流体静力学基本方程式
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流体静力学基本方程式
现讨论流体在重力和庄力作用下的平衡规律，这时流体处
于相对静止状态。由于重力就是地心吸力，可以看作是不变的，起变化的是压力。所以实质上是讨论静止流体内部压力（压强）变化的规律。描述这一规律的数学表达式，称为流体静力学基本方程式。此方程式可通过下面的方法推导而得。
在具有密度为ρ的静止流体中，取一微元立方体，其边长分别为dx、dy、dz，它们并分别与x、y、z轴平行，如图1-2所示。图1-2 微元流体的静力平衡
由于流体处于静止状态，因此所有作用于该立方体上的力在坐标轴上的投影之代数和应等于零。
对于z轴，作用于该立方体上的力有：
（1）作用于下底面的压力为pdxdy。
（2）作用于上底面的压力为
（3）作用于整个立方体的重力为-ρgdxdydz。
z轴方向力的平衡式可写成：
即
上式各项除以dxdydz，则z轴方向力的平衡式可简化为：（1-7a）
对于x、y轴，作用于该立方体的力仅有压力，也可写
出其相应的力的平衡式，简化后得：x轴（1-7b）y轴（1-7c）
式1-7a、1-7b、1-7c称为流体平衡微分方程式，积分该微分方程组，可得到流体静力学基本方程式。
将式1-7a、1-7b、1-7c分别乘以z、dx、dy，并相加后
得：（1-7d）
上式等号的左侧即为压强的全微分dp，于是：（1-7e）
对于不可压缩流体，ρ=常数，积分上式，得：（1-7f）
液体可视为不可压缩的流体，在静止液体中取任意两点，如图1-3所示，则有：（1-8）
或（1-8a）
为讨论方便，对式1-8a进行适当的变换，即使点1处于容器的液面上，设液面上方的压强为p0，距液面h处的点2压强为p，式1-8a可改写为：（1-8b）
式1-8、1-8a、及1-8b称为流体静力学基本方程式，说明在重力场作用下，静止液体内部压强的变化规律。由式
1-8b可见：
（1）当容器液面沙锅内方的压强p0一定时，静止液体内部任一点压强p的大小与液体本身的密度ρ和该点距离液面的深长h有关。因此，在静止的、连续的同一液面内，处于同一水平面上各点的压强都相等。
（2）当液面上方的压强p0有改变时，液体内部各点的压强p也发生同样大小的改变。
（3）式1-8b可改写为：（p-p0）/ρg=h
上式说明压强差的大小可以用一定高度的液体柱表示，这就是前面所介绍的压强可以用mmHg、mmH2O等单位来计量的依据。当用液柱高度来表示压强或压强差时，必须注明是何种液体，否则就失去了意义。
式1-8、1-8a、及1-8b是以恒密度推导出来的。液体的密度可视为常数，而气体的密度除随温度变化外还随压强而变化，因此也随它在容器内的位置高低而改变但在化工容器里这种变化一般可以忽略。因此，式1-8、1-8a、及1-8b也适用于气体，所以这些式于统称为流体静力学基本方程式。
值得注意的是，上述方程式只能用于静止的连通着的同一种连续的流体。
【例1-2】本题附图所示的开口容器内盛有油和水。油层高度h1=0.7m、密度ρ1=800kg/m3，水层高度h2=0.6m、密度ρ2=1000kg/m3。
（1）判断下列两关系是否成立，即：pA=pA′
pB=pB′
（2）计算水在玻璃管内的高度h。
解：
（1）判断题给两关系式是否成立
pA=pA′的关系成立。因A及A′两点在径直的连通着的同一种液体内，并在同一水平面上。所以截面A-A′称为等压面。
pB=pB′不能成立。因B及B′两点虽在静止流体的同一水平面上，但不是连通着的同一种液体，即截面B-B′不是等压面。
附图1-2 附图
（2）计算玻璃管内水的高度h
由上面讨论知，pA=pA′，而pA与pA′都可以用流体静力学基本方程计算，即：pA=pa+ρ1gh1+ρ2gh2pA′=pa+ρ2gh
于是pa+ρ1gh1+ρ2gh2=pa+ρ2gh
