杭州市育才中学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》检测(答案解析)

一、选择题

1．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m 高的天桥两端分别修建了50m 长的斜道．用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）

A ．sin0.2=

B ．2ndF sin0.2=

C ．tan0.2=

D ．2ndF tan0.2=

2．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，延长PO 交⊙O 于点C ，若

60APB ∠=?，6PC =，则AC 的长为（ ）

A ．4

B ．22

C ．23

D ．33

3．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，则sin ∠BOD 的值等于（ ）

A ．1010

B ．310

C ．2105

D ．105

4．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，做BD 的垂直平分线E ，F ，分别与AD 、BC 交于点E 、F ，连接BE ，DF ，若EF =AE +FC ，则边BC 的长为（ ）

A ．3

B ．33

C ．63

D 932 5．如图，半径为5的O 中， OA BC ⊥，30ADC ∠=?，则BC 的长为（ ）

A．52B．53C．5

2

2

D．

5

3

2

6．一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为3

4

，考虑安全问题，现要

求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（）

A．3

4

m B．

1

3

m C．

2

3

m D．

1

2

m

7．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）

A．BD

BC

B．

BC

AB

C．

AD

AC

D．

CD

AC

8．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（）

A ．()3,3

B ．()3,1

C ．()2,1

D ．()2,3 9．如图，在Rt ABC ?中，BC=4，AC=3，90C ∠=?，则sinB 的值为（ ）

A ．45

B ．34

C ．35

D ．43

10．西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB 表示，小李站在C 点测得∠BCA ＝45°，小李从C 点走4米到达了斜坡DE 的底端D 点，并测得∠CDE ＝150°，从D 点上斜坡走了8米到达E 点，测得∠AED ＝60°，B ，C ，D 在同一水平线上，A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，则大树AB 的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

A ．24.3

B ．24.4

C ．20.3

D ．20.4

11．如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S 、2S 、3S ；如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外半圆，面积分别为4S 、5S 、6S ．其中116S =，245S =，511S =，614S =，则34S S +=（ ）

A ．86

B ．64

C ．54

D ．48 12．在半径为1的O 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45

二、填空题

13．计算：02cos 45|13|(3)π?+---＝_____．

14．如图，河宽CD 为1003米，在C 处测得对岸A 点在C 点南偏西30°方向、对岸B 点在C 点南偏东45°方向，则A 、B 两点间的距离是_____米．（结果保留根号）

15．如图，在ABC ?中，AB=AC=10，3tan 4

B =，点D 为B

C 边上的动点（点

D 不与点B ，C 重合），以D 为顶点作AD

E B ∠=∠，射线DE 交AC 边于点E ，若BD=4，则AE= __________．

16．如图所示，ABO 中，AB OB ⊥，OA=2，AB=1，把ABO 绕点O 旋转150°后得到11A B O ，则点1A 的坐标为_______

17．三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，则CD 的

长度是_____.

18．已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,3A ，且抛物线上任意不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y -->；当120x x <<时，()()12120x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，ABC ?有一个内角为60?，则抛物线的解析式为______． 19．在△ABC 中，若()21cos 1tan 02

A B -+-=，则∠C=____________． 20．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为4，那么此直角三角形斜边上的的高是________． 三、解答题

21．我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1：1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：2=1.414，3=1.732）

22．如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高.

23．计算：2

40111260(5)2π-???-++- ???

. 24．如图所示，ABC 中，45B ∠=?，30C ∠=?，22AB =BC 的长．

25．解答下列各题：

（1）计算：(1012sin 6032202032-???+-+ ???． （2）解方程：

21133x x x

-=--． 26．计算或解方程： （111754640.583? ? （2360245cos 60?+?-?

（3）2430x x -+=

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【分析】 先利用正弦的定义得到10sin 0.250A =

=，然后利用计算器求锐角∠A ． 【详解】

∵ 10sin 0.250

A ==， ∴ 用计算器求值的顺序为20.2ndFsin =，

故选：B ．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数及计算器的应用，掌握科学计算器的应用是解决本题的关键． 2．C

解析：C

【分析】

如图，设CP 交⊙O 于点D ，连接OA 、AD ．由切线的性质易证△AOP 是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径=2；然后在等边△AOD 中得到AD=OA=2；最后通过解

直角△ACD 来求AC 的长度．

【详解】

解：如图，设CP 交⊙O 于点D ，连接OA 、AD ．设⊙O 的半径为r ．

∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∠APB=60°，

∴OA ⊥AP ，∠APO=12∠APB=30°． ∴OP=2OA ，∠AOP=60°，

∴PC=2OA+OC=3r=6，则r=2，

易证△AOD 是等边三角形，则AD=OA=2，

又∵CD 是直径，

∴∠CAD=90°，

∴∠ACD=30°，

∴AC=

tan 30?

