数学版(完整版)人教版七年级数学上册 压轴题 期末复习试卷及答案

数学版(完整版)人教版七年级数学上册压轴题期末复习试卷及答案

一、压轴题

1．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．

（1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC．

①求t的值；

②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由；

（2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由；

（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）．

2．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG 对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．

（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；

（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；

（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．

3．如图1，已知面积为12的长方形ABCD，一边AB在数轴上。点A表示的数为—2，点B 表示的数为1，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P运动时间为t（t>0）秒.

（1）长方形的边AD长为单位长度；

（2）当三角形ADP面积为3时，求P点在数轴上表示的数是多少；

（3）如图2，若动点Q以每秒3个单位长度的速度，从点A沿数轴向右匀速运动，与P

点出发时间相同。那么当三角形BDQ，三角形BPC两者面积之差为1

2

时，直接写出运动时

间t 的值.

4．如图，从左到右依次在每个小方格中填入一个数，使得其中任意三个相邻方格中所填数

之和都相等．

6a b x-1-2...

（1）可求得x =______，第 2021 个格子中的数为______；

（2）若前k 个格子中所填数之和为 2019，求k 的值；

（3）如果m ，n为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|m-n | 的和可以通过计算

|6-a|+|6-b|+|a-b|+|a-6| +|b-6|+|b-a| 得到．若m ，n为前8个格子中的任意两个数，

求所有的|m-n|的和.

5．已知多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b．

（1）设a与b分别对应数轴上的点A、点B，请直接写出a＝，b＝，并在数

轴上确定点A、点B的位置；

（2）在（1）的条件下，点P以每秒2个单位长度的速度从点A向B运动，运动时间为t

秒：

①若PA﹣PB＝6，求t的值，并写出此时点P所表示的数；

②若点P从点A出发，到达点B后再以相同的速度返回点A，在返回过程中，求当OP＝3

时，t为何值？

6．如图，数轴上点A表示的数为4

-，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个

单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向

左匀速运动.设运动时间为t秒(t0)

>．

()1A ，B 两点间的距离等于______，线段AB 的中点表示的数为______；

()2用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为______，点Q 表示的数为______； ()3求当t 为何值时，1PQ AB 2

=？

()4若点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发

生变化？若变化，请说明理由；若不变请直接写出线段MN 的长．

7．对于数轴上的点P ，Q ，给出如下定义：若点P 到点Q 的距离为d(d≥0)，则称d 为点P 到点Q 的d 追随值，记作d[PQ]．例如，在数轴上点P 表示的数是2，点Q 表示的数是5，则点P 到点Q 的d 追随值为d[PQ]=3． 问题解决：

(1)点M ，N 都在数轴上，点M 表示的数是1，且点N 到点M 的d 追随值d[MN]=a(a≥0)，则点N 表示的数是_____(用含a 的代数式表示)；

(2)如图，点C 表示的数是1，在数轴上有两个动点A ，B 都沿着正方向同时移动，其中A 点的速度为每秒3个单位，B 点的速度为每秒1个单位，点A 从点C 出发，点B 表示的数是b ，设运动时间为t(t>0)．

①当b=4时，问t 为何值时，点A 到点B 的d 追随值d[AB]=2； ②若0

8．已知∠AOB 和∠AOC 是同一个平面内的两个角,OD 是∠BOC 的平分线. (1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,如图(1),图(2),求∠AOD 的度数；

(2)若∠AOB=m 度,∠AOC=n 度,其中090090180m n m n ＜＜，＜＜，＜+且m n ＜，求∠AOD 的度数(结果用含m n 、的代数式表示)，请画出图形，直接写出答案．

9．如图，数轴上有A ， B 两点，分别表示的数为a ，b ，且()2

25350a b ++-=．点P

从A 点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B 点后立即以相同的速度返回往A 点运动，并持续在A ，B 两点间往返运动．在点P 出发的同时，点Q 从B 点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q 达到A 点时，点P ，Q 停止运动． （1）填空：a = ，b = ；

（2）求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；

（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；

（4）在整个运动过程中，点P和点Q一共相遇了几次．（直接写出答案）

10．射线OA、OB、OC、OD、OE有公共端点O．

（1）若OA与OE在同一直线上（如图1），试写出图中小于平角的角；

（2）若∠AOC＝108°，∠COE＝n°（0＜n＜72），OB平分∠AOE，OD平分∠COE（如图2），求∠BOD的度数；

（3）如图3，若∠AOE＝88°，∠BOD＝30°，射OC绕点O在∠AOD内部旋转（不与OA、OD重合）．探求：射线OC从OA转到OD的过程中，图中所有锐角的和的情况，并说明理由．