简化上式并将已知值代入，得：800×0.7+1000×0.6=1000h
流体静力学基本方程
三、流体静力学基本方程式 1、方程的推导 设：敞口容器内盛有密度为ρ的静止流体，取任意一个垂直流体液柱，上下底面积 均为Am 2。 作用在上、下端面上并指向此两端面的压力 分别为 P 1和 P 2 。 该液柱在垂直方向上受到的作用力有: （1）作用在液柱上端面上的总压力P 1 P 1= p 1 A (N) ↓ （2）作用在液柱下端面上的总压力 P 2 P 2= p 2 A (N) ↑ （3）作用于整个液柱的重力G G =ρgA(Z 1-Z 2) (N) ↓ 由于液柱处于静止状态，在垂直方向上的三个作用力的合力为零，即 ： p 1 A+ ρgA(Z 1 -Z 2) -–p 2 A = 0 令： h= (Z 1 -Z 2) 整理得： p 2 = p 1 + ρgh 若将液柱上端取在液面，并设液面上方的压强为 p 0 ； 则： p 0 = p 1 + ρgh 上式均称为流体静力学基本方程式，它表明了静止流体内部压力变化的规律。 即：静止流体内部某一点的压强等于作用在其上方的压强加上液柱的重力压强。 2、静力学基本方程的讨论: （1）在静止的液体中，液体任一点的压力与液体密度和其深度有关。 （2）在静止的、连续的同一液体内，处于同一水平面上各点的压力均相等。 （3）当液体上方的压力有变化时，液体内部各点的压力也发生同样大小的变化。
（4） g h p p ρ+=12 或g p p h ρ12-= 压强差的也大小可利用一定高度的液体柱来表示。 （5）整理得：g g z p g z 2 21 1ρρ+=+ 也为静力学基本方程 （6）方程是以不可压缩流体推导出来的，对于可压缩性的气体，只适用于压强变化不大的情况。 3、静力学基本方程的应用 (1) 测量流体的压差或压力 ① U 管压差计 U 管压差计的结构如图。 对指示液的要求：指示液要与被测流体不互溶，不起 化学作用，且其密度指ρ应大于被测流体的密度ρ。 通常采用的指示液有：水、油、四氯化碳或汞等。 测压差：设流体作用在两支管口的压力为1p 和2p ，且1p ＞2p ， A-B 截面为等压面 即：B A p p = 根据流体静力学基本方程式分别对U 管左侧和U 管右侧进行计算, 整理得： ()Rg p p ρρ-=-指21 讨论：（a ）压差（21p p -）只与指示液的读数R 及指示液同被测流体的密度差有关。（b ）若压差△p 一定时，（21p p -）越小，读数R 越大，误差较小。 （c ）若被测流体为气体， 气体的密度比液体的密度小得多，即()指指ρρρ≈-， 上式可简化为： Rg p p 指ρ=-21
流体静力学基本方程式
第一节流体静力学基本方程式 流体静力学是研究流体在外力作用下达到平衡的规律。在工程实际中，流体的平衡规律 应用很广，如流体在设备或管道内压强的变化与测量、液体在贮罐内液位的测量、设备的液封等均以这一规律为依据。 1-1-1流体的密度 一、密度 单位体积流体所具有的质量，称为流体的密度，其表达式为： m(1-1) V 式中p -------------------流体的密度，kg/m3; m ---- 流体的质量，kg; V——流体的体积，m3。 不同的流体密度不同。对于一定的流体，密度是压力P和温度T的函数。液体的密度 随压力和温度变化很小，在研究流体的流动时，若压力和温度变化不大，可以认为液体的密度为常数。密度为常数的流体称为不可压缩流体。 流体的密度一般可在物理化学手册或有关资料中查得，本教材附录中也列出某些常见气 体和液体的密度值，可供查用。 二、气体的密度 气体是可压缩的流体，其密度随压强和温度而变化。因此气体的密度必须标明其状态， 从手册中查得的气体密度往往是某一指定条件下的数值，这就涉及到如何将查得的密度换算 为操作条件下的密度。但是在压强和温度变化很小的情况下，也可以将气体当作不可压缩流体来处理。 对于一定质量的理想气体，其体积、压强和温度之间的变化关系为 pV p'V' T T' 将密度的定义式代入并整理得 '112 (1-2) 式中p——气体的密度压强，Pa; V ----- 气体的体积，m3; T——气体的绝对温度，K; 上标“’”表示手册中指定的条件。 一般当压强不太高，温度不太低时，可近似按下式来计算密度。 pM (1-3a) RT 或M T o p T°p 22.4 Tp00Tp o
