卡尔曼滤波中文
处理线性滤波以及预测问题的一种新途径R.E.Kalman1引言通讯与控制中的理论与实际问题中有很重要的一类具有统计性质。
这样的问题有：（1）、随机信号的预测；（2）、从随机噪声中分离随机信
号；（3）、在有噪声的情况下探测已知形式的信号（脉冲、正弦波）。
在Wiener开拓性的工作中，他证明[1]从问题（1）和问题（2）可导
出所谓Wiener-Hopf积分方程；他同样给出了解决具有实际重要意义的特
殊情况——定态统计和有理数频谱——之积分方程的方法（频谱因式分解）。
在Wiener的基础性工作之后出现了许多延伸和推广。Zadeh与
Ragazzini给出了有限存储器情况的解[2]。Bode和Shannon[3]同时独
立的给出上述情况的解，并且给出了简化的求解方法。Booton讨论了非定
态统计Wiener-Hopf方程[4]。这些结果现在都写入了标准教科书中[5,6]。
最近Darlington[7]沿着这些主线给出了一种稍微有些不同的方法。对抽
样信号的延伸，参见Franklin[8]和Lees[9]的工作。基于Wiener-Hopf方
程（同样应用于非定态问题，尽管前述方法一般并非如此）特征函数的
方法由Davis[10]开创并被许多其他人应用，例如Shinbrot[11],Blum[12],
Pugachev[13],Solodovnikov[14].
在所有这些工作中，目标都是获取一个线性动力系统的明确说明
（Wiener滤波器），由此可以完成预测、分离或者探测随机信号。
现有求解Wiener问题的方法受制于若干限制，这样就使得它们的实际
用处收到削弱：
1.最佳的滤波器由其脉冲响应具体指定。由这些数据合成滤波器并非易
事。
2.数值确定最佳的脉冲响应往往十分复杂并且不很适合机器计算。这种
情况随着问题复杂度的增加而迅速变得更为糟糕。
11引言2
3.重要的推广（如增长存储器滤波器、非定态预测）需要新的推导过
程，经常给非专业人士带来相当大的困难。
4.这些推导过程的数学部分并不透明。基本假设及其后果趋于模糊。
本文回避上述困难，提出看待这些问题的整个集合的新方式。以下是
本文的亮点：
5.最佳估计和正交投影。Wiener问题是以条件分布与期望的观点处理
的。这样，Wiener理论的基本事实可以迅速获取；结果的范围以及基
本假设可以清楚的显现出来。可以看到所有的统计计算以及结果都基
于一阶和二阶平均；不需要其他的统计数据。这样一来困难（4）便被
排除。这种方法在概率论中为人们所熟知（见Doob[15]第148至155
页以及Lo`eve[16]第455至464页），但在工程上还没有大量的应用。
6.随机过程模型。继前人之后，尤其是Bode与Shannon[3],任意随机
信号可以被表示（直到二阶平均统计性质）为线性动力系统受独立或
不相关随机信号（“白噪声”）激励后的输出。这是工程上应用Wiener
理论的标准手法[2,3,4,5,6,7]。这里用到的方法与传统方法相比只
在线性动力系统的描述方法上不同。我们将强调状态以及状态过渡；
换言之，线性系统将以一阶差分（或微分）方程组来刻画。为了利用
（5）中提到的简化，这种观点是自然的，也是必要的。
7.求解Wiener问题。使用状态——过渡方法，单独一次推导即覆盖多
种问题：增长与有限存储器滤波器、定态与非定态统计等等；（3）中
的困难消失了。正确猜测出估计问题的“状态”后，接下来就是最
佳估计误差协方差矩阵的非线性差分（或微分）方程。这个方程与
Wiener-Hopf方程有些相似。对方称的求解开始于观测开始的t0时
刻；随后每个时刻t方程的解都代表给定区间(t0,t
)上观测的最佳预
测误差协方差。从t时刻的协方差矩阵我们立刻可以获得刻画最佳线
性滤波器的系数，而无需进一步的计算。
8.对偶问题。对Wiener问题的新的公式化使其接触到基于“状态”观
点的成长中的控制系统新理论[17,18,19,20,21,22,23,24]。令人惊
讶的是，Wiener问题是无噪声最佳调整器问题的对偶，而此问题已
经被本文的作者利用状态——过渡方法解决[18,23,24]。两个问题的2符号约定3 数学背景完全一致——这一点一直以来都被人们所怀疑，但直到现在
两者的类比才被明确指出。
9.应用。新方法的威力在理论调研与复杂实际问题的数值解答中大多显
而易见。在后面的案例中，最好借助机器计算。这种类型的例子将在
后面讨论。为了给应用提供一些感觉，包含了两个非定态预测的标准
例子；在这些例子中，（7）中提到的非线性差分方程甚至可以得到近
似形式的解。
为了参考方便，主要结果都用定理的形式显示。只有定理3和定理4
是原创的。下一个章节以及附录主要服务于用适用于当前目的的形式来回
顾人们熟知的资料。2
符号约定贯穿本文，我们主要与离散（或者抽样）动力系统打交道；换句话说，
信号将在等间距的时刻（抽样瞬间）被观测到。选择合适的时间尺度，相
邻两次抽样瞬间的时间间隔常数（抽样周期）可以被选择为单位时间。如
此一来，表示时间的变量如t,t0,
τ,T等将一直是整数。对离散动力系统
施加这样的约束条件并不是必需的（至少从工程的角度来看是这样）；使用
这样的离散性，我们可以保有严密的、基础的数学。矢量将用小写粗体字
母如a,b,...,x,y,...表示。矢量，或者更精确的说，n维矢量是n个数
x1,...,xn的集合；
xi是矢量x的坐标或分量。
矩阵将使用大写粗体字母A,B,Q,Φ,Ψ,...表示；它们是元素aij,
bij,
qij,
...的m×n维数列。矩阵的转置（交换行与列）用一撇来表示。使用
公式时，为求方便，视矩阵为只有一列元素的矩阵。
使用传统的矩阵乘法定义，我们将两个n维矢量x,y的标量积写成
x′y
=n∑i=1xiyi=y′x
标量积显然是标量，也就是说并非矢量。类似的，关于n×n维矩阵Q的
二次型是，
x′Qy
=n∑i,j=1xiqijxj2符号约定4
我们定义表达式xy′（式中
x′是m维矢量，y是n维矢量）为m×n维
矩阵，矩阵元为xiyj.
我们将随机矢量x的期望值记为E(x)=Ex（见附录）。为方便起见，
通常省略E后面的括号。因为常数与E算符对易，故这种省略在简单情
况中并不会引起混淆。从而，Exy′是矩阵元为
E(xiyj)的矩阵；ExEy
是以E(xi)
E(yj)为矩阵元的矩阵。
为方便参考，下面给出基本符号表：
最佳估计
t时间，当前时间。
t0观测开始时刻。
x1(
t),x2(t)基本随机变量。
y(t)观测到的随机变量。
x?
1(
t1|t)给定y(t0),...,y(t)之后对x1(t1)的最佳估计。
L损耗函数（是其自变量的非随机函数）。
?估计误差（随机变量）。
正交投影
Y(t)随机变量y(t0)
,...,y(t)生成的线性流形。
ˉx(t1|
t)x(t1)在Y(t)上的正交投影。
?x(t1|
t)x(t1)正交于Y(t)的分量。
随机过程模型
Φ(t+1;t)过渡矩阵。
Q(t)随机激励的协方差。
求解Wiener问题
x(t)基本随机变量。
y(t)观测到的随机变量。
Y(t)由y(t0)
,...,y(t)生成的线性流形。
Z(t)由
?
y(t|t?1)生成的线性流形。
x?(
t1|t)给定Y(t)之后对x(t1)的最佳估计。
?
