微积分选择题及答案
第二部分 一元函数微分学
[选择题]
容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。
1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( )
(A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D
2． 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 答C
3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（ ）
（A ）必要条件。 (B) 充分条件。
（C ）充要条件。 （D ）既非必要，又非充分条件。 答B 4．设n 是曲线x x x
y arctan 2
22
-=
的渐近线的条数，则=n （ ）
(A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D
5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2
-∈?≤x x x f ，则0=x 必是
)(x f 的（ ）
（A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。
（C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C
6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ）
（A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A
7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ）
（A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C
8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ）
（A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量
（C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f =
)(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ）
（A ）0≥x （B ）0≠x （C ）0>x （D ）0≤x 答C
10．设函数)
x不可导，则（）
(x
f在点
（A）)
x没有切线
(x
f在点
（B）)
x有铅直切线
f在点
(x
（C）)
x有水平切线
f在点
(x
（D）有无切线不一定
答D
11．设'=''='''>
00, 则( )
()(),()
f x f x f x
000
是'f x()的极大值点
(A) x
是f x()的极大值点
(B) x
是f x()的极小值点
(C) x
(D) (,())
是f x()的拐点
x f x
00
[D]
12．（命题I）: 函数f在[a,b]上连续. （命题II）: 函数f在[a,b]上可积. 则命题II是命题
I的（）
（A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件
（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件（答B）
13．初等函数在其定义域内（）
（A）可积但不一定可微（B）可微但导函数不一定连续
（C）任意阶可微（D）A, B, C均不正确
（答A）
14．命题I）: 函数f在[a,b]上可积. （命题II）: 函数 |f| 在[a,b]上可积. 则命题I是命题
II的（）
（A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件
（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件
（答 A ）
15．设 )(x u e y = 。则 ''y 等于（ ）
（A ） )(x u e （B ） )(x u e )(''x u
（C ）)(x u e )]('')('[x u x u + （D ）)(x u e )](''))('[(2x u x u + （答 D ）
16．若函数 f 在 0x 点取得极小值，则必有（ ）
（A ） 0)('0=x f 且 0)(''=x f （B ）0)('0=x f 且 0)(''0
x a f x f A a
x --→)
()(lim
)(； x
x a f a f B x ??--→?)
()(lim
).(0
；
t
a f a t f C t )
()(lim
).(0
--→； s
s
a f s a f D S )2()2
(lim
).(0
--+
→
答(C ） 陆小 18． y 在某点可微的含义是：（ ） （A ） a x a y ,?≈?是一常数; （B ） y ?与x ?成比例
（C ） x a y ?+=?)(α,a 与x ?无关，0→α)0(→?x .
（D ） α+?=?x a y ,a 是常数，α是x ?的高阶无穷小量).0(→?x 答（ C ）
19．关于dy y =?，哪种说法是正确的？（ ）
（A ） 当y 是x 的一次函数时dy y =?. （B ）当0≈?x 时，dy y =? （C ） 这是不可能严格相等的. （D ）这纯粹是一个约定. 答（ A ）
20．哪个为不定型？（ ）
（A ）0
∞ （B ）
∞
0 （C ）∞0 （D ）0∞
答（ D ）
21．函数f x x x x x ()()=---232不可导点的个数为
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
[C]
22．若)(x f 在0x 处可导，则=--→h
x f h x f h )
()(lim 000
（ ）
（A ）)(0x f '-； （B ）)(0x f -'； （C ）)(0x f '； （D ）)(0x f -'-.
答案：A
23．)(x f 在),(b a 内连续，且),(0b a x ∈，则在0x 处（ ） （A ）)(x f 极限存在，且可导；
（B ）)(x f 极限存在，且左右导数存在；
（C ）)(x f 极限存在，不一定可导； （D ）)(x f 极限存在，不可导.
