浓度问题题库教师版

浓度问题.题库教师版

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1、明确溶液的质量，溶质的质量,溶剂的质量之间的关系

2、浓度三角的应用

3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解 ４、利用方程解复杂浓度问题

浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密,就知识点而言它包括小学所学2个重点知识:百分数，比例。

一、浓度问题中的基本量

溶质:通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 溶液:溶质和溶液的混合液体。 浓度:溶质质量与溶液质量的比值。

二、几个基本量之间的运算关系

１、溶液=溶质＋溶剂 2、=100%=

100%+??溶质溶质

浓度溶液

溶质溶液

三、解浓度问题的一般方法

１、寻找溶液配比前后的不变量,依靠不变量建立等量关系列方程 2、十字交叉法:(甲溶液浓度大于乙溶液浓度） 形象表达:

A

B

=

甲溶液质量乙溶液质量B A =

甲溶液与混合溶液的浓度差

混合溶液与乙溶液的浓度差

注:十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角,浓度三角与十字交叉法实质上是相同

知识精讲

教学目标

6-2-3溶液浓度问题

的．浓度三角的表示方法如下:

::乙溶液质量

甲溶液质量z-y x-z

z-y

x-z

乙溶液浓度y %

甲溶液浓度x %

混合浓度z%

3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法.

模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题

（一） 两种溶液混合一次

【例 1】 某种溶液由40克食盐浓度15％的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到,

那么这种溶液的食盐浓度为多少？ 【解析】 两种配置溶液共含食盐4０×１5%+６0×１0％=１２克,而溶液质量为40＋６0-5０=５0克，所以

这种溶液的浓度为12÷50=24％．

【巩固】 一容器内有浓度为25%的糖水，若再加入20千克水,则糖水的浓度变为15%,问这个容器内原来

含有糖多少千克？ 【解析】 容器内原含糖7.5千克。

【巩固】 现有浓度为10%的盐水8千克，要得到浓度为20%的盐水,用什么方法可以得到，具体如何操作？ 【解析】 需蒸发掉４千克水,溶液的浓度变为2０％。

【例 2】 有浓度为20%的盐水300克,要配制成４0％的盐水，需加入浓度为７0%的盐水多少克? 【解析】 将两种溶液的浓度分别放在左右两侧，重量放在旁边,配制后溶液的浓度放在正下方,用直线相连；

(见图1)

例题精讲

直线两侧标着两个浓度的差,并化成简单的整数比。所需溶液的重量比就是浓度差的反比；对“比”的理解应上升到“份”，３份对应的为３0０克，自然知道２份为2００克了。需加入浓度为70％的盐水2０0克。

【巩固】 现有浓度为１0%的盐水２0千克，在该溶液中再加入多少千克浓度为３0%的盐水,可以得到浓度

为2２%的盐水？ 【解析】 10%与30%的盐水重量之比为(３0%-２２％)：(2２％-10%）=2:3，因此需要30%的盐水2０÷2×

3=３0克。

【巩固】 4千克浓度为30%的溶液和多少千克浓度为10%的溶液能混合成26%的溶液？

【解析】 由十字交叉法两种溶液的配比为()()26%10%:30%26%4:1--=，所以应该用4411÷?=千克的

10%的溶液来混合．

【例 3】 甲种酒精溶液中有酒精6千克,水9千克;乙种酒精溶液中有酒精9千克,水3千克；要配制成

50%的酒精溶液7千克，问两种酒精溶液各需多少千克? 【解析】 甲种酒精浓度为6(69)100%40%÷+?=，乙种酒精浓度为9(93)100%75%÷+?=,根据浓度三角，

可知两种酒精的质量之比为：(75%50%):(50%40%)5:2--=,由于配成的酒精溶液共７千克，因此需要甲种酒精5千克,乙种酒精2千克.

【例 4】 将75%的酒精溶液32克稀释成浓度为40％的稀酒精，需加入水多少克？

【解析】 稀释时加入的水溶液浓度为0%（如果需要加入干物质,浓度为100％），标注数值的方法与例1相

同。(见图2）,32÷8×7＝2８，需加水28克。

【巩固】 (难度等级 ※）浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？ 【解析】 浓度10％，含糖 ８0×10%＝ 8（克)，有水80-8＝72（克).如果要变成浓度为８％，含糖8克,糖

和水的总重量是8÷8％＝1０0(克),其中有水100－8=9２（克).还要加入水 92- 72＝ ２0(克）.

