(3) x=3
4时, f(x)=g(x).
20、由
2
3
28()log 1
mx x n f x x ++=+，得
22831
y
mx x n x ++=
+，即
()23
830y
y m x x n --+-=
∵,644(3)(3)0y y x R m n ∈∴?=---≥，即23()3160 y y m n mn -++-≤ 由02y ≤≤，得139y ≤≤，由根与系数的关系得19
1619
m n mn +=+??
-=?，解得
5m n ==。
对数函数基础运算法则及例题_答案
对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质
例1．已知x = 4 9 时，不等式 log a (x 2–x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16 39 . 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 12211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3．已知f (x ) = log a (a –a x ) (a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a –a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数.
教案对数的运算法则
教案 对数的运算法则 【教学目标】 知识目标： ⑴ 理解对数的概念，了解常用对数的概念． ⑵ 掌握对数的运算法则． 能力目标： 会运用对数的运算法则进行计算． 【教学重点】 对数的概念和对数的运算法则． 【教学难点】 对数的运算法则． 【教学过程】 一、课程导入 以复习指数的相关知识导入新课．（板书，提问等．5分钟） 问题1：2的多少次幂等于8？ 问题2：2的多少次幂等于9？ 显然，这是同一类问题．就是已知底数和幂如何求指数的问题．为了解决这类问题，我们引进一个新数——对数． 二、新课教学 1．新概念 法则1 lg lg lg MN M N =+（M >0，N >0）. 法则2 lg lg lg M M N N =-（M >0，N >0）. 法则3 lg n M =n lg M （M >0，n 为整数）. 上述三条运算法则，对以)1,0(≠>a a a 为底的对数，都成立. 2．概念的强化 例4 （讲授）用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1）lg xyz ；（2）lg x yz ；（3）z .
解 （1） lg xyz =lg x +lg y +lg z ； （2） lg x yz =lg lg lg lg lg x yz x y z -=-+（）=lg lg lg x y z --； （3） z 2lg x +3lg z -=2lg x +2 1lg y 3lg z -. 例5 （启发学生回答或提问）已知2ln =0.6931，3ln =1.0986．计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）)34ln(75?； （2）18ln . 分析 关键是利用对数的运算法则，将所求的对数用2ln 与3ln 来表示. 解 （1）)34ln(75?=54ln +73ln =54ln +73ln =522ln +73ln （2）18ln =2118ln =2192ln ?=2 1（2ln +9ln ）=21（2ln +23ln ） =0986.16931.02 1+?=1.44515≈1.4452. 例6 求下列各式的值： （1）lg2lg5+； （2）lg600lg2lg3--． 分析 逆向使用运算法则，再利用性质lg101=进行计算． 解 （1）lg2lg5lg(25)lg101+=?==； （2）2600lg600lg2lg3lg( )lg100lg102lg10223 --=====?． 3．巩固性练习 练习3.3.3 ( 12分钟) 1．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1） （2）lg xy z ； （3）2lg()y x ； （4） 2．已知2ln =0.6931，3ln =1.0986，计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）ln 36； （2）ln 216； （3）ln12； （4）911ln(23)?． 答案：1．（1）1lg 2 x ；（2）lg lg lg x y z +-；（3）2lg 2lg y x -；（4）111lg lg lg 243x y z +-. 2．（1） 3.5834；（2）5.3751；（3）1.2424；（4）18.3225. 三、小结（讲授，5分钟） 1．本节内容
《对数与对数运算》教学设计
