一次函数平移与面积

26．(13分)如图，已知点C （4,0）是正方形AOCB 的一个顶点，E 是AB 边的中点.

（1）直接写出点E 的坐标；

（2）若双曲线x

y =

（x ＞0）经过点E ，且与BC 交于点F ,连结OE 、OF . ①求△OEF 的面积； ②探究：经过点E 是否存在直线L : n mx y += ,使得线段OE ，直线L 及x 轴三者所围成的三角形的面积等于△OEF 的面积？若存在，求出直线L 的关系式；若不存在，请说明理由.

24.(9分)如图9，在平面直角坐标系xOy 中，直线b x y +-=

与x 轴交于点A ，与双曲线 x

y 6

=在第二象限内交于点B （-3，a ）． ⑴求a 和b 的值；

⑵过点B

作直线l 平行x 轴交y 轴于点C ，求△ABC 的面积.

26. （13分）如图11，矩形ABCO 中，点C 在x 轴上，点A 在y 轴上，点B 的坐标是

（-12，16），矩形ABCO 沿直线BD 折叠，使得点A 落在对角线OB 上的点E 处，折痕与OA 、x 轴分别交于点D 、F ．

⑴直接写出线段BO 的长；

⑵求直线BD 解析式；

⑶若点N 在直线BD 上，在x 轴上是否存在点

M ，使以M 、N 、E 、D 为顶点的四

边形

是平行四边形？若存在，请求出一个满足

条件

的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（13分）如图, 在直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 在X

轴上，点B 、D 的坐标分别为B （1，0），D （3，3）. （1）直接写出点C 的坐标；（2）若反比例函数k

y x

的图象经过直线AC 上的点E ，且点E 的坐标为（2，m ），求m 的值及反比例函数的

解析式；

（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD 相交于点F ，连

接 EF ，在线段AB 上（端点除外）找一点P ，使得：S △PEF ＝S △CEF ，并求出点P 的坐标.

图9

24．（9分）如图，点M 是反比例函数x y 5

(x ＞0)图象上的一个动点．．，过点M 作x 轴的平行线交反比例函数x

y 5

=(x ＜0)图象于点N. （1）若点M 的坐标为(1，5)，则点N 的坐标为；

（2）若点P 是x 轴上的任意一点，则△PMN 的面积是否发生

变化？请说明理由.

25.（13分）某火车站有甲种货物60吨，乙种货物90吨，现计划用A 、B 两种型号的车厢共30节将这

批货物运出．设需用A 型车厢a 节.

（1）填空：需用B 型车厢的节数为 (用含a 的代数式表示)；

（2）如果甲种货物全部用A 型车厢运送，乙种货物全部用B 型车厢运送，则A 型、B 型车厢平均每节运

送的货物吨数刚好相同，试求出a 的值；

（3）在(2)的条件下，已知每节A 型车厢的运费是x 万元，每节B 型车厢的运费比每节A 型车厢的运费

少1万元，设总运费为y 万元，求y 与x 之间的函数关系式．如果已知每节A 型车厢的运费不超过5万元，而每节B 型车厢的运费又不低于3万元，求总运费y 的取值范围．

24.（8分）已知正比例函数x y =和反比例函数x

y =的图象都经

过点A （3，3）．

（1）直接写出反比例函数的解析式；

（2）把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点B （6，m ），求平移的距离．

26．(13分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，cm AD 6=，

cm CD 4=，cm BD BC 10==，点P 由点B 出发沿BD 方向

匀速运动，速度为s cm /1；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为s cm /1，交BD 于

点Q ，连结PE 、PF ，若设运动时间为t ()s （t ＜0≤5

（1）填空：._______

cm PD =(用含t 的代数式表示) （2）当t 为何值时，PE 与PF 的和最小？

（3）在上述运动的过程中，以P 、F 、C 、D 、E 为

顶点的多边形的面积是否发生变化，试说明理由.