流体静力学基本方程
图卜2流体静力学皐木方程式的推导 (3) 作用于整个液柱的重力 G G = JgA(Z i -Z 2)(N) 0 由于液柱处于静止状态，在垂直方向上的三个作用力的合力为零，即 ： p i A+ ：?gA(Z i -Z 2) - — p 2 A = 0 令：h= (Z i -Z 2) 整理得： p 2 = p i +「gh 若将液柱上端取在液面，并设液面上方的压强为 p o ； 则:p 0 = p i + ：'gh 上式均称为流体静力学基本方程式，它表明了静止流体内部压力变化的规律。 即:静止流体内部某一点的压强等于作用在其上方的压强加上液柱的重力压强。 2、 静力学基本方程的讨论： (1) 在静止的液体中，液体任一点的压力与液体密度和其深度有关。 (2) 在静止的、连续的同一液体内，处于同一水平面上各点的压力均相等。 (3) 当液体上方的压力有变化时，液体内部各点的压力也发生同样大小的变化。 三、流体静力学基本方程式 1、 方程的推导 设：敞口容器内盛有密度为 二的静止流体，取任意一个垂直流体液柱，上下底面积 2 均为Am 。 作用在上、下端面上并指向此两端面的压力 分别为P 1和P 2。 该液柱在垂直方向上受到的作用力有 ： (1) 作用在液柱上端面上的总压力 P i P i = p i A (N) 也 (2) 作用在液柱下端面上的总压力 P 2 P = p A (N)
压强差的也大小可利用一定高度的液体柱来表示。 p P (5) 整理得：z 1g 1二z 2g 也为静力学基本方程 P g (6) 方程是以不可压缩流体推导出来的，对于可压缩性的气体，只适用于压强变 化不大的情况。 3、静力学基本方程的应用 (1)测量流体的压差或压力 ①U 管压差计 U 管压差计的结构如图。 对指示液的要求：指示液要与被测流体不互溶，不起 A 化学作用，且其密度：7指应大于被测流体的密度：、。 通常采用的指示液有：水、油、四氯化碳或汞等。 I 测压差：设流体作用在两支管口的压力为 p 1和 P 2，且P i > P 2 , A-B 截面为等压面 即：P A 二P B 根据流体静力学基本方程式分别对 U 管左侧和U 管右侧进行计算 整理得： P i - P 2 =：〔'指一'Rg 讨论： (a )压差(p i -P 2)只与指示液的读数 R 及指示液冋被测流体的密度差有 关。(b )若压差△ P 一定时，(P i - P 2 )越小，读数 R 越大，误差较小。 (C )若被测流体为气体， 气体的密度比液体的密度小得多，即 「指■ ! 打旨， 上式可简化为： P r _p 2二指 Rg (d )若订〈'时采用倒U 形管压差计。 口 - p 2 ： 尸指Rg (4) P 2 = P i h-g P 2 — Pl
流体静力学基本方程
流体静力学基本方程 一、静止液体中的压强分布规律 重力作用下静止流体质量力：X=Y=0，Z=-g 代入 Zdz)Ydy (Xdx dp ++=ρ (压强p 的全微分方程) 得：dp ＝ρ（-g ）dz ＝-γdz 积分得： p=-γz +c 即： 常数=+γp z 流体静力学基本方程 对1、2两点： γγ2211p z p z +=+ 结论： 1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。 