中考数学中考数学压轴题 易错题测试提优卷试题

一、中考数学压轴题

1．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线2

2(0)y ax ax a =->交x

轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ． （1）求点C 的坐标； （2）求直线AB 的表达式；

（3）设抛物线2

2(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．

①若2AE AO =，求抛物线表达式；

②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）

2．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且m=2n -+2n -+4，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；

（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、

Q ∠的数量关系并说明理由；

（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．

3．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”．

（1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；

（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”． 例如：1423于4132为“相关和平数”

求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．

4．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． （概念感知）

（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=?，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．

（问题探究）

（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到

DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求

AB BC

的值． （拓展提升）

（3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．

10

5

AB BC =

，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα?<

=?时，则CD =_________；

②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求

AD

CD

的值．

5．如图，在等边ABC ?中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接

BE ，DE ．

（1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长；

（2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且

DF CD =，求证：12

AB EF =；

（3）在（2）的条件下，若45AED ∠=?直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系

6．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，ABC ?的三个顶点坐标分别为

()A O m ,，(),B m O -，(),C n O ，5AC =且OBA OAB ∠=∠，其中m ，n 满足7

25m n m n +=??

-=?

．

（1）求点A ，C 的坐标；

（2）点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动，设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ，用含有t 的式子表示BPC ?的面积为S （直接写出t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使得ΔΔ3

2

PAB POC S S =

，若存在，请求出t 的值，并直接写出BP 中点Q 的坐标；若不存，请说明理由．

7．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得

3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．

（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B

-，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，

()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；

（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范

围；

（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围． 8．如图，直线y ＝

12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣3

2

x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）M 为抛物线上一点，直线AM 与x 轴交于点N ，当

3

2

MN AN =时，求点M 的坐标； （3）P 为抛物线上的动点，连接AP ，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．

9．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”． （1）当2≤a ≤3时，

①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________； ②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围； （2）已知函数()1

0Z x x x

=

+>，请利用特征点求出该函数的最小值．

10．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．

（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；

（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；

（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝1

2

x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．

11．如图1，抛物线2

3y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、点B ，与y 轴交于点C ，顶

点D 的横坐标为1，对称轴交x 轴交于点E ，交BC 与点F .

（1）求顶点D 的坐标；

（2）如图2所示，过点C 的直线交直线BD 于点M ，交抛物线于点N . ①若直线CM 将BCD ?分成的两部分面积之比为2:1，求点M 的坐标； ②若NCB DBC ∠=∠，求点N 的坐标．

12．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与

y 轴交于点C 0,3（）．

（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点

D 作D

E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，

PDE

ABMC 1

S

S 9

=四边形． 13．问题背景：如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，8BC =，17AD =+

32AB =，45ABC ∠=?，P 为边AD 上一动点，连接BP 、CP ．

问题探究

（1）如图1，若30PBC ∠=?，则AP 的长为__________． （2）如图2，请求出BPC △周长的最小值；

（3）如图3，过点P 作PE BC ⊥于点E ，过点E 分别作EM PB ⊥于M ，EN PC ⊥于点N ，连接MN

①是否存在点P ，使得PMN 的面积最大？若存在，求出PMN 面积的最大值，若不存在，请说明理由；

②请直接写出PMN 面积的最小值．

14．在菱形ABCD 中，点P 是对角线BD 上一点，点M 在CB 的延长线上，且

PC PM =， 连接PA ．

()1如图①，求证：PA PM =；

()2如图②，连接,AM PM 与AB 交于点,120O ADC ?∠=求证 =PC AM ；

()3连接AM ，当 90ADC ?∠=时，PC 与AM 的数量关系是

15．已知：如图，四边形ABCD ，AB

DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，

8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A

开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，

08t <<．

（1）当t 为何值时，PQ

BD ？

（2）设五边形QPBCM 的面积为(

)2

S cm

，求S 与t 之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的11

15

？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出

t 的值；若不存在，请说明理由．

16．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点

A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点

B ，24O

C OB ==． （1）如图1，求a m 、的值；

（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，当15

4

d =

时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线2

11

y x b =

+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH

CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点

P 的坐标．

17．如图，直线y ＝﹣x+4与抛物线y ＝﹣12

x 2

+bx+c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；

（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC

（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；

（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．

①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；

②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由； （3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．

19．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ． （1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；

（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；

（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．

20．将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标系中，点0(3)A ，，点

()0, 3B ，点(0,0)O

(I)过边OB 上的动点D (点D 不与点B ，O 重合)作DE OB ⊥交AB 于点E ，沿着DE 折叠该纸片，点B 落在射线BO 上的点F 处． ①如图，当D 为OB 中点时，求E 点的坐标； ②连接AF ，当AEF ?为直角三角形时，求E 点坐标：

