第三章 不等式单元教学计划

第三章不等式单元教学计划

一．单元教学目标：

1.知识与技能

(1)经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程.

(2)通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系.

(3)会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.

(4)了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解、最优解等概念，能根据约束条件建立线性目标函数.了解并初步应用线性规划的图解法解决一些实际问题．

(5) 理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.探究了解基本不等式的证明过程,会用多种方法证明基本不等式.理解基本不等式的意义,并掌握基本不等式中取等号的条件.

2.过程与方法

（1）由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，让学生深刻理解一元二次不等式的概念和解法.

（2）由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域.

（3）让学生进一步体会基本不等式的重要性，进一步领悟不等式证明的基本思路、方法.

3．情感、态度与价值观

(1)通过对一元二次不等式概念和解法的学习，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.

(2)通过二元一次不等式(组)表示平面区域的探索，培养学生识图、画图的观察能力和联想能力，进一步巩固数形结合、分类讨论、化归的数学思想，以及由具体到抽象、由特殊到一般的推理方法．

(3)通过探索基本不等式的证明过程，培养探索、研究精神.

(4)通过对基本不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯.

二．重点与难点

重点一元二次不等式的解法，二元一次不等式及不等式组表示的平面区域的画法及最值问题，基本不等式求最值问题

难点：不等式的性质与证明，基本不等式求最值问题

三．课时分配

本章教学时间约需16课时，具体分配如下（仅供参考）：

1不等式的基本性质约2课时

2一元二次不等式的解法约4课时

3二元一次不等式及不等式组表示的区域画法约3课时

4最优解问题约2课时

5基本不等式及其应用约3课时

6不等式的证明（拓展内容）约2课时

四．教法学法与教学准备

1.不等式的基本性质这一节建议安排复习一元一次不等式和不等式组的解法，补充含字母系数的不等式解法。另外不等式的区间表示建议在复习一元一次不等式和不等式组的解法时介绍给学生。

2.教学中要对一元二次不等式多辨析。如，mx2+m(m-2)x+3>0是什么不等式？学生往往误以为是二次不等式。对二次不等式的解法要突出数形结合的思想方法，让学生感悟到二次函数，二次方程和二次不等式之间的联系。对于其他不等式的解法着重让学生领悟解不等式与解方程的区别与联系，可以从命题，充分条件，必要条件等角度进行分析。重视应用题的教学。数学知识从实际问题中来，而后应用于实际问题。这是本教材的一大特色。如，一元二次不等式概念的引入，不等式应用题举例和探究与实践等。本小节是先通过实际问题----刹车距离，给出了一元二次不等式的定义。接着研究一个较简单的一元二次不等式的解。这个不等式的解，教材上给出了两种方法。实践表明，第一种方法学生是可以自己想到的，教学中可以让学生思考作答，教师不必讲太多。第二种方法学生一般是想不到的，教师可以从研究已学过的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，在学生初步了解它们之间具有内在联系的基础上，再通过利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法.这部分内容的主要基础是一元二次方程和二次函数，它作为高中数学的重要基础知识和基本基本技能，对今后大量的运算和推理将起到至关重要的作用.本小节的目的要求是掌握一元二次不等式的解法.要掌握一元二次不等式的解法，主要就是要掌握利用二次函数图象寻找一元二次不等式解集的方法，而这又需先了解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.而要建立这三者之间的联系，则需要学生能利用数形结合的思想去分析和思考，这无疑将成为学生学习本节内容的最大困难.解决这一困难，一方面可在初中已初步建立起的方程与函数思想的基础上，先建立已学过的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，再建立一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；另一方面可让学生在图形计算器或计算机上直观地看到，函数图象与方程的解、不等式的解集之间的关系

3.两个正数的算术平均数与几何平均数的定理及其证明，此定理在解决数学问题和实际问题中的应用.在公式a2＋b2≥2ab以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：

⑴a2＋b2≥2ab和≥成立的条件是不同的，前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数。

⑵这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘＝’号”这句话的含义要搞清楚.教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：

当a＝b时取等号，其含义就是a＝b时，这两个不等式可以取等号；仅当a＝b 时取等号，其含义就是这两个不等式取等号时，a＝b一定成立。

综合起来，其含义就是：a＝b是这两个不等式取等号的充要条件。

(3)当用基本不等式证明不等式时（教材的例2，3，4），应该使学生认识到，它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。

(4）利用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系，我们可以求某些非二次函数的最大值、最小值。（教材的例1，5）

在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时，应该使学生注意以下两点：

⑴函数式中，各项（必要时，还要考虑常数项）必须都是正数。

⑵函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值.

以上两点都是学生容易疏忽的地方，必须予以注意.

(3）探究与实践。这个内容是本教材的一大特色，教师应利用这个内容引导学生进行探究性学习。这里的课题是----最大容积问题。教师可以让学生动动手，再借助图形计算器进行猜测，证明。通过课题的研究，并不是要学生学会三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个不等式及其应用，重点是培养学生的探究创新能力。对于不等式的证明这部分拓展内容的教学建议还是要教的，但要控制难度，绝对不要超出课本的难度。信息技术在不等式这部分内容的教学中可以发挥一定的辅助作用，教师应该恰当运用信息技术搞好与数学教学的整合.