2）自由表面下深度h 相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 3）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。 p 2=p 1+γΔh 4）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。 观看录像: 水静力学 观看动画: 静水力学基本方程演示 >> 二、静止液体中的压强计算 自由液面处某点坐标为z 0，压强为p 0；液体中任意点的坐标为z ， 压强为p ，则： γγ0 0p z p z +=+ ∴坐标为z 的任意点的压强 ：p ＝p 0＋γ（z 0－z ） 或 p ＝p 0＋γh
三、静止液体中的等压面 静止液体中质量力――重力，等压面垂直于质量力， ∴静止液体中的等压面必为水平面 算一算： 1. 如图所示的密闭容器中，液面压强p 0＝9.8kPa ，A 点压强为49kPa ， 则B 点压强为39.2kPa ,在液面下的深度为3m 。 四、绝对压强、相对压强和真空度的概念 1.绝对压强（absolute pressure ）：是以绝对真空状态下的压强（绝 对零压强）为起点基准计量的压强。 一般 p ＝p a +γh 2. 相对压强（relative pressure ）：又称“表压强”，是以当时当地大气压强为起点而计算的压强。可“＋”可“– ”，也可为“0”。 p '＝p-p a 3.真空度（Vacuum ）：指某点绝对压强小于一个大气压p a 时，其小于大气压强p a 的数值。 真空度p v ＝p a －p 注意：计算时若无特殊说明，均采用相对压强计算。 问题：流体能否达到绝对真空状态？若不能，则最大真空度为多少？ 不能，最大真空度等于大气压强与汽化压强的差值。 问题：露天水池水深5m 处的相对压强为：49kPa A. 5kPa ； B. 49kPa ； C. 147kPa ； D. 205kPa 。 例1 求淡水自由表面下2m 深处的绝对压强和相对压强。 解： 绝对压强： p ＝p 0＋ρgh ＝p a ＋ρgh ＝101325 N/m 2＋9800×2 N/m 2 绝对压强基准 绝对真空p ＝0 相对压强基准 大气压强p a 压强 p 1 p ' p 2 p v p a p
p a
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流体静力学基本方程式 流体静力学基本方程式 现讨论流体在重力和庄力作用下的平衡规律，这时流体处 于相对静止状态。由于重力就是地心吸力，可以看作是不变的，起变化的是压力。所以实质上是讨论静止流体内部压力（压强）变化的规律。描述这一规律的数学表达式，称为流体静力学基本方程式。此方程式可通过下面的方法推导而得。 在具有密度为ρ的静止流体中，取一微元立方体，其边长分别为dx、dy、dz，它们并分别与x、y、z轴平行，如图1-2所示。图1-2 微元流体的静力平衡 由于流体处于静止状态，因此所有作用于该立方体上的力在坐标轴上的投影之代数和应等于零。 对于z轴，作用于该立方体上的力有： （1）作用于下底面的压力为pdxdy。 （2）作用于上底面的压力为
（3）作用于整个立方体的重力为-ρgdxdydz。 z轴方向力的平衡式可写成： 即 上式各项除以dxdydz，则z轴方向力的平衡式可简化为：（1-7a） 对于x、y轴，作用于该立方体的力仅有压力，也可写 出其相应的力的平衡式，简化后得：x轴（1-7b）y轴（1-7c） 式1-7a、1-7b、1-7c称为流体平衡微分方程式，积分该微分方程组，可得到流体静力学基本方程式。 将式1-7a、1-7b、1-7c分别乘以z、dx、dy，并相加后
