1-5-12等差数列、等比数列、数列的综合应用
高考专题训练十二
等差数列、等比数列、数列的综合应用
班级______ 姓名_______ 时间:45分钟 分值:75分 总得分______
一、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上.
1.(2011·上海)设{a n }是各项为正数的无穷数列,A i 是边长为a i ,a i +1的矩形的面积(i =1,2,…).则{A n }为等比数列的充要条件是( )
A .{a n }是等比数列
B .a 1,a 3,…,a 2n -1,…或a 2,a 4,…,a 2n ,…是等比数列
C .a 1,a 3,…,a 2n -1,…或a 2,a 4,…,a 2n ,…均是等比数列
D .a 1,a 3,…,a 2n -1,…或a 2,a 4,…,a 2n ,…均是等比数列,且公比相同
解析:依题意有A i =a i a i +1 ∴A n =a n a n +1,∴A n +1=a n +1a n +2
{A n }为等比数列?A n +1A n =q (q >0),q 为常数
∵A n +1A n =a n +1a n +2a n a n +1=a n +2a n
=q . ∴a 1,a 3,a 5…a 2n +1…和a 2,a 4…a 2n …都成等比数列且公比相同. 答案:D
2.如果等差数列{a n }中a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+…+a 7=( )
A .14
B .21
C .28
D .35
解析:本小题主要考查等差数列的性质,前n 项和的求法以及转化的数学思想.
由等差数列的性质知,a 3+a 4+a 5=3a 4=12?a 4=4,故a 1+a 2
+a 3+…+a 7=(a 1+a 7)+(a 2+a 6)+(a 3+a 5)+a 4=7a 4=28.
答案:C
3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 9=45,则数列{a n }的公差为( )
A .-1
B .1
C .2
D.1
2
解析:记等差数列{a n }的公差为d ,依题意得,S 9=9a 1+9×8
2d
=9+36d =45,解得d =1,选B.
答案:B
4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=4,S 10=110,则
S n +64
a n
的最小值为( )
A .7 B.152 C .8
D.172
解析:设等差数列{a n }的公差为d ,则a 1+d =4,10a 1+10×9
2d =
110,∴a 1=d =2,于是a n =2n ,S n =n 2+n ,
∴S n +64a n =12? ????n +64n +12≥8+12=172(当且仅当n =8时取
“=”),选D.
答案:D
5.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n +1.令b n =1
n
(a 1+a 2+…+
a n ),则数列{
b n }的前10项和T 10=( )
A .70
B .75
C .80
D .85
解析:因为a n =2n +1,所以数列{a n }是个等差数列,其首项a 1
=3,其前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =n (a 1+a n )2=n (3+2n +1)
2=n 2
+2n ,所以b n =1n ×S n =1
n ×(n 2+2n )=n +2,故数列{b n }也是一个等
差数列,其首项为b 1=3,公差为d =1,所以其前10项和T 10=10b 1+10×9
2
=10×3+45=75,故选B.
答案:B
6.(2011·湖北省部分重点中学高三联考)a 1、a 2、a 3、a 4是各项不为零的等差数列且公差d ≠0,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列,则a 1
d
的值为( )
A .-4或1
B .1
C .4
D .4或-1
解析:若删去a 1,则a 2a 4=a 23,即(a 1+d )(a 1+3d )=(a 1
+2d )2
,化简得d =0,不合题意;若删去a 2,则a 1a 4=a 23,即
a 1(a 1+3d )=(a 1+2d )2
,化简可得a 1
d
=-4;若删去a 3,则a 1a 4=
a 22,
即a 1(a 1+3d )=(a 1+d )2
,化简可得a 1
d
=1;若删去a 4,则a 1a 3=a 22,即a 1(a 1+2d )=(a 1+d )2,化简可得d =0,不符合题意.故选A.
答案:A
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.
7.(2011·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________米.
解析:设放在第x 个坑旁边,由题意得
S =20[(x -1)+(x -2)+…+1+1+0+1+2+…+(20-x )]
=20????
??
(1+x -1)(x -1)2+
(1+20-x )(20-x )2 =20(x 2-21x +210)
由S ′=20(2x -21)=0,得x =10.5, 知x =10或 11时,S 最小值为2000. 答案:2000
8.(2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和.若a 1
=1,a k +a 4=0,则k =________.
