产量为100时的边际成本.
5.设电量与时间的函数关系为1322
++=t t Q ，求t ＝3s 时的电流强度.
6.设质点的运动方程是1232
++=t t s ，计算从t ＝2到t ＝2＋t ?之间的平均速度，并计算当t ?＝0.1时的平均速度，再计算t ＝2时的瞬时速度.
7.若曲线12
32
+=x y 的切线垂直于直线0362=++y x ，试求这条切线的方程.
8.在抛物线2
2x x y -+=上，哪一点的切线处于下述位置？ （1）与x 轴平行
（2）平行于第一象限角的平分线. （3）与x 轴相交成45°角
9.已知曲线2
2x x y -=上有两点A （2,0），B （1,1），求：
（1）割线AB 的斜率AB k ； （2）过点A 的切线的斜率AT k ； （3）点A 处的切线的方程.
10.在抛物线2
x y =上依次取M （1,1），N （3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.
11.已知一气球的半径以10cm/s 的速度增长，求半径为10cm 时，该气球的体积与表面积的增长速度.
12.一长方形两边长分别用x 与y 表示，如果x 以0.01m/s 的速度减小，y 边以0.02m/s 的速度增加，求在x ＝20m ，y ＝15m 时，长方形面积的变化率.
13.（选做）证明：过曲线2
a xy =上的任何一点（00,y x ）（00>x ）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：2
/
1)1
(x x
-
=） 导数的应用习题课（5月8日）
教学目标 掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值 教学重点 多项式函数的单调区间、极值、最值的求法
教学难点 多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用 一、课前预习
1.设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则)(x f y =是这个区间内的＿＿＿＿＿；如果在这个区间内＿＿＿，则)(x f y =是这个区间内的＿＿＿＿＿.
2.设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的值都大（小），则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个＿＿＿＿＿＿.
3.如果)(x f y =在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：
（1）求导数＿＿＿＿＿； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）； （3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数)(x f y =在这个根处取得极＿值；
如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数)(x f y =在这个根处取得极＿值. 4.设)(x f y =是定义在[a ，b]上的函数，)(x f y =在(a ，b)内有导数，可以这样求最值：
（1）求出函数在(a ，b)内的可能极值点（即方程0)(/
=x f 在(a ，b)内的根n x x x ,,,21Λ）； （2）比较函数值)(a f ，)(b f 与)(,),(),(21n x f x f x f Λ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 二、举例
例1.确定函数31292)(2
3
-+-=x x x x f 的单调区间.
例2.设一质点的运动速度是31574
3)(234
++-=
t t t t v ，问：从t ＝0到t ＝10这段时间内，运动速度的改变情况怎样？
例3.求函数493
1)(3
+-=x x x f 的极值.
例4.设函数x bx ax x f ++=
2
32
131)(在1x ＝1与2x ＝2处取得极值，试确定a 和b 的值，并问此时函数在1x 与2x 处是取极大值还是极小值？
例5.求函数593)(3
+-=x x x f 在[－2,2]上的最大值和最小值.
例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d 的圆木锯成强度
最大的横梁，断面的宽和高应为多少？
例7.求内接于抛物线2
1x y -=与x 轴所围图形内的最大矩形的面积.
