二次函数系数的意义讲义
二次函数系数的意义讲义
一．【知识点拨】
(1)a,b,,c 符号判别
二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0） 中a 、b 、c 的符号判别：
①a 的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a ＞0；当开口向下时，a ＜0；
②c 的符号判别由与Y 轴的交点来确定：若交点在X 轴的上方，则c ＞0；若交点在X 轴的下方，则C ＜0；
③b 的符号由对称轴来确定：对称轴在Y 轴的左侧，则a 、b 同号；若对称轴在Y 轴的右侧，则a 、b 异号；
（2）抛物线与x 轴交点个数
①Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。这两点间的距离：
()
()a a ac b a
c a b x x x x x x x x AB ?
=-=-??? ??-=--=-=-=4442
2
212
212
2121
②Δ= b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。 顶点在x 轴上。 ③Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。 （3）二次函数图像的特殊情况：
①二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与X 轴只有一个交点或二次函数的顶点在X 轴上，则Δ=b 2-4ac=0；
②二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在Y 轴上或二次函数的图象关于Y 轴对称，则b=0；
③二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则c=0； (4)平移、平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，
； 教师寄语：
钉子有两个长处：一个是“挤”劲，一个是“钻”劲。我们在学习上，也要提倡这种“钉子”精神，善于挤和钻。
②左加右减，上加下减
（5）用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式：c bx ax y ++=2
。已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。 ②顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
③交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：
()()21x x x x a y --=。
(6)应注意的特殊值：x=1 ? y=a+b+c; x=-1 ? y=a-b+c. X=2 ? y=4a+2b+c; x=-2 ? y=4a-2b+c X=3 ? y=9a+3b+c; x=-3 ? y=9a-3b+c
二【知识点分类精练】
考点1：通过抛物线的位置判断?,,,c b a 的符号．
（1）a 决定抛物线的开口方向：?>0a ； ?<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置， 0>c ?抛物线交y 轴于 ；
0 （3）ab 决定抛物线对称轴的位置， 当b a ,同号时?对称轴在y 轴 ；0=b ?对称轴为 ；b a ,异号?对称轴在y 轴 ，简称为 ． （4）b 2-4ac 决定抛物线与x 轴交点的个数,当042 >-ac b 时，抛物线与x 轴有 交点；当042=-ac b 时，抛物线与x 轴有 交点；当042 <-ac b 时，抛物线与x 轴有 交点． 例1.看图填空 （1）a ＋b ＋c_______0 （2）a －b ＋c_______0 （3）2a －b _______0 （4）4a＋2b＋c_______0 例2．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号 y 【熟能生巧】： 1、（2011?重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（） A、a＞0 B、b＜0 C、 B、c＜0 D、a+b+c＞0 2、（2011?雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（） A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤ 3、（2011?孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（） A、1 B、2 C、3 D、4 4、（2011?山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（） A、ac＞0 B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 5、（2011?泸州）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0，②b2-4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中 正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 考点2：通过?,,,c b a 的符号判断抛物线的位置： 例1．若0,0,0<> 例2．若0,0,0,0>?>>>c b a ，那么抛物线c bx ax y ++=2 经过 象限． 例3.已知二次函数c bx ax y ++=2且0,0>+- 【课堂练习】 1．若抛物线c bx ax y ++=2 开口向上，则直线3+=ax y 经过 象限． 2．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列条件不正确的是( ) A 、0,0,0<> <-ac b C 、0<++c b a D 、0>+-c b a 3．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则点?? ? ??-+b ac ac b b a ,42 在．（ ） O y x A O y x B O y x O y x D O x y A 、第一象限 B 第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 4．二次函数c bx ax y ++=2 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是( ) 5．二次函数c bx ax y ++=2 ()0≠a 的图象，如图，下列结论①0 024>++c b a ④()2 2 b c a <+其中正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 考点3：二次函数的图像的平移 二次函数的平移大致分为两类，即为上下平移和左右平移。 （1） 上下平移 若原函数为c bx ax y ++=2 ???-++=+++=m c bx ax y m m c bx ax y m 2 2为个单位，则平移后函数 向下平移为个单位，则平移后函数向上平移 简称为：上加下减，或者上正下负。 （2） 左右平移 若原函数为c bx ax y ++=2 ，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式 k h x a y +-=2)(然后再进行相应的变形 ? ??+--=++-=k n h x a y n k n h x a y n 2 2)()(数为个单位，则平移后的函若向右平移了数为个单位，则平移后的函若向左平移了 简称为：左加右减，或者左正右负。 