等比数列的前n项求和公式
等比数列的前n项和
一、教学设计
1．教学内容解析
数列作为一类特殊的函数，既是高中函数知识体系中的重要内容，又是用来刻画现实世界中一类具有递推规律的数学模型．在现行教材的编排中，等比数列的前n项和处于等比数列的单元内容之中，是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容，它在完善数列单元的知识结构体系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性等方面都是不可或缺，在提升学生探究、应用和实践能力等方面，有着不可替代的作用和价值．
课标要求：学生经历等比数列前n项和公式的探索过程，掌握等比数列前n项和公式及推导方法，并能进行简单应用．
等比数列前n项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次，主要是因为它与函数、等差数列的内在联系，尤其是它在数学史上的历史印迹，以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思想（如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等），所需要的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养，都能充分发挥数学的育人功能。
基于以上分析，本节课的教学重点为：等比数列前n项和公式的导出及其应用。
2.学生学情分析
本节课的授课对象为宜昌市夷陵中学高一年级实验班，夷陵中学是湖北省重点中学、省级示范高中，学生有较好的数学学科基础．从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的发现、特点等方面进行类比，这是积极因素，可因势利导．然而，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，对学生的思维能力提出很高的要求．另外，对于q = 1这一特殊情况，运用公式计算时学生往往容易忽视．教学对象刚进入高一不久，虽然逻辑思维能也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，缺乏深刻的理性思考。
基于以上分析，本节课的教学难点为：等比数列前n项和公式的探究及其推导。
3. 教学目标设置
（1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等比数列前n项和公式的来龙去脉，感受前人严谨的治学精神，体验数学的魅力和数学文化的熏陶。
（2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等比数列前n项和公式的不同推导方法，领悟公式的本质，并能运用公式解决简单问题。
（3）学生在经历等比数列前n项和公式的发生、发展、推导和证明的过程中，感悟特殊到一般、方程与函数、划归与转化等数学思想，形成基本活动经验，重点提升数学抽象、
逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养。
4. 教学策略分析
等比数列前n 项和公式是高中数学的重要内容，普遍采用的推导方法是带有技巧性的“错位相减法”，求和公式及其推导方法都是教材和教师直接“告知”，并非自然产生。有鉴于此，本节课追寻历史足迹，借鉴历史规律，揭示知识之谐，展现方法之美，引发情感之悦，营造不一样的课堂．“让学习真正发生”，首先在于教师有“让”的意识，本节课为了做到 “教师在后、学生在前”，教师先给充分的资料和空间让学生自学和互学，营造积极的探究氛围，在课堂上展开小组谈论和交流，碰撞出思想与智慧的火花。
教学流程：
5．教学过程设计
环节一：演史剧，发现等比数列提出问题
学生表演国际象棋的传说（棋盘丢麦粒问题）并设计如下问题串：
问题1：故事里每格棋盘上的麦粒依次构成一个什么数列？
生1：首项为1，公比为2的等比数列
问题2：铺满这64格棋盘需要的麦粒总数是多少？
生1：可以看成是首项为1，公比为2的等比数列的前64项和即2631222++++
师：2631222++++等于多少，逐项相加吗？ 生2：项数多，不太现实，我觉得可以和等差数列求和一样，从特殊到一般，找规律 师：如何找规律？请大家尝试一下.
生3：我是这么想的，计算出123451371531S S S S S =====，，，，，发现它们都是21n -的形式，因而我猜想646421S =-.
【设计意图】通过学生表演国际象棋的传说激发学生的兴趣和探究欲望，通过一系列的问题将故事情节与相关知识点联系起来，从情景中看到数学问题.通过结论的探求让学生学会研究陌生问题，可采用特殊到一般的方法入手。
情境性“问题串”设计要体现情景性，一般来说要具备三个要素：（1）涉及未知领域，能启动学生思维；（2）具有真实性，让学生觉得亲切、自然；（3）基于学生已有的知识水平.这样的问题情境能激发学生学习新知识的好奇心和求知欲，引发学生自主探究，让学生在解决问题中顿悟，提高学习新知的能力. 等比数列前n 项求和公式 猜公式 证公式 用公式
环节二：试猜想，提炼等比求和公式
师：若将公比变为q ，项数变为n ，你觉得211n q q q -++++的结果是？
生4：1n q -
生5：我觉得生4不对，很明显如果3q =，2n =时，结果就不对．
师：说明我们仅由2q =的猜想太过片面，为了使得结果具有更加说服性，请大家完成以下表格？
211333n
X -=++++ 1444
Y =++++ 师：根据大家所填的表格，你能够猜想出结论吗？
生6：21111
n n q q q q q --++++=- 师：大家都同意上述结果吗？有没有需要注意的地方？
生7：我觉得不能代表1q =时的求和公式，当1q =时，由于相同数的累加即为乘法，很容易得出结果为n .