例8.某种产品的总成本C （单位：万元）是产量x （单位：万件）的函数：
3202.004.06100)(x x x x C +-+=，试问：当生产水平为x ＝10万件时，从降低单
位成本角度看，继续提高产量是否得当？
三、巩固练习
1.若函数)(x f 在区间[a ，b]内恒有0)(/
131412 34+--+= x x x x y 的极值点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3.设函数a ax ax ax x f ---=2 3 )()(在x ＝1处取得极大值－2，则a ＝＿＿＿＿. 4.求下列函数的单调区间： （1）112322 3 +-+=x x x y （2）)2()1(2 ++=x x y 5.求下列函数的极值： （1）642 +-=x x y ， （2）5932 3 +--=x x x y ，[－4,4] 6.求下列函数的最值： （1）642 +-=x x y ，[－3,10] （2）2 3 3x x y -=，[－1,4] 7.设某企业每季度生产某个产品q 个单位时，总成本函数为cq bq aq q C +-=2 3 )(，（其中a ＞0，b ＞0，c ＞0），求：（1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成本. 8.一个企业生产某种产品，每批生产q 单位时的总成本为q q C +=3)(（单位：百元），可 得的总收入为2 6)(q q q R -=（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？最大利润是多少？ 9.在曲线)0,0(12 ≥≥-=y x x y 上找一点（00,y x ），过此点作一切线，与x 轴、y 轴构成 一个三角形，问：0x 为何值时，此三角形面积最小？ 10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为7 3 108102.2)(?+?=q q C ，通过市场调查， 可以预计这种彩电的年需求量为p q 50101.35 -?=，其中p （单位：元）是彩电售价，q （单位：台）是需求量. 试求使利润最大的销售量和销售价格. 多项式函数的导数（5月6日） 教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点：导数运算法则的应用 教学难点：多项式函数的求导 一、复习引入 1、已知函数2 )(x x f =，由定义求)4()(/ / f x f ，并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数： （1）常数函数C y = （2）函数)(* N n x y n ∈= 二、新课讲授 1 2、导数的 运算法则： 如果函数)()(x g x f 、有导数，那么 也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数. 例1：求下列函数的导数： （1）3 7x y = （2）4 3x y -= （3）3 5 34x x y += （4）)2)(1(2 -+=x x y （5）b a b ax x f 、()()(2 +=为常数) 例2：已知曲线331x y = 上一点)3 8 2(，P ，求： （1）过点P 的切线的斜率； （2）过点P 的切线方程. 三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习：1、求下列函数的导数： （1）2 8x y = （2）12-=x y （3）x x y +=2 2 （4）x x y 433 -= （5）)23)(12(+-=x x y （6）)4(3 2-=x x y 2、已知曲线2 4x x y -=上有两点A （4，0），B （2，4），求： （1）割线AB 的斜率AB k ；（2）过点A 处的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432 +-=x x y 在点M （2，6）处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数： （1）1452 +-=x x y （2）7352 ++-=x x y （3）101372 -+=x x y （4）3 33x x y -+= （5）45322 3 -+-=x x x y （6）)3)(2()(x x x f -+= （7）1040233)(3 4 -+-=x x x x f （8）x x x f +-=2 )2()( （9）)3)(12()(2 3 x x x x f +-= （10）x x y 4)12(32 -+= 2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。 3、求抛物线2 4 1x y =在2=x 处及2-=x 处的切线的方程。 4、求曲线1323 +-=x x y 在点P （2，－3）处的切线的方程。 函数的单调性与极值（5月10日） 教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 教学重点：利用导数判断函数单调性； 教学难点：利用导数判断函数单调性 教学过程： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342 +-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/ y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内， 切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/ y <0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数. 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。 例1 确定函数422 +-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 例2 确定函数7622 3 +-=x x y 的单调区间。 