答案：C
24．若)(x f 在0x 处可导，则|)(|x f 在0x 处( )
（A ）必可导；（B ）连续，但不一定可导；（C ）一定不可导；
（D ）不连续.
答案：B
25．设|)(|)()(0x x x x f ?-=，已知)(x ?在0x 连续，但不可导，则)(x f 在0x 处（ ） （A ）不一定可导；（B ）可导；（C ）连续，但不可导； （D ）二阶可导. 答案：B
26．设)()()(bx a g bx a g x f --+=，其中)(x g 在),(+∞-∞有定义，且在a x =可导，则
)0(f '=（ ）
（A ）a 2； （B ）)(2a g '； （C ）)(2a g a '；
（D ）)(2a g b '.
答案：D
27．设))(cos()(cos x f x f y ?=，且f 可导， 则y '=（ ）
（A ）)())(sin(sin )(cos x f x f x x f '??'；
（B ）+?'))(cos()(cos x f x f ))](sin([)(cos x f x f -?；
（C ）-??'-))(cos(sin )(cos x f x x f )())(sin()(cos x f x f x f '??； （D ）-?'))(cos()(cos x f x f )())(sin()(cos x f x f x f '??.
答案：C
28．哪个为不定型？（ ） （A ）
∞ （B ）
∞
0 （C ）∞0 （D ）0∞
答（ D ）
29．设)100)(99()2)(1()(----=x x x x x x f ，则).(
)0('=f
（ A ） 100 （B ） 100！ （C ） -100 （D ） -100！ 答案：B
30．设)(x f 的n 阶导数存在，且)()
(lim
)
()
1(a f
a
x x f
n n a
x =--→，则)()()
1(=-a f
n
（A ） 0 （ B ） a （C ） 1 （D ） 以上都不对
答案： A
31．下列函数中，可导的是（ ）。
（ A ） x x x f =)( （B ） x x f sin )(=
（C ） ???
??>≤=0,0,)(2
x x x x x f （D ） ??
???=≠=0,00,1sin )(x x x
x x f 答案：A
32．初等函数在其定义域区间内是（ ）
（ A ） 单调的 （B ） 有界的 （C ） 连续的 （D ） 可导的 答案：C
33．若)(x f 为可导的偶函数，则曲线)(x f y =在其上任意一点),(y x 和点),(y x -处 的切 线斜率（ ）
（A ） 彼此相等 （B ） 互为相反数
（C ） 互为倒数 （ D ）以上都不对 答案：B
34． 设函数)(x f y =在点0x 可导，当自变量由0x 增至x x ?+0时，记y ?为)(x f 的增量， dy 为)(x f 的微分，则
)(
→?-?x
dy y （当0→?x 时）
。 （A ） 0 （ B ） 1- （C ） 1 （D ） ∞
答案：A 35． 设x
x x f log log log )(=
，则)()('=x f
（A ）
2
)
(log log log x x x x - （B ）
2
)
(log log log 1x x x -
（C ）
2
)
(log log log x x x x + （ D ）
2
)
(log log log 1x x x +
答案：B 36．若??
?>-≤.