二次函数平移变换

二次函数配方问题如何将2y ax bx c =++ （一般式）的形式变化为 2 ()y a x h k =-+（顶点式） 2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ? ? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=，对称轴是2b h a =- 顶点（a b a c a b 44, 22 -- ）（h, k ）（1）y=x 2-2x-1 （2） y =x 2-x-6 （3）5322--=x x y （4） y=x 2+2x+1 （5）y=2x 2-6x-1 （6）6422++-=x x y （7）432+--=x x y （8） y =-x 2-x-6 （9）y =-4x 2-3x-7 关于y=ax 2+bx+c 中a b c 的分析以及y=ax 2+bx+c 与c ax y +=图像判断 1.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( ) 2.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b 与y=ax 2 +bx+c 在同一坐标系内的图象可能是( ) 1 x A y O 1 x B y O 1 x C y O 1 x D y O x A y O x B y O x C y O x D y O

二次函数平移一、本节学习指导平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。本节有配套免费学习视频。二、知识要点 1、平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位 y=a (x-h )2+k y=a (x-h )2 y=ax 2+k y=ax 2 2、平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”。方法二： ⑴ 2 y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2 y ax bx c =++ 变成 2 y ax bx c m =+++（或2 y ax bx c m =++- ） ⑵2 y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2 y a x b x c =++变成2 () ()y a x m b x m c =++++（或2 ()()y a x m b x m c =-+-+） 3、二次函数2 ()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 的比较从解析式上看，2()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2 424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=，。

二次函数的平移规律

活动课二次函数的平移规律【教学目标】 1、借助几何画板探究如何通过y=ax2平移得到y=ax2+k的图象和y=a(x-h)2的图像； 2、思考如何通过y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k的图像； 3、归纳猜想得出平移规律。【重点难点】探究理解平移规律是教学的重点，也是教学的难点。【教学过程】一、探究归纳利用几何画板画出二次函数y=2x2和y=2x2－1及y=2（x－1）2的图象，并观察三个图象的位置关系？ 1、利用几何画板移动y=2x2向上和向下平移1个单位，观察其中y k的变化规律（关注其正负值）抛物线y=2x2与y=2x2+k图像位置有什么关系？可以发现后者可以由前者向上或向下平移｜k｜个单位得到的，当k>0时向上平移，当k<0时，向下平移。 2、利用几何画板移动y=2x2分别向左和向右平移1个单位，观察其中x k的变化规律（关注其正负值）可以发现，y=2(x-h)2的图像可以由y=2x2与分别向左和向右平移｜k｜个单位得到。当h>0时，向右平移，当h<0时，向左平移。

3、归纳猜想：如何通过平移y=2x 2得到y=2（x －1）2+1的图像。又如何通过平移y=ax 2平移得到y=a(x-h)2+k 的图像。引出平移规律。二、知识巩固例1、抛物线y=ax 2+k 与y=-5x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，3)，则其表达式为y=-5x 2+3，它是由抛物线y=-5x 2向上平移3个单位得到的. 教师 ①点拨解这类题，必须根据二次函数y=ax 2+k 的图象与性质来解，a 值确定抛物线的形状大小及开口方向，k 值确定顶点的位置. ②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长.(有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长) 例2 已知抛物线y=ax 2+k 向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x 2+2，试求a 、k 的值. 解:根据题意，得3,2 2.a k =-??-=?解得3,4. a k =-??=? 此题可以根据规律直接求出a 、k. 三、课堂小结 1.本节课探究得出了二次函数的平移规律；你知道如何通过平移y=ax 2平移得到y=a(x-h)2+k 的图像吗？三、作业不画图象，回答下列问题. ①函数y=－2(x+3)2的图象可以看成是由函数y=－2x 2的图象作怎样

一次函数图象的平移规律

一次函数图象平移的探究我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向上平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线 y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移．以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？【探究一】函数图像的上下平移我们先从一些具体的函数关系开始. 问题1已知直线l：y=2x-3，将直线l向上平移2个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式．分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l1的解析式为y=2x+ b，由于直线l1的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢？注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点，而直线 l1与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线l1的解析式可求．解：设直线l1的解析式为y=2x+b，直线l1交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线l1的解析式为y=2x-1．问题2已知直线l：y=2x-3，将直线l向下平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式．答案：直线l2的解析式为y=2x-6．(解答过程请同学们自己完成)