师：若将首项改为1a ，你能计算出112111-++++=n n q a q a q a a S 的结果吗？
生8:可以观察发现每项都有1a 提取公因式1a 变为)1(121-++++=n n q q q a S 即可转
化为刚刚的问题.
师：那么等比数列求和公式是什么？
生9：：1=q 时数列的每一项都相等，11111na a a a a S n =++++= ，当1≠q 时， 112111-++++=n n q a q a q a a S 1
)1()1(1121--=++++=-q q a q q q a n n 师：我们可以将这两种情况写成什么样的形式？
生10：分段函数，即??
???≠--==1,1)1(1,11q q q a q na S n n 【设计意图】本环节的目的是为了让学生合理的猜出数等比数列的前n 项和公式．通过
对棋盘故事的深入探讨，从公比为2，到公比为3,4直至公比为q ，这样从具体到抽象，由特殊到一般符合教学的一般规律，让学生真正意义上参与到公式的猜想中去，感受知识的生成过程．
环节三：巧变形，证明等比求和公式
师：通过同学们的共同探索我们得到了等比数列前n 项和公式．（板书公式）
师：猜想是创新能力的一部分，同学们刚才的猜想思维活跃，灵活有序，表现太精彩了，这个猜想你们觉得可靠吗？（齐答：不可靠）数学是一门严谨的学科，任何公式的猜想都需要严格的推导和证明．下面请同学们结合课前的预习，将自主探究的成果在小组内分享和交流，和组内成员一起来揭示这个公式的证明过程．
（等待1-2分钟）
生11：通过预习课本，我知道了错位相减法，这种方法是18世纪瑞士大数学家欧拉在《代数学基础》中采用的．
具体做法如下11212111--+++++=n n n q a q a q a q a a S
两边同乘以q 得n n n q a q a q a q a q a qS 11131211+++++=- 往后错一位相减可得
)11)1(1≠--=q q
q a S n n （其他小组有没有需要补充的或者存在疑惑的？ 生12：我有点困惑，为什么想到两边同乘以q 呢？
生11：因为根据等比数列的定义，后一项是前一项的q 倍，乘以q 后前一项就变成了后一项，那中间很多项相同了，这样就可以达到消项的目的，只剩下很少的几项，就可以运用累加法．
生13：根据等比数列定义，既然刚才能同乘以q ，那么我觉得两边同乘以
q
1． 师：大家觉得行吗？还可以乘以什么
生14：乘以q -也可以.