1,
;1,)(2x b ax x x x f 在x =1处可导，则a b , 的值为（ )。
(A).a b ==12,; (B).a b ==-21
,; (C).a b =-=12,;
(D).a b =-=21,。 答案：B
37．若抛物线y ax =2
与y x =ln 相切，则a =（ )。
(A). 1 ; (B). 1/2; (C). 21
e ; (D).2e . 答案：C
38．若f x ()为(,)-l l 内的可导奇函数，则'f x ()（ )。
(A).必为(,)-l l 内的奇函数； （B).必为(,)-l l 内的偶函数；
(C).必为(,)-l l 内的非奇非偶函数；(D).可能为奇函数，也可能为偶函数。 答案：B
39．设f x x x ()=, 则'=f ()0（ )。
(A). 0; (B). 1 ; (C). -1 ; (D). 不存在。
答案：A
40．已知)(x f 在),(+∞-∞上可导，则（ ）
(A) 当)(x f '为单调函数时，)(x f 一定为单调函数. (B) 当)(x f '为周期函数时，)(x f 一定为周期函数. (C) 当)(x f '为奇函数时，)(x f 一定为偶函数. (D) 当)(x f '为偶函数时，)(x f 一定为奇函数. 答C
41．设)(x f 在),(+∞-∞内可导，则（ ）
（A ） 当+∞='+∞
→)(lim x f x 时，必有+∞=+∞
→)(lim x f x 。
（B ） 当+∞=+∞
→)(lim x f x 时，必有+∞='+∞
→)(lim x f x 。
（C ） 当-∞='-∞
→)(lim x f x 时，必有-∞=-∞
→)(lim x f x 。
（D ） 当-∞=-∞
→)(lim x f x 时，必有-∞='-∞
→)(lim x f x 。
答A
42．设周期函数)(x f 在),(+∞-∞内可导，周期为3，又12)
1()1(lim 0
-=--→x
f x f x ，则曲线
在点))4(,4(f 处的切线斜率为（ ）
（A ）2． （B ）1. (C) 1-。 （D ）2-。 答A
43．设)(x f 有二阶连续导数，且11
)(lim
,0)1(1
-=-''='→x x f f x ，则（ ）
（A ）)1(f 是)(x f 的一个极大值。 （B ）)1(f 是)(x f 的一个极小值。 （C ）1=x 是函数)(x f 的一个拐点。 （D ）无法判断。 答A
44．设)2()2()(22-+-+=x x x x x x f ，则)(x f 不可导点的个数是（ ）
（A ）0． （B ）1 。 （C ）2。 （D ）3。 答B
45．设x x x f =)(，则其导数为（ ）
（A ）x x x f =')( （B ）x x x f x ln )(=' （C ）)1(ln )(+='x x x f x （D ）1)(-='x x x f 答C 46．设x x y 4
4
cos
sin
+=，则( )
（A ）1),2
4cos(41
)
(≥+
=-n n x y
n n π
（B ）1),4cos(41)(≥=-n x y n n （C ）1),2
4sin(4
1
)
(≥+
=-n n x y n n π
（D ）1),2
4cos(4)
(≥+
=n n x y n π
答A
47．设2
1)(x
e
x f --=
，则（ ）
（A ）1)0(±='±f （B ）1)0( ='±f （C ）0)0(='±f （D ）)0(±'f 不存在 答A
48．设1
arcsin
)1()(+-=x x x x f ，则（ ）
（A ）0)1(='f
（B ）1)1(='f （C ）4
)1(π
=
'f
（D ）)1(f '不存在 答C
49．下列公式何者正确？（ ）
（A ）x x x cot csc )(csc -=' （B ）x x x sec tan )(sec -=' （C ）x x 2csc )(tan =' （D ）x x 2csc )(cot =' 答A
50．设f x g x e x x x
()()=-≠=??
?
-000
, 其中g x ()有二阶连续导数, 且g (),01=
'=-g ()01, 则 (A) f x ()在x =0连续, 但不可导,(B)'f ()0存在但'f x ()在x =0处不连续 (C) 'f ()0存在且'f x ()在x =0处连续, (D) f x x ()在=0处不连续
[C]
51．设f x ()可导, 且满足条件lim ()()
x f f x x
→--=-0
1121, 则曲线y f x =()在
(,())11f 处的切线斜率为 (A) 2, (B) -1, (C)
12
, (D) -2
[D]
52．若f x ()(,)为-∞+∞的奇数, 在(,)-∞0内'>f x ()0, 且'' (B) '>''>f x f x (),()00 (C) '<'' (D) '<''>f x f x (),()00 [C] 53．设f x ()可导, 且满足条件lim ()() x f f x x →--=-0 1121, 则曲线y f x =()在 (,())11f 处的切线斜率为 ( ) (A) 2, (B) -1, (C) 12 , (D) -2 [D] 54．设f x g x e x x x ()()=-≠=?? ? -000 , 其中g x ()有二阶连续导数, 且g (),01= '=-g ()01, 则 (A) f x ()在x =0连续, 但不可导 (B)'f ()0存在但'f x ()在x =0处不连续 (B) 'f ()0存在且'f x ()在x =0处连续 (C) (D) f x x ()在=0处不连续 [C] 55．设f x ()可导, F x f x x ()()(sin )=+1, 若使F x x ()在=0处可导, 则必有 (A) f ()00= (B) '=f ()00 (C) f f ()()000+'= (D) f f ()()000-'= [A] 56．设f x x x x x g x x ()cos ()=->≤??? ? ?100 2 , 其中g x ()是有界函数, 则f x ()在x =0处( ) (A) 极限不存在 (B) 极限存在, 但不连续 (C) 连续, 但不可导 (D) 可导 [D] 57．设 x x y ln =， 则 )10(y 等于（ ） （A ） 9-x （B ） 9--x （C ） 8!9-x （D ） －8!9-x (答 C) 58．若?? ???=≠=0 001sin )(x x x x x f p ，在点0=x 处连续，但不可导，则=p （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 答（ B ） 59．判断?? ?>≤+=1 212)(2 x x x x x f 在1=x 处是否可导的最简单的办法是（ ） （ A ）由3)1(=f 得0'3)1('==f ，故可导（导数为0） （ B ）因)01()01(-≠+f f ，故)(x f 在该点不连续，因而就不可导 （ C ）因1 ) 1()(lim 1 ) 1()(lim 101--≠---→+→x f x f x f x f x x ，故不可导 （ D ）因在1=x 处)'2()'2(2x x ≠+，故不可导 答（ B ） 60．若x y ln =，则 dx dy =（ ） （ A ）不存在 （ B ） x 1 （ C ） x 1 （ D ）x 1± 答（ B ） 61．若)(x f 是可导的，以C 为周期的周期函数，则)('x f =（ ） （ A ）不是周期函数 （ B ）不一定是周期函数 （ C ）是周期函数，但不一定是C 为周期 （ D ）是周期函数，但仍以C 为周期 答（ D ） 62．设)('t f x =，),()('t f t tf y -=记 2 2 2 2 '',','','dt y d y dt dy y dt x d x dt dx x = = = = ，则 =2 2 dx y d （ ） （ A ）2 2)' '( t x y = （ B ） ) (''')(''' '''t f t f t x y + = （ C ） 1' ' '''''2 =-x y x y x （ D ） ) (''1' ' '''''3 t f x y x y x = - 答（ D ） 63．在计算 2 3dx dx 时，有缺陷的方法是：（ ） （A ）原式x x dx x d x d dx 2 3) ) (32(1)(1) (3 13 33 3 33 23 2 == = = - (B) 原式x x dx x d 2 3)(2 3)(21 2 32 2 2 = = = (C) 原式x x x dx dx dx dx 2 3232 2 3 = = = ( D) 因,2,32 2 3 xdx dx dx x dx ==故 x xdx dx x dx dx 2 3232 2 3= = 答（ B ） 64．以下是求解问题 “b a ,取何值时，?? ?>+≤=3 3)(2 x b ax x x x f 处处可微” 的四个步骤.指出哪一步骤是不严密的：（ ） （A ） 在3=x 处)(x f 可微)(x f ?