AD =23 故选：C ．

【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．

3．B

解析：B

【分析】

根据平行线的性质和锐角三角函数定义以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin ∠BOD 的值，本题得以解决．

【详解】

解：连接AE 、EF ，如图所示，

则AE ∥CD ，

∴∠FAE=∠BOD ，

∵每个小正方形的边长为1，

则222222112,2425,3332,AE AF EF =+==+==+=

∴△FAE 是直角三角形，∠FEA=90°，

∴sin

EF FAE AF ∠=

==

∴sin BOD ∠=

故选：B ．

【点睛】

本题考查了解直角三角形、锐角三角函数定义、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 4．B

解析：B

【分析】

根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF 是菱形，所以可求出BE ，AE ，进而可求出BC 的长．

【详解】

解：∵四边形ABCD 是矩形，

//,DE BF ∴

,,DEO BFO EDO FBO ∴∠=∠∠=∠ EF 垂直平分BD ，

OB OD ∴=，

BOF DOE ∴??≌，

,OE OF ∴=

∴ 四边形BEDF 是菱形，

∵四边形ABCD 是矩形，四边形BEDF 是菱形，

∴∠A=90°，AD=BC ，DE=BF ，OE=OF ，EF ⊥BD ，∠EBO=FBO ，

∴AE=FC ．又EF=AE+FC ，

∴EF=2AE=2CF ，

又EF=2OE=2OF ，AE=OE ，

∴△ABE ≌OBE ， ∴∠ABE=∠OBE ，

∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，

∴BE= cos30BO ?＝

∴BF=BE=

∴

∴BC=BF+CF=

故选B ．

【点睛】

本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°．

5．B

解析：B

【分析】

连接OC，设BC与OA交于点E，根据圆周角定理即可求出∠AOC，然后根据垂径定理可得BC=2CE，利用锐角三角函数求出CE，即可求出结论．

【详解】

解：连接OC，设BC与OA交于点E

∵30

ADC

∠=?

∴∠AOC=2∠ADC=60°

∵OA BC

⊥

∴BC=2CE，

在Rt△OCE中，CE=OC·sin∠5

3 2

∴BC=53

故选B．

【点睛】

此题考查的是圆周角定理、垂径定理和锐角三角函数，掌握圆周角定理、垂径定理和锐角三角函数是解题关键．

6．D

解析：D

【分析】

设AC＝3k，BC＝4k，根据勾股定理得到AB22

AC BC

+5k＝5，求得AC＝3m，BC＝4m，根据直角三角形的性质健康得到结论．

【详解】

解：如图，∵梯子倾斜角α的正切值为3

4

，

∴设AC＝3k，BC＝4k，

∴AB＝22

AC BC

＝5k＝5，∴k＝1，

∴AC＝3m，BC＝4m，

∵A′B′＝AB＝5，∠A′B′C＝30°，

∴A′C＝1

2A′B′＝

5

2

，

∴AA′＝AC﹣A′C＝3﹣5

2＝

1

2

m，

故梯子下滑的距离AA'的长度是1

2 m，

故选：D．

【点睛】

本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型．

7．C

解析：C

【分析】

利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】

解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，

∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，

∴∠α＝∠ACD，

∴cosα＝cos∠ACD＝BD

BC ＝

BC

AB

＝

DC

AC

，

只有选项C错误，符合题意．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．

8．B

解析：B

【分析】

根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据

勾股定理可得OB 的值，进而可得点A 的坐标．

【详解】

解：如图，过A 点作AD x ⊥轴于D 点，

Rt OAB ?的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30．

30AOD ∴∠=?，

12

AD OA ∴=， C 为OA 的中点，

1AD AC OC BC ∴====，

2OA ∴=，

3OD ∴=，

则点A 的坐标为：(31)．

故选：B ．

【点睛】

本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．

9．C

解析：C

【分析】

由勾股定理求出AB 的长度，即可求出sinB 的值．

【详解】

解：在Rt ABC ?中，BC=4，AC=3，90C ∠=?， ∴22345AB +=， ∴35

AC sinB AB =

=， 故选：C ．

【点睛】 本题考查了求角的正弦值，以及勾股定理，解题的关键是正确求出AB 的值．

10．B

解析：B

【分析】

过E 作EG ⊥AB 于G ，EF ⊥BD 于F ，则BG=EF ，EG=BF ，求得∠EDF=30°，根据直角三角形

的性质得到EF=12DE=4，DF=43，得到CF=CD+DF=4+43，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．