11．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角尺

（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．

(1)若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．

①求t值；

②试说明此时ON平分∠AOC；

(2)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON=α，∠COM=β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；

(3)若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON?请说明理由．

12．已知：A、O、B三点在同一条直线上，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，

将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为度；

（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）将图1中的三角板绕点O按5°每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中，当直角三角板的直角边OM所在直线恰好平分∠BOC时，时间t的值为（直接写结果）．13．如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c-7）2=0．

（1）a=______，b=______，c=______；

（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合；

（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C 之间的距离表示为BC．则AB=______，AC=______，BC=______．（用含t的代数式表示）.（4）直接写出点B为AC中点时的t的值.

14．已知：∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC=70°时，求∠DOE的度数；

（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC=α时，求∠DOE的度数.（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，直接写出∠DOE的度数．

15．问题一：如图1，已知A，C两点之间的距离为16 cm，甲，乙两点分别从相距3cm的A，B两点同时出发到C点，若甲的速度为8 cm/s，乙的速度为6 cm/s，设乙运动时间为x（s），甲乙两点之间距离为y（cm）．

(1)当甲追上乙时，x = ．

(2)请用含x的代数式表示y．

当甲追上乙前，y= ；

当甲追上乙后，甲到达C之前，y= ；

当甲到达C之后，乙到达C之前，y= ．

问题二：如图2，若将上述线段AC弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB正好对应钟表上的弧AB（1小时的间隔），易知∠AOB=30°．

(1)分针OD指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm；时针OE指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm．

(2)若从4：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）①5；②OQ平分∠AOC，理由详见解析；（2）5秒或65秒时OC平分∠POQ；

（3）t＝70

3

秒．

【解析】

【分析】

（1）①由∠AOC＝30°得到∠BOC＝150°，借助角平分线定义求出∠POC度数，根据角的和差关系求出∠COQ度数，再算出旋转角∠AOQ度数，最后除以旋转速度3即可求出t 值；②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可；

（2）根据旋转的速度和起始位置，可知∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，根据角平分线定义可知∠COQ＝45°，利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t；（3）先证明∠AOQ与∠POB互余，从而用t表示出∠POB＝90°﹣3t，根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数；同时旋转后∠AOC＝30°+6t，则根据互补关系表示出∠BOC度数，同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来．先后两个关于∠BOC的式子相等，构造方程求解．

【详解】

（1）①∵∠AOC＝30°，

∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°,

∵OP平分∠BOC，

∴∠COP＝1

2

∠BOC＝75°,

∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°,

∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°, t＝15÷3＝5；

②是，理由如下：

∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，

∴OQ平分∠AOC；

（2）∵OC平分∠POQ，

∴∠COQ＝1

2

∠POQ＝45°．

设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，

由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30+6t﹣3t＝45，解得：t＝5，

当30+6t﹣3t＝225，也符合条件，

解得：t＝65，

∴5秒或65秒时，OC平分∠POQ；

（3）设经过t秒后OC平分∠POB，

∵OC平分∠POB，

∴∠BOC＝1

2

∠BOP，

∵∠AOQ+∠BOP＝90°，

∴∠BOP＝90°﹣3t，

又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，

∴180﹣30﹣6t＝1

2

（90﹣3t），

解得t＝70 3

．

【点睛】

本题主要考查一元一次方程的应用，根据角度的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键. 2．（1）∠MEN＝90°；（2）∠MEN＝105°；（3）∠FEG＝2α﹣180°，∠FEG＝180°﹣2α．