连续)(lim 3 x f x →?存在 （B ） )(lim 3 x f x →存在93)03()03(=+?-=+?b a f f （C ） 在3=x 处)(x f 可微)03(')03('-=+?f f （D ） 96)'(lim )03(',)'(lim )03('2 30 3-=?=?=-+=+-→+→b a x f b ax f x x 答（ D ） 65． 若)(x f 与)(x g ，在0x 处都不可导，则=)(x ?)()(x g x f +、 =)(x ψ)()(x g x f -在0x 处（ ） （A ）都不可导； （B ）都可导；（C ）至少有一个可导；（D ）至多有一个可导. 答案：D 66．若?? ?<≥+=-0 sin 0)(2x ax x b e x f x ，在00=x 可导，则b a ,取值为（ ） （A ）1,2==b a ； （B ）1,1-==b a ； （C ）1,2-=-=b a ； （D ）1,2=-=b a . 答案：C 67．设函数)(x y y =由方程04ln 22 =++x y x y 确定，则 =dx dy （ ） （A ） ) ln (22 2 x x y x y y +?-； （B ） x x y ln 2； （C ） x x y ln 2-； （D ） ) 1(ln 22 +-y x x x y . 答案：C 68．若},{max )(2 2 0x x x f x <<=，则=')(x f （ ） （A ）??? ? ?? ?<<< <='2 21,2 1 0,1)(x zx x x f ； （B ）??? ??? ?<<≤<='2 2 1,2 10,1)(x zx x x f ； （C ）?? ?<<<<='21, 10, 1)(x zx x x f ； （D ）?? ?<<≤<='2 1, 10,1)(x zx x x f ； 答案：C 69．设||25)(3 4 x x x x f -=，则使)0() (n f 存在的最大n 值是（ ） （A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3. 答案：D 70．设)(x f y =有反函数，)(y g x =，且)(00x f y =，已知1)(0='x f ，2)(0=''x f ， 则='')(0y g （ ） （A ）2； （B ）-2； （C ） 2 1； （D ）2 1- . 答案：B 71．设函数),()()(x a x x f ?-=其中)(x ?在a 点连续，则必有 （ ）。 (A))()(x x f ?='; (B))()(a a f ?='; (C))()(a a f ?'='; (D))()()()(x a x x x f ??'-+='. 答 ( B ) 72．函数)(x f y =在点0x 处可导是)(x f 在点0x 处连续的（ ）。 (A) 必要条件，但不是充分条件。 (B) 充分条件, 但不是必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分条件, 也非必要条件. 答（B ） 73．函数x x x f sin )(= 在π=x 处的 （ ）。 (A) 导数;)(ππ='f (B) 导数;1 )(π π= 'f (C) 左导数;)0(ππ=-'f (D) 右导数;1)0(π π=+'f 答（D ） 74．设函数?? ?≤+>-=, 2, ,2,1)(2x b ax x x x f 其中b a ,为常数。现已知)2(f '存在，则必有 ( )。 (A) .1,2==b a (B) .5,1=-=b a (C) .5,4-==b a (D) .3,3-==b a 答（ C ） 75．设曲线x y 1= 和2 x y =在它们交点处两切线的夹角为?，则=?tan ( )。 (A) -1. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 答（D ） 76．设函数x x x f =)(，),(+∞-∞∈x ，则 （ ） (A)仅在0=x 时， (B) 仅在0>x 时， (C) 仅在0≠x 时， (D)x 为任何实数时，)(x f '存在。 答（ C ） 77．设函数)(x f 在点a x =处可导，则=--+→x x a f x a f x ) ()(lim ( ) (A) ).(2a f ' (B)).(a f ' (C)).2(a f ' (D) 0. 答（ A ） 78．设函数)(x f 是奇函数且在0=x 处可导，而x x f x F )()(=，则 （ ）。)(x F 在0 →x 时极限必存在，且有)()(lim 0 x f x F x ''=→ (A) )(x F 在0=x 处必连续。 (B) 0=x 是函数)(x F 的无穷型间断点。 (C) )(x F 在0=x 处必可导，且有)0()0(f F '='。 答（ A ） 79．设a 是实数，函数 ?? ? ?? =≠-?-=, 1,0,1,1 1cos )1(1)(x x x x x f a 则)(x f 在1=x 处可导时，必有 ( )