2.2.1 对数与对数运算（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数的概念； 2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的定义． 教学难点 对数概念的理解． 教学过程 一、复习引入： 假设 20XX 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年国民生产总值是 20XX 年的 2 倍？ 1 8% = 2 x=? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容： aa 0,a 1 的b 次幂等于 N ,就是a b N ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对 ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 ⑵ log a 1 0 ， log a a 1 ； ∵对任意 a 0且 a 1, 都有 a 0 1 ∴log a 1 0 同样易知： log a a 1 ⑶对数恒等式 如果把 a b N 中的 b 写成 log a N , 则有 a logaN N ． 定义：一般地，如果 数，记作 log a N b ， a 叫做对数的底数， N 叫做真数． a b log a Nb 例如： 42 16 log 4 16 2 2 102 100 log 10 100 2 ； 探究： 1。 1 42 2 log 42 12 ； 是不是所有的实数都有对数？ 10 2 0.01 log 10 0.01 2． log a N b 中的 N 可以取哪些值？ 2． 根据对数的定义以及对数与指数的关系， log a 1 ？ log a a ？
对数公式的运算
对数公式的运用 1．对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 由定义知： ①负数和零没有对数； ②a>0且a≠1，N>0； ③log a1=0，log a a=1，a logaN=N(对数恒等式)，log a a b=b。 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN； 以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作log e N，简记为lnN． 2．对数式与指数式的互化 式子名称a b=N 指数式a b=N(底数)(指数)(幂值) 对数式log a N=b(底数) (真数) (对数) 3．对数的运算性质 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么 (1)log a(MN)=log a M+log a N． (2)log a（M/N）=log a M-log a N． (3)log a M n=nlog a M(n∈R)． 问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0? ②log a a n=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较．(学生填表) 式子a b=N，log a N=b名称：a—幂的底数b—N— a—对数的底数b—N— 运算性质： a m·a n=a m+n a m÷a n= a m-n (a>0且a≠1，n∈R) log a MN=log a M+log a N log a MN= log a M n= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1? 理由如下： ①a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=? ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数? ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?
对数
对数 导读：本文是关于对数，希望能帮助到您！ 教学目标 1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质． (1) 了解对数式的由来和含义，清楚对数式中各字母的取值范围及与指数式之间的关系．能认识到指数与对数运算之间的互逆关系． (2) 会利用指数式的运算推导对数运算性质和法则，能用符号语言和文字语言描述对数运算法则，并能利用运算性质完成简单的对数运算． (3) 能根据概念进行指数与对数之间的互化． 2．通过对数概念的学习和对数运算法则的探究及证明，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想，培养学生的逻辑思维能力． 3．通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想．通过对数运算法则的探究，使学生善于发现问题，揭示数学规律从而调动学生思维的积极参与，培养学生分析问题，解决问题的能力及大胆探索，实事求是的科学精神． 教学建议 教材分析 (1) 对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻
画，表示为当时，．所以指数式中的底数，指数，幂与对数式中的底数，对数，真数的关系可以表示如下： (2) 本节的教学重点是对数的定义和运算性质，难点是对数的概念． 对数首先作为一种运算，由引出的，在这个式子中已知一个数和它的指数求幂的运算就是指数运算，而已知一个数和它的幂求指数就是对数运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)，所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对的全面认识．此外对数作为一种运算除了认识运算符号“”以外，更重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，脱到过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．对数运算的符号的认识与理解是学生认识对数的一个障碍，其实与+，等符号一样表示一种运算，不过对数运算的符号写在前面，学生不习惯，所以在认识上感到有些困难． 教法建议 （1）对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数和真数的要求，其次对于对数的性质及零和负数没有对数的理解也可以通过指数式来证明，验证．同时在关系的指导下完成指数式和对数式的互化．
对 数 运 算 法 则
二进制数的运算方法---【转载】 二进制数的运算方法 ? 电子计算机具有强大的运算能力，它可以进行两种运算：算术运算和逻辑运算。 1．二进制数的算术运算 二进制数的算术运算包括：加、减、乘、除四则运算，下面分别予以介绍。 （1）二进制数的加法 根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为： 0＋1＝1＋0＝1 1＋1＝0 （进位为1）? 1＋1＋1＝1 （进位为1） 例如：1110和1011相加过程如下： （2）二进制数的减法 根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为： 0－1＝1 （借位为1） 例如：1101减去1011的过程如下： （3）二进制数的乘法 二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。二进制数乘法的法则为：
0×1＝1×0＝0 例如：1001和1010相乘的过程如下： 由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。 （4）二进制数的除法 二进制数除法与十进制数除法很类似。可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。 例如：100110÷110的过程如下： 所以，100110÷110＝110余10。 2．二进制数的逻辑运算 二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。 （1）逻辑“或”运算 又称为逻辑加，可用符号“＋”或“∨”来表示。逻辑“或”运算的规则如下： 0＋0＝0或0∨0＝0 0＋1＝1或0∨1＝1
对数的运算法则
对数的运算法则 教学目标 1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题． 2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神． 教学重点是对数的运算法则及推导和应用难点是法则的探究与证明． 一. 引入新课 我们前面学习了对数的概念，那么什么叫对数呢?通过下面的题目来回答这个问题 如果看到这个式子会有何联想? 由学生回答(1)(2) (3)(4)． 也就要求学生以后看到对数符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则． 二．对数的运算法则(板书) 对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则． 由学生回答后教师让学生看：，，．
然后直接提出课题：若是 否成立? 由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举而 )，教师在肯定结论的正确性的同时再提出 可提示学生利用刚才的反例，把5改写成应为，而32 =2，还可以让学生再找几个例子， ．之后让学生大胆说出发现有什么规律? 由学生回答应有成立． 现在它只是一个猜想，要保证其对任意都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢? 你学过哪些与之相关的证明依据呢? 学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书． 证明：设则，由指数运算法则 得， 即．(板书) 法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识： (1) 公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件)．
对数公式的推导(全)
对数函数公式的推导（全） 由指数函数 (01)n a a a b >≠=且，可推知：log a n b =，从而： ()log a b a b =对数恒等式 性质1、log ()log log a a a MN M N =+ <证法1> 由于m n m n a a a +?= 设 ,m n M a N a == 则： log a M m = l o g a N n = m n MN a += 于是： ()log log log a a a M N MN m n =+=+ <证法2> log log log a a a M N M N M N M N a a a =?=?