(完整版)医科高等数学知识点
1.极限存在条件
A x f x f A x f x x ==?=+
-→)()()(lim 000
2. 法则1(夹逼法则) 若在同一极限过程中,三个函数)(1x f 、)(2x f 及)(x f 有如下关系:
)()()(21x f x f x f ≤≤且A x f x f ==)(lim )(lim 21 则A x f =)(lim
3.
法则2(单调有界法则) 单调有界数列一定有极限
4.无穷小定理0])(lim[)(lim =-?=A x f A x f 以~-A 为无穷小，则以A 为极限。 性质1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小 性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.
性质3 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 5.高阶同低阶无穷小，假设.0,,≠αβα且个无穷小是同一变化过程中的两
)(,,0lim
)1(αβαβα
β
o ==记作较高阶的无穷小是比就说如果 ;,,lim
)2( 较高阶的无穷小是比或者说
较低阶的无穷小是比就说如果βααβα
β
∞= ;),0(lim
)3(是同阶的无穷小与就说如果αβα
β
≠=C C C=1时，为等价无穷小。 无穷小
阶的
的是就说如果k k C C k
αβαβ
),0,0(lim )4( >≠= 6. 则有若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==
)0()(lim )(lim )()(lim
)3()()(lim )]()(lim[)2()(lim )(lim )]()(lim[)1(≠==?=?=?±=±=±B B
A
x g x f x g x f B A x g x f x g x f B A x g x f x g x f
推论 则为常数而存在若,,)(lim c x f )(lim )(lim x f c x cf =
则为正整数而存在若,,)(lim n x f n n x f x f )]([lim )](lim [= 例题11lim 22--→x x x 11
lim 22--→x x x 1lim 1lim lim 22
22--=→→→x x x x x 3
1= 7. 为非负整数时有和所以当n m b a ,0,000≠≠
????
?????<∞>==++++++--∞→,
,,,0,,lim 0
110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当ΛΛ 8.例题)2(lim 2x x x x -+∞
→求 )2(lim 2
x x x x -+∞
→x
x x x x x x x ++++-+=∞
→2)
2)(2(lim
2
22
x
x x x ++=∞
→22lim
21212
lim
2++=∞
→x
x =1 9.两个重要的极限
例题nx mx x sin sin lim 0→求 nx mx x sin sin lim 0→nx
nx mx mx n m x sin sin lim 0?
?=→
n m nx nx mx mx n m x x =?=
→→sin lim sin lim 00
x x x 1sin lim ∞→求 所以时则当令.0,,1→∞→=t x x t x x x 1sin lim ∞→1sin lim 0==→t t
t
例题x x x 3)21(lim -∞→求 x
x x
3)21(lim -∞→)3)(2
(2]
)21[(lim x x x
x x --∞→-=662])21[(lim ---∞→=-=e x x
x 例题2 x x x x )11(lim -+∞→求 x x x x )11(lim -+∞→x
x x )121(lim -+=∞→?
?????-+-+
=-∞→)121(])121[(lim 221
x x x x 221e e =?=
解法2 x x x x x )11()11(lim -+=∞→211])1
1[(lim )1
1(lim e e
e x
x x x x
x ==-+=---∞→∞→
10.函数在一点连续的充分必要条件是
;)()1(0处有定义在点x x f ;)(lim )2(0
存在x f x x →).()(lim )3(00
x f x f x x =→
11.
.
)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数x x f x x f ?
12.
满足下列三个条件之一的点0x 为函数)(x f 的间断点.
;)()1(0没有定义在点x x f ;)(lim )2(0
不存在x f x x →).()(lim ,)(lim )3(00
x f x f x f x x x x ≠→→但存在
跳跃间断点
.
)(),(lim )(lim ,
,)(000
断点的跳跃间为函数则称点但右极限都存在处左在点如果x f x x f x f x x f x x x x +-→→≠
可去间断点
.
)(,)(),()(lim ,
)(00000
的可去间断点为函数称点则处无定义在点或但处的极限存在在点如果x f x x x f x f A x f x x f x x ≠=→
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点为 左右极限都存在 第二类间断点 左右极限至少有一个是不存在的
第二类间断点中包括 无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷） 震荡间断点（x
x 1sin
lim 0
→） 13.例题.)