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值， （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有 0)(='x f 。但反过来不一定。如函数3x y =，在0=x 处，曲线的切线是水平的，但这点 的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设0x 使 0)(0='x f ，那么0x 在什么情况下是的极值点呢？ 如上左图所示，若0x 是)(x f 的极大值点，则0x 两侧附近点的函数值必须小于)(0x f 。因此，0x 的左侧附近)(x f 只能是增函数，即0)(>'x f 。0x 的右侧附近)(x f 只能是减函数，即0)(<'x f ，同理，如上右图所示，若0x 是极小值点，则在0x 的左侧附近)(x f 只能是减函数，即0)(<'x f ，在0x 的右侧附近)(x f 只能是增函数，即0)(>'x f ，从而我们得出结论：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值。 例3 求函数443 13 +-=x x y 的极值。 三 小结 1求极值常按如下步骤： ① 确定函数的定义域； ② 求导数； ③ 求方程/ y =0的根，这些根也称为可能极值点； ④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法) 四 巩固练习 1 确定下列函数的单调区间： （1）7522+-=x x y （2）3 3x x y -= 2 求下列函数的极值 （1）672 +-=x x y （2）x x y 522 +-= （3）x x y 273 -= （4）3 2 3x x y -= 五 课堂作业 1 确定下列函数的单调区间： （1）24+-=x y （2）2 )1(-=x y （3）522 +--=x x y （4）x x x y --=2 3 2 求下列函数的极值 （1）1042 +-=x x y （2）7422 -+-=x x y （3）1323-+=x x y （4）3 126x x y -+= （5）x x x y 6342 3 --= （6）4 22x x y -= 函数的极限（4月29日） 教学目标：1、使学生掌握当0x x →时函数的极限； 2、了解：A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0 教学重点：掌握当0x x →时函数的极限 教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解。 教学过程： 一、复习： （1）=∞ →n n q lim ＿＿＿＿＿1 lim *∞→∈=N k x k x （3）?lim 22 =→x x 二、新课 就问题（3）展开讨论：函数2 x y =当x 无限趋近于2时的变化趋势 当x 从左侧趋近于2时 （-→2x ） 当x 从右侧趋近于2时 （+ →2x ） 函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限 趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0 。 特别地，C C x x =→0 lim ；00 lim x x x x =→ 三、例题 求下列函数在X ＝0处的极限 （1）1 21 lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim → （3）=)(x f 0 ,10,00 ,22<+=>x x x x x 人教版普通高中课程标准实验教科书数学 必修一 第一章集合与函数概念 1．1集合 1．2函数及其表示 1．3函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1指数函数 2．2对数函数 2．3幂函数 第三章函数的应用 3．1函数与方程 3．2函数模型及其应用 必修二 第一章空间几何体 1．1空间几何体的结构 1．2空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2直线、平面平行的判定及其性质 2．3直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1直线的倾斜角与斜率 3．2直线的方程 3．3直线的交点坐标与距离公式 必修三： 第一章算法初步 1．1算法与程序框图 1．2基本算法语句 1．3算法案例 第二章统计 2．1随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 第三章概率 3．1随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认识过程3．2古典概型 3．3几何概型 阅读与思考概率与密码 必修四： 第一章三角函数 1．1任意角和弧度制 1．2任意角的三角函数 1．3三角函数的诱导公式 1．4三角函数的图象与性质 1．5函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2．1平面向量的实际背景及基本概念 2．2平面向量的线性运算 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 2．4平面向量的数量积 2．5平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 导数的背景（5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时， t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做 瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 必修1 第一章集合与函数概念 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 第三章函数的应用 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 必修2 第一章空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 必修3 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 阅读与思考割圆术 第二章统计 2．