x(t1|
t)给定Y(t)之后对x(t1)最佳估计的误差。3最佳估计53最佳估计为具体描述将要研究问题
的类型，需考虑以下情况。已知信号x1(t)和
噪声x2(
t).只能观察到和y(t)=x1(t)+x2(t).假定我们已经观测并确切的
知道y(t0)
,...,y(t)的值，关于t=t1（t1可能小于、等于或者大于t）处
的值（非观测量）我们可以从已知信息中推断出什么？如果t1 ,这是数 据平滑（插值）问题。如果t1= t,这称为滤波。如果t1>t，称为预测问 题。既然我们有足够一般性的方法来处理以上以及类似的问题，以下我们 将使用共同的术语估计。 正如Wiener指出[1]的那样，估计问题的天然背景属于概率论和统计 学的范畴。因此信号、噪声以及它们的和都是随机变量，进而它们可被视 为随机过程。从随机过程的概率论描述中我们可以确定特定信号或者噪声 抽样发生的概率。对于随机变量y(t)的任意给定的测量值η(t0) ,...,η(t) 原则上也可以确定随机变量x1( t1)于同一时刻取不同值ξ1(t)的概率。这 就是条件概率分布函数 Pr[x1( t1)≤ξ1|y(t0)=η(t0),...,y(t)=η(t)]=F(ξ1)(1) 显然，F(ξ1) 代表了随机变量y(t0),...,y(t)测量结果传递的关于随机变 量x1( t1)所有信息。随机变量x1(t1)的任何统计估计都是上述分布的某种 函数，因而是随机变量y(t0) ,...,y(t)的（非随机）函数。该统计估计记为 X1( t1|t),如果观测到的随机变量集合或者待估计时间在上下文中是明确的， 也可记为X1( t1)或者X1. 假定X1以随机变量 y(t0),...,y(t)的固定函数的形式给出。那么 X1本身就是一个随机变量，只要 y(t0),...,y(t)的实际值已知，即可知 X1的实际值。一般来说， X1(t1)的实际值与x1(t1)的（未知）实际值 是不同的。为了取得确定X1的合理方法，自然要为不正确的估计指定罚函数或损耗函数。确切的说，损耗函数应当（1）非负，（2）是估计误 差?=x1( t1)?X1(t1)的单调不递减函数。故此，定义损耗函数 L(0)=0 L(?2) ≤L(?1)≤0when?2≤?1≤0(2) L(?)=L(??) 常见的损耗函数有：L(?)=a?2,a?4,a |?|,a[1?exp(??2)]等等，其中a是 大于零的常数。3最佳估计6 一种（但并非唯一的）自然而然的选择随机变量X1的方法是令选取的值最小化损耗或风险的平均值 E{L[x1( t1)?X1(t1)]}=E[E{L[x(t1)?X1(t1)]|y(t0),...,y(t)}](3) 既然式3右边第一个期望值不依赖于X1的选择，而是由 y(t0),...,y(t)唯 一决定，所以最小化refeq3等价于最小化 E{L[x1( t1)?X1(t1)]|y(t0),...,y(t)}(4) 在少量附加的假设之下，最佳估计就可以用简单的方法刻画出来。 定理1.假定L如式2且由式1定义的条件分布函数F(ξ)： A关于均值 ˉ ξ对称： F(ξ? ˉ ξ)=1?F( ˉ ξ?xi) B对ξ≤ ˉ ξ是凸的： F(λξ1+(1 ?λ)ξ2)≤λF(ξ1)+(1?λ)F(ξ2) forallξ1,ξ2≤ ˉ ξand0≤λ≤1 则最小化损耗（式3）的随机变量x? 1( t1|t)是条件期望 x? 1( t1|t)=E[x1(t1)|y(t0),...,y(t)](5) 证明：正如Sherman最近所指出[25]的，该定理是概率论中一个著 名引理的直接结论。 推论.如果随机过程x1( t),x2(t)和y(t)是高斯的，则定理1成立。 证明：由定理3（见附录），高斯随机过程的条件概率仍然是高斯的。因而总是满足定理1的要求。 在控制系统的文献中，上面的定理以某种程度上更为受限而换言之也 更为一般的形式出现： 定理1-A.如果L(?)=?2, 那么无需假设A和B定理1即成立。4正交投影8 考虑（实值）随机变量y(t0) ,...,y(t).系数为实数的这些随机变量的 所有线性组合的集合t∑i =t0aiy(i)(6) 构成一个矢量空间（线性流形），记为Y(t).我们将所有形如式6的表达式 抽象的视为Y(t)上的“点”或“矢量”。当然，此处使用的“矢量”当不 与随机矢量中的“矢量”或者其它地方的“矢量”相混淆。由于我们并不 想限定t的值（可能的观测的总数），故Y(t)应该被视为所有可能的观测 空间的有限维子空间。 任意给定Y(t)中的两个矢量u,v（即可由式6表达的随机变量），如 果Euv=0我们就说u,v是正交的。使用Schmidt正交化过程，正如 Doob[15]（第151页）或Lo`eve[16]（第459页）借助实例描绘的，很容易 就可以找出Y(t)的一组正交基，亦即，Y(t)的一组正交矢量et0,...,et, 使用这组矢量，Y(t)中的任意矢量都可以被唯一的表示为et0,...,et的线性组合，且Eeiej= δij=1如果i=j =0如果i?=j}( i,j=t0,...,t)(7) 故Y(t)中的任意矢量可写成 ˉx=t∑i =t0aiei系数ai也可借由7立刻得出 Eˉxej= E[t∑i=t0aiei]ej=t∑i=t0aiEeiej=t∑i=t0δij=aj(8) 进一步的，所有随机变量x（并不一定是Y(t)中的）可以唯一的被分 解成两部分：一部分为ˉx在Y(t)中，另一部分同Y(t)正交（即同Y(t)中 所有矢量都正交）。事实上，我们可以将其写为 x=ˉx+?x=t∑i =t0(Exei)ei+?x(9) 故ˉx可以由式9唯一确定，且显然是Y(t)中的矢量。这样?x也被唯一的确 定了；接下来检验其是否与Y(t)正交： E?xei= E(x?ˉx)ei=Exei?Eˉxei4正交投影9 ˉx关于基et0,...,et的坐标或者如式 8以Eˉxei的形式给出，或者 如式9以Exei的形式给出。既然坐标是唯一的，故 Exei=Eˉxei(i= t0,...,t )；因此E?xei=0,?x与每个基矢量ej都正交；也就是说与Y(t)正 交。我们称?x为x在Y(t)上的正交投影。 这里还有另外一种表征正交投影的方式：ˉx是Y(t)上最小化二次型损 耗函数的矢量（即随机变量y(t0) ,...,y(t)的线性组合）。事实上，如果ˉw 是Y(t)上的任意另一矢量，有 E(x?ˉw)2= E(?x+ˉx?ˉw)2=E[(x?ˉx)+(ˉx?ˉw)]2既然?x与Y(t)上的所有矢量，特别的，与ˉx?ˉw 正交，有 E(x?ˉw)2= E(x?ˉx)2+E(ˉx?ˉw)2≥E(x?ˉx)2(10) 恰好证明，如果ˉw也最小化二次型损耗函数，则必有E(ˉx?ˉw)2=0 ,即， 随机变量ˉx和ˉw相等（除非对于概率为零的一组事件）。 以上结果摘要如下： 定理2.令{x(t)},{y(t)}为零均值的随机过程（即，对于一切t均有 Ex(t)=Ey(t)=0）。观测y(t0) ,...,y(t). 如果有 A随机过程{x(t)},{y(t)}是高斯的；或者 B将最佳估计限定为观测随机变量的线性函数且L(?)=?2； 那么 x?( t1|t)=给定y(t0),...,y(t)对x(t1)的最佳估计 =x(t1) 在Y(t)(11) 以上结果为人们所熟知，尽管这在控制系统文献中并不容易获取。见 Doob[15]第75至78页，或着Pugachev[26]。有时为求方便，将正交投影 记为 ˉx(t1| t)≡x?(t1|t)= ? E[x(t1)|Y(t)] 使用记号 ? E的目的是：如果讨论的随机过程是高斯的，则正交投影盒条件 期望事实上是一样的。 证明：5随机过程模型10 A关于式10评论的直接结果。 B既然x(t),y(t)都是零均值的随机变量，从式9可知，x(t1) 关于Y(t) 的正交部分?x(t1| t)也是零均值的随机变量。零均值随机变量是不相 关的；如果同时他们也是高斯的（由于定理3B部分），则他们是独立 的。所以 0=E?x(t1| t)=E[?x(t1|t)|y(t0),...,y(t)] =E[x(t1) ?ˉx(t1|t)|y(t0),...,y(t)] =E[x(t1) |y(t0),...,y(t)]?ˉx(t1|t)=0 评论。（四）、t→∞时本部分内容的严格公式化需要希尔伯特空间 的一些基本概念。见Doob[15]与Lo`eve[16]。 （五）、定理2的物理学阐述大体上。如果我们不担心高斯性质的假设， A部分证明正交投影是所有合理损耗函数的最佳估计。如果我们确实担心 高斯性质的假设，甚至我们只考虑线性估计，对于多数合理的损耗函数而 言，正交投影都不是最佳估计。由于事实上一个有物理来源的随机过程在 多大程度上是高斯的很难把握，定理2究竟具有很广泛的还是很有限的重要 性也很难判断。 （六）、直接将定理2推广为矢量值随机变量的情况。事实上，定义 y(t0) ,...,y(t)生成的线性流形Y(t)为随机矢量y(t0),...,y(t)中每一个的 所有m个分量的所有线性组合t∑i =t0m∑j=1aijyj(i) 的集合。随后的部分可仿效前面的部分。 （七）、定理2有效的说明了，条件A或B下最佳估计是所有既往观测 的线性组合。