江苏泰州姜堰张甸中学2014届高三数学期中调研三

江苏泰州姜堰张甸中学 2014届高三数学期中调研三

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。

1、集合},3,2,0,1,2{--=A ,集合},1|||{R x x x B ∈>=,集合B A 的真子集有 ▲ 个．

2、命题“∈?x R ,0123=+-x x ”的否定是 ▲ ．

3、已知cos α＝5

13

，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝ ▲ ．

4、函数21

log (2)

y x =-的定义域为 ▲ ．

5、“22a

b

>”是22log log a b >”的 ▲ 条件. 6、已知幂函数3

-m m 2

2)1-()(+=x m-m x f 在()∞+，0上为减函数，则m = ▲ ．

7、已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)(π2<α<3π

2)，则sin θ＋cos θ＝ ▲ ．

8、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a = ▲ .

9、已知向量()()1,,,1a m b n == ，若a b

∥，则22m n +的最小值为 ▲ .

10、设函数3

y x =与()

2

1

2

x y -=的图象的交点为()00,x y ，且()0,1,x mm m Z ∈+∈

，则m =

▲ .

11、设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21179

d -<<-，则当n S 取

最大值时，n 的值为 ▲ .

12、如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥??-+≤??--≤?

则22

1x y +-的最小值是 ▲ .

13、已知二次函数()241f x cx x a =-++的值域是[)1,+∞，则19a c

+的最小值是 ▲ .

14、不等式221(1)x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，则x 的取值范围是 ▲ .

二、解答题：本大题共六小题，共计90分.

15、（本小题满分14分函数2

()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数

()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合B ．

（Ⅰ）求集合A ，B ；

（Ⅱ）若集合A ，B 满足U B C A ?=? ,求实数a 的取值范围．

16、（本小题满分14分在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且

()2cos

sin 22A A f A =22sin cos 22

A A +-（）（）

． （Ⅰ）求函数()f A 的最大值； （Ⅱ）若()0f A =，512

C π

=

，a =b 的值．

17、（本小题满分14分已知函数)0(22)(2

≠++-=a b ax ax x f ，在区间[]3,2上有最大

值5，最小值2。 （1）求a ，b 的值。

（2）若[]42,)2()()(,1在x x f x g b m

?-=<上单调，求m 的取值范围。

P

M

18、（本小题满分16分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |=3米，|AD |=2米 ． （1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？ （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值．

19、（本小题满分16分）已知函数3

()3f x ax ax =-，2

()ln g x bx c x =+，且()g x 在点（1，

(1)g ）处的切线方程为210y -=。

（1）求()g x 的解析式；

（2）求函数()()()F x f x g x =+的单调递增区间。

20、（本小题满分16分已知A(,)，B(,)是函数的图象的任意两点（可以重合），点M在直线上，且.

（1）求+的值及+的值

（2）已知，当时，+++，求；（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，使得不等式成立，求和的值.

参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。

1、集合},3,2,0,1,2{--=A ,集合},1|||{R x x x B ∈>=,集合B A 的真子集有 ▲ 个．7

2、命题“∈?x R ,0123=+-x x ”的否定是 ▲ ．x R ?∈,0123≠+-x x

3、已知cos α＝5

13，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝ ▲ ．1213

-

4、函数21

log (2)

y x =-的定义域为 ▲ ．(2,3)(3,)+∞

5、“22a

b

>”是22log log a b >”的 ▲ 条件. 必要不充分

6、已知幂函数3

-m m 2

2)1-()(+=x m-m x f 在()∞+，0上为减函数，则m = ▲ ．-1

7、已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)(π2<α<3π2)，则sin θ＋cos θ＝ ▲ ．1

5

8、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a = ▲ . 6-

9、已知向量()()1,,,1a m b n == ，若a b

∥，则22m n +的最小值为 ▲ .2

10、设函数3

y x =与()

2

1

2

x y -=的图象的交点为()00,x y ，且()0,1,x mm m Z ∈+∈

，则m =

▲ .1

11、设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21d -<<-，则当n S 取

最大值时，n 的值为 ▲ .9

12、如果实数,x y 满足不等式组1,

10,220,x x y x y ≥??-+≤??--≤?

则22

1x y +-的最小值是 ▲ . 4

13、已知二次函数()241f x cx x a =-++的值域是[)1,+∞，则19a c

+的最小值是 ▲ .3

14、不等式2

21(1)x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，则x 的取值范围是

.