对比直线l和直线l1、直线l2的解析式可以发现：将直线l：y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线l1的解析式为：y=2x-3+2；将直线l：y=2x-3向下平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2x-3-3．(此时你有什么新发现？) 我们再来探究一般情况. 问题3 已知直线l：y=kx+b，将直线l向上平移m个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式．简解：设直线l1的解析式为y=kx+p，直线l交y轴于点(0，b)，向上平移m 个单位长度后变为(0，b+m)，把(0，b+m)坐标代入l1的解析式可得，p=b+m．从而直线l1的解析式为y=kx+b+m．问题4 已知直线l：y=kx+b，将直线l向下平移m个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式．答案：直线l2的解析式为y=kx+b-m．(解答过程请同学们自己完成) 由此我们得到：直线y=kx+b向上平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m，直线y=kx+b向下平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m，这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律．这个规律可以简记为：函数值：上加下减以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b 不是上下(或沿y轴)平移，而是左右(或沿x轴)平移，又该怎样进行平移呢？【探究二】函数图像的左右平移

(完整版)一次函数图象的平移及解析式的变化规律

一次函数图象的平移及解析式的变化规律我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律: 一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律: （1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y . （2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y . 注意: （1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±. （2）上面的规律如下页图（51）所示.

超经典二次函数图象的平移和对称变换总结

二次函数图象的几何变换内容基本要求略高要求较高要求二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.

二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变

一次函数平移的规律

一次函数平移的规律：我们知道，一个点作上下平移时，是横坐标不变，纵坐标发生变化。当纵坐标变大时，点就向上平移了；当纵坐标变小时，点就向下平移了。同理，一个点作左右平移时，纵坐标不发生任何改变，而是横坐标在发生变化。当横坐标变大时，点向右平移，当横坐标变小时，点就向左平移了。由于图形在平移时，图形上的每一个点都作了相同的平移，所以在理解一次函数平移时，我们只须抓住一个点的变化去理解就行了。当y=kx+b中只是b发生变化，但kx不变化时，就说明图上的一个特殊点（0，b）在发生变化，b增加多少个单位，就说明点(0,b)向上平移了多少个单位；b减少多少个单位，就说明点(0,b)向下平移了多少个单位。这时对应的一次函数的图象也就相同的向上或向下平移了多少个单位。因此，y=kx+b向上平移m个单位后就得到y=kx+(b+m)，向下平移了m个单位就得到y=kx+(b－m) y=kx+b左右平移又是怎么样的一个规律呢？我们不防将方程变一下形，得到 x=y/k－b/k 由左右平移不改变纵坐标大小，我们只要抓住图象在横轴上的截距－b/k发生了变化就行了向右平移横截距增大，向左平移横截距减小，这样我们就可以得到，如果－b/k增加了m个单位，图象就向右移动了m个单位，就得到 x=y/k-b/k+m 化成一般式就得到y=kx+b－km 也可化为y=k(x-m)+b 同理，如果一次函数的图形向左平移m个单位，那么图象在x轴上的截距就变小m个单位，而这时纵坐标保持和原来一样。这时的方程就是在 x=y/k-b/k 右边的-b/k上减去m就行了，即 x=y/k－b/k－m 化成一般式，得y=kx+b+km 也可化为y=k(x+m)+b 发现了什么规律了吗？从上面左右平移m个单位，即在横轴上的截距减小或增大m个单位得到的y=kx+b+km和y=kx+b－km我们看到，在y轴上的截距并不是简单的作相同的减小或增加m个单位，而是横截距每增大m个单位，纵截距就反而减小km个单位；横截距每减小m个单位，纵截距反而增加km个单位。我们把以上规律写成口诀：“上加下减，左加右减” 这个口诀都是针对纵截距的变化说的，意思是说，上下平移m个单位是，直接在b上加上或减去m，左右平移m个单位时，要在b上加上或减去km，这样就得到平移后的解析式了。如果觉得这样理解不好记，我们还可以这样来记，对y=kx+b上下平移m个单位，直接在b上作加减m，得y=kx+(b+m)或y=kx+(b－m),左右平移m个单位，直接对x进行加减m就行了,得到y=k(x+m)+b或y=k(x－m)+b。