对数恒等式 即： log log log a a a MN M N a a +=由于指数函数是单调函数，故： log ()log log a a a MN M N =+ 性质2、log log log M a a a N M N =- <证明> log log log log log M M N a a a a N a M N a M M N N a a a -== =对数恒等式 由于指数函数是单调函数，故：log log log M a a a N M N =- 性质3、log log ()(0,1)log b b a N N a b b >≠= 换底公式 特例：1log log a b b a = <证明> 由对数恒等式可知：log log a b N N N a b ==，log b a a b = log log log log a b b a N a N a N b b ???→==?? log log log b b a N a N N b b ?→== 由于指数函数是单调函数，故：log log log b b a N a N =? 故：log log log b b a N N a = 性质4、log log n a a M n M = 特例：1 log log n a a n M M =
对 数 运 算 法 则
对数几率回归（Logistic Regression）分析与实践 1 对数几率回归原理分析 1.2?损失函数 1.3 ?求最优解 2 对数几率回归实践 Logistic回归的一般过程 Logistic回归的优缺点 Logistic回归算法描述（改进的随机梯度下降） 《机器学习实战》第五章代码解析 5-1 Logistic回归梯度上升优化方法 5-2 画出数据集和Logistic回归最佳拟合直线的函数 5-3 随机梯度上升算法 5-4 改进的随机梯度上升算法 5-5 ?示例：从疝气病症预测病马的死亡率 1 对数几率回归原理分析 Logistic Regression，对数几率回归，又称逻辑斯谛回归。该模型最初是用来解决0-1二分类问题，明明是分类问题，为何叫回归？科普一下，线性回归是找到一条直线或超平面尽可能地接近所有的训练数据点（就是用线性方程来拟合数据），而对数几率回归是找到一条直线或超平面尽可能地分开两种不同类别的数据点（就是在公式中的线性部分来做了回归）。首先，我们要解决的问题是：在线性模型
上做二分类（这里不讨论多分类）。 ? 把问题转化为，让模型输出为0或者1，而且在分界处变化很陡。 ? 直接想法是套一个函数来实现一个单位阶跃函数，如下: 也就是把?线性模型?看作为一个两种类别的分界线。 由于分段函数性质太差，不符合优化问题的目标函数要连续可微的特点。所以我们找一个形似的函数（由下图可见），Sigmoid 函数（S型函数）中的杰出代表——对数几率函数（一个任意阶可导的凸函数，有良好的数学性质，很适合优化问题）。 将线性模型代入就得到总的模型 其实，对数几率回归模型就是在拟合?线性模型，使得这条直线尽可能地将原始数据中的两个类别正确的划分开（引用张磊的知乎）。 1.2?损失函数 解决机器学习问题就要明确损失函数，回归问题一般用均方误差（平均损失）或者其平均数——平均误差平方损失来作为损失函数（这就是最小二乘法，用来找到一条直线使所有样本到直线的欧式距离之和最小）。 平均误差平方损失公式如下： Logistic回归模型，要用到的是对数损失来作为损失函数 先来看它的效果，再来说怎么得来的 效果：真实值?是有 0-1 两种情况，而推测值由于借助对数几率函数，其输出是介于0~1之间连续概率值。这个损失函数其实在每次
10.对数的概念与运算
十、对数的概念与运算 一、选择题 1. 对于且，下列说法中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. A. B. C. D. 3. 计算：的值是 A. B. C. D. 4. B. C. 5. 实数的值为 A. B. C. D. 6. 对数与互为相反数，则有 A. B. C. D. 7. 如果，那么 A. B. C. D. 8. 已知函数，那么的值为 A. B. D. 9. 下列算式中正确的是 A. B. C. D. 10. 已知，那么等于 11. 设，则用表示的形式是 A. B. C. D. 12. A. B. C. D. 13. 式子的值为 A. C. D. 14. C. D. 15. 计算：的值为
A. B. C. 16. 计算 A. B. 17. 若，则等于 B. C. D. 18. 设，且，则 A. B. C. D. 19. 若，则等于 A. C. D. 20. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 二、填空题 21. 计算：． 22. 化简：． 23. ． 24. 计算：． 25. ． 26. ． 27. 计算： （）； （）． 28. ． 29. 的值是． 30. ． 31. 已知，，则． 32. 若，则．
对数的概念与运算答案 第一部分 1. B 【解析】当，A项错误；若，则，即C 项错误；若，则D项错误． 2. C 3. C 【解析】． 4. A 5. A 6. C 【解析】． 7. C 8. D 9. C 10. C 【解析】由对数性质及， 得，，， 所以 11. A【解析】因为，所以． 12. B 【解析】由对数恒等式，得 . 13. A 14. D 【解析】利用对数运算法则求解． 方法一：． 方法二：． 15. C 【解析】 16. B 【解析】． 17. D 18. A 【解析】，，又， ． 19. D 【解析】由换底公式，得，，． 20. A 【解析】， 第二部分 21.