师:很好，往前错位和往后错位本质都是一样的利用了等比数列的定义，来消掉了中间的很多项，看来你们已经掌握了错位相减的本质，有没有其他不同的推导方法的？
生15：我用的是掐头去尾法，这种方法是18世纪法国数学家拉克洛瓦给出来的
具体做法如下：2111112111--+++=-+++=-n n n n n q a q a a a S q a q a q a a S ， 发现)(1n n n a S q a S -=-化简可得)11)1(111≠--=--=q q
q a q q a a S n n n （ 师：也很好，其他小组有没有需要补充的？
学生16：我们小组成员也另外一种不同做法，提取因式法，这种方法的原理古埃及人和印度人早已掌握，但他们没有我们今天的代数符号，古埃及人未能获得求和公式．受古人原理的启发，我们的具体做法如下：
1121111112111)
(---+=++++=++++=n n n n qS a q a q a a q a q a q a q a a S
再利用n n n a S S +=-1相当于两个方程解两个未知数，可以得到)(1n n n a S q a S -+=从而求出q
q a q q a a S n n n --=--=1)1(111 师：这个推导过程，有没有细节上的问题？
生17：第一个公比不能等于1，还有证明中用到了n n n a S S +=-1要强调n 大于等于2. 师：方法巧妙，补充也很正确，同学们以后在书写过程中一定要特别注意细节．还有没有不同的想法的？
生18：我们小组经过讨论用的是等比定理法具体做法如下： 根据等比数列的定义)21
2312≥====-n q a a a a a a n n （ ，再利用合比定理可以得到q a S a S q a a a a a a a a n
n n n n =--=++++++++-11321432可得 从而求出)11)1(111≠--=--=q q q a q q a a S n n n （我们惊喜的发现，这种方法古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中用过．
师：很好，观察很仔细．同学们刚才展示了四种不同时期不同数学家的证明方法，请同学们相互之间再交流下，你们觉得这四种证法都用了哪些数学思想？
生19：我觉得第1种方法用到了方程的思想，得到关于1-n n S S 与的两个方程来求n S 生20：我觉得后三种方法都用了等比数列的定义．
师：同学总结的都很好，其实四种方法都用了等比数列的定义．在数学发展史上一些伟大的数学结论都来源一些经典的猜想和数学家呕心沥血，前仆后继的不断思考，探究和证明．今天同学们的精彩表现展示了这一艰辛的历程，所有数学发现都为我们实际应用带来了巨大的方便．
【设计意图】本环节的目的是让学生收集资料证明公式，深入挖掘公式背后的隐性价值．让学生质疑，提炼本质，重视细节．其中错位相减法这种消项的方法也是后面解决差比型数列求和的一种有效方法，而等比定理法也对合分比性质做了一个巩固，当然这其中还有很多的证明方法，如裂项等；并从中感受对公式变形的本源性思想。
环节四：适运用，解决等比求和问题
师：之前我们一起猜了公式，并且也证明了公式，下面我们一起来运用公式，让我们把目光回到课堂开始提出的问题1，体验一下求和公式的便利．
生21：64,2,11===n q a 带入公式可得122
1216464
-=--=n S ． 师：64次方，同学们想知道这个值有多大吗？(齐答想)约为191.810?粒，约7000亿吨，用这么多粒小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道,按2018年世界粮食总产量25.87亿吨来计算，是全世界粮食产量的270多倍. 显然国王兑现不了他的承诺．
师：要求出和，从公式分析来看，你们觉得需要明确哪几个量.
生22：:明确首项、公比和项数．
师：这刚好也是等比数列的基本量．其实在中国古代就有能人智士思考过这样的一个问题．
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有多少盏灯？
师：请同学们计算看看塔尖究竟有几盏灯呢？
生23：这是一个数列求和的逆向问题，设塔尖有1a 盏灯，由题意各层宝塔的红灯数依次构成以1a 为首项，2为公比的等比数列．将q=2，n=7带入等比数列求和公式可得3812
1)21(71=--a 解得31=a ，所以塔尖顶上有3盏灯． 师：解答规范，结果准确．和同学们在一起学习交流是愉快的，收获也很多，下面请同学们对本节课做个小结可以从知识也可以从思想方法都行．
生24:本节课从知识上来讲我学习了等比数列的求和公式，运用公式时要注意公式的应用条件合理选择公式，还知道了公式的4种推导方法，还有公式可以正用和逆用．从研究方法上来看，可以从特殊到一般．并且感受到数学问题源于生活，数学知识服务于生活．
