考研常见数学小问题集锦

考研常见数学小问题集锦

[摘要]以下是凯程考研辅导名师特为大家整理总结的一些有趣的数学小题目，供大家参考！祝愿各位考生都能在强化复习阶段顺利，考研成功！

微积分如果用心去学你会发现很多乐趣，然后在解题的过程享受这些小小的成就感，何乐而不为呢。快来看看这位朋友分享的一些小乐趣吧。

?被积函数是连续函数f(x)的积分上限函数F(x)可导，且导数就是f(x)。

逆向思维，这就用“构造法”证明了：连续函数一定有原函数。

把“作上限函数”视为一种变换方式，从条件角度看，相当于通过变换将连续函数提升为可导函数。《广义函数》理论中，在不光滑点(连续不可导点)微局部地实施这样的变换，就好象是用“沙轮”把曲线“尖点”给磨光了。故称之为“磨光变换”。

当年武汉X中有个学生入选中国中学生奥数代表队。在清华北大的集训中，他将这套技术学得很精。正式参加世界大赛时，决赛卷上最后的坡度题恰好用“磨光变换”最简单。这个小子设计了“磨光变换”逼近列，很快地完成了解答。自信无误之际，竟在草稿上画卜克游戏玩。新华社电讯稿报道中学生奥数代表队夺金时，记者把“磨光变换”写成了“魔光变换”，好不吓人哦。

这里有一个有趣的联想。如果f(x)仅有第一类间断，那么相应的上限函数是否一定连续呢?

结论是，“相应的上限函数一定连续。”

(画外音：考研题中出现过一次。)

在《概率统计》中，连续型随机变量X的分布函数就是密度函数的上限函数。它一定连续。由于密度函数非负，证明这个结论，用连续的增量定义最简明。

要注意的是，设f(x)有跳跃间断点a，相应的上限函数在点a虽然连续，却一定不可导。即改善是有一定限度的。

要证明这个结论正好用上我的“有意思(4)右导数与导函数的右极限”。

实际上，设点a左側，f(x)=初等函数φ(x)，右侧f(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)形成跳跃间断。记f(x)相应的上限函数为F(x)，则F(x)在点a连续，但是

左側求导F′(x)=φ(x)，右側求导F′(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)

F(x)在点a不可导。

在点a的邻域内，F(x)不是f(x)的原函数。

相当一些“模拟卷”上有这样的题目。可以算是“擦边球”。

?《概率统计》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要你有较好的《高等数学》基础。

比如，计算D(卡方(1))就是个大综合练习。

(潜台词：D(卡方(n))=2n)

预备1——我们知道，exp(x2)是四个“典型不可积”中最为露脸的一个。正态分布的密度函数与它同为一家，但是密度函数在全直线积分为1。在历史上，人们曾利用这个特点及定积分技巧来计算一些无穷积分。

计算D(卡方(1))，最尾端就要用到它。

预备2——我在“讲座”中逐讲给大家建立一个“材料库”。最早在(5)中有一条

“x趋于+∞时，指数函数exp(x)是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”

或者说，“x趋于+∞时，函数exp(-x)是任意高阶的无穷小。”

预备3——分部积分的要点是“变化”

∫甲·乙dx=(甲的一个原函数)·(乙)-∫(甲的这个原函数)·(乙的导数)dx

设X服从标准正态分布，我们计算D(X2)，即证明D(卡方(1))=2

鉴于输入问题，我写出步骤，大家在纸上划一下

(1)用平方关系来算D(X2)，得先算均值E(X四次方)

设f(x)是N(0,1)的密度函数，求E(X四次方)，被积函数x四次方f(x)在全直线积分

分x四次方f(x)=x3·xf(x)，注意xf(x)的原函数恰是-f(x)

分部积分一次，求极限知第一部分答案为0，(运用预备2)

第二部分是3x2f(x)在全直线积分

再分x2f(x)=x·xf(x),又分部积分，同样求极限知第一部分答案为0，

第二部分已是3倍密度函数f(x)在全直线积分，当然为3

(2)用平方关系来算

我常常开玩笑把平方关系E(X2)=μ2+σ2称为“概率勾股定理”。

D(X2)=E(X四次方)-(E(X2))2=3-1=2

怎么样，有点意思吧。

?如果你作了一个假设，你就建立了逻辑推理的一个基本点。如果你还要作第二个假设，那得小心思考，新的假设是否与第一个假设独立。

一个同学在论坛上发贴，先设“对任意x，总有f(x)>x”，推出“f(f(x))>f(x)”，突然又假设“f(x)单减”，然后就不明白，“为什么会矛盾”。这就是没考虑逻辑，随意作第二个假设造成的。

数学历史上，正当人们陶醉于“集合理论”与“勒贝格积分”等成果的完美之际，“悖论”的出现给大家当头一棒，砸得人晕头转向。仿佛有世界末日来临的感觉。以至于对很多成功的“公理化假设”也提出怀疑：“是否在筑好篱笆之时，已经圈进了狼?”

思考“第二假设是否与第一个假设独立”，有时的确较为困难。

看一个线性代数问题。

(讲座(40))例15设n维行向量组a1，a2，---，ak线性无关，k

向量组a1，a2，---，ak，β线性无关。

例15是原数学四的考题。它可以深化为，

*例“设向量组β1，β2，---，βr线性无关，向量组ξ1，ξ2，---，ξk线性无关。若前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交。则两向量组的合并组线性无关。(暂时不写一个条件)

证明设有一组数C1，……，Cr，Cr+1，……，Cr+k，使得

C1β1+……+Crβr+Cr+1ξ1+……+C(r+k)ξk=0

用β1对等式两边作内积，得β1ˊβ1C1+……+β1ˊβrCr=0

用β2对等式两边作内积，得β2ˊβ1C1+……+β2ˊβrCr=0

…………

用βr对等式两边作内积，得βrˊβ1C1+……+βrˊβrCr=0

现在，问题归结为，证明这个齐次方程组仅有零解。

问题延伸1，若记A=(β1，β2，---，βr)，则系数矩阵恰为AˊA

(潜台词：矩阵乘法，“左行右列作内积”)

问题延伸2，秩R(A)=秩R(A′A)

证明作齐次线性方程组AX=0和A′AX=0，AX=0的解显然都是A′AX=0的解。

如果列向量β是A′AX=0的解，则

内积(Aβ)′(Aβ)=β′A′Aβ=β′(A′Aβ)=0

这说明Aβ=0(向量),即A′AX=0的解也都是AX=0的解。两方程组同解。

解集秩n-R(A)=n-R(A′A)故秩R(A)=秩R(A′A)

前述关于C1，……，Cr的齐次方程组仅有零解。带回假设式，由后一向量组的线性无关性知,其余系数也全为零。故两向量组的合并组线性无关。

(画外音：这是一个可以记住的结论。请体会证明的特色。)

好象什么问题都没有?!?!?!联想“n+1个n维向量线性相关”,这里还有向量个数问题。在没有限定向量个数时，第二个假设，“前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交”，不一定成立。必须先说“k+r≤n”这个条件不影响证明。

凯程教育：

凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。

凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；

凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里；

信念：让每个学员都有好最好的归宿；

使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；

激情：永不言弃，乐观向上；

敬业：以专业的态度做非凡的事业；

服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。

如何选择考研辅导班：

在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。

对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。

有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。