对 数 运 算 法 则
负对数似然(negative log-likelihood) negative log likelihood文章目录negative log likelihood似然函数(likelihood function)OverviewDefinition离散型概率分布(Discrete probability distributions)连续型概率分布(Continuous probability distributions)最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,MLE)对数似然(log likelihood)负对数似然(negative log-likelihood)Reference似然函数(likelihood function)Overview在机器学习中，似然函数是一种关于模型中参数的函数。“似然性(likelihood)”和"概率(probability)"词意相似，但在统计学中它们有着完全不同的含义：概率用于在已知参数的情况下，预测接下来的观测结果；似然性用于根据一些观测结果，估计给定模型的参数可能值。 Probability is used to describe the plausibility of some data, given a value for the parameter. Likelihood is used to describe the plausibility of a value for the parameter, given some data. ? —from wikipedia[3] ^[3] [ 3] 其数学形式表示为： 假设X XX是观测结果序列，它的概率分布fx f_{x}f x? 依赖于参数θ thetaθ，则似然函数表示为 ?L(θ∣x)=fθ(x)=Pθ(X=x) L(theta|x)=f_{theta}(x)=P_{theta}(X=x)L(θ∣x)=f θ? (x)=P θ? (X=x)
对数的运算法则解读
对数的运算法则 市级一等奖旬阳中学谢道仁 一、概述 对数的运算法则是北师大版高中《数学》（必修1）第三章第4.1节第（二）部分。本课需要学生掌握对数的运算法 则，能初步运用对数的性质和运算法则解题；通过对法则的 探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括，归纳总结思想， 使学生自主、探究地开展学习活动。 二、学习目标分析 1、知识与技能 掌握对数的运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题； 2、过程与方法 通过对法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括，归纳总结思想，使学生自主、探究地开展学习活动 3、情感态度价值观 通过了解我国古代在对数研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。 [学习重点和难点] 对数的运算法则的推导和应用是本节课的重点，，法则的探究与证明是本节课的难点． 三、教学策略的选择与设计 学习过程中，通过课件创设的情境充分调动学生各知觉器官，做到＂细观察、多动手、勤思考，善总结＂．通过观察、猜想、探究、
推理、模仿、体验，质疑等方法完成本节知识的学习。本节课采用“问题导学，自主探索，归纳总结” 的教学模式，采用情境探究法、谈话法等，使学生在自主探究的过程中完成学习的任务。 四、资源 （1）教师自制的多媒体课件； （2）教师准备的关于对数背景知识的小卡片，每组一套； （3）上课环境为多媒体大屏幕环境。 五、教学流程图 六、教学过程实录： 引入新课 1、 复习指数运算法则：n m n m a a a +=?，n m n m a a a -=，mn n m a a =)(并用文字语言叙述指数的运算法则。 2、 从指数、对数的关系入手，研究对数是否有自身的运算特 点和规律。 对数运算法则 对数与指数互为逆运算，自然要把握两者之间的关系，由已知的指数的运算法则来探究对数的运算法则。 考察实例P 81，动手实践1中的第一组
8.对数及运算法则
对数与对数运算法则 １、对数定义： 例子：8log 3,8223==则 ２、对数运算法则： （1）对数恒等式：y a y a =log （2）对数的积、商、幂对数 ()N M MN a a a log log log += ， N M N M a a a log log log -=， M M a a log log αα= （3）换底公式： b N N a a b l o g l o g l o g = 对数换底公式的推论及其应用 （1） 1 log b a = )1100(≠≠>>b a b a ，且，。 （2）log n n a b = (0010)a b a n >>≠≠，且，。 （3）log n m a b = (0010)a b a m n >>≠?≠，且，。 （4）log m a N = (01 0)a a m >≠≠且，。 一、积商幂的对数运算 例1.若a ＞0，a≠1，x ＞y ＞0,n ∈N +，则下列各式： ①(log )log n a a x n x =②(log )log n n a a x x =③1log log a a x x =-④log log log a a x x a y y = ⑤1log log n a a x x n =⑥log log n a x a x n =⑦log log n n a a x x =⑧log log x y x y x y x y -+=-+- 其中成立有__________________。 例2.用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式： （1）log xy z （2）35log ()a x y （3）log x a yz （4）23 log a x y z 例3.计算： （1）5lg 100 （2）752log (42)?
(完整版)对数运算法则教案
§2.2.1 对数与对数运算（第2课时） ——对数的运算法则 一、教学内容分析： 本节课课程标准要求理解对数的运算法则，能灵活运用对数运算法则进行对数运算.本节课是在学习了“对数的概念”后进行的，它是上节内容的延续与深入，同时也是研究学习后续知识对数函数的必备基础知识.高考大纲中要求要理解对数的概念及其运算法则。 二、教学目标： 知识与技能目标： 理解并掌握对数法则及运算法则，能初步运用对数的法则和运算法则解题． 过程与方法目标： 通过法则的探究与推导，培养从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力． 情感态度与价值观目标： 通过法则探究，激发学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神． 三、教学重难点： 教学重点：对数的运算法则及推导和应用； 教学难点：对数运算法则的探究与证明． 四、教具准备： 幻灯片、课件、多媒体 五、教学方法 本课采用“探究——发现”教学模式 六、 教学过程： （一）复习引入 1、对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0） 2、指数的运算法则
;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷= ()mn n m a a = 我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则，得出相应的对数运算法则吗？ （二）运算法则 （1）我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？ 解： ,,m n m n m n a a a M a N a +?===设 于是,m n MN a += 由对数的定义得到log ,m a M a m M =?=log n a N a n N =?= log m n a MN a m n MN +=?+= N M MN a a a log log log += 即：两数积的对数，等于各数的对数的和。 提问：你能根据指数的法则按照以上的方法推出对数的其它法则吗？ （2）我们知道 ，那m n -如何表示，能用对数式运算吗？ 即：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数。 （3）我们知道 ，那mn 如何表示，能用对数式运算吗？ （4）对数运算的作用：利用对数法则1和法则2可以使两对数的积、商的对数转化为两对数的各自的对数的和、差运算，法则3是降级运算，这三个法则大大简便了对数式的化简和求值。 n m n m a a a -=÷,log log log ,log ,log ,log ,,N M N M N M n m a N M N n a N M m a M a N a M a a a a n m a n a m n m -==-?==?==?===-即则由对数的定义，解：令() mn n m a a =()M n M M n mn M mn M m M a a M a M a a a n a n a a mn n m n m log log log log log ,log .========即所以由对数的定义则解：设
知识讲解_对数及对数运算_基础
对数及对数运算 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化； 2.了解常用对数与自然对数的意义； 3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算； 4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明． 5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用． 【要点梳理】 要点一、对数概念 1.对数的概念 如果()01b a N a a =>≠，且，那么数 b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底 数，N 叫做真数. 要点诠释： 对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R. 2.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =. 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作.以e （e 是一个无理数， 2.7182e =???）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作. 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示. 由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>L L L 、、、 (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数； log log log a a a M M N N =- (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα= 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能
幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 教学目标 1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质． 2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 教学重点与难点 重点是对数定义、对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导． 教学过程设计 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍 生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+％）20=，所以20年后国民生产总值是原来的倍． 师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题． 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍 师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程 =4． 我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题． 师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b， 其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 师：请同学谈谈对对数这个定义的认识． 生：对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法． 生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算． （此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．） 师：他们说得都非常好．实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开 记作logaN=b．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法． 师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．（打出幻灯） 式子
对 数 运 算 法 则