师：同学们的表现让我很激动，最后我有一段话送给大家．
你从古埃及的文明中发端
在古希腊欧几里得的智慧中发展
穿越中世纪的欧洲
闪耀着古老的中华之光
把一个个奇妙的数列故事
演绎成符号公式的精灵
数学宝库中的明珠
为我们追求真理指引方向
大胆猜想 严谨求证 科学运用
文化在传承中发扬 思维在碰撞中解放
让我们在孜孜求索中勇敢摘取数学高峰之巅的王冠
【设计意图】本环节的目的是让学生巩固并运用等比数列求和公式．数学家波利亚说过“数学教学是解题的教学”，知识的呈现离不开问题，知识的巩固来自问题的解决；这一环节第一个问题和情景引入的问题遥相呼应，使得整个教学过程流畅自然．
6．课后作业与研究性学习
（研究性学习1）在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，在第二个格子里放上格子序号的2倍的麦粒，在第三个格子里放上格子序号的4倍的麦粒，在第四个格子里放上格子序号的8倍的麦粒，依次类推，直到第六十四个格子．试给出足够的麦粒来实现上述要求．
（习题2）如图是瑞典数学家科赫在1906年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到雪花曲线．
设原正三角形（如图1）的边长为1，把图1，图2，图3，图4…，中图形的周长依次记为C 1，C 2，C 3，…，C n ，求数列{}n c 的前n 项和．
二、教学反思
本课注重数列教学的整体性，以系统观为指导，在数列“一般观念”的指引下，采取数列公式教学应有的 “猜想” “证明”“应用”的教学模式．除此之外，在新一轮课程改革中，力图突出教学过程中学生的主体地位，渗透数学学科的核心素养，达到数学育人的根本任务，提出了一种创新性设想，采取了研究性学习这一教学模式.让学生在数学的历史长河中自由徜徉与探索．
整个教学情景线上围绕等比数列求和的发展历史进行展开：以历史剧本为引，发现数学问题；以历史史实为例，提出等比数列求和问题；以历史名人为翼，分析并解决等比数列求和问题；教学流程上遵照三个基本的教学环节围绕“猜公式”，“证公式”，“用公式”进行展开，让学生在猜想中提炼，在证明中延伸，在应用中升华；教学策略上让学生课前收集材料，自图1 图2 图3 图4
…
主学习，课间展示成果，质疑互学，课下探索实例，师生交流，让学生真正意义上做课堂的主人．
可取之处：教学设计上打破常规的教学模式，采取研究性学习模式，以生为本，让学生在数学史实中不断探索前进，而教师始终扮演“引路人”的角色，通过问题驱动，历史线索完成本节课的教学目标，突出了数学源于生活，服务于生活，探索出公式课教学的一种新型有效的教学模式．让学生在以后的生活中，会用等比数列求和的眼光观察生活中数列问题（如银行中的存款的复利），用数列的语言表达生活中的数列问题，用所学到的等比数列知识分析生活中出现的等比数列求和知识．
改进之处：本节课在公式猜想，归纳，证明，运用等都做了力所能及的工作．但求和从一定程度上是一种代数变形，求和的理论基础是等比数列的定义，求和的本质是消项，让学生通过查史实忽略了对公式推导的过程，尤其是其中涉及到的一些如错位相减这一常用求和技巧认识不到位．教学环节中应增设公式推导的本源性思考，如为什么要这么变形，求和的本质是什么．当然万事万物都有两面性，教学是解决教与学的矛盾，而我们也只能尽力解决一些主要矛盾，不足之处需要在接下来的教学过程中逐步完善．路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.
三、教学点评
本节课设计为“研究性学习课题”，突破了概念公式新授课的常规做法，通过数学文化的主线串通，配以诗歌或故事的动态画面，巧妙设置“猜、证、用”三个环节，采用立体化的方式呈现本节课三位一体的探究式教学活动，环环相扣，层层递进，实现了预期的教学目标，有效突破了本节课的重难点．数学文化和教学活动互为交融，相得益彰，多彩纷呈．（一）演绎经典，启发想象“猜”公式
引入的设计充分体现了数学的文化价值，采用学生课前演绎历史短剧的方式，再现奖赏国际象棋的发明者问题（以下简称“引例”），注意以情节化和悬念式相结合的形式展现探究问题．大胆放手让学生自主对公式的猜想探索，培养学生的想象力，激发学生的求知欲，磨练学生勇于探索、敢于创新思维品质，在探究活动中感受数学思维的奇异美、严谨美，数学公式结构的对称美、形式的简洁美.
（二）回望历史，激活思维“证”公式
巧妙引导学生的思维活动和自主探究．在分组讨论“证”公式的过程中给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台；引导学生在证明公式的过程中学生从多角度、多侧面、多方向去思考，培养学生的创新思维能力；在探究活动中鼓励学生主动参与学习,使课堂教学真正做到让学生“动起来”,让课堂“活起来”，有效地提高了课堂教学的效率和容量.