【例 5】 (难度等级 ※※）买来蘑菇10千克,含水量为９9％，晾晒一会儿后，含水量为98％,问蒸发掉

多少水份？ 【解析】 方法一：做蒸发的题目，要改变思考角度,本题就应该考虑成“９8％的干蘑菇加水后得到99％的

湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变成“混合配比”的问题了。但要注意，10千克的标注应该是含水量为99%的重量。将10千克按１∶1分配，10÷2＝5,蒸发掉５千克水份。

方法二：晾晒只是使蘑菇里面的水量减少了，蘑菇里其它物质的量还是不变的,所以本题可以抓住这个不变量来解．原来鲜蘑菇里面其它物质的含量为()10199%0.1?-=千克,晾晒后蘑菇里面其它物质的含量还是０.1千克，所以晾晒后的蘑菇有()0.1198%5÷-=千克．

【巩固】 (难度等级 ※）浓度为20%的糖水４0克，要把它变成浓度为40%的糖水,需加多少克糖?. 【解析】 浓度为２0%，含糖4０×20%＝８（克）,有水40- 8= ３2（克）.如果要变成浓度为４０%，32克

水中，应该含有的糖为:3２÷（1-４0%)－32＝1

213(克),需加糖112181333

-=(克)

(二）两种溶液混合多次

【例 6】 甲容器有浓度为2％的盐水 １80克，乙容器中有浓度为 ９％的盐水若干克，从乙取出 240克

盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问:(1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？(2）再往乙容器倒入水多少克? 【解析】 （1)现在甲容器中盐水含盐量是:1８０×2％+ 2４0×9％= 25.2(克).浓度是25.2÷（180 + 24０)× １

0０%= 6%．

（2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，即两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克

盐．因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中．在倒出盐水 2４0克后，乙的浓度仍是 9％,要含有 2５.2克盐,乙容器还剩下盐水２5.2÷９％=280(克）,还要倒入水420-2８0＝1４０(克）.

【例 7】 甲、乙两只装有糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为4%,乙桶有糖水40千克，含糖率为

20%,两桶互相交换多少千克才能使两桶糖水的含糖率相等? 【解析】 由于两桶糖水互换的量是对等的,故在变化过程中，两桶中糖水的量没有改变,而两桶中糖水的含

糖率由原来的不等变化为相等，

那么变化后的含糖率为：()()604%4020%6040100%10.4%?+?÷+?=，甲桶中原来的含糖率为4%，所以互相交换了:()()6010.4%4%20%4%24?-÷-=（千克)．

【例 8】 甲容器中有纯酒精1１升,乙容器中有水15升,第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器,

使酒精与水混合。第二次将乙容器中的混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.５％,乙容器中纯酒精的含量为40％。那么第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升？ 【解析】 乙中酒精含量为40％,是由若干升纯酒精(100%）和１５升水混合而成,可以求出倒入乙多少升纯

酒精。15÷3×2＝１0升６2.5％，是由甲中剩下的纯酒 精（1１－10＝）1升，与40%的乙混合而成,可以求出第二次乙倒入甲3

2

1

53)1011(=?÷-升

【巩固】 甲杯中有纯酒精12克，乙杯中有水15克，第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯，使酒精与水

混合．第二次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯，这样甲杯中纯酒精含量为50%,乙杯中纯酒精含量为25%.问第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是多少克? 【解析】 第一次从甲杯倒入乙杯的纯酒精有:15÷(125%-)155-=(克)，

则甲杯中剩纯酒精1257-=(克).

由于第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液的浓度为25%，根据浓度倒三角,倒入的溶液的量与甲杯中剩余溶液的量的比为()()100%50%:50%25%2:1--=， 所以第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是7214?=克．

【巩固】 甲容器中有纯酒精11立方分米,乙容器中有水15立方分米．第一次将甲容器中的一部分纯酒精

倒入乙容器，使酒精与水混合;第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器．这样甲容器中的纯酒精含量为62.5%，乙容器中的纯酒精含量为25%.那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米？ 【解析】 由于第二次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中，所以乙溶液在第二次操作的前后浓度不变,所以

乙容器内倒入甲容器中的溶液的浓度为25%,而在此次倒入之前,甲容器中是纯酒精,浓度为100%,根据浓度倒三角，()()100%62.5%:62.5%25%1:1--=，所以乙容器内倒入甲容器中的溶液的量与甲容器中剩下的量相等.