1ln(lim 0x
x x +→求 x
x x 1
0)1ln(lim +=→原式e ln ==1
14.（最值定理）若函数)(x f y = 闭区间],[b a 上连续，则)(x f y =在闭区间],[b a 上必有最大值和最小值．
（有界性定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则其在闭区间上必有界
（介值定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则对介于)(a f 和)(b f 之间的任何数C ，至少存在一个),(b a ∈ξ，使得c f =)(ξ 根的存在定理 两侧异号 至少有一根。
15.函数在一点可导的充分必要条件为：)()(0'
0'x f x f -+=
16.可导的函数一定是连续的 连续不一定可导
. .0)(常数的导数是零='C .)(1-='n n nx x cos )(sin x x =' sin )(cos x x -='
a x x a ln 1)(log =
' x
x 1)(ln =' .csc )(cot 2x x -=' .sec )(tan 2
x x =' x x x tan sec )(sec =' .cot csc )(csc x x x -=' a a a x x ln )(=' x x e e =')(
)(arcsin 'x .112
x -=
.11)(arccos 2
x x --
=' ;11
)(arctan 2
x x +=
'
.11
)(cot 2
x x +-
=' 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 )
0)(()
()
()()()(])()([
)3();
()()()(])()([)2();
()(])()([)1(2≠'-'=''+'='?'±'='±x v x v x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u n n u u u u u u '±???±'±'='±???±±21
21)()1( u C Cu '=')()2( n n n u u u u u u u u u ΛΛ2121
21)()3('+'='???n u u u '???++21Λ 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则)
)()()(x v u f y ψ?'''='
隐函数求导法则 两边对X 求导 例题 已知函数y 是由椭圆方程122
22=+b
y a x 所确定的 求y '
方程两边分别关于x 求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有
02222='+y b
y
a x 解得y a x
b y 22-=' 例题2 e xy e y += y x y y e y '+=' x
e y
y y -='
对数求导法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. 例
题
3
)
4)(3()
2)(1(+-+-=x x x x y
)]4ln()3ln()2ln()1[ln(3
1
ln +---++-=x x x x y
)4
1312111(311+---++-='x x x x y y
)4
1
312111()4)(3()2)(1(313----++-+-+-=
'x x x x x x x x y 高阶导数x y sin = )2sin()
(π?+=n x y
n )2
cos()(cos )(π
?+=n x x n
18.
).
(,)()(000x f A x x f x x f '=且可导处在点数可微的充要条件是函在点函数
即).(.0x f A '=?可微可导
19.
dx x x arc d dx x x d 2
2
11
)cot (1)(arctan +-
=+=
xdx
x x d xdx x x d xdx
x d xdx
x d xdx x d xdx x d dx x x d C d cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan sin )(cos cos )(sin )(0)(2
2
1-==-==-====-ααα
dx
x
x d dx
x
x d dx
x x d dx
a
x x d dx
e e d adx
a a d a x x x x 2
2
11)(arccos 11
)(arcsin 1
)(ln ln 1
)(log )(ln )(--
=-=====
20.
函数和、差、积、商的微分法则
2
)()()()(v udv vdu v u d udv
vdu uv d Cdu Cu d dv du v u d -=+==±=± 例题.,cos 31dy x e
y x
求设-= )(cos )(cos 3131x d e e d x dy x x ?+?=--
x x e e x x sin )(cos 3)(3131-='-='--Θ dx x e dx e x dy x x )sin ()3(cos 3131-?+-?=∴-- dx x x e x )sin cos 3(31+-=-
微分形式不变性 微分形式始终为dx x f dy )('= 21.
Lagrange 中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 上可导,则
在),(b a 内至少存在一点 ,使下面等式成立 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ 推论 则有如果对于任意,0)(),,('
=∈x f b a x c x f =)()(为常数c
则有如果对于任意),()(),,('x g x f b a x '=∈c x g x f +=)()()(为常数c 例题 证明2
arccos arcsin π
=
+x x x x x f arccos arcsin )(+=设
0)11(11)(2
2
=--
+-=
'x
x
x f ΘC x f ≡∴)( 0arccos 0arcsin )0(+=f Θ又
2
0π+
=2π
=
2
π
=
C 即 2
arccos arcsin π
=
+∴x x
22. 洛必达法则型未定式解法型及:00∞
∞
如果函数)(x f 与)(x g 满足下列三个条件 0／0 ∞／∞，导数都存在且0)(≠'x g ，
)
()
(lim
x g x f ''存在或者无穷大 则当0x x →或∞→x 则有 )
()
(lim )()(lim
x g x f x g x f ''=
∞?∞?