换言之，最佳估计可考虑成线性滤波器的输出，滤波器的输 入是可观测随机变量实际发生的数值；定理2为计算最佳滤波器的脉冲响应 提供了方法。正如前面指出的，对脉冲响应的认识并不是问题的完整的解； 出于这个原因，不会给出计算脉冲响应的显式的公式。5 随机过程模型在同物理现象打交道时，仅仅给出经验性的描述是不够的，还必须对 潜在的原因有一定了解。如果不能在某种意义上区分原因和影响，亦即，5随机过程模型11 如果没有因果关系的假设，那么就几乎无法期待有用的结果。 通常人们都接受这样一个事实，即随机现象的主要宏观来源是独立的 高斯过程。一个著名的例子是电阻中由热扰动造成的噪声电压。在大多数 情况下，观测到的随机现象不能通过独立的随机变量来描述。通常，不同 时刻观测到的随机信号之间的统计依赖性（相关性）是由主要随机来源于 观测者之间存在动力学系统来解释的。因此以时间为自变量的随机函数可 以考虑为接受独立高斯随机过程激励的动力学系统的输出。 高斯随机信号的一个重要属性是，当它们通过线性系统之后，它们仍 然是高斯的（定理3的A部分）。假定有独立的、高斯的主要随机源，如果 观测到的随机信号也是高斯的，我们即可假定观测者与主要源之间的动力 学系统是线性的。我们之所以必须接受这条结论，也是因为对观测到的随 机信号的统计属性缺乏细致的了解：给定已知一阶、二阶平均的任意随机 过程，我们可以找到具有相同属性的高斯随机过程（定理3的C部分）。因 此，高斯分布和线性动力学性质是自然而然的、互为印证的假设，特别是 当统计数据贫乏的时候。 一个动力学系统（线性的或非线性的）是如何被描述的？基本思想是 状态的概念。这意味着，直观的来说，一些定量的信息（数的集合、函数， 等等）。如果要预测系统的未来行为，这些信息就是必须知道的有关系统过 去行为的最少量数据。这样，动力学性质就用术语状态过渡来描述，即， 必须指出随着时间的流逝，状态是如何过渡成另一个状态的。 线性动力学系统一般可以用矢量微分方程 dx/dt=F(t)x+D(t)u(t) 和 y(t)=M(t)x(t)? ? ? ? ? ? ?(12)表示，其中x是n维矢量，系统的状态（x的分量xi称为系统的 状态变 量）；u(t)是m维（m≤n）矢量，表示系统的输入；F(t)和D(t)分别 是n×n和n×m维矩阵。如果F(t),D(t),M(t)的所有系数都是常数，我 们就说动力学系统（式12）是时不变或定态的。最后，y(t)是p维矢量，表示系统的输出；M(t)是n×p维的矩阵；p≤n. 式12的物理阐释已经在别的文献中详细讨论过[18,20,23]。图1或许有所帮助。这是一副矩阵框图（图中箭头指示信号流向）。图1中的积分号事实上表示n个积分器，每个积分器的输出都是标量变量；F(t)表明积分器的输出如何反馈到积分器的输入。故fij( t)是第j积分器的输出反馈到i5随机过程模型12 积分器的输入的系数。将这种重视形式的方法与更为传统的线性系统分析方法联系起来并不困难。F (t) x(t)u(t) D(t) x(t)M(t) y(t)图 1:一般线性连续动力学系统的矩阵框图 如果我们假定如式12的系统是定态的，u(t)在每个抽样周期都不变， 即 u(t+τ)=u(t);0≤τ<1,t=0,1, (13) 那么式12立即可以变形成更方便的离散形式。 x(t+1)=Φ(1)x(t)+?(1)u(t);t=0,1,... 其中[18,20] Φ(1)=expF=∞∑i =0Fi/i!(F0=unitmatrix) 且 ?(1)=( ∫1 0exp Fτdτ)D 见图2。也可以通过拉普拉斯变换的方法[18,20,22,24]将Fτ表达成闭合的形式。如果u(t)满足式13但系统（式12非定态，类似的 x(t+1)=Φ(t+1;t)+?(t)u(t) y(t)=M(t)x(t)}t =0,1, (14) 但是显然现在无法用闭合形式表示Φ(t+1;t),?(t).形如式14的方程也经 常在研究复杂的抽样数据系统中遇到[22],见图2. Φ(t+1;t)是系统（如式12或式14）的过渡矩阵。记号Φ(t2; t1)意味 着从时刻t1到时刻 t2的过渡。显然，Φ(t;t)=I=单位矩阵。如果系统5随机过程模型13x(t+1)x(t)u(t)M(t) y(t) Φ(t+1;t) ?(t) unit delay图 2:一般线性离散动力学系统的矩阵框图 （如式12）是定态的，那么Φt+1;t=Φ(t+1?t)=Φ(1)=常数。注意 乘法规则：Φ(t;s)Φ(s;r)=Φ(t;r)和倒数规则Φ? 1(t;s)=Φ(s;t),其中 t,s,r都是整数。定态系统中，Φ(t;τ)=expF(t?τ). 作为前面讨论的结果，我们将用 x(t+1)=Φ(t+1;t)x(t)+u(t)(15) 模型来代表随机性现象，其中{u(t)}是矢量值独立高斯随机过程，均值为 零，完全由 Eu(t)=0对于一切t; Eu(t)u′( s)=0如果t?=s Eu(t)u′( t)=G(t). 描述（依照定理3C的观点）。当然（定理??A），x(t)也是零均值的高斯随 机过程，但不是独立的。事实上，如果我们认为式15处于稳定状态（假设 是稳定系统），换句话说，如果我们忽略初始状态x(t0) ,那么 x(t)=t ?1∑r=?∞Φ(t;r+1)u(r). 因此如果t≥s有 Ex(t)x′( s)=s?1∑r=?∞Φ(t;r+1)Q′(r)Φ′(s;r+1). 那么如果我们设想一个线性动力学系统并且知道高斯随机激励的统计学属 性，则可以简单的找到相应的高斯随机{x(t)}过程属性。6求解WIENER问题14 但是在现实生活中，情况通常是相反的。给定协方差矩阵Ex(t)x′( s) （或者甚至要试着从有限的统计数据中估计该矩阵）问题是得到式15和u(t) 的统计学属性。这是实验与数据处理中很微妙且当前大部分悬而未决的问 题。正如在大多数Wiener问题的工程学著作中那样，我们将发现从式15的 模型开始，将获得模型本身视为单独的问题是很方便的。的确，如果可能 应该将这两个问题联合优化；但是据作者所知并没有联合优化问题方面的 研究。 作为小结，有关随机过程的以下假设已经作出： 物理随机现象可认为是源于主要随机来源激励的动力学系统。假定主 要随机来源为独立的高斯随机过程，均值为零；动力学系统是线性的。随 机过程因此由模型（如式15）描述。不考虑如何从实验数据获取具体数值 以表示模型。6 求解Wiener问题让我们先来定义本文的主要问题。 问题一。考虑动力学模型 x(t+1)=Φ(t+1;t)x(t)+u(t)(16) y(t)=M(t)x(t)(17) 其中u(t)是一个n维矢量零均值独立高斯随机过程，y(t)是一个p维矢量 （p≤n），Φ(t+1;t),M(t)分别是n×n,p×n维矩阵，矩阵元是时间的非 随机函数。 给定y(t0) ,...,y(t)的观测值，找到x(t1)的估计x?(t1|t)以最小化期 望损耗。（见图2,其中?(t)=I.）6求解WIENER问题15MODELOFRANDOMPROCESSΦ(t+1;t) ?I x?( t|t?1) M(t) x?( t+s|t) ˉy(t|t?1) unit delay x?( t+1|t?1) x?( t+1|t) Φ(t+s;t+1)??( t) ?y(t|t?1)y (t)图3:最优滤波器的矩阵框图? ??( t) ? Φ(t+1;t) ?I x(t+1) unit delay x(t)? M(t)PHYSICALSYSTEMTOBECONTROLLEDu?( t)图4:最优控制器的矩阵框图7对偶问题167对偶问题 8应用 9结论本文从“状态”观点公式化并解决了 Wiener问题。一方面，这引领我 们找到一种常规的方法来处理问题（包括用其他方法将碰上困难的问题）。 另一方面，这也证明Wiener问题与控制论中的其他问题紧密相连。为了探 索这其中的联系，还需要更进一步的工作。参考文献[1]N.Wiener,“TheExtrapolation,InterpolationandSmoothingofSta- tionaryTimeSeries,”JohnWiley&Sons,Inc.,NewYork,N.Y.,1949. [2]L.A.ZadehandJ.R.Ragazzini,“AnExtensionofWiener’sTheoryof Prediction,”JournalofAppliedPhysics,vol.21,1950.pp.645-655. [3]H.W.BodeandC.E.Shannon,“ASimpli?edDerivationofLinear Least-SquaresSmoothingandPredictionTheory,”ProceedingsIRE,vol. 38,1950,pp.417-425. [4]R.C.Booton,“AnOptimizationTheoryforTime-VaryingLinearSys- temswithNonstationaryStatisticalInputs,”ProceedingsIRE,vol.40, 1952,pp.977-981. [5]https://www.360docs.net/doc/8313967119.html,ningandR.H.Battin,“RandomProcessesinAutomaticCon- trol,”McGraw-HillBookCompany,Inc.,NewYork,N.Y.,1956. [6]W.H.Davenport,Jr.,andW.L.Root,“AnIntroductiontotheTheory ofRandomSignalsandNoise,”McGraw-HillBookCompany,Inc.,New York,N.Y.,1958. [7]S.Darlington,“LinearLeast-SquaresSmoothingandPrediction,With Applications,”BellSystemTech.Journal,vol.37,1958,pp.1221-1294.