【详解】

过E 作EG ⊥AB 于G ，EF ⊥BD 于F ，

则BG ＝EF ，EG ＝BF ，

∵∠CDE ＝150°，

∴∠EDF ＝30°，

∵DE ＝8，

∴EF ＝12

DE ＝4，DF ＝43， ∴CF ＝CD +DF ＝4+43，

∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝45°，

∴AB ＝BC ，

∴GE ＝BF ＝AB +4+43，AG ＝AB ﹣4，

∵∠AED ＝60°，∠GED ＝∠EDF ＝30°，

∴∠AEG ＝30°，

∴tan30°＝3443AG GE AB ==++ ， 解得：AB ＝14+63≈24.4，

故选：B ．

【点睛】

此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意作出辅助线是解题的关键． 11．C

解析：C

【分析】

分别用AC ，AB 和BC 表示出123,,S S S ，然后根据222BC AB AC =-即可得出123,,S S S 的关系．同理，得出456,,S S S 的关系，从而可得答案．

【详解】

解：如图，1S 对应ACD ?的面积，过D 作DH AC ⊥于H ，

ACD ?为等边三角形，

160,,,2DAC AH CH AC AD AC ∴∠=?==

= sin 60,DH AD ∴?=

33,22DH AD AC ∴=

= 2113,24

S AC DH AC ∴=?=

同理：222333,,S BC S AB == ∵222BC AB AC =-， ∴213,S S S -=

如图2，同理可得：456S S S =+，

∴3421564516111454.S S S S S S +=-++=-++=

故选：C ．

【点睛】

本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．锐角三角函数等知识点，其中勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．

12．C

解析：C

【分析】

根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．

【详解】

利用垂径定理可知：AD=32

AE=

，．

sin∠3

∴∠AOD=60°；

sin∠2

，∴∠AOE=45°；

∴∠BAC=75°．

当两弦共弧的时候就是15°．

故选：C．

【点睛】

此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.

二、填空题

13．﹣1【分析】原式利用特殊角的三角函数值绝对值的代数意义以及零指数幂法则计算即可得到结果【详解】解：原式＝＝故答案为：﹣1【点睛】此题考查了实数的运算特殊角的三角函数值以及零指数幂熟练掌握运算法则是解31

【分析】

原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果．

【详解】

2

2311

-

31

31

【点睛】

此题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值,以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14．100+100【分析】根据正切的定义求出AD根据等腰直角三角形的性质求出BD进而得到AB的长【详解】在Rt△ACD中tan∠ACD＝则AD＝CD×tan∠ACD＝100×＝100（米）在Rt△CDB

解析：100+1003

【分析】

根据正切的定义求出AD，根据等腰直角三角形的性质求出BD，进而得到AB的长．【详解】

在Rt△ACD中，tan∠ACD＝AD CD

，

则AD＝CD×tan∠ACD＝1003×

3

3

＝100（米），

在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，

∴BD＝CD＝1003（米），

∴AB＝AD+BD＝（100+1003）米，

故答案为：（100+1003）．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用?方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

15．【分析】先求出CD的长再证明△ABD∽△DCE得代入即可求解【详解】解：如图1作AH⊥BC于

H∵∴∴BH=ABcosB=10×=8∵AB=AC∴BC=2BH=16∠B=∠C∴CD=16-4=12∵∠

解析：26 5

【分析】

先求出CD的长，再证明△ABD∽△DCE，得CE CD

BD AB

=，代入即可求解.

【详解】

解：如图1，作AH⊥BC于H，

∵3

tan

4

B=

∴cos4

5

B=

∴BH=ABcosB=10×4

5

=8，

∵AB=AC，

∴BC=2BH=16，∠B=∠C，

∴CD=16-4=12，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B ，

∵∠ADE=∠B ，

∴∠EDC=∠BAD ，

∴△ABD ∽△DCE ， ∴

CE CD BD AB =， ∴12410

CE =， ∴245

CE =. ∴26105AE CE =-=

故答案是：

265

. 【点睛】 本题考查的是三角形综合题，涉及到三角形相似、解直角三角形，等腰三角形的性质等． 16．或(-20)【分析】需要分类讨论：在把绕点顺时针旋转和逆时针旋转后得到时点的坐标【详解】解：中∴如图1当绕点顺时针旋转后得到△过作轴交于点则则可得：即有因为在第三象限则的坐标是；如图2当绕点逆时针旋

解析：(1,-或(-2，0)