得：（1-7d） 上式等号的左侧即为压强的全微分dp，于是：（1-7e） 对于不可压缩流体，ρ=常数，积分上式，得：（1-7f） 液体可视为不可压缩的流体，在静止液体中取任意两点，如图1-3所示，则有：（1-8） 或（1-8a） 为讨论方便，对式1-8a进行适当的变换，即使点1处于容器的液面上，设液面上方的压强为p0，距液面h处的点2压强为p，式1-8a可改写为：（1-8b） 式1-8、1-8a、及1-8b称为流体静力学基本方程式，说明在重力场作用下，静止液体内部压强的变化规律。由式
流体静力学基本方程式
第一节 流体静力学基本方程式 流体静力学是研究流体在外力作用下达到平衡的规律。在工程实际中，流体的平衡规律应用很广，如流体在设备或管道内压强的变化与测量、液体在贮罐内液位的测量、设备的液封等均以这一规律为依据。 1-1-1流体的密度 一、密度 单位体积流体所具有的质量，称为流体的密度，其表达式为： V m =ρ （1-1） 式中 ρ——流体的密度，kg/m 3； m ——流体的质量，kg ； V ——流体的体积，m 3。 不同的流体密度不同。对于一定的流体，密度是压力P 和温度T 的函数。液体的密度随压力和温度变化很小，在研究流体的流动时，若压力和温度变化不大，可以认为液体的密度为常数。密度为常数的流体称为不可压缩流体。 流体的密度一般可在物理化学手册或有关资料中查得，本教材附录中也列出某些常见气体和液体的密度值，可供查用。 二、气体的密度 气体是可压缩的流体，其密度随压强和温度而变化。因此气体的密度必须标明其状态，从手册中查得的气体密度往往是某一指定条件下的数值，这就涉及到如何将查得的密度换算为操作条件下的密度。但是在压强和温度变化很小的情况下，也可以将气体当作不可压缩流体来处理。 对于一定质量的理想气体，其体积、压强和温度之间的变化关系为 ' ''T V p T pV = 将密度的定义式代入并整理得 ' ''Tp p T ρρ= （1-2） 式中 p ——气体的密度压强，Pa ； V ——气体的体积，m 3； T ——气体的绝对温度，K ； 上标“'”表示手册中指定的条件。 一般当压强不太高，温度不太低时，可近似按下式来计算密度。 RT pM =ρ （1-3a ） 或 0 00004.22Tp p T Tp p T M ρρ== （1-3b ）
第一章 1[1].1流体流动静力学基本方程分析
第一章流体流动 1-0 概述 一学习本章的意义： 1．流体存在的广泛性。在化工厂中，管道和设备中绝大多数物质都是流体（包括气体、液体或气液混合物）。只是到最后，有些产品才是固体。 2 ．通过研究流体流动规律，可以正确设计管路和合理选择泵、压缩机、风机等流体输送设备，并且计算其所需的功率。 3 ．流体流动是化工原理各种单元操作的基础，对强化传热、传质具有重要的实践意义。因为热量传递，质量传递，以及化学反应都在流动状态下进行，与流体流动密切相关。 所以大家要认真学习这一章，充分打好基础。 二流体流动的研究范畴 1 流体定义：具有流动性的液体和气体统称为流体。 2 连续性介质假定：流体是由大量的单个分子组成，而每个分子之间彼此有一定的间隙，它们将随时都在作无规则随机的运动。所以，若把流体分子作为研究对象，则流体将是一种不连续介质，这将使研究非常困难。好在在化工生产过程中，我们对流体流动规律的研究感兴趣的并非是单个分子的微观运动，而是流体宏观的机械运动。所以我们不取单个分子作为考察对象，而取比分子平均自
由程大得多，比设备尺寸小得多的这样一个流体质点作为最小考察对象，质点是由大量分子组成的微团，它可以代表流体的性质。流体可以看成是由大量微团组成的，质点间无空隙，而是充满所占空间的连续介质，从而可以使用连续函数的数学工具对流体的性质加以描述。 提高：连续性介质假定 如图1所示，考虑一个微元体积内流体平均密度的变化情况：取包含P（x，y，z）点在内的微元体积⊿V，其中包含流体的质量为⊿m，则微元流体的平均密度为⊿m/⊿V，微元流体的平均密度随体积的变化如图2所示。当微元体积⊿V从非常小逐渐增大，趋向一个特定的微元体积V时，流体的平均密度逐渐趋向一个极限值，且不再随微元体积的继续增大而发生变化。当微元体积⊿V比δV小时，这时微元体积内所包含的流体分子数目是那样少，以致流体分子由于其无规则的热运动，进入或离开微元体积的流体分子数目已足以引起该微元体积内流体平均密度的随机波动。只有当微元体积大于δV后，其中