参考文献17 [8]G.Franklin,“TheOptimumSynthesisofSampled-DataSystems”Doc- toraldissertation,Dept.ofElect.Engr.,ColumbiaUniversity,1955. [9]A.B.Lees,“InterpolationandExtrapolationofSampledData,”Trans. IREProf.GrouponInformationTheory,IT-2,1956,pp.173-175. [10]R.C.Davis,“OntheTheoryofPredictionofNonstationaryStochastic Processes,”JournalofAppliedPhysics,vol.23,1952,pp.1047-1053. [11]M.Shibrot,“OptimizationofTime-VaryingLinearSystemsWithNon- stationaryInputs,”Trans.ASME,vol.80,1958,pp.457-462. [12]M.Blum,“RecursionFormulasforGrowingMemoryDigitalFilters,” Trans.IREProf.GrouponInformationTheory,IT-4,1958,pp.24-30. 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[29]R.E.Kalman,“OntheGeneralTheoryofControlSystems,”Pro- ceedingsFirstInternationalConferenceonAutomaticControl,Moscow, USSR,1960.A随机过程：基本概念19A随机过程：基本概念为方便读者，我们在此对有关概率论以及随机过程的一些基本定义以 及事实进行回顾。一切都用尽可能简明的方式展现；如需深入或延伸，可 查阅Laning与Battin或Doob的工作。 随机变量是取值依赖于偶然性事件之结果的函数。随机变量的值可以 是任意方便的数学量；实数或复数，矢量，等等。为了简明，我们在此将 仅考虑实值随机变量，但这并非现实的约束。记随机变量为x,y,...,并记 其值为ξ,η,....随机变量的和、积、函数仍然是随机变量。 随机变量x可通过说明其小于或等于某个常数ξ的概率来显式的定 义。可以用符号表示为 Pr(x≤ξ)=Fx( ξ);Fx(?∞)=0,Fx(+∞)=1(18) Fx( ξ)称为随机变量x的概率分布函数。当Fx(ξ)对ξ可导时fx(ξ)=dFx(ξ) dξ称为 x的概率密度函数。 随机变量x的任意非随机函数g(x)的期望值（数学期望、统计平均、 系综平均、平均值都是常见的同义词）定义为 Eg(x)=E[g(x)]=∫∞ ?∞g (ξ)dFx(ξ)=∫∞ ?∞g (ξ)fx(ξ)dξ(19) 正如上文指出的，通常为了方便将会省略E后面的括号。随机变量（有限 的或无限的）的序列 {x(t)}=...,x(?1),x(0),x(1), (20) 叫做离散（或离散参数）随机（或概率性，此处原文为stochastic）过程。式20表示的随机过程的一组特定的观测值 ...,ξ(?1),ξ(0),ξ(1),... 称为该过程的实现（或抽样函数）。直觉上，随机过程是一组编排好索引从而有了时间概念的随机变量。 称随机过程是不相关的，如果 Ex(t)x(s)=Ex(t)Ex(s)(t?=s) 如果，更进一步的， Ex(t)x(s)=0(t?=s)A随机过程：基本概念20 则该随机过程是正交的。将x(t)替换为x′( t)=x(t)?Ex(t)则任意不相关 的随机过程都可以变成正交的随机过程，因为 Ex′( t)x′(s)=E[x(t)?Ex(t)]·[x(s)?Ex(s)]=Ex(t)x(s)?Ex(t)Ex(s)=0 记住这个实用的结论，如果某随机过程是正交的，那么 E[x(t1)+ x(t2)+...]2=Ex2(t1)+Ex2(t2)+...(t1?=t2?=...) 如果x是以x1,...,xn（当然也是随机变量）为分量的矢量值随机变量，矩阵 [E(xi? Exi)(xj?Exj)]=E(x?Ex)(x′?Ex′)=covx(21) 称为x的协方差矩阵。 随机过程可以通过说明任意有限数量的如下类型的事例同时发生的概 率来显式的明确说明 x(t1) ≤ξ1,...,x(tn)≤ξn;(t1?=...?=tn),i.e., Pr[(x(t1) ≤ξ1,...,x(tn)≤ξn)]=Fx(t1),...,x(tn)(ξ1,...,ξn)(22) (t1),...,x(tn)叫做随机变量x(t1),...,x(tn)的联合概率分布函数。这 样，联合概率密度函数即为 fx (t1),...,x(tn)(ξ1,...,ξn)= ?nFx (t1),...,x(tn)?ξ1,...,?ξn，假如需要的导数存在。n个随机变量的任意非随机函数的期望值 Eg[x(t1) ,...,x(tn)]由类似式19的n重积分定义。 如果对于任意有限个t1?= ...?=tn式22等于一阶分布的积 Pr[x(t1) ≤ξ1]...Pr[x(tn)≤ξn] 则该随机过程是独立的。如果一组随机变量是独立的，显然它们也是不相 关的。但是一般来说，反过来则并不成立。对于多于两个随机变量的一个 集合，任意两个互相独立并不足以使整个集合是独立的。 给定随机变量x(t1) ,...,x(tn)出现的实际值ξ1,...,ξn来考虑随机变 量x(tn +1的概率分布常常是人们关注的。记此分布为 Pr[x(tn +1≤ξn+1|x(t1)=ξ1,...,x(tn)=ξn] =∫ξn +1?∞fx(t1),...,x(tn+1)(ξ1,...,ξn+1)dξn+1fx(t1),...,x(tn)(ξ1,...,ξn) (23)A随机过程：基本概念21 并称之为给定x(t1) ,...,x(tn)的x(tn+1的条件概率分布函数。条件期望 E{g[x(tn +1)]|x(t1),...,x(tn)} 的定义类似式19.条件期望是一个随机变量；它服从 E[E{g[x(tn +1)]|x(t1),...,x(tn)}]=E{g[x(tn+1)]} 在本文所关注的所有情况中，如式19或者式23的积分并不需要显式的 计算出来，只有期望值的概念是需要的。 随机变量x是高斯的（或者正态分布的），如果 fx( ξ)= 1 [2πE(x?Ex)2]1 2exp [? 1 2 (x?Ex)2] 亦即人们熟知的钟状曲线。类似的，随机矢量x是高斯的，如果 fx( ξ)= 1 (2π)n 2( detC)1 2exp [? 1 2 (ξ?Ex)′C?1(ξ?Ex)] 其中C? 1是x协方差矩阵（式21）的逆。类似的可以定义高斯随机过程。高斯随机变量与随机过程的重要性大体上是由于下列事实： 定理3.A高斯随机过程的线性函数（因而有条件期望）是高斯随机变量。 B正交高斯随机变量是独立的。 C给定任意均值为Ex(t),协方差为Ex(t)x(s)的随机过程，存在唯一的高斯随机过程具备同样的均值与协方差。 2017 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:雷达系统导论 学生所在（系）:电子与信息工程学院 学生所在学科:电子与同学工程 学生姓名: 学号: 学生类别: 考核结果阅卷人 第 1 页（共页） 几种非线性滤波算法的介绍与性能分析 作者姓名：学号： 专业院系：电信学院电子工程系 电子邮件： 摘要—非线性滤波算法在雷达目标跟踪中有着重要的应用，对雷达的跟踪性能有着至关重要的影响。好的滤波算法有利于目标航迹的建立及保持，能够得到较精确的目标位置，为发现目标后的后续工作提供可靠的数据依据。本文重点介绍了雷达数据处理中的几种非线性滤波算法：扩展卡尔曼滤波（EKF）、不敏卡尔曼滤波（UKF）、粒子滤波（PF），并且给出了一个利用这三种算法进行数据处理的一个实例，通过这个实例对比分析了这三种算法的性能以及优劣。 关键字—非线性滤波算法；扩展卡尔曼滤波；不敏卡尔曼滤波；粒子滤波； I.