而第一次甲容器中倒入乙容器的的酒精有15(125%)20155÷-=-=立方分米，所以甲容器中剩下的有1156-=立方分米，故第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6立方分米．

【巩固】 有甲、乙两个同样的杯子,甲杯中有半杯清水,乙杯中盛满了含50%酒精的液体．先将乙杯的一

半倒入甲杯,搅匀后,再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯.问这时乙杯中酒精溶液的浓度是多少？ 【解析】 第一次将乙杯的一半倒入甲杯,倒入的溶液的量与甲杯中原有液体的量相等，浓度为50%，所以

得到的甲杯中的溶液的浓度为50%225%÷=;第二次将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯,倒入的溶液的量与乙杯中剩余液体的量相等，而两种溶液的浓度分别为50%和25%，所以得到的溶液的浓度为()50%25%37.5%+=，即这时乙杯中酒精溶液的浓度是37.5%．

【例 9】 (20０8年西城实验考题)将含农药30%的药液,加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再

加入同样多的水,药液含药的百分比是_＿______. 【解析】 开始时药与水的比为3:7，加入一定量的水后,药与水的比为24:766:19=,由于在操作开始前后药

的重量不变,所以我们把开始时药与水的比化为6:14,即，原来药占6份，水占14份；加入一定量的水后，药还是6份，水变为19份,所以加入了5份的水，若再加入5份的水,则水变为24份，药仍然为6份,所以最后得到的药水中药的百分比为:6(624)100%20%÷+?=．

【巩固】 在浓度为40％的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为３0％,再加入多少千克酒精，浓度变为５

０％? 【解析】 再加入8千克酒精,溶液浓度变为５0％。

【例 10】 有A 、B 两瓶不同浓度的盐水，

小明从两瓶中各取1升混合在一起,得到一瓶浓度为36%的盐水，他又将这份盐水与2升A 瓶盐水混合在一起,最终浓度为32%.那么B 瓶盐水的浓度是 . 【解析】 根据题意,A 瓶盐水的浓度为32%236%28%?-=，那么B 瓶盐水的浓度是36%228%44%?-=.

【例 11】 甲种酒精纯酒精含量为72%,乙种酒精纯酒精含量为58%,混合后纯酒精含量为62%．如果每种

酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%．第一次混合时,甲、乙两种酒精各取了多少升? 【解析】 如果甲、乙两种酒精各取15升混合，那么混合后的溶液共30升，浓度为()72%58%265%+÷=，

由于第二次混合后的浓度为63.25%,则可知第一次混合后的体积与30升的比值为:(65%63.25%):(63.25%62%)7:5--=．则第一次混合后的体积为305742÷?=升.又知,第一次混合时甲、乙两种酒精的体积之比为：(62%58%):(72%62%)2:5--=.则第一次甲酒精取了2421252?

=+升，乙酒精取了5

423052

?=+升．

【巩固】 (2008年“我爱数学夏令营”数学竞赛）若干升含盐70%的溶液与若干升含盐58%的溶液混合

后得到含盐62%的溶液。如果每种溶液各多取15升,混合后就得到含盐63.25%的溶液,那么第一次混合时含盐70%的溶液取了 升。 【解析】 第一次两种溶液所取的体积比为(62%58%):(70%62%)1:2--=;由于两种溶液各取15升，将混

合成含盐为(70%58%)264%+÷=的溶液３０升，拿这３０升溶液与开始时混合而成的含盐62%的溶液混合，将得到含盐63.25%的溶液,可知这两种溶液的体积之比为(64%63.25%):(63.25%62%)3:5--=，

所以第一次混合而成的溶液体积为3

30185?=升,所以第一次混合时含盐70%的溶液取了

1

18612

?