【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．

（2）根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．

（3）分两种情形分别讨论求解．

【详解】

（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF

∴∠NEF＝1

2

∠AEF，∠MEF＝

1

2

∠BEF

∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝1

2

∠AEF+

1

2

∠BEF＝

1

2

（∠AEF+∠BEF）＝

1

2

∠AEB

∵∠AEB＝180°

∴∠MEN＝1

2

×180°＝90°

（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG

∴∠NEF＝1

2

∠AEF，∠MEG＝

1

2

∠BEG

∴∠NEF+∠MEG＝1

2

∠AEF+

1

2

∠BEG＝

1

2

（∠AEF+∠BEG）＝

1

2

（∠AEB﹣∠FEG）

∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°

∴∠NEF+∠MEG＝1

2

（180°﹣30°）＝75°

∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°

（3）若点G在点F的右侧，∠FEG＝2α﹣180°，

若点G在点F的左侧侧，∠FEG＝180°﹣2α．

【点睛】

考查了角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会

用分类讨论的思想思考问题．

3．（1）4；（2）－3.5或－0.5；（3）t 的值为1116、1316、138或118

． 【解析】 【分析】

（1）先求出AB 的长，由长方形ABCD 的面积为12，即可求出AD 的长；

（2）由三角形ADP 面积为3，求出AP 的长，然后分两种情况讨论：①点P 在点A 的左边；②点P 在点A 的右边．

（3） 分两种情况讨论：①若Q 在B 的左边，则BQ = 3-3t ．由|S △BDQ －S △BPC |=1

2

，解方程即可；②若Q 在B 的右边，则BQ = 3t －3．由|S △BDQ －S △BPC |=1

2

，解方程即可． 【详解】

（1）AB =1－（－2）=3．

∵长方形ABCD 的面积为12，∴AB ×AD =12，∴AD =12÷3=4． 故答案为：4．

（2）三角形ADP 面积为：12AP ?AD =1

2

AP ×4=3， 解得：AP =1.5，

点P 在点A 的左边：-2-1.5=-3.5，P 点在数轴上表示-3.5； 点P 在点A 的右边：-2+1.5=-0.5，P 点在数轴上表示-0.5． 综上所述：P 点在数轴上表示-3.5或-0.5．

（3）分两种情况讨论：①若Q 在B 的左边，则BQ =AB －AQ =3-3t ．

S △BDQ =

12BQ ?AD =1(33)42t -?=66t -，S △BPC =12BP ?AD =1

42

t ?=2t ， 1(66)22

t t --=，680.5t -=±，解得：t =1316或11

16；

②若Q 在B 的右边，则BQ =AQ －AB =3t －3．

S △BDQ =12BQ ?AD =1(33)42t -?=66t -，S △BPC =12BP ?AD =1

42

t ?=2t ，

1(66)22

t t --=，460.5t -=±，解得：t =138或118．

综上所述：t 的值为1116、1316、138或11

8

．

【点睛】

本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离公式． 4．（1）6，-1；（2）2019或2014；（3）234 【解析】 【分析】

（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、x的值，再根据第9个数是-2可得

b=-2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2021除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．

（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．

（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．

【详解】

（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴6+a+b=a+b+x，解得x=6，a+b+x=b+x-1，∴a=-1，所以数据从左到右依次为6、-1、b、6、-1、b，第9个数与第三个数相同，即b=-2，所以每3个数“6、-1、-2”为一个循环组依次循环．

∵2021÷3=673…2，∴第2021个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为-1．

故答案为：6，-1．

（2）∵6+（-1）+（-2）=3，∴2019÷3=673．

∵前k个格子中所填数之和可能为2019，2019=673×3或2019=671×3+6，∴k的值为：673×3=2019或671×3+1=2014．

故答案为：2019或2014．

（3）由于是三个数重复出现，那么前8个格子中，这三个数中，6和-1都出现了3次，-2出现了2次．

故代入式子可得：（|6+2|×2+|6+1|×3）×3+（|-1-6|×3+|-1+2|×2）×3+（|-2-6|×3+|-2+1|×3）×2=234．

【点睛】

本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，规律推导的运用，此类题的关键是找出是按什么规律变化的，然后再按规律找出字母所代表的数，再进行进一步的计算．

5．（1）﹣4，6；（2）①4；②1319

,

22

或

【解析】

【分析】

（1）根据多项式的常数项与次数的定义分别求出a，b的值，然后在数轴上表示即可；（2）①根据PA﹣PB＝6列出关于t的方程，解方程求出t的值，进而得到点P所表示的数；②在返回过程中，当OP＝3时，分两种情况：（Ⅰ）P在原点右边；（Ⅱ）P在原点左边．分别求出点P运动的路程，再除以速度即可．

【详解】

（1）∵多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b，

∴a＝﹣4，b＝6．

如图所示：

故答案为﹣4，6；

（2）①∵PA＝2t，AB＝6﹣（﹣4）＝10，

∴PB＝AB﹣PA＝10﹣2t．

∵PA ﹣PB ＝6，

∴2t ﹣（10﹣2t ）＝6，解得t ＝4，

此时点P 所表示的数为﹣4+2t ＝﹣4+2×4＝4； ②在返回过程中，当OP ＝3时，分两种情况：

（Ⅰ）如果P 在原点右边，那么AB+BP ＝10+（6﹣3）＝13，t ＝132

； （Ⅱ）如果P 在原点左边，那么AB+BP ＝10+（6+3）＝19，t ＝19

2

． 【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，数轴以及多项式的有关定义，理解题意利用数形结合是解题的关键．