概述（一级表题格式） 在雷达对目标进行跟踪前要先对目标进行检测。对于满足检测条件的目标就需要进行跟踪，在跟踪的过程中可以利用新获得的数据完成对目标的进一步检测比如去除虚假目标等，同时利用跟踪获得数据可以进一步完成对目标动态特性的检测和识别。因此对目标进行准确的跟踪是雷达性能的一个重要指标。在检测到满足条件的目标后，根据目标运动状态建立目标运动模型，然后对目标跟踪算法进行设计，这是雷达目标跟踪中的核心部分。 目前主要的跟踪算法包括线性自回归滤波，两点外推滤波、维纳滤波、- αβ滤波、加权最小二乘滤波、维纳滤波和卡尔曼滤波[1]。对于线性系统而言最优滤波的方法就是卡尔曼滤波，卡尔曼滤波是线性高斯模型下的最优状态估计算法。但是实际问题中目标的运动模型往往不是线性的，因此卡尔曼滤波具有很大的局限性。目前主要用的非线性滤波算法可以分为高斯滤波和粒子滤波[2]。不敏卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波就是高斯滤波中的典型代表，也是应用相对较为广泛的。粒子滤波的应用范围比高斯滤波的适用范围要广，对于系统状态非线性，观测模型非高斯等问题都有很好的适用性。本文具体分析阐述了扩展卡尔曼滤波算法，不敏卡尔曼滤波算法，粒子滤波算法，并且通过一个实例利用仿真的方法分析了这三种算法在滤波性能上的优劣，最后对这三种算法做了一定的总结。 我本科毕业设计题目为《基于历史数据的路径生成算法研究》，由于我是跨专业保研到电信学院，该课题所研究内容不属于雷达系统研究范围，是一种城市路网最快路径生成算法。 II.几种非线性滤波算法 A.扩展卡尔曼滤波 扩展卡尔曼滤波是将非线性系统转换为近似的线性系统的一种方法，其核心思想是围绕滤波值将非线性函数展开成泰勒级数并略去二阶及以上的项，得到一个近似的线性化模型，然后应用卡尔曼滤波完成状态估计。 扩展卡尔曼滤波状态空间模型： k k k w x f+ = + ) ( x 1 状态方程 k k k v x h+ =) ( z观测方程 其中(.) f和(.) h为非线性函数 在扩展卡尔曼滤波中，状态的预测以及观测值的预测由非线性函数计算得出，线性卡尔曼滤波中的状态转移矩阵A阵和观测矩阵H阵由f和h函数的雅克比矩阵代替。 对 (.) f和(.) h Taylor展开，只保留一次项有： ) ? ( ) ?( ) ( k k k k k x x A x f x f- + ≈ ) ? ( ) ?( ) ( k k k k k x x H x h x h- + ≈ 其中： k k x x k k dx df A ?= =为f对 1- k x求导的雅克比矩阵 k k x x k k dx dh H ?= =为h对 1- k x求导的雅克比矩阵 ) ?( ? 1-k k x f x=，于是可以得出： k k k k k k k w x A x f x A x+ - + ≈ + ) ? ) ?( ( 1 k k k k k k k v x H x h x H z+ - + ≈ + ) ? ) ?( ( 1 通过以上变换，将非线性问题线性化。接下来EKF 滤波过程同线性卡尔曼滤波相同，公式如下: )) | (?( ) |1 ( X?k k X f k k= + ) ( ) ( ) | ( ) ( ) |1 (P k Q k k k P k k k+ Φ' Φ = + )1 ( )1 ( ) |1 ( )1 ( )1 (S+ + + ' + + = +k R k H k k P k H k )1 ( )1 ( ) |1 ( )1 ( K1+ + ' + = +-k S k H k k P k Kalman Filter Xianling Wang July23,2016v1.0 目录 一、简介2 二、线性卡尔曼滤波方法2 2.1滤波方法描述 (2) 2.2滤波过程的其他细节 (3) 三、后记4 一、简介 卡尔曼滤波器（Kalman Filter）的核心功能是对观测值进行优化，尽可能降低误差的影响，使其更加贴近系统的实际值。 二、线性卡尔曼滤波方法 2.1滤波方法描述 假设系统在t时刻的状态由x t描述，x t包含了若干个变量，因此以向量的形式出现。同时假设系统状态相对于时间变化的机理是可知的，由式（1）描述，即 x t+1=F t x t+B t u t+w t(1)其中，F t为状态转移矩阵，描述t时刻状态对t+1时刻状态的影响程度；u t表示外界控制因素；B t为控制矩阵，描述外界控制因素对t+1时刻状态的影响程度；w t表示不可控的过程噪声，假设其协方差矩阵为Q t。式（1）所描述的关系是线性的，因此对其误差消除的滤波方法称为线性卡尔曼滤波方法。 假设对系统状态的观测是间接的，而且存在一定误差，即 z t=H t x t+v t(2)其中，z t为所用观测工具可以观测到的直接变量，不一定等同于系统状态中的变量，但却是和系统状态中的变量存在一定线性关系的变量；H t描述直接观测变量和系统状态变量之间的线性关系；v t表示观测误差，假设其协方差矩阵为R t。 虽然t时刻的观测值都是带有误差的，但由于系统状态相对于时间变化的机理是可知的，因此结合t?1时刻的某些信息可以削减该误差，提升t时刻观测值的精确度，得到t时刻的最优估计值，该估计值相对实际值的误差协方差为P t。 为了获得t时刻系统状态的最优估计值，线性卡尔曼滤波器需要以下3个方面的信息： 1.t?1时刻的最优估计值?x t?1； 2.t?1时刻最优估计值相对于实际值的误差协方差P t?1； 3.t时刻的观测值z t； 在获知这些信息的条件下，t时刻系统状态的最优估计值可以依据以下5个公式逐步获得： Kalman_Filter(float Gyro,float Accel) { Angle+=(Gyro - Q_bias) * dt; Pdot[0]=Q_angle - PP[0][1] - PP[1][0]; Pdot[1]= - PP[1][1]; Pdot[2]= - PP[1][1]; Pdot[3]=Q_gyro; PP[0][0] += Pdot[0] * dt; PP[0][1] += Pdot[1] * dt; PP[1][0] += Pdot[2] * dt; PP[1][1] += Pdot[3] * dt; Angle_err = Accel - Angle; PCt_0 = C_0 * PP[0][0]; PCt_1 = C_0 * PP[1][0]; E = R_angle + C_0 * PCt_0; K_0 = PCt_0 / E; K_1 = PCt_1 / E; t_0 = PCt_0; t_1 = C_0 * PP[0][1]; PP[0][0] -= K_0 * t_0; PP[0][1] -= K_0 * t_1; PP[1][0] -= K_1 * t_0; PP[1][1] -= K_1 * t_1; Angle += K_0 * Angle_err; Q_bias += K_1 * Angle_err; Gyro_x = Gyro - Q_bias; } 首先是卡尔曼滤波的5个方程： -=--+（1）先验估计 X k k AX k k Bu k (|1)(1|1)() -=--+（2）协方差矩阵的预测(|1)(1|1)' P k k AP k k A Q 卡尔曼滤波简介及其算法实现代码 卡尔曼滤波算法实现代码（C，C＋＋分别实现） 卡尔曼滤波器简介 近来发现有些问题很多人都很感兴趣。所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所能及的算法。现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允许，我还希望能够写写其他的算法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波，神经网络，图像处理等等。 因为这里不能写复杂的数学公式，所以也只能形象的描述。希望如果哪位是这方面的专家，欢迎讨论更正。 卡尔曼滤波器– Kalman Filter 1．什么是卡尔曼滤波器 （What is the Kalman Filter?） 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： https://www.360docs.net/doc/8313967119.html,/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就 第十三章 卡尔曼滤波 在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。卡尔曼滤波的基本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算Gauss ARMA 模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。 §13.1 动态系统的状态空间表示 我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设基础上，继续分析动态系统的表示方法。 