∞?10.0100??∞?或 0101-?∞-∞0
00
0?-?
?????∞
??∞???→??????∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞?? 例题x x x 1)(lim +∞→求 x x
x x x e x ln 1
1lim lim +∞
→+∞→=
01
1
lim ln lim ln 1lim ===+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x Θ 1)(lim 0ln 1
lim 1===∴+∞→+∞→e e x x x x x x
洛必达法则不是万能的.lim x x
x
x x e e e e --+∞→+-求 洛必达不能求解 111lim lim 22=+-=+---+∞→--+∞→x x x x x x x x e
e e e e e (两边同乘以x e -) 23.可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点.（驻点为可导但是导数值为0的点） 函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 判断是否为极值点要计算驻点两侧倒数的符号是否不同
求驻点处的二阶导数 若二阶导数为正值 则为极小值 负值 则为极大值 为零则不能判断 24.二阶导数为正值则为凹的 负值则为凸的 分界点为拐点 在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在
函数作图
求定义域 函数的奇偶性和周期性 求一阶和二阶导数 讨论极值点和拐点 渐近线 25.
?=dx x kf )(?dx x f k )( ?=±dx x g x f )]()
([??±dx x g dx x f )()(
);1(1
)1(1
-≠++=+?αααα
C x dx x ?+=C x x dx
ln )
2( 3
=?dx a x
C a a x
+ln
4
=?
dx e x
C e x + ?=xdx cos )5(C x +sin ?=xdx sin )6(C x +-cos
=?x 2
sec
)7(C x +tan =?x 2
csc
)8(C x +-cot
=+?dx x 211
)
9(C x arc C x +-=+cot arctan
=-?
dx x
2
11 )10(C x C x +-=+arccos arcsin
26.第一类换元法(凑微分法) 可导具有原函数设)(),()(x u u F u f ?=则有
?='dx x x f )()]([??C x F du u f x u +=?=)]([]
)([)
(??
?xdx sec C x x ++=)tan ln(sec C x x xdx +-=?)cot ln(csc csc
?
?+=+++1)()()(.1111
n x d x f dx x x
f n n n
n ??=)()(2)
(.2x d x f dx x
x f
??=)(ln )(ln )(ln .3x d x f dx x x f ??-=)1()1()
1
(.42
x d x f dx x
x f 、 ??=)(sin )(sin cos )(sin .5x d x f xdx x f ??=x x x x de e f dx e e f )()(.6 ??=x d x f xdx x f tan )(tan sec )(tan .72 ??
=+)(arctan )(arctan 1)
(arctan .82
x d x f dx x
x f 27.第二类换元积分法
dt t t f dx x f )(])([)(ψψ'=??（根式代换）
例题 求
.)
1(13dx x x ?
+ 令6t x =dt t dx 5
6=?
dx x x ?
+)
1(1
3
?+=dt t t t )1(623
5 ?+=dt t t 2216dt t t ?+=2216dt t t ?+-+=221116dt t dt ??+-=21166C t t +-=)arctan (
6 C x x +-=)arctan (666
三角代换的形式 22)
1(x a - ;sin t a x = 22)2(x a + ;tan t a x =
22)
3(a x - .sec t a x = 倒数代换u
x 1
=
也为常用的形式
28.使用时应注意的问题 要容易求得；）（v 1??
.2容易积出要比）（udv vdu
例题.arctan ?xdx x 令,arctan x u =dv x d xdx ==2
2
?xdx x arctan )(arctan 2arctan 222x d x x x ?-=dx x x x x 222112arctan 2
+?-=?
x x arctan 22=dx x
)111(212
+-?-?C x x x x +--=)arctan (21arctan 22 例题2
.ln ?dx x x
x u = udu dx 2= ??=udu dx x x
ln 2ln ?-=)ln (2du u u
C u u +-=)1(ln 2C x x +-=)1(ln 2
29.有理函数的积分 待定系数法 分母中若有因式k
a x )(-，则分解后为a
x A a x A a x A k k k -++-+--Λ12
1)()( k A A A ,,,21Λ待定
的常数
分母中有k
q px x )(2
++分解后为
q
px x N x M q px x N x M q px x N x M k k k k ++++++++++++-2
122
2211)()(Λ 其中042
<-q p i i N M ,待定的常数 例题
.1362
22dx x x x ?+++ 分母实数范围内不能因式分解 则用凑分法
dx x x x dx x x x ??++-+=+++1364
621362222??++-++++=22222)3(413
6)136(x dx dx x x x x d C x x x ++-++=2
3arctan
2)136ln(2 30.定积分
i i n
i b
a
x f dx x f ?=∑?