一次函数图象“平移”规律

适用八年级一次函数图象“平移”规律函数的图象及其解析式，是从“形”与“数”两个方面反映函数的性质，也是初中数学中数形结合思想方法的重要体现．在平面直角坐标系内，当一次函数图象发生平移（平行移动）时与之相对应的解析式也随之会改变，本文就其变化规律归纳如下，仅供同学们学习时参考．直线的平移与其解析式y kx b k =+≠()0的关系： ① 直线y kx b k =+≠()0平移时，系数k 的值保持不变． ② 直线y kx b k =+≠()0向上或向下平移m （m >0）个单位时，解析式变为 y kx b m =++或y kx b m =+-，这时可简记为“上加（＋），下减（－）”． ③ 直线y kx b k =+≠()0向左或向右平移m （m >0）个单位时，解析式变为 y k x m b =++()或y k x m b =-+()，这时可简记为“左加（＋），右减（－）”．例1．（2008年上海市）在图1，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．【分析】通过观察图象可求出直线OA 的解析式，再根据上面平移与解析式之间的关系进行解答．解：设OA 的解析式为：y kx =，因OA 过A （2，4），所以4＝2k ,解得k ＝2，所以OA 的解析式为：2y x =，上移一个单位后，解析式为：21y x =+．例2．把直线y x =-+21平行移动后过点A ()-42，，求平移后的直线解析式，并说明是向上还是向下平移几个单位得到的．【分析】因知道直线平移过点A ()-42，，而平移系数k 不改变．所以可设解析式为：y x b =-+2，进而求b ．解析：根据题意可设所求的直线为：y x b =-+2；由A ()-42，在此直线上，得 2＝－2×(－4)＋b ，解得b ＝－6．故所求直线为y x =--26，由y x =-+21得y x =-+-217知可将原直线向下平移7个单位得到．请同学们再思考一下：若直线y x =-+21左右平行移动后能否过点A ()-42，呢？请说明理由．参考答案：设y x m =-++21()，由A ()-42，，求得m ＝72 ．所以由y x =-+21得26y x =--知可将原直线向左平移72个单位．

二次函数平移规律

二次函数平移专项练习题平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加” ｜a ｜的大小决定抛物线开口的大小,｜a ｜越大,抛物线的开口越小. a>0时抛物线开口向上，反之向上 c>0时抛物线交y 轴于正半轴，反之在负半轴 a 、 b 同号时对称轴在y 轴左侧，异号时在右侧抛物线平移时只有二次项系数a 是不变的 1、把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 根据左加右减、上加下减可得：B. 2(1)3y x =-++ 2、将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由：2 y x x =+=-（x+21）2-41 232y x x =-+=(x-23)2-4 1 得：a=21-（-23）= 2 ，所以选B 3、抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 由y=x 2-2x-3=(x-1)2 -4，

再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为： y=(x+2-1)2-4+3=x 2 +2x 所以：b=2 c=0 4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位．根据上加下减可得：B 5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ] A ．y=-3(x-1)2-2； B ．y=-3(x-1)2+2； C ．y=-3(x+1)2-2； D ．y=-3(x+1)2+2．根据左加右减、上加下减可得：A ．y=-3(x-1)2-2； 6、要从抛物线212y x =-得到21(1)32y x =-+-的图像，则抛物线y=-21x 2必须[ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位； D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位．根据左加右减、上加下减可得：B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 7. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522++-=x y

五种类型一次函数解析式的确定

五种类型一次函数解析式的确定确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。函数的解析式就确定出来了。解：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=3×2+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12. 二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求函数的表达式。分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。解：因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。三、根据函数的图像，确定函数的解析式例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。

二次函数的平移

《二次函数的平移》教学设计杜军涛一、教材分析 1、教材分析本节课是北师大新版初中数学九年级下册第二章第三节二次函数的平移的一个延伸和拓展，也是陕西中考近几年的一个热点和难点。本节课是在八年级下册第三章学习了图形的平移之后，在九年级下学习了二次函数的图像和性质，a,b,c对图像的影响，二次函数的平移的基础上的进一步专题研究。通过本节课的学习为后面二次函数的旋转变换，对称变换提供了一定的研究思路，也为后面二次函数其他的专题研究打下了基础，同时又为高中的数学学习做好了铺垫，具有承上启下的作用。 2、学情分析学生的身心特点：九年级的学生他们有着强烈的求知欲，具有一定的观察能力，模仿借鉴能力，思维和思辨的能力。他们喜欢动手操作，独立思考，合作交流，他们乐于在课堂上展示自己的想法和做法。因此，本节课我将留出充足的时间和思维空间让学生进行自主探索学习，合作交流，展示自己独特的想法。从认知状况来说：九年级学生学生在此之前已经学习了图形（包括直线，抛物线）的平移，对二次函数的平移已经有了初步的认识，但是部分学生对于二次函数的平移只是记住了平移规律，对于平移的本质理解不够深刻。对于二次函数平移与几何图形相结合的问题（由于其抽象程度较高，）仍有一定的困难，因此本节课会将重心放在引导分析以上两个问题。基于以上对教材和学情的认识，我设计了如下的教学目标二、教学目标分析教学目标：理解并掌握在平移过程中图像的变化对a,b,c的影响通过对二次函数平移的研究，培养学生的动手操作、观察、分析、分类讨论、归纳概括的能力；情感、态度和价值观：通过数学活动让学生学会与人相处，养成自主探索，合作交流的良好学习习惯。教学重点：利用二次函数的平移解决几何图形的的相关问题，培养学生数形结合的思想方法。教学难点：利用二次函数的平移解决几何图形的的相关问题，培养学生数形结合的思想方法。三、教学方法分析按照新课标的理念；本节课我将采用启发式、讨论式的教学方法，以问题串的形式由浅入深，层层递进，尊重学生的个体差异，激发学生的求知欲，始终在学生知识的“最近发展区” 设置问题，给学生留出足够的思考时间和思维空间，让学生进行自主探索和合作交流，从真正意义上完成对知识的自我建构。四、学习方法分析：通过开展自主探索，合作交流，展示等活动，培养学生分析问题，解决问题的能力五、教学过程：新课标指出，教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：

二次函数平移问题

二次函数的平移问题我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律. 一.当解析式为一般式y=ax2+bx+c (a≠0)时 1.向上或向下平移时,二次函数解析式的变化规律. 将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c-n 两式比较:可得抛物线向上平移n个单位,常数项上加n，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=ax2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移n个单位, 常数项上减去n，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=ax2+bx+c-n 2.向左或向右平移时,解析式的变化规律. 将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c 将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c 两式比较,可得出抛物线向左平移m个单位,自变量上减去m，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移m个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=a(x-m)2+b(x-m)+c 3. 将抛物线向左平移m个单位长度后, 再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c+n 将抛物线向左平移m个单位长度后, 再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c-n 将抛物线向右平移m个单位长度后, 再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c+n 将抛物线向右平移m个单位长度后, 再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c-n 二.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）时 1.向上或向下平移时，解析式的变化规律. 将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k-n 将抛物线向上平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k+n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k-n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k-n 比较两个解析式可得出向上平移n个单位，括号外加n，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a（x+m-h)2+k-n 2.向右或向左平移时，解析式的变化规律. 将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m)2+k 将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h-m)2+k 将抛物线向左平移m个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为

帮你理解一次函数的平移规律

帮你理解一次函数的平移规律我们知道，一个点作上下平移时，是横坐标不变，纵坐标发生变化。当纵坐标变大时，点就向上平移了；当纵坐标变小时，点就向下平移了。同理，一个点作左右平移时，纵坐标不发生任何改变，而是横坐标在发生变化。当横坐标变大时，点向右平移，当横坐标变小时，点就向左平移了。由于图形在平移时，图形上的每一个点都作了相同的平移，所以在理解一次函数平移时，我们只须抓住一个点的变化去理解就行了。当b kx y +=中只是b 发生变化，但kx 不变化时，就说明图上的一个特殊点（0，b ）在发生变化，b 增加多少个单位，就说明点(0,b)向上平移了多少个单位；b 减少多少个单位，就说明点(0,b)向下平移了多少个单位。这时对应的一次函数的图象也就相同的向上或向下平移了多少个单位。因此，向上平移m 个单位后就得到)(m b kx y ++=，向下平移了m 个单位就得到)(m b kx y -+=。 b kx y +=左右平移又是怎么样的一个规律呢？我们不防将方程变一下形，得到k b k y x -= 由左右平移不改变纵坐标大小，我们只要抓住图象在横轴上的截距k b -发生了变化就行了，向右平移横截距增大，向左平移横截距减小，这样我们就可以得到，如果k b -增加了m 个单位，图象就向右移动了m 个单位，就得到m k b k y x +-= 化成一般式就得到km b kx y -+= 也可化为b m x k y +-=)( 同理，如果一次函数的图形向左平移m 个单位，那么图象在x 轴上的截距就变小m 个单位，而这时纵坐标保持和原来一样。这时的方程就是在m k b k y x +-=右边的k b -上减去m 就行了，即m k b k y x --= 化成一般式，得km b kx y ++= 也可化为b m x k y ++=)( 发现了什么规律了吗？从上面左右平移m 个单位，即在横轴上的截距减小或增大m 个单位得到的km b kx y ++=和km b kx y -+=我们看到，在y 轴上的截距并不是简单的作相同的减小或增加m 个单位，而是横截距每增大m 个单位，纵截距就反而减小km 个单位；横截距每减小m 个单位，纵截距反而增加km 个单位。我们把以上规律写成口诀：“上加下减，左加右减” 这个口诀都是针对纵截距的变化说的，意思是说，上下平移m 个单位是，直接在b 上加上或减去m ，左右平移m 个单位时，要在b 上加上或减去km ，这样就得到平移后的解析式了。

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题

二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x 2+1的图象 ①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2+4； ②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2-3； ③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1； ④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax 2+c 向上平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2+c+m ；向下平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2+c-m ；向左平移n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （x+n ）2+c ；向右平移n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （x-n ）2+c ，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x 2-2x-3的图象， ⑤沿x 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x 2+2x-3． ⑥沿y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x 2+2x-3 由此可以归纳二次函数y=ax 2+bx+c 若沿x 轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax 2-bx-c ，若沿y 轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax 2-bx+c 三、二次函数的图象的旋转，将二次函数 y=- x 2+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y= x 2-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax 2+bx+c 的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax 2-bx-c ．（备用图如下） 2121

1、（2011?桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（） A ．y=-（x+1）2+2 B ．y=-（x －1）2+4 C ．y=-（x －1）2+2 D ．y=-（x+1）2+4 2、（2012浙江宁波中考）把二次函数y ＝（x －1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________． 3、飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间 t （单位：s ）的函数关系式是s=60t-1.5t 2，飞机着陆后滑行的最远距离是（） A ．600m B ．300m C ．1200m D ．400m 4、（2012?襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关系式是y=60x-1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行m 才能停下来． 5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y·轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________． 6、已知二次函数y ＝ax 2（a ≥1）的图像上两点A 、B 的横坐标分别是－1、2，点O 是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为。 7、如图，已知抛物线234 y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线334y x t =-+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．（1）确定b c ，的值：（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）：（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由． y C A O Q H B P x

一次函数平移规律中“左加右减”的解析

一次函数平移规律中 “左加右减”的解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

2 我对中学直线y kx b =+在平移规律中”左加右减”的一点解释 ——Old Boy 可先将y kx b =+变一下形，得到：y b x k k =- 由左右平移不改变纵坐标大小(即令y 恒定)，可知图象在横轴上的截距b k -发生了变化。当向右平移时，横截距增大；向左平移时，横截距减小；由此可知:如果b k - 增加了 m 个单位，图象就向右移动了 m 个单位，于是得到? y b x m k k = -+ 化成一般式 , ,y b x m kx y b km k k y b kx km y kx b km k b x m =-+=-+-=-=+=+--（等号两边同乘以k ）可得：变形可得:则（）（）所以“右减”。同理，如果一次函数的图形向左平移 m 个单位，那么图象在x 轴上的截距就变小 m 个单位，而这时纵坐标保持和原来一样。这时的方程就是在y b x k k =-右边的b k -上减去 m 就行了，即? y b x m k k =-- 化成一般式 , ,?y b x m kx y b km k k y b kx x m km y kx b km k b = --=---+=+=++=+（等号两边同乘以k ）可得：变形可得:则（）（）所以“左加”。 ? 从以上左、右平移 m 个单位，即在横轴上的截距减小或增大 m 个单位得到的 y kx b km y kx b km =++=+-（）和（）函数图象中可以发现：在y 轴上的截距并不是简单的作相同的减小或增加 m 个单位，而是横截距每减小 m 个单位，纵截距反而增加km 个单位；横截距每增大 m 个单位，纵截距就反而减小km 个单位。

