单位圆在高一数学中的应用

单位圆在高一数学中的应用

佛山市南海区大沥镇高级中学 高振球

摘要：单位圆在学习高一数学、尤其在三角函数中应用广泛，利用单位圆可以：定义任意角的三角函数；理解记忆

三角函数值在各个象限的符号；巧记特殊角的三角函数值；帮助理解同角三角函数的基本关系；推导三角函数的诱导公式；而且利用单位圆可以解决有关三角函数问题，包括：求三角函数值；解三角函数不等式；求函数定义域；比较三角函数值的大小等等。

关键词：单位圆、三角函数、应用

所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆。

单位圆在高一数学中的应用主要体现在必修④三角函数中的应用，而三角函数在整个高中数学学习乃至高考中所占比重都很大，所以有必要充分利用单位圆来更好地学习掌握这部分知识。

一、单位圆在教材教学中的应用

1、利用单位圆定义任意角的三角函数：

如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则

α的正弦为： sin α=y ，

α的余弦为： cos α=x ，

α的正切为： tan α=x

y (x ≠0) 用单位圆上点的坐标来定义三角函数，可以使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，也使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础。

2、利用单位圆理解记忆三角函数值在各象限的符号：

根据单位圆中三角函数的定义可知，正弦的符号决定于纵坐标y 的符号，余弦的符号决定于横坐标x 的符号，正切是由纵坐标y 、横坐标x 的符号决定：同号为正，异号为负。因此，各三角函数值在每个象限的符号如下图2：

3、利用单位圆巧记特殊角的三角函数值：

由三角函数定义：sin α=y ，cos α=x ，tan α=x

y (x ≠0)， 结合单位圆（如图3），便容易理解记忆以下特殊角的三角函数值：

° 270° -1

4、利用单位圆易于理解同角三角函数的基本关系：

在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形，如图4，

由Rt △OMP 中，MP 2+OM 2=1，

得出同角三角函数的基本关系之一：sin α2+cos α2=1；

由Rt △OMP ∽Rt △OA T ，OA

AT OM MP =， 得出同角三角函数的基本关系之二：αααtan cos sin =（α≠k π+2

π，k ∈Z ）。 5、利用单位圆推导三角函数的诱导公式：

单位圆具有很好的对称性，通过对单位圆上对称点的坐标的关系来探究推出诱导公式。

如图5，角π+α的终边与角α的终边关于原点对称，

由角α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，

知角π+α的终边与单位圆的交点为P 2(－x,－y)，

推出诱导公式（二）：sin(π+α)=－sin α

cos(π+α)=－cos α

tan(π+α)= tan α

如图6，角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称，

由角α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，

知角－α的终边与单位圆的交点为P 2(x,－y)，

推出诱导公式（三）：sin(－α)=－sin α

cos(－α)= cos α

tan(－α)=－tan α

如图7，角π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称，

由角α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，

知角π－α的终边与单位圆的交点为P 2(－x, y)，

推出诱导公式（四）：sin(π－α)= sin α

cos(π－α)=－cos α

tan(π－α)=－tan α

如图8，角

2

π－α的终边与角α的终边关于直线y=x 对称， 角2π+α的终边与角2

π－α的终边关于y 轴对称， 由角α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)， 知角2

π－α的终边与单位圆的交点为P 2(y,x)， 角2

π+α的终边与单位圆的交点为P 3(－y,x)， 推出诱导公式（五）：sin(2

π－α)= cos α cos(2

π－α)= sin α 诱导公式（六）：sin(2

π+α)= cos α cos(2

π+α)=－sin α 6、利用单位圆中的三角函数线解决有关三角函数问题：

如图9，角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T ，则MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线。所以三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）都是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段，主要应用如下：

①利用单位圆中的三角函数线理解函数值符号的变化规律。

正弦线MP 与y 轴同向时，有正值y ，所以α为第一、二象限时sin α为正；

余弦线OM 与x 轴同向时，有正值x ，所以α为第一、四象限时cos α为正；

当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；

当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值则不存在。 ②利用单位圆中的三角函数线理解记忆诱导公式（一）。 由单位圆容易看出函数值的“周而复始”的变化规律，即：角的终边绕原点每转动一周，其三角函数线都保持

不变；也就容易理解掌握“终边相同的角的同一三角函数的值相等”这组诱导公式（一）：sin(α+k ·2π)=sin α, cos(α+k ·2π)=cos α，tan(α+k ·2π)=tan α，其中k ∈Z

③利用单位圆中的三角函数线作出三角函数图象，更好地研究三角函数的性质。

如下图10，将单位圆中的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）通过平移转化为三角函数图象上的点，就可以比较精确地作出三角函数的图象；利用单位圆中的三角函数线，可以直观地从整体上把握三角函数的有关性质，包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值。