13.1.1 继续使用的假设 假设t y 表示时刻t 观测到的n 维随机向量，一类非常丰富的描述t y 动态性的模型可以利用一些可能无法观测的被称为状态向量(state vector)的r 维向量t ξ表示，因此表示t y 动态性的状态空间表示(state-space representation)由下列方程系统给出： 11+++=t t t v ξF ξ 状态方程(state model) (13.1) t t t w ξH x A y t +'+'= 量测方程(observation model) (13.2) 这里F ，A '和H '分别是阶数为r r ?，k n ?和r n ?的参数矩阵，t x 是1?k 的外生或者前定变量。方程(13.1)被称为状态方程(state model)，方程(13.2)被称为量测方程(observation model)，1?r 维向量t v 和1?n 维向量t w 都是向量白噪声，满足： ???≠=='τ ττ t t E t ,,)(0Q v v (13.3) ? ??≠=='τττt t E t ,,)(0R w w (13.4) 这里Q 和R 是r r ?和n n ?阶矩阵。假设扰动项t v 和t w 对于所有阶滞后都是不相关的，即对所有t 和τ，有： 0w v =')(τ t E (13.5) t x 是外生或者前定变量的假定意味着，在除了包含在121,,,y y y Λ--t t 内的信息以外，t x 没有为s t +ξ和s t +w (Λ,2,1,0=s )提供任何新的信息。例如，t x 可以包括t y 的滞后值，也可以包括与τξ和τw (任意τ)不相关的变量。 方程系统中方程(13.1)至方程(13.5)可以表示有限观测值的序列 },,,{21T y y y Λ，这时需要状态向量初始值1ξ。假设1ξ与t v 和t w 的任何实现都不 自适应卡尔曼滤波 卡尔曼滤波发散的原因 如果卡尔曼滤波是稳定的，随着滤波的推进，卡尔曼滤波估计的精度应该越来越高，滤波误差方差阵也应趋于稳定值或有界值。但在实际应用中，随着量测值数目的增加，由于估计误差的均值和估计误差协方差可能越来越大，使滤波逐渐失去准确估计的作用，这种现象称为卡尔曼滤波发散。 引起滤波器发散的主要原因有两点： （1）描述系统动力学特性的数学模型和噪声估计模型不准确，不能直接真实地反映物理过程，使得模型与获得的量测值不匹配而导致滤波发散。这种由于模型建立过于粗糙或失真所引起的发散称为滤波发散。 （2）由于卡尔曼滤波是递推过程，随着滤波步数的增加，舍入误差将逐渐积累。如果计算机字长不够长，这种积累误差很有可能使估计误差方差阵失去非负定性甚至失去对称性，使滤波增益矩阵逐渐失去合适的加权作用而导致发散。这种由于计算舍入误差所引起的发散称为计算发散。 针对上述卡尔曼滤波发散的原因，目前已经出现了几种有效抑制滤波发散的方法，常用的有衰减记忆滤波、限定记忆滤波、扩充状态滤波、有限下界滤波、平方根滤波、和自适应滤波等。这些方法本质上都是以牺牲滤波器的最优性为代价来抑制滤波发散，也就是说，多数都是次优滤波方法。 自适应滤波 在很多实际系统中，系统过程噪声方差矩阵Q和量测误差方差阵R事先是不知道的，有时甚至连状态转移矩阵 或量测矩阵H也不能确切建立。如果所建立的模型与实际模型不符可能回引起滤波发散。自适应滤波就是这样一种具有抑制滤波发散作用的滤波方法。在滤波过程中，自适应滤波一方面利用量测值修正预测值，同时也对未知的或不确切的系统模型参数和噪声统计参数进行估计修正。自适应滤波的方法很多，包括贝叶斯法、极大似然法、相关法与协方差匹配法，其中最基本也是最重要的是相关法，而相关法可分为输出相关法和新息相关法。 卡尔曼滤波算法实现代码 C++实现代码如下： ============================kalman.h================= =============== // kalman.h: interface for the kalman class. // ////////////////////////////////////////////////////////////////////// #if !defined(AFX_KALMAN_H__ED3D740F_01D2_4616_8B74_8BF57636F2C0__IN CLUDED_) #define AFX_KALMAN_H__ED3D740F_01D2_4616_8B74_8BF57636F2C0__INCLU DED_ #if _MSC_VER > 1000 #pragma once #endif// _MSC_VER > 1000 #include kalman(int x=0,int xv=0,int y=0,int yv=0); //virtual ~kalman(); }; #endif// !defined(AFX_KALMAN_H__ED3D740F_01D2_4616_8B74_8BF57636F2C 0__INCLUDED_) ============================kalman.cpp=============== ================= #include "kalman.h" #include 卡尔曼滤波简介及其算法实现代码（C++/C/MATLAB） 卡尔曼滤波器简介 近来发现有些问题很多人都很感兴趣。所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所能及的算法。现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允许，我还希望能够写写其他的算法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波，神经网络，图像处理等等。 因为这里不能写复杂的数学公式，所以也只能形象的描述。希望如果哪位是这方面的专家，欢迎讨论更正。 卡尔曼滤波器– Kalman Filter 1．什么是卡尔曼滤波器 （What is the Kalman Filter?） 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： https://www.360docs.net/doc/8313967119.html,/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5 条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 卡尔曼滤波的基本原理及应用卡尔曼滤波在信号处理与系统控制领域应用广泛，目前，正越来越广泛地应用于计算机应用的各个领域。为了更好地理解卡尔曼滤波的原理与进行滤波算法的设计工作，主要从两方面对卡尔曼滤波进行阐述：基本卡尔曼滤波系统模型、滤波模型的建立以及非线性卡尔曼滤波的线性化。最后，对卡尔曼滤波的应用做了简单介绍。 卡尔曼滤波属于一种软件滤波方法，其基本思想是：以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值，算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。 最初的卡尔曼滤波算法被称为基本卡尔曼滤波算法，适用于解决随机线性离散系统的状态或参数估计问题。卡尔曼滤波器包括两个主要过程：预估与校正。预估过程主要是利用时间更新方程建立对当前状态的先验估计，及时向前推算当前状态变量和误差协方差估计的值，以便为下一个时间状态构造先验估计值；校正过程负责反馈，利用测量更新方程在预估过程的先验估计值及当前测量变量的基础上建立起对当前状态的改进的后验估计。这样的一个过程，我们称之为预估－校正过程，对应的这种估计算法称为预估－校正算法。以下给出离散卡尔曼滤波的时间更新方程和状态更新方程。 时间更新方程： 状态更新方程： 在上面式中，各量说明如下： A：作用在X k-1上的n×n 状态变换矩阵 B：作用在控制向量U k-1上的n×1 输入控制矩阵 H：m×n 观测模型矩阵，它把真实状态空间映射成观测空间 P k－：为n×n 先验估计误差协方差矩阵 P k：为n×n 后验估计误差协方差矩阵 Q：n×n 过程噪声协方差矩阵 R：m×m 过程噪声协方差矩阵 I：n×n 阶单位矩阵K k：n×m 阶矩阵，称为卡尔曼增益或混合因数 随着卡尔曼滤波理论的发展，一些实用卡尔曼滤波技术被提出来，如自适应滤波，次优滤波以及滤波发散抑制技术等逐渐得到广泛应用。其它的滤波理论也迅速发展，如线性离散系统的分解滤波（信息平方根滤波，序列平方根滤波，UD 分解滤波），鲁棒滤波（H∞波）。 非线性样条自适应滤波：这是一类新的非线性自适应滤波器，它由一个线性组合器后跟挠性无记忆功能的。