流体力学【依据伯努利方程的应用】
工程流体力学 综合报告 学院：机械工程学院专业：机械工程 班级： 学号： 学生姓名： 任课老师： 提交日期：2017年12月27 日
关于伯努利方程的应用 摘要 “伯努利原理“是著名的瑞士科学家丹尼尔·伯努利在1726年提出的。这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。即：动能+重力势能+压力势能=常数。其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程公式及原理应用流体力学 1 伯努利方程 伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C，这个式子被称为伯努利方程。式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。 需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体 1.1 流线上的伯努利方程 流线上的伯努利方程：
适于理想流体（不存在摩擦阻力）。式中各项分别表示单位流体的动能、位能、静压能之差。如果流动速度为0，则由伯努利方程可得平衡流体的流体静力学基本公式（C g p z =+ρ ）。 1.2 总流的伯努利方程 总流是无数元流的总和，将元流伯努利方程沿总流过流断面积分，即可推导出总流的伯努利方程，也即总流能量方程。 动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。管中水流多数也属于这种情况，此时总流与流线上的伯努利方程形式上无区别。 g V g p z g V g p z 222222221111αραρ++=++g V g p z g V g p z C g v g p z 222222221112++=++=++ρρρ
流体力学-03-2 静力学方程的基本应用
静力学基本方程的应用
静力学基本方程的应用 流体静力学是流体力学的一个分支，研究 是流体力学的一个分支研究相对静止流体(液体或气体)的压力、密度、温度分布以及流体对器壁或物体的作用力。 ①静止流体； ②质量力只有重力； ③z轴垂直地面。
?压强的定义 (-)( 工程上的测压表相应地分为两类： 用于被测系统压强高于外界大气压强的称为用于被测系统压强低于外界大气压的称为
(1) 液柱压力计(压差计)： (1) U型管压力计（压差计） (a) 普通U 型管压差计；(b) 倒U 型管压差计 (c) 倾斜U 型管压差计；(d) 微差压差计
种(倾 例1.用3种压差计普通U型管压差计、倾斜U型管压差计和微压差计)测量气体的微小压差Δp=100Pa，试问： ①用普通U型管压差计，以苯为指示液，其读数R为多少？ 用倾斜U型管压差计，α30，以苯为指示液，读数R为②=30°，以苯为指示液，读数R` 多少？ 若用微压差计，其中加入苯和水两种指示液，扩大室截面③若用微压差计其中加入苯和水两种指示液扩大室截面积远远大于U型管截面积，此时读数R``为多少？R``是用苯为指示液的普通U型管压差计读数的多少倍？ =879kg/m3，水的密度ρa=998kg/m3 已知苯的密度为ρ b
已知： ①气体的微小压差Δp=100Pa； ②3种压差计 ?U型管压差计：指示剂——苯 普通型管压差计指示剂 ?倾斜U型管压差计：指示剂——苯，α=30° ?微压差计：指示剂——苯和水 ③指示剂密度： ?水——ρa=998kg/m3 =879kg/m3 ?苯——ρ 求： ?3种压差计的读数：R 、R` 和R``？ ?:``=? R R?