1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2 用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3 变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 第三章概率 3．1 随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认识过程 3．2 古典概型 3．3 几何概型 必修4 第一章三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换 必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例 高中数学必修5_教材电子课本（人教 版）.pdf 篇一：人教版高一数学必修一电子课本1 第一章集合和函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义和表示 1.1.2 集合间的基本关系 1.1.3 集合的基本运算 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性和最大（小）值 1.3.2 奇偶性 第二章基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1 指数和指数幂的运算 2.1.2 指数函数及其性质 2.2 对数函数 2.2.1 对数和对数运算（一） 2.2.1 对数和对数运算（二） 2.2.2 对数函数及其性质 2.3 幂函数 第三章函数的使用 3.1 函数和方程 3.1.1 方程的根和函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解 3.2 函数模型及其使用1 2 3 4 5 篇二：人教版高一数学必修一至必修五教材目录 必修一、二、四、五章节内容 必修一必修四 第一章集合和函数的概念第一章三角函数1.1 集合 1.1 任意角和弧度制1.2 函数及其表示1.2 任意角的三角函数1.3 函数的基本性质第二章基本初等函数 2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的使用 3.1 函数和方程3.2 函数模型及其使用必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 使用举例第二章数列 2.1 数列的概念和简单表示方法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n 项和第三章不等式 3.1 不等关系和不等式3.2 一元一次不等式及其解法3.3 二元一次不等式(组) 及其解法3.4 基本不等式 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图像和性质1.5 函数y=Asin(?x+?) 1.6 三角函数模型的简单使用第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算 2.3 平面向量的基本定理及坐标表 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量使用举例第三章三角恒等变换 3.1 两角和和差的正弦、余弦3.2 简单的三角恒等变换必修二 第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间体的表面积和体积 第二章点、直线、平面间的关系2.1 空间点、直线、平面之间的位2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线和方程 3.1 直线的倾斜角和斜率3.2 直线的方程 3.3 直线的交点坐标和距离公式 《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观 修一（高一） 第一章集合与函数概念 一总体设计 二教科书分析 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 实习作业 三自我检测题 四拓展资源 第二章基本初等函数（Ⅰ） 一总体设计 二教科书分析 2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 三自我检测题 四拓展资源 第三章函数的应用 一总体设计 二教科书分析 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 三自我检测题 四拓展资源 必修二（高二） 第一章空间几何体 一总体设计 二教科书分析 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 三自我检测题 四拓展资源 第二章点、直线、平面之间的位置关系 一总体设计 二教科书分析 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 三自我检测题 第三章直线与方程 一总体设计 二教科书分析 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 三自我检测题 四拓展资源 第四章圆与方程 一总体设计 二教科书分析 4．1 圆的方程 4．2 直线、圆的位置关系 4．3 空间直角坐标系 三自我检测题 四拓展资源 必修三（高一） 第一章算法初步 一总体设计 二教科书分析 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 三自我检测题 四拓展资源 第二章统计 一总体设计 二教科书分析 2．1 随机抽样 2．2 用样本估计总体 2．3 变量间的相关关系 三自我检测题 四拓展资源 第三章概率 一总体设计 二教科书分析 3．1 随机事件的概率 3．2 古典概型 3．