=+升。

【巩固】 纯酒精含量分别为60%、35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为40%.如果每种酒精都

多取20克,混合后纯酒精的含量变为45%.求甲、乙两种酒精原有多少克? 【解析】 原来混合时甲、乙的质量比是：

40%35%1

60%40%4

-=-，

现在混合时甲、乙的质量比是：

45%35%2

60%45%3

-=-.

由于原来甲、乙的质量差=现在甲、乙的质量差,所以原来甲的质量是该质量差的

11413

=-

倍，现在甲的质量是该质量差的2232

=-倍．于是多取的20克与15

233-=对应.

所以,质量差5

20123

=÷

=(克)， 原来甲的质量是112441?

=-克，原来乙的质量是4

121641

?=-克.

【例 12】 甲瓶中酒精的浓度为70%，乙瓶中酒精的浓度为60%，两瓶酒精混合后的浓度是66%.如果两

瓶酒精各用去5升后再混合，则混合后的浓度是66.25%．问原来甲、乙两瓶酒精分别有多少升？ 【解析】 根据题意,先从甲、乙两瓶酒精中各取5升混合在一起,得到10升浓度为65%的酒精溶液;再将两

瓶中剩下的溶液混合在一起，得到浓度为66.25%的溶液若干升．再将这两次混合得到的溶液混合在一起,得到浓度是66%的溶液.根据浓度三角,两次混合得到的溶液的量之比为:()()66.25%66%:66%65%1:4--=，所以后一次混合得到溶液52440??=升．这40升浓度为66.25%的溶液是由浓度为70%和60%的溶液混合得到的，这两种溶液的量的比为:()()66.25%60%:70%66.25%5:3--=,所以其中浓度为70%的溶液有5

402553

?=+升，浓度为60%的溶液有3

401553

?

=+升．所以原来甲瓶酒精有25530+=升，乙瓶酒精有15520+=升.

【例 13】 甲种酒精4千克，乙种酒精6千克，混合成的酒精含纯酒精62%．如果甲种酒精和乙种酒精一样

多,混合成的酒精含纯酒精61%.甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少? 【解析】 (法1)不妨设甲、乙两种酒精各取4千克，则混合后的浓度为61%，含纯酒精4261% 4.88??=千

克;又知，4千克甲酒精与6千克乙酒精，混合后的浓度为62%,含纯酒精()4662% 6.2+?=千克．相差6.2 4.88 1.32-=千克,说明642-=千克乙酒精中含纯酒精1.32千克,则乙酒精中纯酒精的百分比为1.322100%66%÷?=，那么甲酒精中纯酒精百分比为61%266%56%?-=.

(法2)甲、乙两种酒精各取4千克，则混合后的浓度为61%,而这种混合溶液,再混上2千克的乙酒精就能获得62%的混合溶液，由于混合的质量比是8:24:1=,由十字交叉法,乙溶液的浓度为()62%62%61%1466%+-÷?=,又因为同样多的甲种酒精溶液和乙种溶液能配成61%的溶液,所

以甲溶液浓度为()61%66%61%1156%--÷?=.

【例 14】 (2008年第六届“走美”六年级初赛)A 、B 两杯食盐水各有４0克,浓度比是3:2．在B 中加入

６0克水，然后倒入A 中_＿_＿____克．再在A 、B 中加入水,使它们均为100克,这时浓度比

为7:3．

【解析】 在B 中加入60克水后,B 盐水浓度减少为原来的

2

5

,但溶质质量不变，此时两杯盐水中的盐的质量比仍然为3:2,B 中的盐占所有盐的质量的

22

325

=+,但最终状态下B 中的盐占所有盐的质量的337310=+,也就是说B 中的盐减少了321

11054

-÷=,所以从B 中倒出了14的盐水到A,即25克．

模块二、列方程解浓度问题

【例 15】 使用甲种农药每千克要兑水２0千克,使用乙种农药每千克要兑水４0千克。根据农科院专家的

意见，把两种农药混合使用能提高药效。现有两种农药共5千克,要配药水140千克，其中甲种农药需药____＿_千克。 【解析】 设甲种农药x 千克，则乙种农药(５-x)千克。列方程：

(120)(5)(140)140x x ++-+=

2120541140x x +-= 2065x = 3.25x =

【例 16】 甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的3倍．将100克甲瓶盐水与300克乙瓶盐水混合

后得到浓度为15%的新盐水,那么甲瓶盐水的浓度是多少？ 【解析】 设乙瓶盐水的浓度是%x ，甲瓶盐水的浓度是3%x ，有1003%300%(100300)15%x x ?+?=+?，

解得10x =,即甲瓶盐水的浓度是30%．

【例 17】 甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为8%的硫酸溶液600千克,乙容器中装有

浓度为40%的硫酸溶液40０千克．各取多少千克分别放入对方容器中,才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样? 【解析】 由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变,而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器

中溶液的浓度由不同变为相同,而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改变,根据这个条件可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液的量.