(Ⅱ) P 是AB 边上的动点(点 P 不与点B 重合)，将AOP ?沿OP 所在的直线折叠，得到

'A OP ?，连接'BA ，当'BA 取得最小值时，求P 点坐标(直接写出结果即可)．

21．ABC 内接于O ，AB BC =，连接BO ；

（1）如图1，连接CO 并延长交

O 于点M ，连接AM ，求证：//AM BO ；

（2）如图2，延长BO 交AC 于点H ，点F 为BH 上一点，连接AF ，若AH HF

AB BF

=，求证：BAF HAF ∠=∠；

（3）在（2）的条件下，如图3，点E 为AB 上一点，点D 为

O 上一点，连接ED 、

OE ，若CBD 3ABH 90∠+∠=?，若OF 3=，FH 4=，1362

EBD S ?=

，连接OE ，求线段OE 的长．

22．已知菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=4，点M 在BC 边上，过点M 作PM ∥AB 交对角线BD 于点P ，连接PC ．

（1）如图1，当BM=1时，求PC 的长；

（2）如图2，设AM 与BD 交于点E ，当∠PCM=45°时，求证：BE DE =33

+； （3）如图3，取PC 的中点Q ，连接MQ ，AQ ． ①请探究AQ 和MQ 之间的数量关系，并写出探究过程；

②△AMQ 的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．

23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在

x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛

物线2

12y ax bx =++过D ，C ，E 三点．

（1）当//DE AB 时， ①求抛物线的解析式；

②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，

H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．

（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在

x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．

点E 的坐标． 24．如图1，D 是等边△ABC 外一点，且AD ＝AC ，连接BD ，∠CAD 的角平分交BD 于E ． （1）求证：∠ABD ＝∠D ； （2）求∠AEB 的度数；

（3）△ABC 的中线AF 交BD 于G （如图2），若BG ＝DE ，求

AF

DE

的值．

25．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，

60C ?∠=

（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形

''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:

（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为

AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直

接写出此时,H I 点的坐标.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题 1．C

解析：（1）点C 的坐标为(2,0)；（2）15

22y x =-

+；（3）①2481515

y x x =-；

②10 13

．

【解析】

【分析】

（1）求得对称轴，由对称性可知C点坐标；

（2）利用待定系数法求解可得；

（3）①由AE=3AO的关系，建立K型模型相似，求得点E坐标代入解析式可得；

②若△CDB与△BOA相似，则∠OAB=∠CDB=90°，由相似关系可得点D坐标，代入解析式y=ax2-2ax可得a值．

【详解】

解：（1）把0

y=代入22

y ax ax

=-，得220

ax ax

-=，

解得：0

x=，或2

x=．

∵点C在x轴正半轴上，

∴点C的坐标为(2,0)．

（2）设直线表达式为y kx b

=+，把点(1,2)

A，(5,0)

B分别代入y kx b

=+，

得

2

50

k b

k b

+=

?

?

+=

?

，解得

1

2

5

2

k

b

?

=-

??

?

?=

??

，

∴直线AB的表达式为：

15

22

y x

=-+．

（3）①作AH x

⊥轴于点H，EF AH

⊥于点F（如图），

∵222

125

OA=+=，222

2420

AB，22525

OB==，

∴222

OA AB OB

+=．

∴90

EAO OAB

∠=∠=?．

由EFA AHO

△∽△，得2

EF FA EA

AH HO AO

===，

∴4

EF=，2

FA=，

∴点E坐标为()

3,4

-．

把(3,4)

E-代入22

y ax ax

=-，得964

a a

+=，

解得：

4

15

a=．

∴248

1515

y x x =

-． ②若△CDB 与△BOA 相似，如图，作DG ⊥BC ，

∴CD BD BC AO AB BO

==，∠OAB=∠CDB=90°， 3

5

525==， ∴35CD =

65

BD =，

∵523BC =-=，

∴3565

65535

DG =

=， ∴156225x -

+=，解得：13

5

x =， ∴点D 的坐标为：（

135，6

5

）， 把点D 代入2

2y ax ax =-，即169136

22555

a a -?= 解得：10

13a =

； 故答案为：1013

． 【点睛】

本题是二次函数的综合问题，考查了二次函数的基本性质，数形结合与K 型模型的使用，以及相似存在性问题，内容综合较好，难度相当入门级压轴问题．

2．A

解析：（1）A （0，1）

（2）结论：∠ABQ +∠OAB ﹣∠Q ＝135°. （3）α+2β＝45°． 【解析】 【分析】

（1）利用二次根式的性质求出m 、n 的值，求出B 、C 两点坐标，由S 四边形AOBC ＝

S△OBC+S△AOC

，推出1 2

×2×4+

1

2

×OA×4＝6，求出OA即可；

（2）如图2中，结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质即可解决问题；

（3）由AD∥BC，推出∠ADC＝∠DCB＝α，由BE平分∠CBx，推出∠CBE＝∠EBx，由

∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，推出∠OBF＝∠EBx＝α+β，由OC平分∠AOB，可得∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），由此即可解决问题；

【详解】

解：（1）由题意

20

20

n

n

-≥

?

