上海初中数学公理定理推论

公理定理推论

平移与平行线

垂线的性质：经过直线外或直线上一点，有一条而且只有一条直线与已知直线垂直。

垂直平分线定义：我们把垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫做这条线段的中垂线。

平行线的基本性质：经过已知直线外的一点，有一条直线而且只有一条直线与已知直线平行。

平行线判定：

1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（同位角相等，两直线平行。）

2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行。）

3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补相等，两直线平行。）

平行线的重要性质：

1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（两直线平行，同位角相等。）2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内错角相等。）3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行，同旁内角互补。）

轴对称与等腰三角形

轴对称图形定义：如果将一个图形沿着某一条直线翻折，那么直线两旁的部分能够互相重合。像这样的图形，叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。

对称点的性质：如果两个图形关于某一条直线对称，那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分。

对称点判定：如果连接两个点的线段被一条直线垂直平分，那么这两点关于这条直线对称。

等腰三角形性质

1）等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）。

2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（等腰三角形三线合一）

等腰三角形判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形。（等角对等边）

圆心角，弧，弦，弦心距

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：过圆心的弦就是直径。

半圆：直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧与劣弧：大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。

弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

圆的性质：

1）在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么所对的劣弧（优弧）相等，所对的弦相等，所对的弦的心距相等。

2）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等，弦的弦心距相等。

3）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的劣弧（优弧）相等，所对的圆心角相等，所对的弦心距相等。

4）在同圆或等圆中，如果弦心距相等，那么所对的弦相等，弦所对的劣弧(优弧)相等，所对的圆心角相等

垂经定理：四个满足两个即可1，过圆心直线2，垂直弦3，平分弦4，平分弧1）如果圆的直径垂直于弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

2）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

3）如果圆的直径平分弧，那么这条直经垂直平分这条弧所对的弦。

4）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

5）如果一条直线平分弦和它所对的一条弧，那么这条直线过圆心，并且垂直这条弦。

6）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，平且平分这条弦。

中心对称与平行四边形

中心对称图形定义：一个图形绕着某一点旋转180度，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

对称的性质：关于对称中心的两个图形，连接对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。

平行四边形的性质:

1）平行四边形的对角相等

2）平行四边形的对边相等

3）平行四边形的对角线互相平分

4）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。

全等三角形

全等形定义：我们把经过图形的运动能够重合的两个图形称为全等形。互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。三角形全等判定：

1）在两个三角形中，如果有两个角及他们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（A.S.A）

2）在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（A.A.S）

3）在两个三角形中，如果有两条边及他们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（S.A.S）

4）在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（S.S.S）直角三角形全等判定：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等（H.L）

几何证明

定义：说明名词含义的句子叫定义。

命题：可以判断他是正确的或错误的句子叫命题。正确的为真命题，错误的为假命题。

公理：他们的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把他们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。

定理：有些命题可以从公理和其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断他们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。证明：根据题设，定义以及已经被确认的公理，定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。

等量代换：一个量用与它相等的量去代替叫做等量代换。

辅助线：有时由于证明的需要，可以在原来的图形上添画一些线，这样的线叫做辅助线。

直角三角形

定理1：直角三角形的两个锐角互余。

定理2：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上的一半。

推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对应的直角边等于斜边的一半。

推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边一半，那么这条直角边所对的角等于30度。

互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

互逆定理:如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理。其中一个叫做另一个的逆定理。

线段的垂直平分线

定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

角平分线

定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。

勾股定理逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

四边形

平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

性质定理1：矩形的四个角都是直角。

性质定理2：矩形的对角线相等。

性质定理3：菱形的四条边都相等。

性质定理4：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。、

判定定理1：四条边相等的四边形是菱形。

判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

判定定理3：有三个角是直角的四边形是矩形。

判定定理4：对角线相等的平行四边形是矩形。

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。判定定理1：有一个角是直角的菱形是正方形。

判定定理2：有一组邻边相等的矩形是正方形。

梯形定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

直角梯形定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

等腰梯形的性质定理1：等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。

等腰梯形的性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。

等腰梯形的判定定理：在同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

三角形中位线定义：我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线性质定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

梯形中位线性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

相似三角形

相似三角形的定义：我们把对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。

相似比定义：相似三角的对应边的比，叫做相似比。

相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。判定定理1：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。（两角对应相等，两三角形相似）

判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。（三边对应成比例，两三角形相似）

三角形重心定义：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心。

重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。

直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似）

相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

相似三角形性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比。

相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方。

圆与切线

定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

三角形外接圆：经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆。外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。也叫做圆的内接三角形。

直线相离:如果一条直线和一个圆没有公共点，那么我们就说这条直线和这个圆相离。

直线相切：如果一条直线和一个圆只有一个公共点，那么我们就说这条直线和这个圆相切。这条直线叫切线，公共点叫切点。

直线相交：如果一条直线和一个圆有两个公共点，那么我们就说这条直线和这个圆相交。这条直线叫割线。

圆相离：如果两个圆没有公共点，那么我们就说这两个圆相离。（外离和内含）圆相切：如果两个圆只有一个公共点，那么我们就说这两个圆相切。公共点叫切点。

圆相交：如果两个圆有两个公共点，那么我们就说这两个圆相交。

如果两个圆的半径分别为r1，r2圆心距为d

两圆外离------d>r1+r2

两圆外切------d=r1+r2

两圆相交----∣r1-r2∣

两圆内切------0

两圆内含------0≤d <∣r1-r2∣

两圆的连心线：经过两圆的圆心的直线叫做两圆的连心线。

定理1：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

定理2：相切两圆的连心线经过切点。

切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半经的直线是圆的切线。切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线长定义：我们把圆的切线上一点和切点之间的线段的长叫做这个点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。这个三角形叫做圆的外切三角形。

圆的公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。（外公切线和内公切线）

公切线的长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。

*圆与角

圆外角：顶点在圆的外部，两条边和圆相交或相切的角叫圆外角。

弦切角：顶点在圆上，一条边和圆相交，一条边和圆相切的角叫弦切角。

圆周角：顶点在圆上，两条边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆内角：顶点在圆内的内部的角叫做圆内角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90度圆周角所对的弦是直径。

定理：圆内接四边形的对角互补。

推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

正多边形

正多边形的中心：正多边形的外接圆或内切圆的圆心叫做正多边形的中心。

正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的边心距：内切圆的半径叫做正多边形的边心距。

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角