甲容器中纯硫酸的质量为6008%48?=(千克）；

乙容器中纯硫酸的质量为40040%160?=(千克)； 两容器中纯硫酸的质量和为48160208+=千克, 硫酸溶液的质量和为6004001000+=千克.

两容器中溶液互换后浓度为2081000100%20.8%÷?=，

所以应交换的硫酸溶液的量为:()()60020.8%8%40%8%240?-÷-=（千克).

另解:假设各取x 千克放入对方容器中,那么两种混合溶液中两种硫酸溶液的质量比相等，即(600):600:400x x -=,解得240x =，即各取2４0千克.

【例 18】 甲容器中有浓度为20%的盐水400克,乙容器有浓度为10%的盐水600克.分别从甲和乙中取出

相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中．现在甲、乙容器中盐水浓度相同．问:从甲（乙)容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中？ 【解析】 由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变的,所以互换后盐水的浓度为

()()40020%60010%40060014%?+?÷+=，而甲容器中原来浓度为20%,所以相互倒了

()()40020%14%20%10%240?-÷-=(克).

另解:由于两种溶液的浓度不同，而混合后得到的溶液的浓度相同,只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的.这一点与两人各用两种速度走一段路程而平均速度相同中的两种速度的路程比、以及含铜率不同的两种合金熔炼成含铜率相同的合金(见第7讲相关例题)中两种合金的质量比是相似的．假设相互倒了x 克,那么甲容器中是由()400x -克20%的盐水和x 克10%的盐水混合,乙容器中是由x 克20%的盐水和()600x -10%的盐水混合，得到相同浓度的盐水，所以

()()400::600x x x x -=-，解得240x =．

【例 19】 十字交叉法的证明过程：设甲、乙两瓶溶液的质量分别为A 和B ，浓度分别为%x 和%y (x y >）,

将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为%z ，求证:()()::x z z y B A --=.

【解析】 甲溶液中溶质的质量为A %x ，乙溶液中的溶质质量为B %y ,则混和溶液中的溶质质量为

%%Ax By +,所以混合溶液的浓度为

%%Ax By A B ++，所以Ax By

z A B

+=+，即Az Bz Ax By +=+，

()()A x z B z y -=-,可见()()::x z z y B A --=．也可以这样来理解；由于甲溶液浓度比乙溶液浓

度高，两瓶溶液混合后,浓度变为相同，相当于甲溶液拿出了(%%)A x z ?-的溶质给乙溶液,乙溶液则得到了(%%)B z y ?-的溶质，所以(%%)(%%)A x z B z y ?-=?-,得到()()::x z z y B A --=.

【例 20】 在浓度为%x 的盐水中加入一定量的水,则变为浓度10%的新溶液.在这种新溶液中加入与前次

加入的水量相等的盐,溶液浓度变为30%.求x . 【解析】 不妨设原来的盐水为１0０克,加入的水(或）盐重a 克,可列方程:

10%100x

a

=+,可得100.1x a =+；

30%100x a

a a

+=++,可得300.6x a a +=+；解得40a =,14x =.

【巩固】 （２007年第五届“希望杯”一试六年级）一杯盐水,第一次加入一定量的水后,盐水的含盐百分

比变为15%；第二次又加入同样多的水,盐水的含盐百分比变为12%;第三次再加入同样多的水,盐水的含盐百分比将变为 %。 【解析】 抓住题中不变量---盐的重量.假设第一次加入水后盐水的重量为a 克,盐的重量为15%0.15a a ?=

克,第二次加水后的总重量为0.150.12 1.25a a ÷=克,这样就可得出加水量是1.250.25a a a -=克，第三次加水后的重量是1.250.25 1.5a a a +=克，这时的盐水的含盐百分比是0.15 1.510%a a ÷=.

