三重积分概念及其计算

§5 三重积分

教学目的 掌握三重积分的定义和性质．

教学内容 三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换． 基本要求 掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变

换和球面坐标变换计算三重积分的方法．

教学建议 (1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可

积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较．

(2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题．

一、三重积分的概念

背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，

利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．

定义1 设()z y x f ,,是定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于V 的任何分割T ，当它的细度δ

所有积分和都有

ε

σζ

ηξ<-?∑=J f N

i i i

i

i

1

),,(,

则称()z y x f ,,在V 上可积，数J 称为函数()z y x f ,,在V 上的三重积分，记作

J =

()???V

dvdydz

z y x f ,,，

其中()z y x f ,,称为三重积分的被积函数，z y x ,,称为积分变量，称为V 积分区域．

可积函数类

（ⅰ）有界闭区域V 上的连续函数必可积.

（ⅱ）有界闭区域V 上的有界函数()z y x f ,,的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，

则()z y x f ,,必在V 上可积.

二、化三重积分为累次积分

定理21.15 若函数()z y x f ,,在长方体V =[][][]f e d c b a ,,,??上的三重积分存在，且对任何x ∈[]b a ,，二重积分

()x I =()dydz z y x f D

??,,

存在，其中D =[][]f e d c ,,?，则积分

?b

a

dx ()??D

d z y x f σ

,,

也存在，且

()???V

dxdydz z y x f ,,=?b

a

dx ()??D

d z y x f σ

,,. (1)

为了方便有时也可采用其他的计算顺序．若简单区域V 由集合

()()()()(){}

b x a x y y x y y x z z y x z z y x V ≤≤≤≤≤≤=,,,,,,2121

所确定，V 在xy 平面上的投影区域为

D =()()(){

}b x a x y y x y y x ≤≤≤≤,,21 是一个x 型区域，设()z y x f ,,在上连续，

()y x z ,1，()y x z ,2在D 上连续，()x y 1，()x y 2上[]b a ,连续，则

()???V

dxdydz z y x f ,,=

()()???D

z y

x z dz z y x f dxdy 21,,,=()()()()

???b a

x y x y z y

x z dz

z y x f dy dx 212

1,,,，

其他简单区域类似．

一般区域V 上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算．

例1

计算

???+V

dxdydz y x 221

，其中V 为由

平面x y z x x ====,0,2,1,y z =所围的区域.

例2 求??????? ??++V dxdydz

c z b y a x 222222，其中V 为

222

222

1x y z a b c ++≤. 例3改变下列累次积分顺序

1

10

(,,)x

x y

dx dy f x y z dz --?

?

?

三、三重积分换元法

设变换T ：()w v u x x ,,=，()w v u y y ,,=，()w v u z z ,,=把uvw 空间中的区域V '一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数()w v u x x ,,=，()w v u y y ,,=，()w v u z z ,,=及它的偏导数在区域V '内连续且行列式

()w v u J ,,=x x x u

v w y

y y u v w z z z u

v w

??????????????????≠

0 , ()w v u ,,∈V ', 则

()???V

dxdydz z y x f ,,=

()()()()()???'

V dudvdw

w v u J w v u z w v u y w v u x f ,,,,,,,,,,，（4）

其中()z y x f ,,在V 上可积． （一）、柱面坐标变换：如下图所示

变换T ：???

??+∞<<∞-=≤≤=+∞

<≤=z z z r y t r x ,20,sin 0,cos πθθθ，

()z r J ,θ=

10

0cos sin 0sin cos θθ

θθr r -=r

，

按（4）式

()???V

dxdydz z y x f ,,=

()???'

V dz

rdrd z r r f θθθ,sin ,cos ，

这里V '为V 在柱面坐标变换下的原象．

在柱面坐标中：r =常数，是以z 轴为中心轴的圆柱面； θ=常数，是过z 轴的半平面； z =常数，是垂直于z 轴的平面． 若V 在平面上的投影区域D ，即V =

()()()(){}D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤,,,,,,2

1

时

()???V

dxdydz z y x f ,,=

()()()

dz

z y x f dxdy D

y x z y

x z ???,,21,,，

其中二重积分部分应用极坐标计算．

例4 计算()???+V

dxdydz

y x

22

，其中V 是由曲面

()z y x =+222与4=z 为界面的区域． 例5 计算

,V

zdxdydz V ???

由2224x y z ++=和抛物面

223x y z +=围成。

例6计算22,V

x y dxdydz V +???

由222x y z +=和1z =围

成。

（二）、球坐标变换

变换T ：

??

?

??≤≤=≤≤=+∞

<≤=π??πθθ?θ?0,cos 20,sin sin 0,cos sin r z r y t r x ，

()θ?,,r J =

sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin ?

?

θ

?θ?θ

?θ?θ?θ?r r r r r ---=?sin 2

r ，

变换公式为：

()???V dxdydz

z y x f ,,=

()θ

???θ?θ?d drd r

r r r f V sin cos ,sin sin ,cos sin 2

???'

在球面坐标中：

r =常数，是以原点为中心的球面

θ=常数，是过z 轴的半平面．

?=常数，是以原点为顶点，以z 轴为中心轴的圆锥面．

当

()()()(){}

βθαθ??θ?θ?θ?≤≤≤≤≤≤=',,,,,2121r r r r V 时,

()???

V

dxdydz

z y x f ,,=

()()

()

()()

dr

r r r r f d d r r ??θ?θ??θθ?θ?θ?θ?θθsin cos ,sin sin ,cos sin 2

,,

21

21

2

1

??? .

例7 求由圆锥体βcot 22y x z +≥和球体()2222a a z y x ≤-++所确定的立体体

积，其中

?

??

?

?∈2,0πβ和0>a 为常数．

解 球面方程()2

2

22a a z y x =-++在球坐标系下表

示为?cos 2a r =，圆锥面

βcot 22y x z +=在球坐标系下表示为β?=，

(){

}πθβ??θ?20,0,cos 20,,≤≤≤≤≤≤='a r r V

???V dv =???β

?π

??θ0cos 202

20sin a dr r d d =()

βπ43cos 134-a .

例8 计算

222(),V

x y z dxdydz V ++???

：2222x y z z ++=

例9 求I =???V zdxdydz ，其中V 为由122222

2≤++c z b y a x 与0≥z 所围区域．