解析:由S 9=S 4及a 1=1,得9+36d =4+6d , d =-16
.
由a k +a 4=0得2a 1+(k +2)d =0. ∴2-k +26=0,k =10.
答案:10
9.(2011·湖南)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和,且a 1=1,a 4=7,则S 5=________.
解析:∵a 1=1,a 4=1+3d =7,∴d =2, ∴S 5=5a 1+5×42d =5+10×2=25.
答案:25
10.(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升.
解析:令最上面一节为a 1
则????? a 1+a 2+a 3+a 4=3a 7+a 8+a 9=4,?????
4a 1+6d =33a 1+21d =4
,???
??
a 1=1322
d =766
.
∴a 5=a 1+4d =67
66.
答案:6766
三、解答题:本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
11.(12分)(2011·课标)等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2
=1,a 23=9a 2a 6.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列????
??
1b n 的前n 项和.
解:(1)设数列{a n }的公比为q .由a 23=9a 2a 6得a 23=9a 24
,所以q 2
=19
. 由条件可知q >0,故q =1
3
.
由2a 1+3a 2=1得2a 1+3a 1q =1,所以a 1=1
3.
故数列{a n }的通项公式为a n =1
3n .
(2)b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n
=-(1+2+…+n ) =-n (n +1)2
.
故1b n =-2
n (n +1)=-2?
????1n -
1n +1, 1b 1+1b 2+…+1b n =-2???
? ????1-12+? ????
12-13
???+…+?
????1n -
1n +1=-2n
n +1
. 所以数列??????
1b n 的前n 项和为-2n n +1
. 12.(13分)(2011·安徽)在数1和100之间插入n 个实数,使得这n +2个数构成递增的等比数列,将这n +2个数的乘积记作T n ,再令a n =lg T n ,n ≥1.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =tan a n ·tan a n +1,求数列{b n }的前n 项和S n .
解:(1)设t 1,t 2,…,t n +2构成等比数列,其中t 1=1,t n +2=100,则
T n =t 1·t 2·…·t n +1·t n +2, ① T n =t n +2·t n +1·…t 2·t 1, ② ①×②并利用t i t n +3-i =t 1t n +2=102(1≤i ≤n +2),得 T 2n =(t 1t n +2)·
(t 2t n +1)·…·(t n +1t 2)·(t n +2t 1)=102(n +2). ∴a n =lg T n =n +2,n ≥1.
(2)由题意及(1)中计算结果,知 b n =tan(n +2)·tan(n +3),n ≥1.
另一方面,利用tan1=tan[(k +1)-k ]=tan (k +1)-tan k
1+tan (k +1)·tan k
,
得tan(k+1)·tan k=tan(k+1)-tan k
tan1
-1.
所以S n=
n
k=1b k=
n+2
k=3
tan(k+1)·tan k
=
n+2
k=3?
?
?
?
?tan(k+1)-tan k
tan1
-1
=tan(n+3)-tan3
tan1
-n.
等差数列和等比数列的总结与联系
等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景: 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型,研究等差数列的通项、性质以及求和公式,并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标: (1)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式; (2)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式;体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。
例题分析: 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法,求和: (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中,236,,a a a 组成等比数列的连续三项,求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== (1)求1a 和d 的值;(2)16b 是不是数列{}n a 中的项,为什么? (二)等差数列和等比数列之间的转化 结论: (1){}n a 成等差数列,则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列; (2)正项数列{}n a 成等比数列,则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列,再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析: 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比,以11(0)a a >为首项的等比数列,求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列,则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列)}({* N n c n ∈是等比数列,且0>n c ,则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列,12n a n b ?? = ? ?? ,已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 (三)学法总结: (四)课后反思:
等差等比数列综合习题
等差、等比数列综合习题 一、选择题 1、数列16 14,813,412 ,211…前n 项的和为( ) A 、2212n n n ++ B 、12122+-+n n n C 、n n n 2122-+ D 、12 12)1(+--n n n 2、三个不同实数c b a ,,成等差数列,b c a ,,又成等比数列,则=b a ( ) A 、47 B 、4 C 、-4 D 、2 3、在等差数列}{n a 中,已知30201561=+++a a a a ,则数列的前20项和S 20=( ) A 、100 B 、120 C 、140 D 、150 4、已知数列}{n a 的601-=a ,31-=-n n a a ,那么++||||21a a …||30a +=( ) A 、-495 B 、765 C 、1080 D 、3105 5、某企业的生产总值月平均增长率为p%,则年平均增长率为( ) A 、12p% B 、12%)1(p + C 、1%)1(11 -+p D 、1%)1(12-+p 6、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,已知331S 与441S 的等比中项为3531,51S S 与44 1S 的等差中项为1,求通项n a 。 7、设有数列,,21a a …n a …又若23121,,a a a a a --…1--n n a a 是首项为1,公比为 31的等比数列。 (1)求n a (2)求++21a a …n a + 8、在等比数列}{n a 中,已知27 21154321= ++++a a a a a ,482111111154321=++++a a a a a ,求3a 。