利用多样化的学习方式激活学生的思维．运用了多种活动形式，如独立思考，同桌交流，小组合作，成果展示等，活动形式的多样性使本节课变得生动有趣；设计了分层探究方式，采用类比、开放、合作等多种探究方式，探究方式的多样化使学生的思维一直处于活跃状态，使本节课成为思维活动的有效课堂.
（三）品味文化，建构新知“用”公式
充分尊重学生的认知规律，学以致用合理构建知识．一是呼应前面的麦粒数总和问题；二是改编高考题逆向用公式；通过题目背景融入数学文化的方式，体现求和公式应用的史料性和层次性．
公式推出后，又通过对公式特征的分析帮助学生弄清公式形式和本质，明确其内涵和外延，为灵活运用公式打下基础．采用变式教学设计问题，深化学生对公式的认识和理解，通过直接用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识．总之，整节课采取了“情境——问题——猜想——论证”的教学模式，以实际问题作为背景创设教学情境，能深刻体会到数学是生动的、有趣的；在具体问题上，抽象出解决一般问题的方法，由“特殊到一般，再由一般到特殊”，大胆把课堂交给学生，带领学生经历知识的形成、发生、发展的研究过程，顺势构建知识，激发学生的探索精神，培养数学核心素养．
数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结
数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 （1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. （2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列 的通项公式. 注：①并非所有的数列都有通项公式； ②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示 题型1 数列通项公式的求解 思路提示 常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法 根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法：形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式， 可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解 形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?，求出n a 观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化 规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有 关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式： （1）325374 ,,,,,,;751381911 - --L
等差、等比数列公式总结
一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分
数列前n项和的求和公式
数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11) 1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 1 12++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：13 2)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①
[例4] 求数列 ??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
数列求通项公式及求和9种方法
【方 a n a S n 数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型 亠、S n 是数列｛a n ｝的前n 项的和 S i (n 1) S n S n 1 (n 2 ) S n 1 ”代入消兀消a n 【注意】漏检验n 的值(如n 1的情况 ［例 U . ( 1)已知正数数列｛a n ｝的前n 项的和为S n , 且对 任意的正整数n 满足2\金 如1 ,求数列｛a n ｝的 通项公式。 (2)数列｛a n ｝中，印1对所有的正整数n 都有 a 1 a 2 a 3 L a n 『， 求数列 ｛a n ｝ 的通项公式 【作业一】 2 n 1 n * 1 — 1 ■数列 a n 满足 a 1 3a 2 3 a 3 L 3 a n - (n N ) , 求数列a n 的通项公式. (二).累加、累乘 a 型如 a a f(n) , am f (n )
型一：a n a n 1 f (n)，用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 a n a n 1 f(n), a n 1 a n 2 f(n 1), a2 a1 f (2) n 2, 从而a n a1 f (n) f(n 1) L f (2),检验n 1 的情况型二：|电f(n)，用累乘法求通项公式(推导等比a n1 数列通项公式的方法) 【方法】n 2，亘也L邑f(n) f(n 1) L f(2) a n 1 a n 2 a i 即色f(n) f(n 1) L f(2)，检验n 1的情a1 况 【小结】一般情况下，“累加法”(“累乘法”)里只有n 1个等式相加(相乘). 1 1 【例2】.(1)已知a1 2，a n a n1 ■n^[(n 2)，求 a n ■ n 2 (2)已知数列a n满足a n1 - 2a n，且a1 n 2 3 求a n .