【分析】

需要分类讨论：在把ABO 绕点O 顺时针旋转150?和逆时针旋转150?后得到11A B O 时点1A 的坐标．

【详解】

解：ABO ?中，AB OB ⊥，2OA =，1AB =， ∴sin 21OB AOB OA ∠=

=， 30AOB ∴∠=?．

如图1，当ABO ?绕点O 顺时针旋转150?后得到△11A B O ，

过1A 作1

AC y ⊥轴交于C 点

则1

150150309030AOC AOB BOC ∠=?-∠-∠=?-?-?=?， 则可得：111

AOB AOB AOC ?? 即有2222213OC OB OA AB ==-=-=，

1

1AC AB == 因为1A 在第三象限，则1A 的坐标是(1,3)--；

如图2，当ABO ?绕点O 逆时针旋转150?后得到△11A B O ，

则1

150********AOB AOB ∠=?+∠=?+?=?， 即1A 在x 轴上，并有：12OA OAB ==，

因为1A 在第二象限，则1A 的坐标是(2,0)-；

综上所述，点1A 的坐标为(1,3)-或(2,0)-．

故答案是：(1,3)-或(2,0)-．

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化-旋转．能进行分类讨论，是解题的关键．

17．15﹣5【分析】过点B 作BM ⊥FD 于点M 根据题意可求出BC 的长度然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝45°进而可得出答案【详解】过点B 作BM ⊥FD 于点M 在△ACB 中∠ACB ＝90°∠A ＝60°AC ＝10

解析：15﹣3

【分析】

过点B 作BM ⊥FD 于点M ，根据题意可求出BC 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝45°，进而可得出答案.

【详解】

过点B 作BM ⊥FD 于点M ，

在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝10，

∴∠ABC ＝30°，BC ＝10×tan60°＝3

∵AB ∥CF ，

∴∠BCM=∠ABC=30°，

∴BM ＝BC×sin30°＝11032

＝3 CM ＝BC×cos30°＝15，

在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝45°，

∴∠EDF ＝45°，

∴MD ＝BM ＝3

∴CD ＝CM ﹣MD ＝15﹣3

故答案是：15﹣3

【点睛】

本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键. 18．【分析】由A 的坐标确定出c 的值根据已知不等式判断出y1-y2＜0可得出抛物线的增减性确定出抛物线对称轴为y 轴且开口向下求出b 的值如图1所示可得三角形ABC 为等边三角形确定出B 的坐标代入抛物线解析式即 解析：2233

=-+y x 【分析】

由A 的坐标确定出c 的值，根据已知不等式判断出y 1-y 2＜0，可得出抛物线的增减性，确定出抛物线对称轴为y 轴，且开口向下，求出b 的值，如图1所示，可得三角形ABC 为等边三角形，确定出B 的坐标，代入抛物线解析式即可．

【详解】

解：∵抛物线过点A （0，3），

∴c=3，

当x 1＜x 2＜0时，x 1-x 2＜0，由（x 1-x 2）（y 1-y 2）＞0，得到y 1-y 2＜0，

∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，

同理当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，

∴抛物线的对称轴为y 轴，且开口向下，即b=0，

∵以O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，如图所示，

∴△ABC 为等腰三角形，

∵△ABC 中有一个角为60°，

∴△ABC 为等边三角形，且OC=OA=3，

设线段BC 与y 轴的交点为点D ，则有BD=CD ，且∠OBD=30°，

333cos30sin 302??∴=?=

=?=BD OB OD OB ∵B 在C 的左侧，

∴B 的坐标为333,22??-- ? ???

∵B 点在抛物线上，且c=3，b=0，

327432

∴+=-a 解得：23

a =- 则抛物线解析式为2233=-

+y x 故答案为: 2233

=-

+y x ． 【点睛】 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

19．75°【分析】根据非负数性质得根据三角函数定义求出∠A=60°∠B=45°根据三角形内角和定理可得【详解】因为所以所以所以∠A=60°∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75

解析：75°

【分析】 根据非负数性质得1cos 0,1tan 02

A B -

=-=，根据三角函数定义求出∠A=60°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得.

【详解】

因为()21cos 1tan 02A B -

+-= 所以1cos 0,1tan 02A B -=-= 所以1cos ,tan 12

A B == 所以∠A=60°，∠B=45°

所以∠C=180°-∠A-∠B=75°

故答案为：75°

【点睛】

考核知识点：特殊锐角三角函数．熟记特殊锐角三角函数值是关键．

20．【分析】由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出30°角对应的直角边再由勾股定理可知求出另一直角边进而求出斜边上的高【详解】解：如下图所示BC=4∠B=30°∠C=60°由直角三角形中

解析：3

【分析】

由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出30°角对应的直角边，再由勾股定理可知求出另一直角边，进而求出斜边上的高.

【详解】

解：如下图所示，

BC=4，∠B=30°，∠C=60°

由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半知：AC=

12BC=2 由勾股定理知：2222=422 3.-=-=AB BC AC

在Rt △ABH 中，AH=

12

3. 3

【点睛】

本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等相关知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.