等差、等比数列公式总结
一、等差数列 1.定义:)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式:d n a )1(a 1n -+= 3.变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和:2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义:常数)(a 1q a n n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a 3.变式: m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式:m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质: ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和: 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2.裂项相消法. ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通 从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分
14等差与等比数列综合
江苏省2014届一轮复习数学试题选编14:等差与等比数列综合 填空题 1 .数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =,,,),且123a a a ,,成公比不为1的等比数列, 则{}n a 的通项公式是______. 【答案】2 2n a n n =-+ 2 .已知数列{}n a 满足143a =,()* 11226n n a n N a +-=∈+,则11n i i a =∑=______. 【答案】232 4 n n ?-- 3 .已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n , 若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3 4 .设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ,,则a 1的值大于20的概率为____. 【答案】14 5 .已知数列 }{n a 满足1 22n n a qa q +=+-(q 为常数,||1q <),若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---, 则1a = . 【答案】2-或 126 6 .观察下列等式: 31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-1 4×2 3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N * , 31×2×12+42×3×122++n +2n n +1×1 2 n =______. 【答案】()n n 211 1?+- 7 .已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如 下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在 n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____. 【答案】1951 8 .若数列 {}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =?? ?时,数列{}n b 也是等比数列;类比上
等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)
1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A .a n =2n -5 B .a n =3n -10 C .S n =2n 2 -8n D .S n =12 n 2 -2n 2.(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足,a n +1+2a n =0,且a 2 =2,则{a n }前10项的和等于( ) A.1-2103 B .-1-210 3 C .210-1 D .1-210 3.已知等比数列{a n }的首项为1,公比q ≠-1,且a 5+a 4=3(a 3 +a 2),则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A .-9 B .9 C .-81 D .81 4.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A .-12 B .-10 C .10 D .12 5.(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零,S n 为其前n 项和,S 3=9,且a 2-1,a 3-1,a 5-1构成等比数列,则S 5=( ) A .15 B .-15 C .30 D .25 二、填空题 6.(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5=________,S n 的最小值为________. 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走378里路,
等差数列与等比数列综合问题(3)
等差数列与等比数列综合问题(3)教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和式以及有关性质,分析和解决等差、等比数列的综合问题. 2.突出方程思想的应用,引导学生选择简捷合理的运算途径,提高运算速度和运算能力.3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解.教学重点与难点 1.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识,从本质上掌握公式. 2.等差数列与等比数列的综合应用.例1已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11…都有100项,问它们有多少公共项.例2 已知数列{an}的前n 项和,求数列{|an|}的前n项和tn.例3已知公差不为零的等差数列{an}和等比数例{bn}中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,试问:是否存在常数a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立.若存在,求出a,b的值,若不存在,请说明理由.例4已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{akn}是公比为q的等比数列,且k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn的值.例5、已知函数f(x)=2x-2-x ,数列{an}满足f( )= -2n (1)求{an}的通项公式。(2)证明{an}是递减数列。例6、在数列{an}中,an>0,= an+1 (n n)求sn和an的表达式。例7.已1 ————来源网络整理,仅供供参考