3 几何概型 三自我检测题 四拓展资源 必修四（高一） 第一章三角函数 一总体设计 二教科书分析 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象和性质 1．5 函数的图象 1．6 三角函数模型的简单应用 三自我检测题 四拓展资源 第二章平面向量 人教版高一数学（上册 ) 第一章集合与函数概念第二章基本初等函数 ( Ⅰ) 第三章函数的应用 1.1 集合 2.1 指数函数 3.1 函数与方程 1.2 函数及其表示 2.2 对数函数 3.2 函数模型及其应用 1.3 函数的基本性质 2.3 幂函数实习作业 实习作业小结 小结复习参考题 复习参考题 人教版高一数学（下册） 第一章空间几何体第二章点、直线、平面之间的位置关系 1.1 空间几何体的结构 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.2 空间几何体的三视图和直观图 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 1.3 空间几何体的表面积与体积 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 复习参考题小结 复习参考题 第三章直线与方程第四章圆与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 4.1 圆的方程 3.2 直线的方程 4.2 直线、圆的位置关系 3.3 直线的交点坐标与距离公式 4.3 空间直角坐标系 小结 复习参考题 人教版高二数学（上册） 第一章算法初 第二章统计第三章概率 步 算法与程序框图 2.1 随机抽样 3.1 随机事件的概率 1.2 基本算法语句 2.2 用样本估计总体阅读与思考天气变化的认识过程1.3 算法案例阅读与思考生产过程中的质量控制图 3.2 古典概型 阅读与思考割圆 2.3 变量间的相关关系 3.3 几何概型 术 小结阅读与思考相关关系的强与弱阅读与思考概率与密码 复习参考题实习作业小结 小结 复习参考题 人教版高二数学（下册） 第一章三角函数 第一章三角函数第二章平面向量第三章三角恒等变换 1.1 任意角和弧度制 2.1 平面向量的实际背景及基本概 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切念式 1.2 任意角的三角函数 2.2 平面向量的线性运算 3.2 简单的三角恒等变换 1.3 三角函数的诱导公式 2.3 平面向量的基本定理及坐标表 小结示 1.4 三角函数的图象与性质 2.4 平面向量的数量积复习参考题1.5 函数 y=Asin(ω x+ψ ) 2.5 平面向量应用举例 1.6 三角函数模型的简单应小结 高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 1．1集__合 1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义 集合的概念 [提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工； (2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点； (3)不等式组? ???? x ＋1≥3， x 2≤9的整数解； (4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学． 问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定． 问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？ 提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念 定义 表示 元素 一般地，我们把研究对象统称为元素 通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示 集合 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示 [化解疑难] 准确认识集合的含义 (1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的． (2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. 元素的特性及集合相等 [提出问题] 问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？ 提示：相等． [导入新知] 1．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等． 2．集合元素的特性 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． [化解疑难] 对集合中元素特性的理解 (1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的． (2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素． (3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合. 元素与集合的关系及常用数集的记法[ 某中学2017年高一年级20个班构成一个集合． 问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？ 教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处： 教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t 导数的背景 （5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于29.4 米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间内的平均速度为 t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 析：设点Q 的横坐标为1＋x ?