6．（1）20,6；（2）43t -+，162t -；（3）t 2=或6时；（4）不变，10，理由见解析. 【解析】 【分析】

（1）由数轴上两点距离先求得A ，B 两点间的距离，由中点公式可求线段AB 的中点表示的数；

（2）点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q 从点B 出发，向右为正，所以-4+3t ；

Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，向左为负，16-2t.

（3）由题意,1

PQ AB 2

=表示出线段长度，可列方程求t 的值； （4）由线段中点的性质可求MN 的值不变． 【详解】

解：()

1点A 表示的数为4-，点B 表示的数为16，

A ∴，

B 两点间的距离等于41620--=，线段AB 的中点表示的数为

416

62

-+= 故答案为20，6

()

2点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，

∴点P 表示的数为：43t -+，

点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，

∴点Q 表示的数为：162t -，

故答案为43t -+，162t -

()

13PQ AB 2

=

()43t 162t 10∴-+--=

t 2∴=或6

答：t 2=或6时，1

PQ AB 2

=

()4线段MN 的长度不会变化，

点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，

1PM PA 2∴=

，1

PN PB 2

= ()1

MN PM PN PA PB 2

∴=-=- 1

MN AB 102

∴=

= 【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，找到正确的等量关系列出方程是本题的关键． 7．(1)1＋a 或1－a ；(2)12或5

2

；(3)1≤b≤7. 【解析】 【分析】

(1)根据d 追随值的定义，分点N 在点M 左侧和点N 在点M 右侧两种情况，直接写出答案即可；

(2)①分点A 在点B 左侧和点A 在点B 右侧两种情况，类比行程问题中的追及问题，根据“追及时间=追及路程÷速度差”计算即可；② 【详解】

解：(1)点N 在点M 右侧时，点N 表示的数是1+a ； 点N 在点M 左侧时，点N 表示的数是1-a ； (2)①b=4时，AB 相距3个单位， 当点A 在点B 左侧时，t=(3-2)÷(3-1)=12， 当点A 在点B 右侧时，t=(3+2)÷(3-1)=

52

； ②当点B 在点A 左侧或重合时，即d ≤1时，随着时间的增大，d 追随值会越来越大， ∵0

当点B 在点A 右侧时，即d>1时，在AB 重合之前，随着时间的增大，d 追随值会越来越小，

∵点A 到点B 的d 追随值d[AB]≤6，∴d ≤7 ∴1

综合两种情况，d 的取值范围是1≤d ≤7.

故答案为(1)1＋a 或1－a ；(2)①12或5

2

；②1≤b≤7. 【点睛】

本题考查了数轴上两点之间的距离和动点问题. 8．（1）图1中∠AOD=60°；图2中∠AOD=10°； （2）图1中∠AOD=n m 2+；图2中∠AOD=n m

2

-. 【解析】 【分析】

（1）图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=20°，则∠BOD=10°，根据∠AOD=∠AOB+∠BOD 即得解；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°，则∠BOD=60°，根据∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB 即可得解；

（2）图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m ，则∠BOD=n m

2

﹣，故∠AOD=∠AOB+∠BOD=

n m 2+；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n ，则∠BOD=n m

2+，故∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=n m

2

-. 【详解】

解：（1）图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=70°﹣50°=20°， ∵OD 是∠BOC 的平分线， ∴∠BOD=

1

2

∠BOC=10°， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+10°=60°； 图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°， ∵OD 是∠BOC 的平分线， ∴∠BOD=

1

2

∠BOC=60°， ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=60°﹣50°=10°；

（2）根据题意可知∠AOB=m 度，∠AOC=n 度，其中090090180m n m n ＜＜，＜＜，＜+且m n ＜，

如图1中，

∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m ， ∵OD 是∠BOC 的平分线，

∴∠BOD=

12∠BOC=n m 2

﹣， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=n m

2

+；

如图2中，

∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n ， ∵OD 是∠BOC 的平分线，

∴∠BOD=

12∠BOC=n m 2

+， ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=n m

2

-.

【点睛】

本题主要考查角平分线，解此题的关键在于根据题意进行分类讨论，所有情况都要考虑，切勿遗漏.

9．（1）25- ，35 （2）运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27 ；（3）5;(4) 一共相遇了7次. 【解析】 【分析】

（1）根据0+0式的定义即可解题；（2）设运动时间为x 秒,表示出P ,Q 的运动路程,利用路程和等于AB 长即可解题；（3）根据点Q 达到A 点时，点P ，Q 停止运动求出运动时间即可解题；（4）根据第三问点P 运动了6个来回后，又运动了30个单位长度即可解题. 【详解】

解：（1）25- ，35 （2）设运动时间为x 秒

13x 2x 2535+=+ 解得 x 4=

352427-?=

答：运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27

（3）运动总时间：60÷2=30（秒），13×30÷60=6…30即点P 运动了6个来回后，又运动了30个单位长度, ∵25305-+=，

∴点P 所在的位置表示的数为5 .

（4）由（3）得：点P 运动了6个来回后，又运动了30个单位长度, ∴点P 和点Q 一共相遇了6+1=7次.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的实际应用,数轴的应用,难度较大,熟悉路程,时间,速度之间的关系

是解题关键.

10．（1）图1中小于平角的角∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠BOE，∠BOD，∠BOC，∠COE，

∠COD，∠DOE；（2）∠BOD＝54°；（3）

∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE＝412°．理由见解析. 【解析】

【分析】

（1）根据角的定义即可解决；

（2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD=1

2∠AOC+1

2

∠COE，进而求出即可；

（3）将图中所有锐角求和即可求得所有锐角的和与∠AOE、∠BOD和∠BOD的关系，即可解题．

【详解】

（1）如图1中小于平角的角

∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠BOE，∠BOD，∠BOC，∠COE，∠COD，∠DOE．

（2）如图2，

∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE，∠AOC＝108°，∠COE＝n°（0＜n＜72），

∴∠BOD＝1

2

∠AOD﹣

1

2

∠COE+

1

2

∠COE＝

1

2

×108°＝54°；

（3）如图3，

∠AOE＝88°，∠BOD＝30°，

图中所有锐角和为

∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE

＝4∠AOB+4∠DOE＝6∠BOC+6∠COD

＝4（∠AOE﹣∠BOD）+6∠BOD

＝412°．

【点睛】

本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与

∠AOE、∠BOD和∠BOD的关系是解题的关键，

11．（1）①t=3；②见解析；（2）β=α+60°；（3）t=5时，射线OC第一次平分∠MON.【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论；

（2）根据∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC即可得到结论；

（3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MON列方程求解即可．

【详解】

（1）①∵∠AOC=30°，OM平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°，

∴∠COM=∠BOM=75°．

∵∠MON=90°，∴∠CON=15°，∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，∴∠AON=∠CON，∴t=15°÷3°=5秒；

②∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC．

（2）∵∠AOC=30°，∴∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC，∴30°－α=90°－β，

∴β=α+60°；

（3）设旋转时间为t秒，∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，∠CON=45°，

∴30°+8t=5t+45°，∴t=5．

即t=5时，射线OC第一次平分∠MON．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．

12．（1）90°；（2）30°；（3）12秒或48秒．

【解析】

【分析】

（1）依据图形可知旋转角=∠NOB，从而可得到问题的答案；

（2）先求得∠AOC的度数，然后依据角的和差关系可得到∠NOC=60°-

∠AON，∠AOM=90°-∠AON，然后求得∠AOM与∠NOC的差即可；

（3）可分为当OM为∠BOC的平分线和当OM的反向延长为∠BOC的平分线两种情况，然后再求得旋转的角度，最后，依据旋转的时间=旋转的角度÷旋转的速度求解即可．

【详解】

（1）由旋转的定义可知：旋转角＝∠NOB＝90°．

故答案为：90°

（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°．

理由：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠BOC＝180°，

∴∠AOC＝60°．

∴∠NOC＝60°﹣∠AON．

∵∠NOM＝90°，

∴∠AOM＝90°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．

（3）如图1所示：当OM为∠BOC的平分线时，

∵OM为∠BOC的平分线，

∴∠BOM＝∠BOC＝60°，

∴t＝60°÷5°＝12秒．

如图2所示：当OM的反向延长为∠BOC的平分线时，

∵ON为为∠BOC的平分线，

∴∠BON＝60°．

∴旋转的角度＝60°+180°＝240°．

∴t＝240°÷5°＝48秒．

故答案为：12秒或48秒．

【点睛】

本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的定义、直角三角形的定义以及角的和差计算，求得三角板旋转的角度是解题的关键．

13．（1）-2；1；7；（2）4；（3）3+3t；9+5t；6+2t；（4）3.