=→)(lim )(10
ξλ
相关性质
??
=b
a b
a
dx x f k dx x kf )()( k 为常数
?±b
a
dx x g x f )]()([?
=b
a
dx x f )(?±b
a
dx x g )(
?
b
a
dx x f )(??+=b
c
c a
dx
x f dx x f )()(.
],[b a 上)()(x g x f ≤
dx x f b a
?)(dx x g b
a
?≤)(
设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则
)()()(a b M dx x f a b m b
a
-≤≤-?
定积分中值定理
dx x f b
a
?
)())((a b f -=ξ)(b a ≤≤ξ
积分上限函数?
=x
a
dt t f x G )()(],[b a x ∈ 有)(])([)(x f dt t f x G x
a
='='?)(b x a ≤≤
例题dt t t y x ?+-=1
33
21
求导数 先化为积分上限函数dt t
t y x ?+--=31321 视为dt t
t y u
?
+--
=1
3213
x u =的复合函数)()21(313'?+--=?=?x dt t t du d dx du du dy dx dy u x
x x +-=2)
1(332
例题2 ][3
22
'?-dt e x x
t ][][][3
2
22
3
22
'+'='???---dt e dt e dt e x a
t a
x
t x x
t ][][3
2
2
2
'+'-=??--dt e dt e x a
t
x a
t
)()(32
64
'+'-=--x e x e
x x 6
4232x x e x xe --+-=
微积分基本定理
)()()()(a F b F a
b
x F dx x f b
a -==?
dt t t f dx x f b
a
?'=β
α??)()]([)(
例题
?
+1
32)1(dx x x 设t x =+12 0=x ;1=?t 1=x 2=?t
所以有
??
++=
+102
321
32)1()1(21)1(x d x dx x x 8
151281214213===?t dt t 不换新变量 就不要改变积分上下限
??
++=+102321
3
2
)1()1(21)1(x d x dx x x 81501)1(8
1
42=+=x
例题2
.11
22?
-dx x x 设tdt dx t x cos ,sin ==
0=x ;0=?t 1=x 2
π
=
?t
?
-1
2
2
1dx x x
tdt t t cos sin 1sin 20
22?-=π
dt t tdt t ??==2
0222
22sin 41cos sin ππ
02)4sin 41(81)4cos 1(8120π
πt t dt
t -=-=?16
π=
?-=b a
b a
vdu a b uv udv 例题
.1
?dx xe x
???-==1
1
1
00
1dx e xe
xde
dx xe x x
x
x
1)1(0
1=--=-=e e e
e x
???-=e e
dx x
x e x x xdx 1111ln ln 11=-=e
x e
31.用定积分求面积 和 旋转体的体积 旋转体的体积dx y dx x f V b
a
b
a
22
)]
([??==ππ（绕x 轴形成的）
?
=
d
c
V πdy y 2)]([?dx x d c
2?=π(绕y 轴形成的)
例题4
2
x y = 0=x 1=y 绕y 轴形成的体积
用公式dy x b
a
?
2π
dy x V ?=102πdy y ?=104πππ20
1
22==y
32.无穷区间的广义积分
?
+∞
a
dx x f )(?
+∞→=b
a
b dx x f )(lim
极限存在 则为广义积分存在或收敛 极限不存在 则为广义积分不存在或发散 相应的有形式
?
∞
-b
dx x f )(?
-∞→=b
a
a dx x f )(lim
?
∞
-b
dx x f )(?
-∞→=b
a
a dx x f )(lim
牛顿公式
a
x F a F b F dx x f b a
∞+=-=+∞
→∞
+?
)
()()(lim )(
)
(0)
()(∞+-∞
-=?
∞
+∞
-x F x F dx x f
∞
-=-=-∞
→∞
-?
b x F a F b F dx x f a b
)
()(lim )()(
例题.1)
3(2
?
+∞
∞
-+x
dx
?
+∞
∞-+21x dx ?∞-+=021x dx π=++?+∞021x
dx （原函数为正切函数） 无界函数的广义积分
?
b
a
dx x f )(?