【例 21】 瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A 、B 两种酒精溶

液，瓶中的浓度变成了14%．已知A 种酒精溶液浓度是B 种酒精溶液浓度的2倍，那么A 种酒精溶液的浓度是百分之几？ 【解析】 (法1）方程法．新倒入纯酒精:()100010040014%100015%60++?-?=（克)． 设A 种酒精溶液的浓度为x ，则B 种为2

x

.根据新倒入的纯酒精量，可列方程： 100400602

x

x +?

=,解得20%x =，即A 种酒精溶液的浓度是20%． （法2)浓度三角法．设A 种酒精溶液的浓度为x ,则B 种为

2

x . 根据题意，假设先把10０克A 种酒精和40０克B 种酒精混合，得到500克的酒精溶液,再与１0０0克15%的酒精溶液混合，所以A 、B 两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为()1000

14%15%14%12%500

--?

=． 根据浓度三角，有()12%:12%400:1002x x ?

?--= ??

?，解得20%x =．

故A 种酒精溶液的浓度是20%.

【例 22】 (２0０８年101中学考题）A 种酒精浓度为40%，B 种酒精浓度为36%，C 种酒精浓度为35%，

它们混合在一起得到了11千克浓度为38.5%的酒精溶液,其中B 种酒精比C 种酒精多3千克,则A 种酒精有 千克． 【解析】 设A 种酒精有x 千克,B 种酒精有y 千克,C 种酒精有z 千克,则：

11340%36%35%1138.5%x y z z y

x y z ++=??

+=???+?+?=??

解得7x =， 3.5y =,0.5z =,故A 种酒精有７千克．

【例 23】 一个卖牛奶的人告诉两个小学生:这儿的一个钢桶里盛着水,另一个钢桶里盛着牛奶,由于牛奶

乳脂含量过高,必须用水稀释才能饮用.现在我把A 桶里的液体倒入B 桶,使其中液体的体积翻了一番,然后我又把B 桶里的液体倒进A 桶,使A 桶内的液体体积翻番．最后,我又将A 桶中的液体倒进B 桶中，使B 桶中液体的体积翻番.此时我发现两个桶里盛有同量的液体,而在B 桶中，水比牛奶多出1升.现在要问你们,开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶? 【解析】 假设一开始A 桶中有液体x 升，B 桶中有y 升.第一次将A 桶的液体倒入B 桶后,B 桶有液体2y

升，A 桶剩()x y -升；第二次将B 桶的液体倒入A 桶后,A 桶有液体2()x y -升,B 桶剩(3)y x -升；第三次将A 桶的液体倒入B 桶后,B 桶有液体(62)y x -升，A 桶剩(35)x y -升.由此时两桶的液体体积相等,得3562x y y x -=-，511x y =，:11:5x y =.

现在还不知道A 桶中装的是牛奶还是水,可以将稀释牛奶的过程列成下表： A 桶

B 桶

原A 桶液体:原B 桶液体 原A 桶液体:原B 桶液体 初始状态

11:0 0:5 第一次A 桶倒入B 桶 6:0 5:5 第二次B 桶倒入A 桶 9:3 2:2 第三次A 桶倒入B 桶

6:2

5:3

由上表看出，最后B 桶中的液体,原A 桶液体与原B 桶液体的比是5:3,而题目中说“水比牛奶多1 升”，所以原A 桶中是水，原B 桶中是牛奶．

因为在5:3中，“53-”相当于1升，所以2个单位相当于1升．由此得到,开始时,A 桶中有11

2 升水，B 桶中有52升牛奶；结束时,A 桶中有3升水和1升牛奶，B 桶中有52升

水和

3

2

升牛奶.

