谓词公式的分类与解释
第二节 谓词公式的分类与解释
为了给出谓词公式的定义，先给出项和原子公式的定义。
定义2.1 项：
（1） 个体常项和个体变项是项；
（2） 设),...,,(21n x x x ?是任意的n 元函数，n t t t ,...,,21是项，则),...,,(21n t t t ?是项；
（3） 有限地使用（1），（2）形成的符号串是项。
定义2.2 设),...,,(21n x x x R 是任意的n 元谓词，n t t t ,...,,21是项，则称),...,,(21n t t t R 是原子公式。
定义2.3合式公式：
（1） 原子公式是合式公式；
（2） 若A 是合式公式，则)(A ?也是合式公式；
（3） 若B A ,是合式公式，则)(),(),(),(B A B A B A B A ?→∨∧也是合式公式；
（4） 若A 是合式公式，则(),()xA xA ??也是合式公式。其中x 为任意的个体变项；
（5） 有限次地应用（1）～（4）形成的字符串是合式公式。
这样定义的合式公式又称作谓词公式，简称公式。合式公式的最外层括号可以省去。 定义2.4
（1） 在公式xA ?和xA ?中，A 是相应量词的辖域，x 称为指导变量。
（2） 在公式xA ?和xA ?中，x 的所有出现都是约束出现的，不是约束出现的变项称
为自由出现的。
例如：在公式))),,()((),((z y x L y G y y x F x ∧?→?中，?的辖域为
))),,()((),((z y x L y G y y x F ∧?→
?的辖域为
)),,()((z y x L y G ∧
x ?中的x 和y ?中的y 都是指导变量。x 的出现都是约束的，),(y x F 中的y 是自由出现的，)(y G 与),,(z y x L 中的y 是约束出现的，z 的出现是自由的。
一般情况下，在一个谓词公式A 中，除了可能含若干个个体常项，函数常项，谓词常 项外，还可能含个体变项，函数变项，谓词变项等。用下面定义对公式进行解释。
定义2.5 一个解释I 由下面4个部分构成：
（1） 非空的个体域D ；
（2） D 上一部分特定的元素；
（3） D 上一些特定的函数；
（4） D 上一些特定的谓词。
注：一个给定公式的解释不一定包括上面全部的四个部分。
例2.1 给定解释I 如下：
① 个体域N D =（自然数集合）；
② N 中特定的元素0=a ；
③ N 上特定函数：y x y x g y x y x f ?=+=),(,),(；
④ N 上特定的谓词，),(y x F 为y x =。
在解释I 下，下列公式中哪些为真？哪些为假？哪些的真值还不能确定？
（1） )),,((x a x g xF ?；
（2） ))),,(()),,(((x a y f F y a x f F y x →??；
（3） )),,((z y x f zF y x ???；
（4） )),(),,((y x g y x f yF x ??；
（5） )),(),,((z y f y x f F ；
解 （1） 在I 下，)),,((x a x g xF ?为)0(x x x =??，即对任意的自然数x 而言，均有 x x =?0，这是假命题。
（2） 公式被解释为
)00(x y y x y x =+→=+??，
这是真命题。
（3） 公式被解释为
)(z y x z y x =+???，
这也是真命题。
（4）公式被解释为
)(y x y x y x ?=+??，
这是假命题。
（5）公式被解释为
z y y x +=+，
它的真值不能确定。z y y x +=+不是命题。
通过此例说明，在给定解释I 下，有的公式为真，有的为假，有的真值不能确定。 有的公式在任何解释下都为真，也有的公式在任何解释下都为假，还有些公式在某些 解释下为真，在另一些解释下为假。根据这些情况将公式分为三类。
定义2.6 设A 为一个谓词公式。
（1） 若A 在任何解释下均为真，则称A 是逻辑有效式或称为永真式；
（2） 若A 在任何解释下均为假，则称A 为矛盾式或称为永假式或不可满足式；
（3） 若至少存在一个解释使A 为真，则称A 为可满足式。
永真式当然是可满足式。
由于公式的复杂性和解释的多样性，到目前为止，还没有一个可行的算法来判断任何 一个谓词公式是否为逻辑有效式。
定义2.7 设A 0是含命题变项12,,,n p p p L 的命题公式，12,,,n A A A L 是n 个谓词公式，用(1)i A i n ≤≤处处代替0A 中的i p ，所得公式A 称为0A 的代换实例。
命题公式的重言式在谓词公式中的代换实例都是逻辑有效的，命题公式的矛盾式在谓词逻辑中的代换实例都是矛盾式。
例如，)(q p p ∨→是重言式，用)(x xF ?代换p ，)(y yG ?代换q ，得谓词公式 ))()(()(y yG x xF x xF ?∨?→?
为)(q p p ∨→的代换实例，它是逻辑有效的。又如q q p ∧→?)(是矛盾式，则 )())()((y yG y yG x xF ?∧?→??
为q q p ∧→?)(的代换实例，它是矛盾式。