+→+=b
a dx x f ε
ε)(lim 0
?
b
a
dx x f )(?=c
a
dx x f )(?+b c
dx x f )(?
?
+→-→+++=b
c c a
dx x f dx x f 2
211)(lim )(lim 0
εεεε
)0,0(21>>εε 若∞=→)(lim x f c
x 只有当上式右端两个极限都存在时 则称?b a
dx x f )(收敛
否则为发散。 例题 求
.11
2
?
-x
dx +∞=--
→2
1
11lim x
x Θ1=∴x 是无穷间断点
?
-1
2
1x
dx ?
-→-=+ε
ε10
2
1lim x
dx 0
1arcsin lim 0
εε-=+→x
[]2
0)1arcsin(lim 0
π
εε=
--=+→
计算
.1
1
2?
-x
dx
？ 33.平面的一般方程0=+++D Cz By Ax 圆柱面2
2
2
R y x =+
椭圆抛物面2
2
y x z += 双曲抛物面)0,0( 22
22>>-=b a b
y a x z
圆锥面2
22y x z +=（二元函数的图像通常为一张曲面） 34.二元函数的相关定义及性质同一元函数相近 35.偏导数同全微分x
y x f y x x f y x f x x ?-?+='→?)
,(),(lim
),(00000
00
y
y x f y y x f y x f y y ?-?+='→?)
,(),(lim
),(00000
00
二阶偏导数),(22y x f x z x z x xx
''=??=??? ?????? ),(22y x f y z
y z y yy ''=??=???? ?????? ),,(2y x f y x z x z y xy ''=???=??? ?????? ),(2y x f x y z
y z x yx
''=???=???
? ??????（混合偏导数） 混合偏导数并不都是都相等的.
如果),(y x f z =得两个二阶混合偏导数y x z ???2x
y z ???2在区域D 内连续，那么有该区域
内这两个二阶混合偏导数必相等。 全微分y B x A dz ?+?=
如果函数),(y x f z =在点),(y x
P 处可微分，则该函数在该点处的偏导数必存在。且函数在
该点处的全微分为y y
z
x x z dz ???+???=
一元函数在某点的导数存=微分存在 多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在
偏导数在某点连续 则在该点处可微(可微的充分条件)
若函数在某点可微分 则在该点偏导数必定存在(可微的必要条件) 例题x
y
z arctan
=的全微分 22y x y x z +-=?? 22y x x y z +=?? 22y x xdy ydx dz ++-= 36. ),(y x u ?=),(y x v ψ=),(y x 点偏导数存在，),(v u f z =在对应点),(v u 可微，则复合函数在),(y x 存在对x y 的偏导数。
x
v v z x u u z x z ????+????=?? y v
v z y u u z y z ????+????=?? 例题v u z ln 2
= y x u =
y x v 23-=求x z ?? y
z
?? =??x z ???u z x u ?????+v z x
v
??31ln 22?+?=v u y v u )23(3)23ln(2222y x y x y x y x -+-=
=??y z ???u z y u ???
??+v z y
v
??)2()(ln 222-?+-?=v u y x v u )23(2)23ln(22222y x y x y x y x ----=
),,(y x u f z =),(y x u ?=即],),,([y x y x u f z =则有
,x
f
x u u f x z ??+?????=?? .y f y u u f y z ??+?????=?? 例题y x u xy u z +=+=2,32求x z ?? y
z ?? y u x
f x u u f x z 322+?=??+?????=??y x y y x 783)2(4+=++= x u y
f y u u f y z 312+?=??+?????=??y x x y x 273)2(2+=++=
设),(v u f z =可微且有)(,)(x v v x u u == 有)](),([x v x u f z =为x 的一元函数
有
dx dv v z dx du u z dx dz ??+??= 例题v
u e z 2-= x u sin = 3x v = 求dx
dz 有
dx
dv v z dx du u z dx dz ??+??=22232cos x e x e v u v u ?-?=--)6(cos 22sin 3x x e x x -=-
一元隐函数求导 设0),(=y x F 确定的一元隐函数为)(x f y =则有0)](,[ ≡x f x F
则有
0=???+??dx dy y F x F 若0≠??y
F
则有z x F F dx dy ''-= 例题0=+-x xe y y
所确定的函数)(x y y =的导数.dx
dy
则有0),(=+-=x xe y y x F y
,1+-=??y e x
F
01≠-=??y xe y F 所以有y
y y y xe e xe e dx dy --=-+--=11
11