，则点Q 的纵坐标为（1＋x ?）2，点Q 对于点P 的纵坐标的增量 （即函数的增量）22)(21)1(x x x y ?+?=-?+=?， 所以，割线PQ 的斜率x x x x x y k PQ ?+=??+?=??=2)(22. 2019 年最新版高中数学教材目录必修（第一册）（共计72 课时） 第一章集合与常用逻辑用语（10 课时） 第二章一元二次函数、方程和不等式（8 课时） 第三章函数概念与性质（12 课时） 第四章指数函数与对数函数（16 课时） 第五章三角函数（23 课时） 必修（第二册）（共计69 课时） 第六章平面向量及其应用（18 课时） 第七章复数（8 课时） 第八章立体几何初步（19 课时） 第九章统计（13 课时） 第十章概率（9 课时） 选择性必修（第一册）（共计43 课时） 第一章空间向量与立体几何（15 课时） 第二章直线和圆的方程（16 课时） 第三章圆锥曲线的方程（12 课时） 选择性必修（第二册）（共计30 课时） 第四章数列（14 课时） 第五章一元函数的导数及其应用（16 课时） 选择性必修（第三册）（共计35 课时） 第六章计数原理（11 课时） 第七章随机变量及其分布（10 课时） 第八章成对数据的统计分析（9 课时） 详细章节内容 高中数学新教材目录 高中第一册 第一章集合与常用逻辑用语 (4) 1.1 集合的概念 (5) 1.2 集合间的基本关系 (10) 1.3 集合的基本运算 (13) 阅读与思考集合中元素的个数 (18) 1.4 充分条件与必要条件 (20) 1.5 全称量词与存在量词 (27) 阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件 (34) 第二章一员二次函数、方程和不等式 (39) 2.1 等式性质与不等式性质 (40) 2.2 基本不等式 (47) 2.3 二次函数与一元一次方程、不等式 (53) 第三章函数的概念与性质 (62) 3.1 函数的概及其表示 (63) 阅读与思考函数概念的发展历程 (78) 人教版高中数学教材目录（全） 第一册上 第一章集合与简易逻辑 一集合 1．1集合 1．2 子集、全集、补集 1．3交集、并集 1．4含绝对值的不等式解法 1．5一元一次不等式解法 阅读材料集合中元素的个数 二简易逻辑 1．6逻辑联结词 1．7四种命题 1．8充分条件与必要条件 小结与复习 复习参考题一 第二章函数 一函数 2．1函数 2．2函数的表示法 2．3函数的单调性 2．4反函数 二指数与指数函数 2．5指数 2．6指数函数 三对数与对数函数 2．7对数 阅读材料对数的发明 2．8对数函数 2．9函数的应用举例 阅读材料自由落体运动的数学模型 实习作业建立实际问题的函数模型 小结与复习 复习参考题二 第三章数列 3．1数列 3．2等差数列 3．3等差数列的前n项和 阅读材料有关储蓄的计算 3．4等比数列 3．5等比数列的前n项和 研究性学习课题：数列在分期付款中的应用 小结与复习 复习参考题三 第一册下 第四章三角函数 一任意角的三角函数 4．1角的概念的推广 4．2弧度制 4．3任意角的三角函数 阅读材料三角函数与欧拉 4．4同角三角函数的基本关系式 4．5正弦、余弦的诱导公式 二两角和与差的三角函数 4．6两角和与差的正弦、余弦、正切 4．7二倍角的正弦、余弦、正切 三三角函数的图象和性质 4．8正弦函数、余弦函数的图象和性质 4．9函数y=Asin（ωx+φ）的图象 4．10正切函数的图象和性质 4．11已知三角函数值求角 阅读材料潮汐与港口水深 小结与复习 复习参考题四 第五章平面向量 一向量及其运算 5．1向量 5．2向量的加法与减法 5．3实数与向量的积 5．4平面向量的坐标运算 5．5线段的定比分点 5．6平面向量的数量积及运算律 5．7平面向量数量积的坐标表示 5．8平移 阅读材料向量的三种类型 二解斜三角形 5．9正弦定理、余弦定理 5．10解斜三角形应用举例 实习作业解三角形在测量中的应用 阅读材料人们早期怎样测量地球的半径？ 研究性学习课题：向量在物理中的应用小结与复习 复习参考题五 人教版高中数学必修一目录 ?第一章集合与函数概念 ?集合 ?函数及其表示 ?函数的基本性质 ?第二章基本初等函数(Ⅰ) ?指数函数 ?对数函数 ?幂函数 ?第三章函数的应用 ?函数与方程 ?函数模型及其应用 人教版高中数学必修二目录 ?第一章空间几何体 ?空间几何体的结构 ?空间几何体的三视图和直观图 ?空间几何体的表面积与体积 ?第二章点、直线、平面之间的位置关系 ?空间点、直线、平面之间的位置关系 ?直线、平面平行的判定及其性质 ?直线、平面垂直的判定及其性质 ?第三章直线与方程 ?直线的倾斜角与斜率 ?直线的方程 ?直线的交点坐标与距离公式 ?第四章圆与方程 ?圆的方程 ?直线、圆的位置关系 ?空间直角坐标系 人教版高中数学必修三目录 ?第一章算法初步 ?算法与程序框图 ?基本算法语句 ?算法案例 ?第二章统计 ?随机抽样 ?用样本估计总体 ?变量间的相关关系 ?第三章概率 ?随机事件的概率 ?古典概型 ?几何概型 人教版高中数学必修四目录 ?第一章三角函数 ?任意角和弧度制 ?任意角的三角函数 ?三角函数的诱导公式 ?三角函数的图像与性质 ?函数 ()?+ =wx sin y A的图像 ?三角函数模型的简单应用 ?第二章平面向量 ?平面向量的实际背景及基本概念 ?平面向量的线性运算 ?平面向量的基本定理及坐标表示 ?平面向量的数量积 ?平面向量应用举例 ?第三章三角恒等变换 ?两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ?简单的三角恒等变换 人教版高中数学必修五目录 ?第一章解三角形 ?正弦定理和余弦定理 ?应用举例 ?实习作业 ?第二章数列 ?数列的概念与简单表示法 ?