等比数列前n项和公式-教案
课时教案
一、复习提问 回顾等比数列定义，通项公式 （1）等比数列定义：（， （2）等比数列通项公式： （3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。二、问题引入： 阅读:课本“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨： 问题：如何求等比数列的前n项和公式 回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列它的前n项和是 根据等差数列的定义 （1） （2） （1）+（2）得：
探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？ 学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项，化繁为简。 探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？ 根据等比数列的定义： 变形： 具体： …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。 （1） （2） 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。
当q=1时， 当时， 学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形 式： 当时， 四.知识整合: 1．等比数列的前n项和公式： 当q=1时， 当时， 2．公式特征： ⑴等比数列求和时，应考虑与两种情况。 ⑵当时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都 涉及四个量，四个量中“知三求一”。 ⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量， ， 五个量中“知三求二”（方程思想）。 3．等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。
数列的通项公式与求和的常见方法
数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
等比数列前n项的求和公式教学设计(1)
等比数列前n项的求和公式教学设计 一、教学内容分析 1、本节课讲述内容是职高数学基础模块二册等比数列，前n项和的公式及其应用。 2、教学重点：会判断等比数列，会用求和公式。 3、学难点：实际生活中的按结贷款每年给银行的付费的问题。知识与技能目标：在等差数列的基础上理解等比数列的慨念，会求等比数列的通项公式，前n项和的公式及应用。 过程与方法目标：引导学生学会用变化的思想和理念，搞清楚等比数列的变化规律，特别是项与项数的关系，引导推出求和公式（乘公比做差法）初步感受等比数列在生产实践中的应用。 情感态度与价值观目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想. 二、教学基本条件分析 1．学生条件：学生有较好的数学基础，在学习了等比数列慨念和通项公式基础上进行的求和公式推导与应用，学生有一定的数学运算能力，和数学理解能力，喜欢思考，乐于探究。 2．前期内容准备：围棋棋单，银行按结贷款的详细说明。在学习等差数列，等比数列慨念和通项公式的基础上进行的项数与其总和的一种函数关系，即前n项和的公式。 3．教学媒体条件：支持幻灯片展示。 三、教学过程设计
开门见山，揭示课题 引语：大家还记得前面我们学习的等差数列、等差数列前项和公式、等比数列慨念和通项公式吗？那么等比数列前n项和怎么求呀？ （幻灯片展示）提出问题： 这是发生在国际象棋棋盘上的一个故事。国际象棋是印度宰相西萨·班·达依尔发明的，国王舍罕知道后非常赞赏，就把宰相达依尔召到面前，说：“老爱卿，你以自己的聪明才智发明了这种变化无穷、引人人胜的游戏，我要重重地奖赏你。那就请你在棋盘的第一个小格内赐给我1粒麦子吧。” “什么? 1粒麦子?”国王感到非常意外，惊讶地问。 “是的，陛下，1粒普通的麦子。”宰相说，“请在第二个小格内赐给我2粒，第三个小格内赐给我4粒，第四个小格8粒，第五个小格16粒，照这样下去，每一小格是前一小格的2倍。把摆满棋盘64个小格的所有麦子赏赐给你的仆人吧!” “竟是这种愿望!你不是在开玩笑吧?”国王有些生气了。宰相所要求的，不仅您所有粮仓的麦子不够，就是把全世界的麦子都给了他，也相差太远太远了。” “能这样吗?你是不是算错了?”国王怀疑地说。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和 9种方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a 的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都 有2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =
1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??，检验1n =的情况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知2 11=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+，且32 1=a ，求n a .
等比数列的求和公式
等比数列的求和公式 一、 基本概念和公式 等比数列的求和公式： q q a n --1)1(1 （1≠q ） q q a a n --11（1≠q ） n S = 或 n S = 1na （q = 1） 即如果q 是否等于1不确定则需 要对q=1或1≠q 推导性质：如果等差数列由奇数项，则S 奇-S 偶=a 中 ；如果等差数列由奇数项，则S 偶-S 奇= d n 2 。 二、 例题精选： 例1：已知数列{n a }满足：43,911=+=+n n a a a ，求该数列的通项n a 。 例2：在等比数列{n a }中，36,463==S S ，则公比q = 。 - 例3：（1）等比数列{n a }中，91,762==S S ，则4S = ； （2）若126,128,66121===+-n n n S a a a a ，则n= 。
例4：正项的等比数列{n a }的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6560，求数列的首项1a 和公比q 。 例5：已知数列{n a }的前n 项和n S =1-n a ，（a 是不为0的常数），那么数列{n a }是？ 例6：设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q 。 例7：求和：)()3()2()1(32n a a a a n ----+-+-+-。 例8：在 n 1和n+1之间插入n 个正数，使这n+2个数成等比数列，求插入的n 个数的积。 例9：对于数列{n a }，若----------,,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1，公比为31的等比数列，求：（1） n a ；（2） n a a a a +---+++321。
数列的通项及求和公式
数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法：等差数列，等比数列。 例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠， 236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。 （2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差， 13a =，则n a =_________。 二、已知n S 求n a ：11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。 类型1、（1）已知2 1n S n n =++，求n a 。 （2）已知101n n S =-，求n a 。 类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ； （2）已知3 32 n n S a =-，求n a ； （3）已知22n n S a +=，求n a 。 类型3、（1）2 24n n n a a S +=，0n a >，求n a ； （2）2 1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ； （3）2111 424 n n n S a a = ++，0n a >，求n a 。 类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ； （2）11a =，12n n S a +=，求n a ； （3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。