0),,(=z y x F 所确定的函数为),(y x f z =（二元隐函数）0)],(,,[ ≡y x z y x F
两侧分别求导
0,0=?????+??=?????+??y z z F y F x z z F x F 若0≠??y
F
则有
z x F F x z
''-=?? z y F F y z '
'-=?? 例题0=-xyz e z
所确定的函数的偏导数 xyz e z y x F z
-=),,(
0,,≠-='-='-='xy e F xz F yz F z z y x 所以有
xy e yz F F x z z z x -=''-=?? xy
e xz
F F y z z z y -=''-=?? 38.设函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极值且在改点处两个一阶偏导数都存在 则必有
,0),(00='y x f x 0),(00='y x f y （极值点也可能不是驻点.）
设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某临域内连续且有一阶及二阶连续偏导数。又有
0),(00='y x f x 0),(00='y x f y 令A y x f xx
=''),(00B y x f xy =''),(00C y x f yy =''),(00 当02
<-AC B 时 该点为极值点（A<0则为极大值点 A>0则为极小值点） 02
>-AC B 时 不为极值点 02
=-AC B 时 不能确定 39.条件极值
求()y x f z ,=在约束条件()0,=y x g 下的极值
构造辅助函数(lagrange 函数) ()()()y x g y x f y x F ,,,,λλ+=（λ为常数）
求()()()()()0
,0,,0
,,=='='+'='='+'='???
y x g F y x g y x f F y x g y x f F y y y x x x λλλ 解方程组 若),,(000λy x 为一解 则),(00y x 是可能的条件极值点（用题中所给条件判定） 40.二重积分
????=D
D
dxdy y x f d y x f ),(),(σ
二重积分的相关性质
????=D
D
d y x f k d y x kf σ
σ),(),(
??±D
d y x g y x f σ)],(),([????±=D
D
d y x g d y x f σσ),(),(
??????+=2
1
),(),(),(D D D
d y x f d y x f d y x f σσσ（区域可加性）
σσσ==?????D
D
d d 1(σ为D 的面积)
若D 上有),,(),(y x g y x f ≤则有
.),(),(????≤D
D
d y x g d y x f σσ
??≤≤D
M d y x f m σσσ),(（Mm 分别为最大值和最小值，σ为D 的面积)
σηξσ?=??),(),(f d y x f
（至少存在一点满足此式）
dy y f(x dx b
a
(x)
(x)
),21????
dx y f(x dy d
c
(y)
(y)
),21?
?
ψψ(x-型先y 后x ，y-型先x 后y)
例题
??
+D
dxdy y x )(2
2 2x y = 2y x =为区域 求面积 )1,1(,)0,0(2
2
????==y
x x y （求两曲线的交点） X-型???≤≤≤≤x y x x 210
??+D
dxdy y x
)(2
2
dx dy y x x
x
])([10
2
2
2
??+=dx y y x x
x 21
032
)3
(?+=
dx x x x x x
?--+=1
06432
)33)((10752
527)21515272(x x x x --+=35
6=
积分区域是圆域或圆域的一部分时 通常用极坐标积分
????=D
D
d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(
例题
dxdy e D
y x
??--2
2
区域D ,222a y x ≤+.0,0≥≥y x
有2
0π
θ≤
≤，a ≤≤ρ0所以有
dxdy e
D
y x ??--2
2??-=a
d e d 0
20
2
ρρθρπ
?-?=
a
d e 0
2
2
ρρπ
ρ
20
)(4
2
ρπ
ρ-?-
=?-d e a
)1(4
2
a e --=
π
41.微分方程 例题 一曲线经过)2,1(，该曲线上任意一点的切线的斜率为x 2，求该曲线方程。 设曲线为)(x f y =
x dx
dy
2=（根据导数的几何意义）即xdx dy 2= 两边积分?
?=xdx dy 2 得C x y +=2
（C 为任意常数）根据点有12
+=x y
一阶微分方程),(y x F y ='或
).,(y x F dx
dy
=高阶微分方程),,,()1()(-???'=n n y y y x F y 微分方程的实质 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 42.可分离变量的微分方程)()(y g x f dx
dy
=（等式右端的函数可分解成x 的函数与y 的函数相乘的形式.）
)()(x Q y x P dx
dy
=+ ,0)(≡x Q 当为其次的。不衡为零时，为非其次的。 （线性指为微分方程仅有y 得一阶导数，且y 和y ’都是一次幂
0)(=+y x P dx
dy
的通解为?