等差数列 新课标人教A版高中数学教材目录（必修+选修） (1) 必修1 (1) 必修2 (2) 必修3 (3) 必修4 (4) 必修5 (6) 选修1－1 (7) 选修1－2 (8) 选修2－1 (10) 选修2－2 (11) 选修2－3 (12) 选修3－1 (13) 选修3－3 (15) 选修3－4 (17) 选修4－1 (19) 选修4－2 (20) 选修4－5 (21) 选修4－6 (22) 选修4－7 (24) 选修4－9 (25) 新人教版初中数学教材目录 (27) 七年级上册 (27) 七年级下册 (29) 八年级上册 (30) 八年级下册 (32) 九年级上册 (33) 九年级下册 (34) 人教版小学数学教材总目录 (37) 一年级上册 (37) 一年级下册 (37) 二年级上册 (37) 二年级下册 (37) 三年级上册 (37) 三年级下册 (38) 四年级上册 (38) 四年级下册 (38) 五年级上册 (38) 五年级下册 (38) 六年级上册 (39) 六年级下册 (39) 中小学人教版数学教材及教师用书下载地址【高中A\B版｜初中｜小学】 (40) 1、高中数学教材（人教大纲版）（旧人教版） (40) 2、高中数学电子课本（新课标人教A版） (40) 3、高中数学电子课本（新课标人教B版） (40) 4、高中数学教师用书（新课标人教A版） (41) 5、初中数学课本 (41) 6、小数学数学课本 (42) 7、初中数学教师用书(人教A版/PDF版/免费/共6册) (42) 8、人教B版数学教材及教师用书(人教B版/EXE版/PDF版/免费/共4册) (42) 个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：林老师授课时间： .B ()()f x g x < .C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+ 问题2．()f x 的导函数()y f x '= 的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是 问题3．求下列函数的导数： ()1()2 1sin y x =+； ()41 1 x x e y e +=-； ()6ln x y e x =? () 7sin 1cos x y x = +； ()8()21sin cos y x x x x =-?+? ()932x x x y e e =?-+ ()10()()33421y x x x =-?- 问题4．()1求过点()1,1P 且与曲线3y x =相切的直线方程. ()2（06全国Ⅱ文）过点()1,0-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为 .A 220x y ++= .B 330x y -+= .C 10x y ++= .D 10x y -+= ()3（08届高三攸县一中）已知曲线m x y += 3 3 1的一条切线方程是44y x =-，则m 的值为 .A 43 .B 283- .C 43或283- .D 23或13 3 - （三）课后作业： 1.若0()2f x '=,求0 lim →k k x f k x f 2) ()(00-- 2.（07届高三皖南八校联考）已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '= 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ()1求)(x f 在(,)a b 内的极值； ()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p 9.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法. 10.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主 元为辅元，变分式为整式. 11.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为 助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索. （二）典例分析： 问题1．()1函数)(x f y =在定义域)3,2 3 (-内可导，其图象如图所示，记)(x f y = 的导函数为 )(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为 .A [)3,2]1,31 [Y - .B ]38,34[]21,1[Y - .C [)2,1]2 1 ,23[Y - .D ?? ??????? ??--3,38]34,21[1,23Y Y ()3设(),()f x g x 均是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()f x g x '+ ()()0f x g x '>，且(2)0f -=，则不等式()()0f x g x ?<的解集是 .A ()()2,02,-+∞U .B ()2,2- .C ()(),22,-∞-+∞U .D ()(),20,2-∞-U 问题2．()1如果函数3()f x x bx =-+在区间()0,1上单调递增，并且方程()0f x =的根都在区间 []2,2-内，则b 的取值范围为 ()2已知2()12f x x x =+-，那么[]()()g x f f x = .A 在区间()2,1-上单调递增 .B 在()0,2上单调递增 .C 在()1,1-上单调递增 .D 在()1,2上单调递增 ()3函数R x x x x f ∈+-=,56)(3， （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当(1,)x ∈+∞时，()f x ≥(1)k x -恒成立，求实数k 的取值范围. 