涉及的自适应处理的非线性函数是基于可在学习 Kalman 滤波算法 姓名：刘金强 专业：控制理论与控制工程 学号：2007255 ◆实验目的： （1）、掌握klman 滤波实现的原理和方法 （2）、掌握状态向量预测公式的实现过程 （3）、了解Riccati 差分方程实现的过程和新息的基本性质和过程的计算 ◆实验要求： 问题： F=[a1,a2,a3],其中a1=[1.0 0 0]的转置，a2=[0.3 1.0 0]的转置，a3=[0.1 0.2 0.4]的转置，x(0)=[3,-1,2]的转置；C=[b1,b2,b3],其中b1=[0.3 0.5]的转置，b2=[1,0.4]的转置，b3=[0.8 -0.7]的转置；V1(n)=[0 0 n1(n)sin(0.1n)]的转置，V2(n)=[n2(n) n3(n)];n1(n)为均值为零，方差为1的均匀分布白噪声;n2(n),n3(n)为均值为0，方差为0.1的均匀分布白噪声,n1(n),n2(n),n3(n)相互独立，试用卡尔曼滤波器算法估计x^(n). ◆实验原理： 初始条件： 1?(1)x =E{x(1)} K(1,0)=E{[x(1)- (1)x ][x(1)- (1)H x ]},其中(1)x =E{x(1)} 输入观测向量过程： 观测向量序列={y(1),…………y(n)} 已知参数： 状态转移矩阵F(n+1,n) 观测矩阵C(n) 过程噪声向量的相关矩阵1()Q n 观测噪声向量的相关矩阵2()Q n 计算：n=1,2,3,………………. G(n)=F(n+1,n)K(n,n+1) ()H C n 12[()(,1)()()]H C n K n n C n Q n --+ Kalman 滤波器是一种线性的离散时间有限维系统。Kalman 滤波器的估计性能是：它使滤波后的状态估计误差的相关矩阵P(n)的迹最小化。这意味着，kalman 滤波器是状态向量x(n)的线性最小方差估计。 ◆实验结果： ◆程序代码： （1）主程序 10.6 卡尔曼滤波器简介 本节讨论如何从带噪声的测量数据把有用信号提取出来的问题。通常，信号的频谱处于有限的频率范围内，而噪声的频谱则散布在很广的频率范围内。如前所述，为了消除噪声，可以把 FIR滤波器或IIR滤波器设计成合适的频带滤波器，进行频域滤波。但在许多应用场合，需要进行时域滤波，从带噪声的信号中提取有用信号。虽然这样的过程其实也算是对信号的滤波，但所依据的理论,即针对随机信号的估计理论,是自成体系的。人们对随机信号干扰下的有用信号不能“确知”，只能“估计”。为了“估计”，要事先确定某种准则以评定估计的好坏程度。最小均方误差是一种常用的比较简单的经典准则。典型的线性估计器是离散时间维纳滤波器与卡尔曼滤波器。 对于平稳时间序列的最小均方误差估计的第一个明确解是维纳在1942年2月首先给出的。当时美国的一个战争研究团体发表了一个秘密文件，其中就包括维纳关于滤波问题的研究工作。这项研究是用于防空火力控制系统的。维纳滤波器是基于最小均方误差准则的估计器。为了寻求维纳滤波器的冲激响应，需要求解著名的维纳-霍夫方程。这种滤波理论所追求的是使均方误差最小的系统最佳冲激响应的明确表达式。这与卡尔曼滤波（Kalman filtering）是很不相同的。卡尔曼滤波所追求的则是使均方误差最小的递推算法。 在维纳进行滤波理论研究并导出维纳-霍夫方程的十年以前，在1931年，维纳和霍夫在数学上就已经得到了这个方程的解。 对于维纳-霍夫方程的研究，20世纪五十年代涌现了大量文章，特别是将维纳滤波推广到非平稳过程的文章甚多，但实用结果却很少。这时正处于卡尔曼滤波问世的前夜。 维纳滤波的困难问题，首先在上世纪五十年代中期确定卫星轨道的问题上遇到了。1958年斯韦尔林（Swerling）首先提出了处理这个问题的递推算法，并且立刻被承认和应用。1960年卡尔曼进行了比斯韦尔林更有意义的工作。他严格地把状态变量的概念引入到最小均方误差估计中来，建立了卡尔曼滤波理论。空间时代的到来推动了这种滤波理论的发展。 维纳滤波与卡尔曼滤波所研究的都是基于最小均方误差准则的估计问题。 维纳滤波理论的不足之处是明显的。在运用的过程中，它必须把用到的全部数据存储起来，而且每一时刻都要通过对这些数据的运算才能得到所需要的各种量的估值。按照这种滤波方法设置的专用计算机的存储量与计算量必然很大，很难进行实时处理。虽经许多科技工作者的努力，在解决非平稳过程的滤波问题时，给出能用的方法为数甚少。到五十年代中期，随着空间技术的发展，这种方法越来越不能满足实际应用的需要，面临了新的挑战。尽管如此，维纳滤波理论在滤波理论中的开拓工作是不容置疑的，维纳在方法论上的创见，仍然影响着后人。 五十年代中期，空间技术飞速发展，要求对卫星轨道进行精确的测量。为此，人们将滤波问题以微分方程表示，提出了一系列适应空间技术应用的精练算法。1960年 卡尔曼，美国数学家和电气工程师。1930年5月 19日生于匈牙利首都布达佩斯。1953年在美国麻省理工学院毕业获理学士学位,1954年获理学硕士学位,1957年在哥伦比亚大学获科学博士学位。1957～1958年在国际商业机器公司(IBM)研究大系统计算机控制的数学问题。1958～1964年在巴尔的摩高级研究院研究控制和数学问题。1964～1971年到斯坦福大学任教授。1971年任佛罗里达大学数学系统理论研究中心主任，并兼任苏黎世的瑞士联邦高等工业学校教授。1960年卡尔曼因提出著名的卡尔曼滤波器而闻名于世。卡尔曼滤波器在随机序列估计、空间技术、工程系统辨识和经济系统建模等方面有许多重要应用。1960年卡尔曼还提出能控性的概念。能控性是控制系统的研究和实现的基本概念，在最优控制理论、稳定性理论和网络理论中起着重要作用。卡尔曼还利用对偶原理导出能观测性概念，并在数学上证明了卡尔曼滤波理论与最优控制理论对偶。为此获电气与电子工程师学会(IEEE)的最高奖──荣誉奖章。卡尔曼著有《数学系统概论》(1968)等书。 什么是卡尔曼滤波 最佳线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼 滤波理论。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。 卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统的状态向量。它以“预测—实测—修正”的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。 释文：卡尔曼滤波器是一种由卡尔曼（Kalman）提出的用于时变线性系统的递归滤波器。这个系统可用包含正交状态变量的微分方程模型来描述，这种滤波器是将过去的测量估计误差合并到新的测量误差中来估计将来的误差。 卡尔曼滤波的应用 斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器.卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时,发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用,后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器. 关于这种滤波器的论文由Swerling (1958), Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表. 卡尔曼滤波研究综述 1 卡尔曼滤波简介 1.1卡尔曼滤波的由来 1960年卡尔曼发表了用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文-《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法），在这篇文章里一种克服了维纳滤波缺点的新方法被提出来，这就是我们今天称之为卡尔曼滤波的方法。卡尔曼滤波应用广泛且功能强大，它可以估计信号的过去和当前状态甚至能估计将来的状态即使并不知道模型的确切性质。 其基本思想是以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值。算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。 对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。它的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 1.2标准卡尔曼滤波-离散线性卡尔曼滤波 为了描述方便我们作以下假设：物理系统的状态转换过程可以描述为一个离散时间的随机过程；系统状态受控制输入的影响；系统状态及观测过程都不可避免受噪声影响；对系统状态是非直接可观测的。在以上假设前提下，得到系统的状体方程和观测方程。 X ?? 1-1 式中:X k 为状态向量,L k 为观测向量,Φk,k-1为状态转移矩阵,U k-1为控制向量,一般 不考虑,Γk,k-1,B k 为系数矩阵,Ωk-1为系统动态噪声向量,Δk 为观测噪声向量,其随机模 型为 E(Ωk ) =0;E(Δk ) =0;cov(Ωk ,Ωj ) = D Ω(k )δkj , cov(Δk ,Δj ) = D k (k )δkj ;cov(Ωk ,Δj ) =0;E(X 0) =μx(0) var(X 0) = D(X 0);cov(X 0,Ωk ) =0;cov(X 0,Δk ) =0. 