??

二、解答题：

15、函数2

()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合B ．

（Ⅰ）求集合A ，B ；

（Ⅱ）若集合A ，B 满足U B C A ?=? ,求实数a 的取值范围．

解：（Ⅰ）A=2

{|230}x x x -->={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或，

B={|2,2}{|4}x

y y a x y a y a =-≤=-<≤-．

（Ⅱ）∵U B C A ?=?，∴B A ?， ∴41a -<-或3a -≥，

∴3a ≤-或5a >，即a 的取值范围是(,3](5,)-∞-+∞

16、在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且

()2cos

sin 22A A f A =22sin cos 22

A A +-（）（）． （Ⅰ）求函数()f A 的最大值；

（Ⅱ）若()0f A =，512

C π

=，a =b 的值． 解:（Ⅰ）

=

．

因为0＜A ＜π，所以．

则所以当，即

时，f （A ）取得最大值，且最大值为

． （Ⅱ）由题意知，所以．

又知，所以，则

．因为

，

所以

，则

． 由得，．

17、已知函数)0(22)(2

≠++-=a b ax ax x f ，在区间[]3,2上有最大值5，最小值2。

（1）求a ，b 的值。

（2）若[]42,)2()()(,1在x x f x g b m

?-=<上单调，求m 的取值范围。

解（1）a b x a x f -++-=2)1()(2

（1分）

①当0>a 时，[]3,2)(在x f 上为增函数

故?

??==????=++-=++-????==01

224452695)2(2)3(b a b a a b a a f f

P

M

②当[]3,2)(0在时，x f a <上为减函数 故???=-=????=++-=++-???

?==3

1

524422692)2(2)3(b a b a a b a a f f

（2）011==∴

即22)(2

+-=x x x f

2

)22()2(22)(22++-=-+-=x x x

x x x g m m

62 22

42

2

2 2222≥≤∴≥+≤+m m m m 或或 即6

2log 1≥≤m m 或

18、如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |=3米，|AD |=2米 ． （1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？ （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值．

【解】设AN 的长为x 米)2(>x ， 由|

|||||||AM DC AN DN =，得23||-=

x x AM ，

∴2

3||||2

-=?=x x AM AN S AMPN 矩形．

（1）由32>AMPN

S 矩形，得322

32

>-x x ， 又2>x ，于是0643232>+-x x ，解得

838

2><

8,2(∪),8(∞+．

（2）122

12

)2(3212)2(12)2(32322+-+-=-+-+-=-=

x x x x x x x y

24122

12

)2(32=+-?

-≥x x ， 当且仅当2

12)2(3-=-x x 即4=x 时，232-=x x y 取得最小值24， ∴当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．

19、已知函数3

()3f x ax ax =-，2

()ln g x bx c x =+，且()g x 在点（1，(1)g ）处的切线方程为210y -=。 （1）求()g x 的解析式；

（2）求函数()()()F x f x g x =+的单调递增区间。 解：（1）()2c

g x bx x

'=+

，由条件，得 ()()10112

g g '=???=??，即20

1,,1122b c b c b +=??

∴==-?

=??，()21ln 2g x x x ∴=-． （2）由()32

13ln 2

F x ax ax x x =-+-，其定义域为()0,+∞， ()()()()21131133x x ax F x ax a x x x

+-+'=-+-

=， 令()0F x '>，得()()1310x ax -+>（*）

①若0a ≥，则1x >，即()F x 的单调递增区间为()1,+∞； ②若0a <，（*）式等价于()()1310x ax ---<，

当13a =-，则()2

10x -<，无解，即()F x 无单调增区间，

当13a <-，则113x a -<<，即()F x 的单调递增区间为1,13a ??

- ???，

当103a -<<，则113x a <<-，即()F x 的单调递增区间为11,3a ?

?- ??

?．

20

已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重

合），点M在直线上，且.

（1）求+的值及+的值

（2）已知，当时，+++，求；

（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，使得不等式成立，求和的值.

解：（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M.

又＝，即，，∴+=1.

①当=时，=，+=；

②当时，，

+=+===

综合①②得，+.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+=1时, +∴，k=.

n≥2时，+++，

，②

①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.

当n=1时，=0满足=1-n. ∴=1-n.

（Ⅲ）==，=1++=.

.

=2-，=-2+=2-，

∴，、m为正整数，∴c=1，

当c=1时，，∴1<<3，∴m=1.