类型5、（1）122n n a a a ++???+=，则n a =_____ （2）123n a a a a n ?????=，则n a =_____ （3）12323n a a a na n +++???+=，则n a =_____ （4） 3 12123n a a a a n n +++???+=，则n a =_____ （5）231233333n n a a a a n +++???+=，n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。 例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 中满足13a =， 12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。 （3）求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。 四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。 例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n n n a a +=?， 求n a 的通项公式。 （2）数列{}n a 中满足14a =，11 n n n a a n +=?+，求n a 的通项公式。 （3）112a = ，111 n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。 五、构造法 例1、（1）14a = 2=，求n a ； （2）14a =，22 12n n a a +-=，求n a ； （3）14a =， 144 2n n a a +-=，求n a ； （4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ； （5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ； （6）11a =，121n n a a n n +-=+，求n a 。
教案-《等比数列的前n项和公式》
高二数学组集体备课教案（第七周10月17日） 课题：2.5等比数列的前n 项和(两个课时) 教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；掌握等比数列 的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题； （2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一 般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想； （3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思 维品质； 教学重点：（1）等比数列的前n 项和公式； （2）等比数列的前n 项和公式的应用； 教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导； 教学方法：问题探索法及启发式讲授法 教 具：多媒体 教学过程： 一、复习提问 回顾等比数列定义，通项公式 （1）等比数列定义：q a a n n =-1（2n ≥，)0≠q （2）等比数列通项公式： ) 0,(111≠=-q a q a a n n （3）等差数列前n 项和公式的推导方法：倒序相加法。 二、问题引入： 阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n 项和。 三、问题探讨： 问题：如何求等比数列{}n a 的前n 项和公式 =n S 123n a a a a ++++ 22111111--=+++++ n n a a q a q a q a q 2363 6412222S =+++++
倒序相加法。 等差数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321 根据等差数列的定义1+-=n n a a d []1111()(2)（n-1)=+++++++ n S a a d a d a d （1） []()(2)-（n-1)=+-+-++ n n n n n S a a d a d a d （2） （1）+（2）得：12()=+n n S n a a 1()2 += n n n a a S 探究：等比数列的前n 项和公式是否能用倒序相加法推导？ =n S 123n a a a a ++++ 22111111--=+++++ n n a a q a q a q a q 221 --=+++++ n n n n n n n n a a a a S a q q q q 学生讨论分析，得出等比数列的前n 项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾：等差数列前n 项和公式的推导方法本质。 构造相同项，化繁为简。 探究：等比数列前n 项和公式是否能用这种思想推导？ 根据等比数列的定义： 1 )（++=∈n n a q n N a 变形：1+=n n a q a 具体：12=a q a 23=a q a 34=a q a …… 学生分组讨论推导等比数列的前n 项和公式，学生不难发现： 由于等比数列中的每一项乘以公比q 都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n 项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。 22111111n n n S a a q a q a q a q --=+++++ （1） 23111111-= +++++ n n n qS a q a q a q a q a q （2） 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。
数列求通项公式及求和9种方法
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a。 【注意】漏检验n的值(如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列 {} n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =
1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-? ?，检验1n =的情 况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知21 1=a ，)2(1 1 2 1≥-+ =-n n a a n n ，求n a . （2）已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+，且3 21=a ，求n a .
求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)
数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝｝的前n项为S n，且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列｛a n｝的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列｛a n｝的前n项和记为S n，已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列｛§L｝是等比数列； n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列｛a n｝的前n项为S n，S n = —@n -1)(门，N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证：数列｛a n｝是等比数列.