人教版小学数学教材全套目录 一年级上册一年级下册 第一单元数一数 第二单元比一比： 1、比多少 2、比长短 3、比高矮 第三单元1-5的认识和加减法： 1、1-5的认识 2、比大小 3、几和第几 4、2-5的分与合 5、加法 6、减法 7、0的认识和加减法 第四单元认识物体和图形： 1、长方体、正方体、圆柱、球 2、长方体、正方形、三角形、圆 第五单元分类 第六单元6-10的认识和加减法： 1、6和7的认识 2、6、7的分与合 3、和是6、7的加法与6、7减几 4、解决问题 5、8、9的知识 6、8、9的分与合 7、和是8、9的加法和8、9减几 8、解决问题9、10的认识 10、和是10的加法与10减几 11、填（） 12、连加连减13、加减混合 14、整理和复习（一） 15、整理和复习（二） 第七单元11-20各数的认识： 1、数数、读数 2、写数 3、10或十几加几和相应的减法 第八单元认识钟表 第九单元20以内的进位加法： 1、9加几 2、解决问题 3、8、7、6加几 4、解决问题 5、5、4、3、2加几 6、整理和复习 第十单元总复习： 1、20以内的数 2、20以内的加法、10以内的加减法 3、认识图形 4、认识钟表第一单元位置： 1、位置（1） 2、位置（2） 第二单元20以内的退位减法： 1 、十几减9 2、十几减8 3、十几减7 4、十几减6、 5、4、3、2 第三单元图形的拼组： 1 、图形的拼组（1） 2 、图形的拼组（2） 第四单元100以内数的认识： 1、数数、数的组成 2、读数、写数 3、数的顺序、比较数的大小 4、整十数加一位数、相应的减法 第五单元认识人民币： 1、认识人民币 2、简单的计算 第六单元100以内的加法和减法（一）： 1、整十数加和减整十数 2、两位数加一位数和整十数 3、两位数减一位数和整十数 第七单元认识时间： 1、认识时间（1） 2、认识时间（2） 3、单元测试题 第八单元找规律： 1、找规律（1） 2、找规律（2） 第九单元统计： 1、统计 2、单元测试题 第十单元总复习： 1、总复习（1） 2、总复习（2） 人教版高中数学目录及课时规划 类型章节目录副目录子目录打“√”课时总课时 必修一第一章集合与函 数的概念 § 1 集合的含义与表示13 36 § 2 集合间的基本关系 § 3 集合的基本运算并集、交集、补集 § 4 函数及其表示函数的概念 函数的表示法 映射 § 5 函数的基本性质单调性与最大最小值 奇偶性 第二章基本初等 函数（1） § 1 指数函数指数与指数幂的运算14 指数函数图像及其性质 § 2 对数函数对数与对数运算 换底公式 对数函数图像及其性质 § 3 幂函数 第三章函数的应 用 § 4 函数与方程方程的根与函数的零点9 二分法求方程的近似解 §5函数的模型及其应 用 几类不同增长的函数模 型 函数模型的实用举例 必修二 第一章空间几何 体 § 1空间几何体的结构 柱、锥、台、球的结构 特征 8 10 36 简单几何体的结构特征 §2 简单几何体的三视 图和直观图 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图 §3 空间几何体的表面 积与体积 空间几何体的直观图 柱体、椎体、台体的表 面积与体积 球的体积与表面积 第二章 点、直线、 平面间的 位置关系 §1 空间点、直线、平 面之间的位置关系 平面 空间中直线与直线的位 置关系 空间中直线与平面之间 的位置关系 平面与平面之间的位置 关系 § 2直线、平面平行的判 定及其性质 直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定 直线与平面平行的性质 平面与平面平行的性质 §3 直线、平面垂直的 判定及其性质 直线与平面垂直的判定 平面与平面垂直的判定 必修二第二章§3 直线、平面垂直的 判定及其性质 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 第三章直线与方 程 §1直线的倾斜角与斜 率 倾斜角与斜率9 两条直线平行与垂直的 判定 § 2直线与方程 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的一般式方程 §3直线的交点坐标与 距离公式 两条直线的交点坐标 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 第四章圆与方程 § 1圆的方程圆的标准方程9 圆的的一般方程 §2 直线、圆的位置关 系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 § 3 空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点的距离公式 必修三第一章算法初步 § 1 算法与程序框图 算法的概念12 程序框图与算法的基本 逻辑结构 § 2 算法的基本语句 输入、输出和赋值语句 条件语句 循环语句 § 3 算法案例算法案例讲解 第二章算法案列 § 1 随机抽样 简单随机抽样16 系统抽样 分层抽样 § 2 用样本估计总体 用样本的频率分布估计 总体分布 用样本的数字特征估计 总体的数字特征 § 3 变量间的相关关系变量间的相关关系 两个变量的线性关系 第三章概率 §1 随机事件的概率 随机事件的概率8 概率的意义 概率的基本性质 § 2 古典概率古典概型 （整数值）随机数的产 生 § 3 几何概型几何概型 均匀随机数的产生 高中数学《导数的计算》教案5 选修2-2 教学目标： 1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1y x =的导数公式 教学过程： 一．创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y x ?→?→?'===? 0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===??? 所以00 lim lim11x x y y x ?→?→?'===? 1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2 ()y f x x ==的导数 因为22 ()()()y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-==??? 222 2()2x x x x x x x x +?+?-==+?? 所以00 lim lim(2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=? 2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1()y f x x ==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==???人教版高中数学教材最新目录 (1)
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