④利用单位圆中的三角函数线推导差角的余弦公式。

如图11，设角α、β为锐角，且β<α，角α的终边与单位圆的交点为P 1，∠P 1O P=β，则∠xO P 1=α，∠xOP =α－β，作PM ⊥x 轴，PA ⊥OP

1，AB ⊥x 轴，

PC ⊥AB ，垂足分别为点M 、A 、B 、C ，那么OM=cos(α－β)，

OA=cos β，AP=sin β， ∠PAC=∠xO P 1=α,于是

OM=OB+BM=OB+CP=OAcos α+APsin β=cos βcos α+sin βsin α

所以cos(α－β) =cos αcos β+ sin αsin β

二、单位圆在解题中的应用

1、利用单位圆定义三角函数来求三角函数值。

例1、求6

7π的正弦、余弦和正切值。 解：如图12，在直角坐标系中，作∠AO B=6

7π， 则∠AO B 的终边与单位圆的交点坐标为B(23-，21-) ∴ sin

67π=21-，cos 67π=23-，tan 67π=33 析：先求出这个角的终边与单位圆的交点坐标，再利用定义求解。

例2、若函数f(n)=sin 6

πn (n ∈Z)，则f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(102)= 。

解：∵sin 6πn =sin(6πn +2π)= sin 6

)12(π+n ∴f(n)= f(n+12)

如图13，将单位圆均匀地分成12等份，

则依次对应n=1,2, …,12时的弧度数为6π，62π，…，6

12π ∵这12个角两两关于x 轴对称

∴f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(12)=0

∵102=8×12+6

∴f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(102)=8×[f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(12)]+f(97)+f(98)+ …+f(102)

=0+ f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(6)

=2[f(1)+f(2)+f(3)]

=2(sin 6

π+sin 62π+ sin 63π) =3+3

2、利用单位圆中的三角函数线解三角函数不等式。

例：利用单位圆解不等式3tan α+3>0 。

解：要使3tan α+3>0，即要tan α>－

33 如图14，由正切线可知 k π－6π<α< k π+2

π ，k ∈Z ∴ 不等式的解集为（k π－6π，k π+2

π），k ∈Z

3、利用单位圆中的三角函数线求函数定义域。

例：求函数y=2

1cos sin -+x x 的定义域。 解：由??

???≥-≥021cos 0sin x x 得?????≥≥21cos 0sin x x 如图15，则图中阴影部分（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分即为不等式组的解.

∴函数的定义域为{x | 2 k π≤x ≤2 k π+3

π, k ∈Z }. 4、利用单位圆中的三角函数线比较三角函数值的大小。

例1、（2002年全国高考题）在（0，2π）内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围为（ ）

A 、(4π，2π)∪(π，45π)

B 、(4π，π)

C 、(4π，45π)

D 、(4π，2

π)∪(45π，23π) 解：如图16，作出单位圆，利用正弦线、余弦线易知，

阴影部分中sinx>cosx ，所以4

π

例2、求证：当α∈（0，2

π）时，有sin α<α

π）的终边交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ， 过A(1,0)作AT ⊥x 轴交OP 于T ，则MP 是正弦线，AT 是正切线

∴ sin α=MP ，tan α=AT

∵ S △AOP

又S △AOP =21·OA ·MP=

21MP=2

1sin α S 扇形OAP =21·α·OA 2=2

1α S △OAT =21·OA ·AT=21AT=2

1 tan α ∴ 21sin α<21α<2

1 tan α ∴ sin α<α

5、利用单位圆中的三角函数线解决其他问题。

例：在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边：

① sin α=32 ；② cos α=5

3- ； ③ tan α=2

解：① ∵要作出满足sin α=3

2的角的终边，只要在单位圆上找出 纵坐标为32

的点P ，则OP 即为α的终边。

∴ 如图18，作直线y=32

，交单位圆于P 、Q 两点，

则OP 与OQ 为所求角α的终边。

② ∵要作出满足cos α=53

-的角的终边，只要在单位圆上找出 横坐标为53

-的点M ，则OM 即为α的终边。

∴ 如图19，作直线x=53

-，交单位圆于M 、N 两点，

则OM 与ON 为所求角α的终边。

③ 过点A(1,0)作直线x=1，如图20，截取AT=2，

直线OT 与单位圆交于C 、D 两点，

则OC 与OD 为所求角α的终边。

参考资料：

1、《数学④必修》 人民教育出版社A 版

2、《中华一题》必修④ 北京教育出版社