?

-≥

?

，

，得

，

解得n＝2，

∴m＝4，B（2，0），C（4，4）．

如图：

∵S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，

∴

1

2

×2×4+

1

2

×OA×4＝6，

∴OA＝1，

∴A（0，1）．

（2）结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．如图：

理由如下：

∵OC∥PQ，

∴∠Q＝∠OCB，

∵∠ABQ＝∠1+∠OCB＝∠1+∠Q，∠1＝180°﹣∠OAB﹣∠AOC＝180°﹣∠OAB﹣45°＝

135°﹣∠OAB ，

∴∠ABQ ＝∠Q +135°﹣∠OAB ， ∴∠ABQ +∠OAB ﹣∠Q ＝135°． （3）如图：

∵AD ∥BC ，

∴∠ADC ＝∠DCB ＝α， ∵BE 平分∠CBx ， ∴∠CBE ＝∠EBx ，

∵∠CBE ＝∠F +∠OCB ＝α+β， ∴∠OBF ＝∠EBx ＝α+β， ∵C （4，4）， ∴OC 平分∠AOB ，

∴∠COB ＝45°＝∠F +∠OBF ＝α+（α+β）， ∴α+2β＝45°． 【点睛】

本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题． 3．（1）1001；9999；（2）2754和4848；（3）见解析 【解析】 【分析】

（1）根据“和平数”的定义可直接得出最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999；

（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤，则个位数字是2a ，又由029a ≤≤得到a 的可能取值为1，2，3，4；根据百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，可知m +n =12，得到12

2

a m +=，由a 的可能取值可得m 的取值，即可求得符合条件的“和平数”；

（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ，计算

它们的和，根据“和平数”的定义可知a+b=c+d ，因式分解可得原式= 1111(a+b )，即可证明． 【详解】

解：（1）根据“和平数”的定义可得： 最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999， 故答案为1001；9999；

（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤， 则个位数字是2a ， 又∵029a ≤≤，

∴a 的可能取值为1，2，3，4；

∵百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数， ∴m+n =0或m+n =12， ∵“和平数”中a+m =n+2a ，

当m+n =0时，即m=n =0，则此时a =0，不符合题意， ∴m+n =12，

∴a+m =12?m +2a ，解得：12

2

a m +=

， ∵a 的可能取值为1，2，3，4；且m 为正整数， ∴m 的可能取值为7，8；

当a =2时，m =7，这个“和平数”是2754； 当a =4时，m =8，这个“和平数”是4848； 综上所述，满足条件的“和平数”是2754和4848；

（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ， ∴(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++ 110011001111a b c d =+++

1100()11()a b c d =+++

由“和平数”的定义可知：a+b =c+d ， ∴原式1100()11()a b a b =+++ 1111()a b =+，

∵a ，b 为正整数，则1111()a b +能被1111整除，

即(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++能被1111整除， ∴任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数． 【点睛】

本题考查新定义运算、因式分解的应用；能够读懂题意，根据数的特点，确定数的取值范围，进行正确的因式分解是解题关键．

4．A

解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）

329

10

AB BC =

；（3）①125615-；②35

AD CD =

． 【解析】 【分析】

（1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到6103

5

AD BC ==，即可得到结论；

（2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出

AB

BC

的值； （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到3CF DF =，则(23)35AC x =+=，即可求出DF

的长度，然后得到CD 的长度；

②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AF

AE EC

=，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案． 【详解】

解：（1）ABC 是“准黄金”三角形． 理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ， ∵12AC =，30ACB ∠=?，

∴1

62

AD AC =

=． ∴:6:103:5AD BC ==．

∴ABC 是“准黄金”三角形．

（2）∵点A ，D 关于BC 对称， ∴BE AD ⊥，AE ED =．

∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”， ∴:3:5AE BC =．

不防设3AE k =，5BC k =， ∵点C 为ABD △的重心，

∴:2:1BC CE =． ∴52k CE =

，152

k BE =． ∴2

2

15329(3)22k AB k k ??=+= ?

??

． ∴

329329:5AB k k BC ==

． （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：

由题意得AE=3， ∵

3

5

AE BC =， ∴BC=5， ∵

10

5

AB BC =

， ∴10AB ，

在Rt △ABE 中，由勾股定理得：

22(10)31BE =-=，

∴156EC =+=， ∴223635AC =+=

∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ， ∴△ACE ∽△DAF ， ∴

31

2

6AE E D C F AF ===， 设DF x =，则2AF x =，

∵∠ACD=30°， ∴3CF x =

，

∴(23)35AC x == 解得：65315DF x == ∴2125615CD DF ==

②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =．