第二章 晶格振动和晶格缺陷

第二章 晶格振动和晶格缺陷

上一章里，把组成晶体的原子或离子看成是固定不动的，都处在其平衡位置上。实际晶体中的原子却是不停地在其平衡位置附近做热振动的，并且随着温度的升高，振动会不断加剧。这种热振动也称晶格振动，它会破坏晶格的周期性，在晶格中造成缺陷，从而对半导体的性质产生重要影响。实际三维晶体中原子的振动现象很复杂，我们只分析一维晶体（单原子和双原子链）的振动，然后将所得到的规律和结论推广到三维晶体中。 §2-1 一维均匀线的振动

为研究一维原子链的振动，首先复习一下一维均匀线中弹性波（纵波）的传播现象。设均匀线的质量密度为ρ，弹性模量为K ，又设线上每一点只能沿线本身的方向运动，如图2-1所示。

若在线段x ?上施加一作用力，它将引起x 点的纵向位移u （x ）。此时在x 处的

相对伸长，即形变为x u x e ??=)(，在x x ?+处的形变则为x x

u x e x x e ???+=?+22)()(。

因此在线元x ?上的作用力

[]x x

u

K x e x x e K F x ???=-?+=?22)()( （2-1）

此作用力还可表示为线元质量x ?ρ乘上加速度22t

u

??，即

22t

u

x F x ???=?ρ （2-2）

从而有 22t u ??=22

222x

u x u K ??=??υρ （2-3） 式中，ρ

υK

=

是弹性波的传播速度（声波速度），与振动频率无关。（2-3）式

称线性振动方程，其解为具有如下形式的简谐波

[

])(e x p ),(t qx i A t x u ω-= （2-4） 式中，A 为振幅，πνω2=为角频率，ν为振动频率，λ

π

2=q 为波矢（波数

λ

1

π2?），

λνυ=为波速，从而有

q υλπυπνω===/22 （2-5）

即ω与波矢q 成正比。q 的绝对值可取∞→0，因而振动频率也可取∞→0，且与q 是一一对应的。（2-5）式也称波的色散关系。

§2-2 一维单原子链的振动

晶体由周期性排列的原子构成。由于晶体微观结构的这种不连续性，使得晶体中原子的振动具有与连续媒质弹性振动不同的特点。由于原子之间的相互作用，每个原子的振动并不是彼此孤立的，而是一个原子的振动要依次传递给其他原子。晶体中的原子振动，总体而言，也是以波的形式在晶体中传播的。这种晶体中原子振动波称格波。

下面分析质量为m 、间距为a （晶格常数）的一维单原子链的晶格振动。如图2-2所示，假设第n 个原子的位移为u n 。若这个原子从平衡位置偏离不大，则其受到的相互作用力可认为是准弹性的，并与原子间距的变化成比例。因此，在忽略包括次近邻以外原子的作用后，n 原子所受到的作用力F n 为n-1和n+1两个最近邻原子的作用力之和，即

)2()()(1111n n n n n n n n u u u u u u u F -+=---=-+-+βββ （2-6）

式中，β称准弹性力常数且a K /=β，即a K β=，K 为弹性模量。于是，第n 个原子的运动方程可写为

=22dt

u d m n

)2(11n n n u u u -+-+β （2-7）

该方程的解为简谐波

[])(e x p t q n a i A u n ω-= （2-8） 将（2-8）代入（2-7）得

)2(2-+=--i q a i q a e e m βω=[]2

sin 4)cos 1(22

qa qa ββ-=-- 从而有 2

s i n

422qa

m βω= （2-9） 于是得 2

s i n 2s i n )(22/1qa

qa m m ωβω== （2-10）

式中，2/1)/(2m m βω=为最大振动角频率。（2-10）式即为一维单原子链的色散关系或频谱分布。从而一维单原子链中准弹性波的传播速度为

λ

πβπλπωλνλυa

m sin

)/(22/1==

= （2-11） 与波长有关。一维单原子链的格波（简谐波）具有以下性质：

1．所有原子都以相同的角频率ω和振幅A 作简谐振动；

2．各原子之间有一均匀变化的位相差。位相差的大小由原子之间的距离a 和波长q

π

λ2=

决定。近邻原子间的位相差为a a q λπ2=； 3．如果两个波矢'q q 和之间存在以下关系

l a

q q π

2'+

= （l 为任意整数） （2-12） 则相应于这两个波矢的格波所引起的原子振动是相同的。

**因为，对于'q 格波，原子振动为

[][]t)-exp )2exp()(exp 2(exp '

ωπωωπqna A nl i t qna i A t na l a q i A u n （

）=-=??

????-+= =u n (2-13)

与波矢为q 的格波所引起的原子的振动相同。因此，当q 在2π/a 的范围内变化时，能够给出所有的独立格波。为了明确起见，通常限制

a

q a π

π<≤- （2-14）

波矢q 的这一变化范围，称为第一布里渊区。格波之所以具有上述性质，是因为

晶体中的原子不是连续分布，而是周期排列的。由于q 在a a π

π和-之间取值，故

当a

q π

=

max 时，相应的格波波长最小，为a q 22max

min ==

π

λ。这个结果的物理意义是很清楚的。小的格波。图2-3中，

图2-3 一维单原子链中不同波长的格波

画出了)6(62a a q ==

λπ和)2(a a q ==λπ的两个格波。而)7/6(62*7a a q ==λπ的简谐波与a q 62π=相差a

π

2，半波长小于a ，故不属于格波。

§2-3 一维双原子链的振动

如图2-4所示，假设在质量为m 1和m 2的两种原子组成的晶格常数为a 的一

维晶体中，分别用序列号'n 和"n 标志第n 个原胞中的m 1和m 2原子，用'n u 和"

n u 表

示'n 和"n 位置原子的位移，并认为相邻原子之间的弹性力常数β相等，则可写出以下两种原子的运动方程

'

"1"2'

212(n n n n u u u dt

u d m -+=-β）

)2("

''12

"22n n n n u u u dt

u d m -+=+β （2-15） 上述方程的解为

[])(e x p 1'

t qna i A u n ω-=

[])(e x p 2"t q n a i A u n ω-= 3,2,1,0±±±=n （2-16）

将（2-16）代入（2-15）得

0)1()2(2121=+---A e A m i q a βωβ

0)2()1(2221=--+A m A e i q a ωββ （2-17）

这是一个二元线性齐次联立方程组。若要A 1和A 2不同时为零，则其系数行列式必须等于零。即

)

2()1()

1()2(2

221ωβββωβm e e m i q a i q a

-++--=0 （2-18） 利用qa e e iqa iqa cos 2=+-和2

sin 2cos 12

qa

qa =-，可得 02

s i n 422212221214

=++-qa m m m m m m βωβω （2-19）

从而有

??

????-+=

2s i n 1122220

21

qa r ωω ??

?

???--=2s i n 1122

2

20

2

2

qa r ωω (2-20)

式中,21212

02m m m m +=β

ω,2

212

12)

(4m m m m r +=。由（2-20）可知，每个q 对应两个ω（负ω无意义）

。因此，在原胞中有两个原子的一维晶体中有两支振动波（格波），其中频率较高者与晶体的光学性质有关，通常称光学波。而频率较低者则与宏观弹

性波（声波）有密切关系，通常称声学波。图2-5给出了一维双原子链振动频率与波矢之间的关系。

下面讨论两种极端情况，即对波长最长和最短的格波进行讨论。 1）对q=0和q=π/a 有 01)0(ωω= ， 20

1112

)(r a -+=

ωπ

ω

0)0(2=ω ， 20

2112

)(r a

--=

ωπ

ω （2-21）

从而有 )0()()()0(22101ωπ

ωπωωω???=a

a =0 （2-22）

2）对无限长波长声学波，0)0(2=ω，从而由（2-16）和（2-17）式有

1)(21"'

==A A

u u n

n （2-23）

即此时两个原子的位移相同。这意味着无限长声学波中，两个原子的振动是同步

的，并在任何时刻它们偏离平衡位置的方向相同，与弹性波类似，故称其为声学波。

3）对无限长波长光学波，最大频率01)0(ωω=。根据（2-16）和（2-17）式

有： 122

1"'m m

A A u u n n -== （2-24）

因此，在无限长光学波中，同一原胞中的两个原子反向位移，位相相反，质量中

心不动，即0"

2'1=+n n u m u m 。如果原胞由两个符号不同的离子组成，它们的反位

相振动将导致原胞电偶极矩的变化，从而引起红外光的吸收和发射，故称其为光学波。

4）对较长波长格波，即q 较小时，有2

2sin qa qa ≈，从而（2-20）式中的根号项可展成级数，结果对光学波有：)32

1(2

2201q a r -≈ωω (2-25) 当0→q 时，光学波的相速度∞→=

q

f 1

ωυ,而群速度016

2201

→-==

q a r dq d g ωωυ. 而对声学波则有：q q m m a raq υβ

ωω=+=≈)(2412102 （2-26）

式中，a K /2=β。上式表明,对于长声学波，振动频率正比于声速

ρ

β

υK

m m a

=

+=)

(221且相速度与群速度均等于声速，即：υυυ==g f 。这意

味着当q 较小时，晶格原子的声学波对应于通常的声波，其传播速度等于晶体中

的声速。

5）对最短波长a

q a π

λ==,2min ，此时光学波的振动频率最小，而声学波的

频率最高，分别为：

m i n 12/111)/2()(ωβπ

ω==m a 和max 22/122

)/2()(ωβπω==m a

§2-4 玻恩---卡门边界条件（周期性边界条件）

前两节讨论了分布在无限长直线上的原子振动问题，得到的格波频谱分布是连续的。然而，实际晶体大小总是有限的。对有限晶体，边界附近的原子与内部原子所处的环境有所不同，晶体结构的周期性被破坏，这给分析问题带来不便。为克服这一困难，玻恩、卡门提出了一种理想化的边界条件-----周期性边界条件：要求原子的运动具有以实际的有限晶体为周期的周期性。该条件虽然有一定的人为性，但对所讨论的问题一般影响不大（为什么？），可得到一些重要结论。

下面用周期性边界条件讨论一维单原子链和双原子链问题。

1）对于一维单原子链，设想其由N 个相同的原子组成，这些原子以等间距a 排列在一条长为L=Na 的直线上。这条原子链共有N 个原胞，每个原胞中只有一个原子。周期性边界条件要求，实际晶体中任意一个原胞中的原子（如第n 个）的运动情况，与晶体外面假想晶体的相应原胞中原子（第n+N 个）的运动

情况相同，即：

N n n u u += （2-27） 将格波（2-8）式代入（2-27）中，则有：

[][]))((e x p )(e x p t a N n q i A t qna i A ωω-+=- （2-28） 要上式成立，必须1=iqNa e ，即有

qNa=2πl L

l Na l

q π

π22==? （l 为整数） （2-29） 上式表明，满足周期性边界条件的格波，其波矢q 不能连续改变，只能取分立值，并在波矢空间中等间距分布，间距为2π/L 。因此，每个q 在波矢空间中平均占有的长度为实际晶体长度的倒数的2π倍，这是由周期性边界条件得到的重要结论，请记住。由于晶体中原子排列的周期性，导致独立格波的波矢量被限制在第一布里渊区，即

a

q a π

π

<

≤-

将（2-29）式代入上式，则得到l 的取值范围：

2

2N

l N <≤- （2-30）

即l 只能有N 个取值，因此波矢q 也只能取N 个值。对于一维单原子链，ω作为q 的函数只有一支，共有N 个q ，故有N 个ω。相应于每个q 和ω，有一个格波，故共有N 个独立的格波，格波数与晶体中原子的自由度相等。

2）对于一维双原子链，设想共有N 个原胞，2N 个原子。周期性边界条件 要求两种原子的位移满足：

''N n n u u += 和 "

"N n n u u += （2-31）

经过与单原子链类似的推导，容易得到对波矢q 的要求与单原子链完全相同。即q 也只能取由（2-29）式所限定的分立值，l 的变化范围与（2-30）式相同，q 也只能取N 个值。但在双原子链中，原胞数与原子数不再相等，原子数为2N 个。在这种情况下，ω作为q 的函数有两支，相应于每个q ，有两个ω。共有N 个q ，故有2N 个ω。相应于每个q 和ω，有一个格波，共有2N 个独立的格波，格波数也与晶体中原子的自由度相等。

基于对以上两种情况的分析，可得到如下结论： 1）晶体中格波的支数=每个原胞中原子的自由度； 2）每支格波包含的格波数=晶体中的原胞数； 3）总的格波数=晶体中原子的总自由度。

以上结论，对于二维和三维晶体也完全适用。一般而言，若晶体由N 个原胞组成，每个原胞中包含n 个原子，每个原子有f 个自由度，则有：

1）晶体中格波的支数=fn ； 2）每支格波包含的格波数=N ； 3）总的格波数=fnN ；

4）在fn 支格波中有f 支声学波，剩下的f （n-1）支为光学波； 5）在f 支声学波中，有一支纵波，f-1支横波；

6）在f （n-1）支光学波中，有（n-1）支纵波，（f-1）（n-1）支横波。 7）声学波的频率较低，当q 趋于零时，ω也趋于零；光学波的频率较高，当q 趋于零时，ω趋于常数。

**纵波：原子振动方向与波的传播方向平行的格波；横波：原子振动方向与波的传播方向垂直的格波； §2-5 声子

晶体中的原子振动形成格波。在三维晶体中，原子的振动可分解为3nN 个独立的简谐波。根据量子力学理论，频率为ω的简谐振动，其能量E 是量子化的，只能取一些不连续值：

ω )2

1

(+=n E n=0，1，2，3….. （2-32）

对于频率为ω的格波，它的每一份能量ω 被称为一个声子。实际上声子就是晶格振动能量变化的最小单元。

有了声子概念后，就可以把光子、电子被晶格振动散射问题理解为与声子碰撞问题，从而使问题简化。 §2-6 晶体中的缺陷和杂质

实际晶体中总是存在着缺陷与杂质，使晶体内部结构的完整性遭到不同程度的破坏。晶体中主要缺陷有以下几种：

1）点缺陷：空位、间隙原子和杂质； 2）线缺陷：位错； 3）面缺陷：层错。

这些缺陷的存在，会极大地影响晶体的物理性质，下面分别予以简单介绍。

一．空位与间隙原子。空位与间隙原子是通过晶格热振动等方式产生的。如图2-6所示，由于热振动，晶格原子离开正常位置进入晶格间隙，形成空格点（空位）和间隙原子。这种方式产生的空位和间隙原子总是成对出现的，称弗兰克尔缺陷；空位和间隙原子也可通过其他途径单独产生。如：表面原子向体内扩散形成的间隙原子和表面附近原子跳到表面上形成的空位均属这种情况，这种缺陷也称肖特基缺陷，见图2-7。

二．杂质。晶体中总会或多或少含有外来元素原子或分子，许多情况下还要故意引进，这些外来原子或分子称杂质。占据主晶格原子位置的杂质称替位杂质，处于晶格间隙的杂质称间隙杂质。一般来讲，半径小的杂质容易成为间隙杂质。

三．位错。晶体中的线缺陷。通常将晶体发生滑移时,已滑移部分与未滑移部分在滑移面上的分界线称位错或位错线。位错的基本特征是在晶体的一定范围内原子沿位错线发生了有规律的错排。位错的基本类型有三种：

1）刃位错（棱位错）：其特征是滑移方向（伯格斯矢量）与位错线垂直； 2）螺位错：其特征是滑移方向（伯格斯矢量）与位错线平行； 3） 混合位错：其特征是滑移方向既不垂直也不平行于位错线。这种位错是棱位错与螺位错的混合体。

*滑移面：通常将晶体中容易产生滑移的面称滑移面。一般来说，滑移面为晶体中的原子密排面，或者说是面间距大的晶面。

*伯格斯矢量：用来标志位错特征和强度的矢量，记做b

。伯格斯矢量也称滑移矢量，其方向与滑移方向相同。

图2-8（a ）、（b ）、（c ）分别给出了滑移面、棱位错和螺位错的示意图。 四．层错。一种面缺陷。通常是由晶体中原子层的堆叠顺序发生错乱造成的。如图2-9所示，假设正常顺序为ABCABC ……，但在某一区域排列顺序变为ACABCABC …，于是在该区域就形成了层错。