【解析】

【分析】

（1）利用|a+2|+（c﹣7）2＝0，得a+2＝0，c﹣7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b＝1；

（2）先求出对称点，即可得出结果；

（3）分别写出点A、B、C表示的数为，用含t的代数式表示出AB、AC、BC即可；（4）由点B为AC中点，得到AB=BC，列方程，求解即可．

【详解】

（1）∵|a+2|+（c﹣7）2＝0，∴a+2＝0，c﹣7＝0，解得：a＝﹣2，c＝7．

∵b是最小的正整数，∴b＝1．

故答案为﹣2，1，7．

（2）（7+2）÷2＝4.5，对称点为7﹣4.5＝2.5，2.5+（2.5﹣1）＝4．

故答案为4．

（3）点A表示的数为：－2－t，点B表示的数为：1+2t，点C表示的数为：7+4t，则

AB＝t+2t+3＝3t+3，AC＝t+4t+9＝5t+9，BC＝2t+6．

故答案为3t+3，5t+9，2t+6．

（4）∵点B为AC中点，∴AB=BC，∴3t+3=2t+6，解得：t=3．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用、数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．

14．（1）45°；（2）45°；（3）45°或135°.

【解析】

【分析】

（1）由∠BOC的度数求出∠AOC的度数，利用角平分线定义求出∠COD与∠COE的度数，相加即可求出∠DOE的度数；

（2）∠DOE度数不变，理由为：利用角平分线定义得到∠COD为∠AOC的一半，∠COE为∠COB的一半，而∠DOE=∠COD+∠COE，即可求出∠DOE度数为45度；

（3）分两种情况考虑，同理如图3，则∠DOE为45°；如图4，则∠DOE为135°．

【详解】

（1）如图，∠AOC=90°﹣∠BOC=20°，

∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，

∴∠COD=∠AOC=10°，∠COE=1

2

∠BOC=35°，

∴∠DOE=∠COD+∠COE=45°；（2）∠DOE的大小不变，理由是：

∠DOE=∠COD+∠COE=1

2

∠AOC+

1

2

∠COB=

1

2

（∠AOC+∠COB）=1

2

∠AOB=45°；

（3）∠DOE 的大小发生变化情况为：如图③，则∠DOE 为45°；如图④，则∠DOE 为135°，

分两种情况：如图3所示， ∵OD 、OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ， ∴∠COD=

12∠AOC ，∠COE=1

2

∠BOC ， ∴∠DOE=∠COD ﹣∠COE=1

2

（∠AOC ﹣∠BOC ）=45°； 如图4所示，∵OD 、OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ，

∴∠COD=

12∠AOC ，∠COE=1

2

∠BOC ， ∴∠DOE=∠COD+∠COE=

12（∠AOC+∠BOC ）=1

2

×270°=135°．

【点睛】

此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键． 15．问题一、(1)32；（2）3-2x ；2x -3；13-6x ；问题一、（1）35；120；24011

. 【解析】 【分析】

问题一根据等量关系，路程=速度?时间，路程差=路程1-路程2，即可列出方程求解。 【详解】

问题一：(1)当甲追上乙时，甲的路程=乙的路程+3 所以，863x x =+

23x =

3

2

x =

故答案为

32

. (2) 当甲追上乙前，路程差=乙所行的路程+3-甲所行的路程；

所以，63832y x x x =+-=-.

当甲追上乙后，甲到达C 之前，路程差=甲所行的路程-3-乙所行的路程； 所以，83623y x x x =--=-.

当甲到达C 之后，乙到达C 之前，路程差=总路程-3-乙所行的路程； 所以，1636136y x x =--=-.

问题二：（1）由题意AB 为钟表外围的一部分，且∠AOB=30° 可知，钟表外围的长度为31236cm ?= 分针OD 的速度为336605cm

min

÷=

时针OE 的速度为136020

cm

min ÷=

故OD 每分钟转动35

cm ，OE 每分钟转动

1

20

cm . （2）4点时时针与分针的路程差为4312cm ?= 设x 分钟后分针与时针第一次重合。 由题意得，3112520

x x =+ 解得，240

11

x =. 即

240

11分钟后分针与时针第一次重合。 【点睛】

本题考查了一元一次方程中的行程问题，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件找出等量关系，列出方程求解即可。