=-dx x P Ce y )( )()(x Q y x P dx
dy
=+的通解为?+?
=-?dx x P dx x P e C dx e x Q y )()(])([ dx e x Q e Ce dx
x P dx x P dx x P ???+?=?--)()()()(
例题 求微分方程x
e
x y y sin cos -=+'的通解
,cos )(x x P =x e x Q sin )(-= ?
?
? ??+???=?--C dx e e e y xdx x xdx cos sin cos ()
?+?=--C dx e e e x x x sin sin sin ()C x e x +=-sin x x Ce xe sin sin --+=
)(x f y ='' 连续两次积分 例题x e y x cos 2-='' 积分一次12sin 2
1
C x e y x +-='
积分两次212cos 4
1C x C x e y x
+++=
()y x f y '='', (),x p y ='设p dx
dp
y '==''则则原方程为()p x f p ,=' 一阶微分方程求解
例题01='-''y x y 求通解 (),x p y ='设p dx dp y '==''则 原方程化为x
p
p ='
分离变量
x
dx p dp = 两边积分x C p C x p 12ln ln ln =+=或)2(1C C = x C y p y 12 ='='代入得将 所以原方程的通解为221C x C y += ()y y f y '='', ),(y p y ='设dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==
''则 ()p y f dy
dp
,p =原方程化为 ()1,C y p y ?=='设其通解为 分离变量并积分，便得原方程的通解为()
?
+=21,C x C y dy
?
例题.2的通解求方程y y y '='' ),(y p y ='设dy
dp p y =''则 代入原方程y p dy dp P 2= 0≠p 若上式化为
y dy p dp = 得1ln ln ln C y p += y C 1p =即y C dx
dy y 1=='∴ 分离变量并积分21ln ln C x C y +=即x
C e C y 12= C y p ==:,0则立即可得若
所以解为x
C e
C y 12=
43.二阶常系数线性微分方程)(x f Cy y B y A =+'+''
二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''Cy y B y A
定理 若函数)(1x y )(2x y 是方程0=+'+''Cy y B y A 的两个解 则有)()(2211x y C x y C y +=也为一解（1C 2C 为任意常数）
若)(1x y )(2x y 是方程0=+'+''Cy y B y A 的两个线性无关的特解)()(2211x y C x y C y +=为通解（1C 2C 为任意常数）线性无关指
≠)
()
(12x y x y 常数
,x e y λ=设代入原方程0)(2=++x e C B A λλλ,0≠x e λΘ
所以有02
=++C B A λλ（特征方程）特征根A
AC B B 2422
,1-±-=λ
讨论042
>-AC B 有两个相异的特征根（前者为﹣后者为﹢） 所以通解为x x
e C e
C y 2121λλ+=
042=-AC B 方程有两个相等的实根 特征根为,221A
B -
==λλ 通解为x
e
x C C y 1)(21λ+=
042<-AC B 方程有一对共轭复根 特征根为,1βαλi +=βαλi -=2
通解为).sin cos (21x C x C e y x
ββα+=
例题 求054=-'-''y y y 满足初始条件1)0(=y 2)0(='y 的特解 特征方程为0542=--λλ 两个实数根5,121=-=λλ 通解为x x
e C e C y 521+=-
求导x x
e C e C y 5215+-='- 根据条件有21,2121==C C 所以特解为x x e e y 52
1
21+=-
高等数学知识点总结 (1)
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
高数知识点总结
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
高等数学上册,必背的知识点,期末考试备考的重点知识
高等数学上册,必背的 知识点,期末考试备考 的重点知识 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
高等数学上册，必背的知识点，期末考试备考的重点知识 东西不多，但都是经典，多了也记不住，是吧。 (14)C x dx x +-=?csc cot csc (15)C x xdx x +=?sec tan sec (16)C x xdx +-=?|cos |ln tan (17)C x xdx +=?|sin |ln cot (18)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec (19)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc (20)C a x a dx x a +=+?arctan 112 2 (21)C a x a x a dx a x ++-=-?||ln 2112 2 (22)C a x dx x a +=-?arcsin 12 2 (23)C a x x a x dx +++=+? )ln(222 2 (24)C a x x a x dx +-+=-?||ln 222 2 用于三角函数有理式积分的变换: 把sin x 、cos x 表成2 tan x 的函数然后作变换2 tan x u = 2 22122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+== =? 2 2 2222112 sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=? 变换后原积分变成了有理函数的积分 二 泰勒多项式 若)(x f 在点x 0处N 阶可导，称
微积分知识点归纳
知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 ：A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37： 定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。 例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则，
lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x arcsin 1=， lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时， x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221 ~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞ ， 其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数） 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77： lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→
高等数学基本知识点大全
高等数学基本知识点
一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1
大学全册高等数学知识点(全)
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
专升本高等数学知识点汇总
专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数
定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。
高数知识点总结(上册)