探索二次函数图像平移的规律

《探索二次函数图像平移的规律》教材分析：本节是九年级下册（北师大版）第二章的内容，是为学生进行数学兴趣活动而安排的，目的是加强学生的动手操作能力，培养学生探索发现、归纳总结的数学素养，开拓学生的知识视野。学生前面已经学过二次函数图像的画法，它对解决本节课的问题有一定的帮助。虽然这些内容没有在教材中安排，但是它将来与高中数学知识相结合对培养学生数形结合数学思想的形成有很好的促进作用。通过让学生经历动手操作、合作交流、观察归纳的过程，总结出二次函数图像平移时解析式的变化规律，体验数学活动的乐趣与成功的快乐，从而促进学生对二次函数图像平移的理解，激发学生学习数学的兴趣。教学目标： 1.知识与技能目标（1）经历操作、观察、欣赏、合作交流的过程，逐步认识二次函数图像平移的存在与解析式之间的联系。（2）经过操作、交流、探索、观察、归纳的过程，总结出二次函数图像平移过程中二次函数解析式的变化规律。 2.过程与方法目标经历自己操作、探索、观察、归纳、概括等过程，以及同学间的交流与合作，进一步发展同学们的合作意识、空间观念，发现函数y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律，从而了解数形结合的数学思想对学习数学的重要性。 3.情感与态度目标

（1）通过同学们的亲自操作与实践，感受“生活中处处有数学”，让学生乐学数学，激发他们学习数学的兴趣。（2）通过同学们的操作实践、观察发现、概括归纳，体验数学的内在美，感受成功的快乐，培养学生的创新能力。教学重点与难点：重点：掌握函数y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律。难点：观察发现、概括归纳函数y=a(x+h)2+k的图像在平移过程中k、h的变化规律。教学方法：采用引导发现法、实验探究法的教学方法，本着启发性、直观性的教学原则，体现以教师为主导、学生为主体的教学思想来完成教学目标。学习方法：实验探究法、观察分析法、合作交流法、归纳总结法。教学准备： 1.课前准备好一张八开的白纸，并在上面画好单位长度为一厘米的直角坐标系（也可直接用相同单位长度的坐标纸）。 2.一段平直的细铁丝（不能太硬）。教学过程：一、创设情境，引入课题首先，请同学们六人一组，共分成八组，每组围成一圈进行活动。提醒大家：前面我们在画二次函数图像时先把二次函数的解析式由一般式y=ax2+bx+c化为配方式y=a(x+h)2+k，这样从对称轴两边依次取值，不但方便好算，而且描点画出的图像在对称轴两边也是一样高的，

一次函数图像的平移对称旋转问题

一次函数图象的平移变换问题的探究求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数 y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行?12k k =. 一、一次函数平移的三种方式： ⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减. ⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减. ⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化. 二、典型例题：（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是所谓平移变换就是在平面内， .经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ）（2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ）（3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立. 下面我们来探索直线的平移问题. 【引例1】探究一次函数l ：y= 32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=3 2 x －2的关系. . 【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线. 【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是． 2l x

一次函数图象的平移变换问题探究

一次函数图象的平移变换问题的探究所谓平移变换就是在平面内，将一个图形整体沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称为平移.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ）（2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ）（3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立. 下面我们来探索直线的平移问题. 【引例1】探究一次函数l ：y=32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=32x － 2的关系. 【探究】我们可以通过列表、描点、连线在同一平面直角坐标系中画出3个函数的图象（如图2l

1），观察这3个函数的图象：从位置上看，它们是3条平行的直线.（这是因为它们的k 值相同）；从数量上看，对于同一自变量的取值（不妨取x=0即直线与y 轴的交点），可以看出直线1l 在直线l 的上方2个单位处，直线2l 在直线l 的下方2个单位处，因此，一次函数1l ：y=32x+2的图象可以看作是由正比例函数l ：y=32x 的图象沿y 轴向上平移2个单位得到的；一次函数2l ：y=32x －2的图象可以看作是由正比例函数l ：y=32x 的图象沿y 轴向下平移2个单位得到的. 【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线. 【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．分析：观察图像发现直线OA 是正比例函数的图象，可设直线OA 的解析式为y=kx ，又点A （2，4）在函数图像上，所以4=2 k 即 k=2，又一次函数的图像是由直线OA 向上平移1个单位得到，故这个一次函数的解析式为y=2x+1.