1 1 已知数列｛a n ｝满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列 ｛an ｝ 满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?｝中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列｛a n ｝满足:a n 色^ , a , =1,求数列｛a n ｝的通项公式 3色」+1 ｛ ｝ 2 十2十2+…十2 等比数列 ｛a n ｝ 的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和：5, 55, 555, 5555，…，9 练习4 练习
练习10 求和： + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和： 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设 ｛a n ｝ 是等差数列， ｛b n ｝ 是各项都为正数的等比数列，且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求 ｛a n ｝ , ｛ b n ｝ 的通项公式；(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21
等比数列和等差数列公式
等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。称为公比，符号为q。 公比公式 根据等比数列的定义可得： 通项公式 我们可以任意定义一个等比数列 这个等比数列从第一项起分别是，公比为q，则有： a2 = a1q， a3 = a2q = a1q2， a4 = a3q = a1q3， ， 以此类推可得，等比数列的通项公式为： a n = a n ? 1q = a1q n ? 1， 求和公式 对于上面我们所定义的等比数列，即数列。我们将所有项进行累加。 于是把称为等比数列的和。记为： 如果该等比数列的公比为q，则有： （利用等比数列通项公式）(1) 先将两边同乘以公比q，有： (1)式减去该式，有： (q ? 1)S n = a1? a1q n (2) 然后进行一定的讨论 当时，
而当q = 1时，由(2)式无法解得通项公式。 但我们可以发现，此时： = na1 ?综上所述，等比数列的求和公式为： ?经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1时 （更正：分母为1-q） 当时, 等比数列无限项之和 由于当及n 的值不断增加时,q n的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和: （更正：分母为1-q）性质 如果数列是等比数列，那么有以下几个性质： ? 证明：当时， ?对于，若，则 证明： ∵ ∴
?等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项，，，其中，则有 ?在原等比数列中，每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。 ?也成等比数列。 等差数列 等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列 就是一个等差数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之差都等于2，即公差为2。 通项公式 如果一个等差数列的首项标为，公差标为，那么该等差数列第项的表达式为： . 等差数列的任意两项之间存在关系： 等差中项 给定任一公差为的等差数列。从第二项开始，前一项加后一项的和的値为该项的两倍。例： 证明： 设， 则 ∵(矛盾) ∴ 证毕
等比数列前n项和公式
数列 等比数列前n项和公式 ■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理3)公比不为1等比数列{a n}的前n项和为S n,且-3a1,-a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4=() A.-20 B.0 C.7 D.40 解析:设数列的公比为q(q≠1),则∵-3a1,-a2,a3成等差数列, ∴-3a1+a3=-2a2,∵a1=1,∴-3+q2+2q=0, ∵q≠1,∴q=-3.∴S4=1-3+9-27=-20.故选A. 答案:A ■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理11)已知函数y=x3在x=a k时的切线和x轴交于a k+1,若a1=1,则数列{a n}的前n项和为() A.n B. - C.3- D.3- - 解析:∵函数y=x3,∴y'=3x2,∴- - =3, 即 - =3, 化简,得3a k+1=2a k,即, 又∵a1=1,∴S n=- - =3- - ,故选D. 答案:D ■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,数列与不等式相结合问题,填空题,理16)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n+1=2a n,则使不等式+…+<5×2n+1成立的n的最大值为.解析:当n=1时,a1+1=2a1,解得a1=1. 当n≥2时,∵S n+1=2a n,S n-1+1=2a n-1, ∴a n=2(a n-a n-1),∴ - =2. ∴数列{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列. ∴a n=2n-1,∴=4n-1. ∴+…+ =1+4+42+…+4n-1=- - (4n-1). ∴(4n-1)<5×2n+1. ∴2n(2n-30)<1,可知使得此不等式成立的n的最大值为4. 答案:4 专题2数列与函数相结合 问题 1
等比数列的前n项和(教学设计)
等比数列的前n项和 （第一课时） 一．教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。 （2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维
求数列通项公式及求和的基本方法
求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项 公式？ 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +?? =+ ??? *()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.
4.构造新数列: 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足2 11=a ，n n a a n n ++ =+211 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解： 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足3 21=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解： 变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的 通项1___n a ?=?? 12 n n =≥ 2!n a n =)2(≥n 解