知数列{an}的通项公式为an= .求证:对于任意的正整数n,均有a2n ─1,a2n,a2n+1成等比数列,而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。例8.项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求该数列的中间项及项数。作业1 公差不为零的等差数列的第2,第3,第6项依次成等比数列,则公比是().(a)1 (b)2 (c)3 (d)4 2 若等差数列{an}的首项为a1=1,等比数列{bn},把这两个数列对应项相加所得的新数列{an+bn}的前三项为3,12,33,则{an}的公差为{bn}的公比之和为().(a)-5 (b)7 (c)9 (d)14 3 已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值是. 4 在等差数列{an}中,a1,a4,a25依次成等比数列,且a1+a4+a25=114,求成等比数列的这三个数.5 设数列{an}是首项为1的等差数列,数列{bn}是首项为1的等比数列,又cn =an-bn(n∈n+),已知试求数列{cn}的通项公式与前n项和公式. ————来源网络整理,仅供供参考 2
等差数列与等比数列的综合运用
等差数列与等比数列的综合运用 班别: 坐号: 姓名: 1.在直角三形中,三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比等于 。 2. 成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上1,3,9后又成等比数列, 则这三个数分别是 。 3. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是37,第二个数与第三个数的和是36,则这四个数分别是 。 4. 已知数列{}n a 的前n 项的和1(0n n S a a =-是不为的常数),则{}n a ( ) A,一定是等差数列 B,或者是等差数列,或者是等比数列 C, 一定是等比数列 D,不是等差数列,也不是等比数列 5. a ,b,c 成等比数列,那么关于x 的方程20ax bx c ++= ( ) A ,一定有两个不相等的实数根 B ,一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D ,以上均有可能 6. 已知数列{}n a 是等差数列,12a =,且存在数列{}n b ,使得121 1 1 44 4 (1) n n a a a a n b ---=+ , 则数列{}n b 的前n 项和n S = 。 7. 如果b 是a 与c 的等差中项,y 是x 与z 的等比中项,且,,y x z 都是正数,则 ()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= (0,1m m >≠) 8. 如果等差数列{}n a 的项数是奇数,11a =,{}n a 的奇数项的和是175,偶数项的和是150, 则这个等差数列的公差为 。 9. 在数列{}n a 中,11a =,13(1),n n a S n +=≥证明:23,,,n a a a 是等比数列。 10 求和:(1)21 123n n S x x nx -=++++ (2)23123n n S x x x nx =+++++
等差数列与等比数列的基本运算
一.课题:等差数列与等比数列的基本运算 二.教学目标:掌握等差数列和等比数列的定义,通项公式和前n 项和的公式,并能利用这些知识 解决有关问题,培养学生的化归能力. 三.教学重点:对等差数列和等比数列的判断,通项公式和前n 项和的公式的应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.等差数列的概念及其通项公式,等差数列前n 项和公式; 2.等比数列的概念及其通项公式,等比数列前n 项和公式; 3.等差中项和等比中项的概念. (二)主要方法: 1.涉及等差(比)数列的基本概念的问题,常用基本量1,()a d q 来处理; 2.使用等比数列前n 项和公式时,必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1,如果不能确定则需要讨论; 3.若奇数个成等差数列且和为定值时,可设中间三项为,,a d a a d -+;若偶数个成等差数列且和为定值时,可设中间两项为,a d a d -+,其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元.若干个数个成等比数列且积为定值时,设元方法与等差数列类似. 4.在求解数列问题时要注意运用函数思想,方程思想和整体消元思想,设而不求. (三)例题分析: 例1.(1)设数列{}n a 是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项为 2 . (2)已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且139,,a a a 成等比数列,则1392410a a a a a a ++++=1316 . 例2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个书的和是12,求这四个数. 解:设这四个数为:2 (),,,a d a d a a d a +-+,则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得:48a d =??=?或96a d =??=-?,所以所求的四个数为:4,4,12,36-;或15,9,3,1. 例3.由正数组成的等比数列{}n a ,若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍,第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍,求数列{}n a 的通项公式. 解:当1q =时,得11211na na =不成立,∴1q ≠, ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =,代入②得110a =, ∴21()10 n n a -=. 说明:用等比数列前n 项和公式时,一定要注意讨论公比是否为1. 例4.已知等差数列110,116,122,, ① ②
等差等比数列综合题
高二数学必修五数列单元综合练习题 一、选择题: 1.在等差数列{a n }中,若4612a a +=,n S 是数列{a n }的前n 项和,9S 则的值为 (A )48 (B)54 (C)60 (D)66 2.在等比数列{}n a 中,若0n a >且3764a a =,5a 的值为 (A )2 (B )4 (C )6 (D )8 3.设{}n a 是等差数列,1359a a a ++=,69a =,则这个数列的前6项和等于( ) A.12 B.24 C.36 D.48 4.在等差数列{}n a 中,若34567a +a +a +a +a =450,则28a +a =( ) 5.在等比数列{}n a 中,如果69a =6,a =9,那么3a 为( ) (A )4 (B)23 (C)9 16 (D)2 6.数列{}n a 中,123,6,a a ==且12n n n a a a ++=+,则2004a =( ) B.-3 C.-6 7.数列n {a }中,对任意自然数n ,n 12n a +a ++a =21???-,则22212n a +a ++a ???等于( ) A.()2n 2-1 B. ()2n 12-13 C.n 4-1 D. ()n 14-13 8.在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 5·a 6=9,则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= ( ) A .12 B .10 C .8 D .2+log 35 9.已知数列{a n }是等比数列,其前n 项和为S n =5n +k ,则常数k= ( ) A . 1 B .1 C .0 D .以上都不对 10.数列 的前n 项和为 ( ) A . B . C . D . 11.对于数列{a n },满足 ,则该数列前100项中的最大项和最小项分别是 ( ) A .a 1,a 50 B .a 1,a 44 C .a 45,a 44 D .a 45,a 50 12.已知一等差数列的前四项的和为124,后四项的和为156,又各项和为210,则此等差数列共有( ) A 、8项 B 、7项 C 、6项 D 、5项 二、填空题: }232{3--n n 22124---n n 22724--+n n 22236-+-n n 32128-+-n n 20052004--=n n a n