x B C D 例：（2010年兰州） 抛物线c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位 ，所得图像的解析式为322 --=x x y ，则b 、c 的值为 （ ） A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=2 【小试牛刀】： 1.二次函数1)3(22 -+-=x y 由1)1(22 +--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到。 2、抛物线3)2(32 -+=x y 可由抛物线2)2(32 ++=x y 向 平移 个单位得到． 3、将抛物线5)3(5 3 2+-= x y 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 4.把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________ 5、抛物线y ＝x 2－5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式 6、在平面直角坐标系中，将二次函数2 2x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 A ．222-=x y B ．222 +=x y C ．2)2(2-=x y D ．2 )2(2+=x y 7、将抛物线2 2y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．2 2(1)y x =+ B ．2 2(1)y x =- C ．2 21y x =+ D ．2 21y x =- 8、将函数2 y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位，得到函数2 32y x x =-+的图象， 则a 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9、把抛物线2 y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析 式为 A ．2 (1)3y x =--- B ．2 (1)3y x =-+- C ．2 (1)3y x =--+ D ．2 (1)3y x =-++ 考点4：二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 【轻车熟路】： 1.已知抛物线与X 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式； 2.已知抛物线通过三点（1，0），（0，-2），（2，3）求此抛物线的解析式 3.抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y 最大值=4，求此抛物线的解析式； 三【过关检测】 1.（2011?兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（） A、2个 B、3个 C、4个 D、1个 2．（2011?鸡西）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2-4ac ＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 3.（2010?梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（） A、ac＜0 B、a-b+c＞0 C、b=-4a D、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=5 4.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋c =2； 2 1 > a ③；④ b ＜1．其中正确的结论是( ) A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 5.如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y ＝a （x －m ）2＋n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为－3，则点D 的横坐标最大值为（ ） A ．－3 B ．1 C ．5 D ．8 6.若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在x 轴上，则b 的值为______ 若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在y 轴上，则b 的值为______ 7.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是_________． 8.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2 ）和（1,0 ），且与y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1．其中正确的结论 有___ ______． 9.已知一个二次函数的图象是由抛物线2 2x y =沿y 轴方向平移得到的，当1-=x 时， 4=y 。求（1）此抛物线的解析式； （2）当x 为何值时，y 随x 的增大而减少。 1 - 10.已知抛物线上两点（-1，Q)和（3，Q)。且无论x 取何值，函数值都不会超过4，与X 轴的一个交点的横坐标是4，求此抛物线的解析式； 四【课外作业】 1、（2009黄石）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列 结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 2、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（ ） ①a+b+c ＜0；②a-b+c ＞0；③abc ＞0；④b=2a 3.（2010?天津）已知二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①b2-4ac ＞0；②abc ＞0；③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0 其中，正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4.（2011湖南湘潭市，8，3分）在同一坐标系中，一次函数1+=ax y 与二次函数a x y +=2 的图像可能是 5.在平面直角坐标系中，先将抛物线2 2y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ．2 2y x x =--+ B ．2 2y x x =-+- c.2 2y x x =-++ D ．2 2y x x =++ 6.（2004?黄冈）在直角坐标系XOY 中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点的坐标分别为A （5，0），B （0，4），C （-1，0）．点M 和点N 在x 轴上（点M 在点N 的左边），点N 在原点的右边，作MP ⊥BN ，垂足为P （点P 在线段BN 上，且点P 与点B 不重合），直线MP 与y 轴相交于点G ，MG=BN ． （1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式； （2）求点M 的坐标； （3）设ON=t ，△MOG 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；