1-2 卡尔曼滤波递推公式为 X ∧(k/k) = X ∧(k/k-1)+J k (L k -B k X ∧(k/k-1)), D(k/k) = (E-J k B k )D x (k/k-1), J k = D x (k/k-1)BT k [B k D x (k/k-1)]B T k +D Δ(k)]-1, X ∧ (k/k-1) =Φk ,k-1X ∧ (k-1/k-1), D x (k/k-1) =Φk ,k-1D x (k-1/k-1)ΦT k ,k-1+Γk ,k-1D Δ(k-1)ΓT k ,k-1. 1-3 2 几种最新改进型的卡尔曼滤波算法。 2.1 近似二阶扩展卡尔曼滤波 标准的卡尔曼滤波只适用于线性系统，而工程实际问题涉及的又大多是非 线性系统，于是基于非线性系统线性化的扩展卡尔曼滤波(EKF)在上世纪70年代 被提出,目前已经成为非线性系统中广泛应用的估计方法。近似二阶扩展卡尔曼 滤 波方法(AS-EKF)基于线性最小方差递推滤波框架,应用均值变换的二阶近似从 而得到非线性系统的递推滤波滤波框架 该滤波基于线性最小方差递推框架，状态X 的最小方差估计为 线性离散卡尔曼滤波公式 两种数学推导方法的比较 1. 引言 卡尔曼滤波属于一种软件滤波方法，其基本思想是：以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值，算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。从研究的历史来看，卡尔曼是首先研究的离散形式的卡尔曼滤波问题，所以最初的卡尔曼滤波算法被称为基本卡尔曼滤波算法，适用于解决随机线性离散系统的状态或参数估计问题。下面分别对比了离散线性卡尔曼滤波器的相关公式推导的两种方法。 2. 离散线性卡尔曼滤波器的直观数学推导 下面从直观角度来推导线性离散系统的卡尔曼滤波器，这是书中的推导方法。首先假设线性离散系统模型如下 ,11,11 k k k k k k k k k k k x w z H x v x ----=Φ+Γ=+ 其中，1k w -为过程噪声，k v 为观测噪声，k z 为第k 次的测量值，/?k k x 是k x 的最优线性估计，/1?k k x -是k x 的一步预报估计。过程噪声1k w -和观测噪声k v 的统计特性为： 1[]0,(,)[]0,(,)(,)0 k ww k kj k vv k kj wv E w R k j Q E v R k j R R k j δδ-===== 初始状态0x 的统计特性为： 0000?[],()E x x Var x P == 并假定0x 与k w 和k v 均无关，则有： 00(0,)(,)0(0,)(,)0 T xw k T xv k R k E x w R k E x v ==== 据以上假设及条件，可得如下直观形式 /1,11/1/1/1//1/1??????k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x z H x x x K z --------=Φ==+ 一个应用实例详解卡尔曼滤波及其算法实现 标签：算法filtermatlabalgorithm优化工作 2012-05-14 10:4875511人阅读评论(25)收藏举报分类： 数据结构及其算法（4） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。 我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。 我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。 由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23 度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance（协方差）来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。 现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56 度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。 卡尔曼滤波简介说明及其算法MATLAB实现代码 卡尔曼滤波算法实现代码（C，C＋＋分别实现） 卡尔曼滤波器简介 近来发现有些问题很多人都很感兴趣。所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所能及的算法。现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允许，我还希望能够写写其他的算法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波，神经网络，图像处理等等。 因为这里不能写复杂的数学公式，所以也只能形象的描述。希望如果哪位是这方面的专家，欢迎讨论更正。 卡尔曼滤波器– Kalman Filter 1．什么是卡尔曼滤波器 （What is the Kalman Filter?） 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： https://www.360docs.net/doc/8313967119.html,/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就 毕业设计(论文)外文资料翻译 系 ： 电气工程学院 专 业： 电子信息科学与技术 姓 名： 周景龙 学 号： 0601030115 外文出处： Department of Computer Science University of North Carolina at Chapel Hill Chapel Hill,NC27599-3175 附 件：1.外文资料翻译译文；2.外文原文。 (用外文写) 卡尔曼滤波器介绍 摘要 在1960年，卡尔曼出版了他最著名的论文，描述了一个对离散数据线性滤波问题的递归解决方法。从那以后，由于数字计算的进步，卡尔曼滤波器已经成为广泛研究和应用的主题，特别在自动化或协助导航领域。 卡尔曼滤波器是一系列方程式，提供了有效的计算（递归）方法去估计过程的状态，是一种以平方误差的均值达到最小的方式。滤波器在很多方面都很强大：它支持过去，现在，甚至将来状态的估计，而且当系统的确切性质未知时也可以做。 这篇论文的目的是对离散卡尔曼滤波器提供一个实际介绍。这次介绍包括对基本离散卡尔曼滤波器推导的描述和一些讨论，扩展卡尔曼滤波器的描述和一些讨论和一个相对简单的（切实的）实际例子。 离散卡尔曼滤波器 在1960年，卡尔曼出版了他最著名的论文，描述了一个对离散数据线性滤波问题的递归解决方法[Kalman60]。从那以后，由于数字计算的进步，卡尔曼滤波器已经成为广泛研究和应用的主题，特别在自动化或协助导航领域。第一章讲述了对卡尔曼滤波器非常“友好的”介绍[Maybeck79]，而一个完整的介绍可以在[Sorenson70]找到，也包含了一些有趣的历史叙事。更加广泛的参考包括Gelb74；Grewal93；Maybeck79；Lewis86；Brown92；Jacobs93]. 被估计的过程 卡尔曼滤波器卡用于估计离散时间控制过程的状态变量 n x ∈?。这个离散 时间过程由以下离散随机差分方程描述： 111k k k k x Ax bu w ---=++ （1.1） 测量值m z ∈?，k k k z Hx v =+ （1.2） 随机变量k w 和k v 分别表示过程和测量噪声。他们之间假设是独立的，正态分布的高斯白噪: ()~(0)p w N Q ， （1.3） ()~(0)p v N R ， （1.4） 在实际系统中，过程噪声协方差矩阵Q 和观测噪声协方差矩阵R 可能会随每次迭代计算而变化。但在这儿我们假设它们是常数。 当控制函数1k u - 或过程噪声1k w -为零时，差分方程1.1中的n n ? 阶增益矩阵A 将过去k-1 时刻状态和现在的k 时刻状态联系起来。实际中A 可能随时间变化，但几种非线性滤波算法的研究-内附程序
卡尔曼滤波简述
卡尔曼滤波算法总结
卡尔曼滤波简介及其算法实现代码
时间序列分析方法Kalman滤波
几种卡尔曼滤波算法理论
卡尔曼滤波算法(C--C++两种实现代码)
卡尔曼滤波简介及其实现(附C代码)
卡尔曼滤波的基本原理及应用
Kalman滤波算法
卡尔曼滤波器介绍 --- 最容易理解
卡尔曼滤波简介和实例讲解.
卡尔曼滤波研究综述
线性离散卡尔曼滤波器
卡尔曼滤波算法与matlab实现
卡尔曼滤波简介及其算法MATLAB实现代码
卡尔曼滤波器介绍外文翻译