几个简单的对数增长阶算法 数学算法对数增长阶实现 最近在看scip，不得不说，这本书的确是经典之作，每天抽出时间看一会上面所讲的东西，对我这样编程算法基础薄弱的人，也是受益匪浅。所以想把上面的一些好的算法用自己熟悉的javascript重新写一遍，加深记忆。 最大公约数 两个整数a和b的最大公约数（GCD）定义为能除尽这两个数的那个最大的整数。在SCIP中提到了一种基于欧几里得算法的对数增加阶的实现。该算法的思想是：如果r是a除以b的余数，那么可以有结论r和b的公约数等于a和b的公约数。基于该理论，有如下实现function GCD(a,b){ let gcd = 0; if(b === 0){ let r = a%b; GCD(b,r); return gcd; 增长阶是log(n)底数是1.6180。 素数检测 素数检测是数学中一个经久不衰的话题，同样，本文也只讨论素数检测的对数级复杂度的算法。
关于这个算法，需要介绍一下这个算法的核心理论： 费马小定理推论：对于一个整数n，取另外一个整数a满足a n，计算a^n%n是否等于n，如果结果不是a，那肯定不是素数，相反，那么n是素数的概率就很大。 费马小定理的检测实际上是属于概率算法的领域，一般情况我们选取越多的a去检测n是否符合条件，通过的越多，那么n是素数的概率也会增加，也会使得检测出错的概率减小。当然，对于概率算法，无论怎么增加a的数量，也会有一些能够骗过费马检测的数。数学上把它们称为卡尔麦克数，现在数学家们已经找到所有10 ^ 16以内的卡尔麦克数，最大的一个是9585921133193329。对于这种情况，我们可以通过建立一个表来排除这些数，使得错误概率再次减小。 下面是算法的过程： **************算法核心*************** function fermatTest(n) {--随机生成a判断是否满足费马检测 function tryIt(a) { return (expmod(a, n, n) === a) ? true : false; return tryIt(parseInt(Math.random() * (n - 1) + 2, 10) + 1); function fasePrime(n, times) { --最终检测，输入数值和检测次数 if (times === 0) { return true;
对数运算法则
对数与对数运算 教学目标 1、 理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系； 2、 掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题. 知识梳理 一、对数的定义 一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的 对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 特别提醒： 1、对数记号log a N 只有在01a a ≠且>，0N >时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。 2、记忆两个关系式：①log 10a =；②log 1a a =。 3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便, N 的常用对数N 10log ， 简记作：lg N 。 例如：10log 5简记作lg 5 5.3log 10简记作lg 3.5。 4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数。为了简便，N 的自然对数N e log ，简记作：ln N 。 如：3log e 简记作ln 3；10log e 简记作ln10。 二、对数运算性质： 如果 0,1,0,0,a a M N n R ≠∈>>> 有： log ()log log a a a MN M N =+log log log a a a M M N N =- log log () n a a M n M n R =∈ 特别提醒： 1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。如[] 2log (3)(5)--是存在的，但[] 222log (3)(5)log (3)log (5)--=-+-是不成立的。 2、注意上述公式的逆向运用：如lg5lg 2lg101+==； 三、对数的换底公式及推论： 对数换底公式：()log log 0,1,0,1,0log m a m N N a a m m N a = ≠≠>>> 两个常用的推论: （1）1log log =?a b b a （2）1log log log =??a c b c b a
对数及运算
2.2.1 对数与对数运算（2课时） 教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质． 2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 4．对数的初步应用. 教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则 教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导 教学方法：学导式 教学过程设计 第一课时 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？ 生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20 =1.07220，所 以20年后国民生产总值是原来的1.07220 倍． 师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题． 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？ 师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x 年后国民生产总值是原来的4 倍．列方程得:1.072x =4． 我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题． 师：（板书）一般地，如果a （a ＞0，a ≠1）的x 次幂等于N ，就是x a N =，那么数x 就叫做以a 为底N 的对数(logarithm)，记作x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子log a N 叫做对数式． 对数这个定义的认识及相关例子: (1)对数式log a N 实际上就是指数式中的指数x 的一种新的记法． (2)对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算． 实际上x a N =这个式子涉及到了三个量a ，x ，N ，由方程的观点可得“知二求一”．知道a ，x 可求N ，即前面学过的指数运算；知道x （为自然数时）、N 可求a ，即初中学过的开根号运算， a =；知道a,N 可以求x ，即今天要学习的对数运算，记作log a N= x ．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为log a N ，读作：以a 为底N 的对数．请同学注意这种运算的写法和读法． 师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数． 师：（板书）对数log a N （a ＞0且a ≠1）在底数a=10时，叫做常用对数(common logarithm)，简记lgN ；底数a=e 时，叫做自然对数(natural logarithm)，记作lnN ，其中e 是个无理数，即e ≈2.718 28……． 师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆 4 6 11(1)5625;(2)2;(3) 5.73643m -?? === ??? 练习2 把下列对数形式写成指数形式：