【巩固】 有A ,B 两个桶，分别盛着水和某含量的酒精溶液．先把A 桶液体倒入B 桶，使B 桶中的液体翻

番;再将B 桶液体倒入A 桶，使A 桶中的液体翻番．此时，A ，B 两桶的液体体积相等,并且A 桶的酒精含量比B 桶的酒精含量高20%．问:最后A 桶中的酒精含量是多少？

【解析】 因为最后A 桶的酒精含量高于B 桶,所以一开始A 桶盛的是酒精溶液.设一开始A 桶中有液体

x ,B 桶中有y ．第一次从A 桶倒入B 桶后，B 桶有2y ,A 桶剩()x y -;第二次从B 桶倒入A 桶,A 桶

有2()x y -，B 桶剩(3)y x -.由2()3x y y x -=-,得:5:3x y =.

再设开始A 桶中有纯酒精z ,则有水(5)z -.将酒精稀释过程列成表(如图):由题意知，32

(4)(4)20%55

z z ÷-÷=，解得4z =．所以最后A 桶中的酒精含量是3

44100%60%5

?÷?=． A 桶

B 桶

纯酒精：水 纯酒精：水 初始状态

():5z z - 0:3 第一次A 桶倒入B 桶 22:255z z ??- ??? 33:655z z ??- ??? 第二次B 桶倒入A 桶

33:455z z ??- ???

22:455z z ??- ???

【例 24】 A 、B 、C 三瓶盐水的浓度分别为20%、18%、16%,它们混合后得到100克浓度为18.8%的盐

水．如果B 瓶盐水比C 瓶盐水多30克,那么A 瓶盐水有多少克？ 【解析】 设C 瓶盐水有x 克,则B 瓶盐水为30x +克,A 瓶盐水为100-(30x x ++)702x =-克．则

()()70220%3018%16%10018.8%x x x -?++?+?=?，解得10x =．

所以A 瓶盐水为：7021050-?=（克).

模块三、浓度三角解分数应用题

【例 25】 (难度等级 ※※※）某班有学生48人，女生占全班的3７.5％，后来又转来女生若干人，这时

人数恰好是占全班人数的40%，问转来几名女生？

【解析】 浓度差之比１∶24, 48÷24×1=２人,重量之比 24∶1这是一道变换单位“1”的分数应用题需抓

住男生人数这个不变量,如果按浓度问题做,就简单多了。转来２名女生。

【例 26】 小明到商店买红、黑两种笔共66支.红笔每支定价5元,黑笔每支定价9元.由于买的数量较多，

商店就给予优惠,红笔按定价85%付钱,黑笔按定价80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%,那么他买了红笔多少支？ 【解析】 浓度倒三角的妙用．红笔按85%优惠，黑笔按80%优惠,结果少付18%，相当于按82%优惠，可

类似浓度问题进行配比,得到红、黑两种笔的总价之比为()()82%80%:85%82%2:3--=，而红、黑两种笔的单价分别为5元和９元，所以这两种笔的数量之比为23

:6:559

=，所以他买了6

663656

?

=+支红笔．

通过以上例题，我们可以看出,只要我们在解题时善于抓住事物间的联系，进行适当转化,就能发现其中的规律，找到解决问题的巧妙方法。

【例 27】 有两包糖,每包糖内都装有奶糖，水果糖和巧克力糖．已知:⑴第一包糖的粒数是第二包的

23

；⑵在第一包糖中，奶糖占25%，在第二包糖中，水果糖占50%；⑶巧克力在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍．当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么,水果糖所占的百分比等于多少?

【解析】 由于第一包糖的粒数是第二包糖的

2

3

，不妨设设第二包有糖30块,则第一包有糖20块.设巧克力糖在第二包糖中所占的百分比为x ,则巧克力糖在第一包糖中所占的百分比为2x ，根据题意,有：2023028%(3020)x x ?+=?+,解得20%x =，

所以巧克力糖在第一包中占的百分比为40%，那么,在第一包糖中，水果糖占125%40%35%--=．当两包糖合在一起时，水果糖所占的百分比是：(2035%3050%)(2030)44%?+?÷+=.

【巩固】 （人大附中选拔入学考试题)有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成,其中

1

4

为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其中1

5

为酥糖．将两包糖混合后，水果糖占78%，那么奶糖与酥糖的

比例是__＿_____．

【解析】 第一包糖水果糖占34,第二包糖水果糖占45.由浓度三角知：4378%:78%2:354???

?--= ? ????

?,即第一包

糖与第二包糖的数量比为2:3．所以,奶糖与酥糖的比为112:35:645?

?????= ? ??

???．

课后练习