高数知识点总结（上册） 函数： 绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a-b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法： （1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数： 定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单 值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小） ， 总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的 极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ） 收敛数列的有界性： 定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界 推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： （1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)( 高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π 主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程 高等数学知识点总结 空间解析几何与向量代数 一、重点与难点 1、重点 ①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；（填空选择题中考察） ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；（重积分求体积时画图需要） ④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；（一般必考） ⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）， 两直线的夹角、直线与平面的夹角；（一般必考） 空间解析几何和向量代数： 。 代表平行六面体的体积为锐角时， 向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面： 同号） （、抛物面：、椭球面：二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 30 2),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y m t x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x v v z x u u z x z y x v y x u f z t v v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz - =??-=??=? -?? -??=-==??+??=??+??= ==??? ??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??= ， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ： 多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研高数重要知识点讲解：变限积分求 导 在考研复习的初期，打好基础是学好数学的关键。下面，考研高数重要知识点讲解之变限积分求导，希望能帮助到大家。 数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。特别为广大考生归纳一下高等数学的部分知识点。这次我们介绍的是变限积分求导。 变限积分求导是考研试卷中每年必考的内容，该知识点可以和高等数学中所有内容都可以结合起来考查综合题，重点是考查变限积分函数求导，其基本原理是如下三个公式： 在这三个公式中，被积函数中不含有参数x，而考试的时候经常被积函数中间含有参数x，处理的时候有两种情况，第一种情况是参数x和积分变量t是可以分离;第二种情况参数x 和积分变量t是没法分离的，用定积分的换元法来处理。 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢 高数重点总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导 解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin 高等数学上册知识点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数 )(x f 在0x 连续 ) ()(lim 00 x f x f x x =→ 间断点 第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点) 第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点) 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 : εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 :εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 +-→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2）a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n =∞ → 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' '=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性； 4) 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)1 1(lim )1(lim 1 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 221 ~cos 1x x - c) x e x ~1-,（a x a x ln ~1-） d)x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~ )1(log +） e) x x αα ~1)1(-+ 二、 导数与微分 高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 2 常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法 1．两个准则 准则1．单调有界数列极限一定存在 准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= 第一讲函数，极限，连续性 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就 说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。 ⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A 。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。 ②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作U。 第一讲: 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0 lim ln 0n x x x + →=, 0, x x e x →-∞ ?→?+∞→+∞ ? 高数重要知识点 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) ()(lim （1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 2 常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法 1．两个准则 准则1．单调有界数列极限一定存在 准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 )()!12()1(...!5!3sin )(! ...!3!21121 25332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e 第一章~~第三章 一、极限 数列极限lim n n x ->∞ 函数极限lim ()x f x ->∞ ，lim ()x f x →+∞ ，lim ()x f x →-∞ lim ()x x f x ->，0 lim ()x x f x -->，0 lim ()x x f x +-> 求极限（主要方法）： （１）1 00 sin 1 lim 1,lim(1),lim(1)x x x x x x e x e x x ->->∞->=+=+= （２）等价无穷小替换（P76）。当()0x ?→时， 代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。 （3）洛必达法则（ 000,,0,,0,1,0∞∞?∞∞-∞∞∞），只有0,0∞∞ 可以直接用罗比达法则。 幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =； 或，令()()v x y u x =，两边取对数l n ()l n (y v x u x =，若l i m ()l n ()v x u x a =，则 ()lim ()v x a u x e =。 结合变上限函数求极限。 二、连续 0 0lim ()()x x f x f x ->= 左、右连续 0 00lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->== 函数连续?函数既左连续又右连续 闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。 三、导数 0 000000()()()() '()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x ->->-+-==- 左导数 0 000000()()()() '()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - - -->->-+-==-考研高等数学知识点总结
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