等差等比数列的运用公式大全
第六讲:等差、等比数列的运用 1. 等差数列的定义与性质 定义:1n n a a d +-=(d 为常数),()11n a a n d =+- 等差中项:x A y ,,成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质:{}n a 是等差数列 m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; {}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2; a d a a d -+,, n n a b ,是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ,,则 21 21 m m m m a S b T --= }n a 为等差数列2n S an bn ?=+(a b ,为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数) n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值;或者求出{}n a 中的正、负分界项, 即:当100a d ><,,解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当 100a d <>,,由1 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. 项数为偶数n 2的等差数列{} n a , 有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶, 1 += n n a a S S 偶 奇. 12-n 的等差数列{} n a ,有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-,
等差数列与等比数列十大例题
等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令b n = 2 1 1 n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,因为37a =,5726a a +=,所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-(;n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2n+1n a =,所以b n = 2 1 1n a -=21=2n+1)1-(114n(n+1)?=111(-)4n n+1 ?, 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1) , 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和,2n S kn n =+,* n N ∈,其中k 是常数. (I ) 求1a 及n a ; (II )若对于任意的* m N ∈,m a ,2m a ,4m a 成等比数列,求k 的值. 解(Ⅰ)当1,111+===k S a n , 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n (*) 经验,,1=n (*)式成立, 12+-=∴k kn a n (Ⅱ)m m m a a a 42,, 成等比数列,m m m a a a 42 2.=∴, 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ,整理得:0)1(=-k mk ,
等差等比数列练习题(含答案)
一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 ( ) (A )为常数数列 (B )为非零的常数数列 (C )存在且唯一 (D )不存在 2.、在等差数列 {}n a 中,41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列,则{}n a 的通项公式为 ( ) (A )13+=n a n (B )3+=n a n (C )13+=n a n 或4=n a (D )3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列,且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项,则 y c x a +的值为 ( ) (A ) 2 1 (B )2- (C )2 (D ) 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列,x 是a ,b 的等比中项, y 是b ,c 的等比中项,那么2x ,2b ,2y 三个数( ) (A )成等差数列不成等比数列 (B )成等比数列不成等差数列 (C )既成等差数列又成等比数列 (D )既不成等差数列,又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 ( ) (A )22-=n a n (B )28-=n a n (C )12-=n n a (D )n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-,则 ( ) (A )z y x ,,成等差数列 (B )z y x ,,成等比数列 (C ) z y x 1,1,1成等差数列 (D )z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ,则关于数列{}n a 的下列说法中,正确的个数有 ( ) ①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (A )4 (B )3 (C )2 (D )1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 ( ) (A )1212+-n n (B )212112+-+n n (C )1212+--n n n (D )212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ,且满足 5 524-+= n n B A n n ,则 13 5135b b a a ++的值为 ( ) (A ) 9 7 (B ) 7 8 (C ) 2019 (D )8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 ( ) (A )56 (B )58 (C )62 (D )60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3,9,27,…3n , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列 的前n 项和为 ( )