多面体及球体的概念、性质、计算

多面体及球体的概念、性质、计算

立体几何是高中数学的重要内容，立体几何试题是考查空间想象能力，逻辑思维能力和演绎推理能力的基本载体近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力。。在《课程标准》中，立体几何的内容和考查要求有了较大的变化：增加了三视图，更强调几何直观，几何证明有所削弱，淡化了距离问题。因此，在复习中，以基本知识，基本方法为基础，以通性通法为重点，培养空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力。

一般来说，平面向量在高考中所占份量较大，我们从以下五方面探讨立体几何问题的求解： 1.多面体及球体的概念、性质、计算；

2.由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算：

3.关于线线、线面及面面平行的问题；

4.关于线线、线面及面面垂直的问题；

5.关于空间距离和空间角的问题。 一、多面体及球体的概念、性质、计算： 典型例题：例1.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为【】

()

A 26()

B 36()

C 23()

D 2

2

【答案】A 。

【考点】三棱锥的性质。

【解析】∵ABC ?的外接圆的半径3r =

，∴点O 到面ABC 的距离22

6d R r =-=。 又∵SC 为球O 的直径，∴点S 到面ABC 的距离为26

2d =

。 ∴此棱锥的体积为113262233436

ABC V S d ?=

?=??=。故选A 。 例2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为【】

（A ）6π（B ）43π（C ）46π（D ）63π 【答案】B 。

【考点】点到平面的距离，勾股定理，球的体积公式。

【解析】由勾股定理可得球的半径为3，从而根据球的体积公式可求得该球的体积为：

()3

V 4

3=4

33

ππ=??

。故选B 。

例3.如下图，已知正四棱锥S ABCD -所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记(01),SE x x =<<截面下面部分的体积为(),V x 则函数()y V x =的图像大致为【】

【答案】A 。

【考点】棱锥的体积公式，线面垂直，函数的思想。

【解析】对于函数图象的识别问题，若函数()y f x =的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，可采用定性排它法：

观察图形可知，当1

02x <<

时，随着x 的增大，()V x 单调递减，且递减的速度越来越快，不是SE x =的线性函数，可排除C ，D 。当1

12

x ≤<时，随着x 的增大，()V x 单调递减，且递减的速度越来越

慢，可排除B 。只有A 图象符合。故选A 。

如求解具体的解析式，方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃，

并且作为选择题也没有太多的时间去解答。我们也解答如下：

连接AC ，BD ，二者交于点O ，连接SO ，过点E 作底面的垂线EH 。 当E 为SC 中点时，∵SB ＝SD ＝BC ＝CD ，∴SE ⊥BE ，SE ⊥DE 。 ∴SE ⊥面BDE 。 ∴当1

2

SE x ==

时，截面为三角形EBD ，截面下面部分锥体的底为BCD 。

又∵SA ＝SC ＝1，AC ＝2，SO ＝

22。此时2EH =。 ∴1122

()132424

V x =

???=。 当()1

02

时，截面与AD 和AB 相交，分别交于点F 、D ，设FG 与AC 相交于点I ，则易得1

()3

BCDFG V x S EH =

?。 由EH ∥SO ，2

1,,12

SE x CE x SO CS -===

= ，得 ()211x EH =-：：，即()21EH x =-。 由EI ∥SA ，1,2SE x CS AC === ，得12x AI =：：，即2AI x =。易知AFG ?是等腰直角三角

形，即222FG AI x ==。∴22211

222

2AFG S FG AI x x x =

??=?=?。 ∴()()()()()222

1112()111133232BCDFG ABCD AFG V x S EH S S E x x x x H ?=

?=---?=-???-=。

当

()1

12

()3

CMN V x S EH ?=

?。 由EH ∥SO ，2

1,,1SE x CE x SO CS -===

= ，得 ()211x EH =-：：，即()21EH x =-。 由EJ ∥SA ，1,1,2SE x CE x CS AC ==-== ，得()121CJ x -=：：，即()12CJ x =-。易知

CMN ?是等腰直角三角形，即()2212MN CJ x ==-。∴()()()2

222111122

21CMN S MN CJ x x x ?=??=?-?-=-。

∴()()()23

122()1121323

V x x x x =

?=---。 综上所述，()()()2

31110221()=24221122613

2x

?

????- ?

?????=???????。 结合微积分知识，可判定A 正确。

例4.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3

16

9

d V ≈

。人们还用过一些类似的近似公式。根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是【】

A.3

169d V ≈

B.32d V ≈

C.3300157d V ≈

D.32111

d V ≈ 【答案】D 。

【考点】球的体积公式以及估算。 【解析】由球的体积公式3

4

=3

V R π得3

3=4V R π，由此得3336=2=4V V

d ππ

。对选项逐一验证：

对于A.3

169d V ≈

有1669π≈，即69

=3.37516

π?≈；

对于B.3

2d V ≈

有6

2π

≈

，即6

=32

π≈

； 对于C.3

300157d V ≈

有3006157π≈，即6157

=3.14300π?≈； 对于D.3

2111d V ≈

有21611π≈，即611 3.142921

π?≈≈； ∴3

2111d V ≈

中的数值最接近36V π

。故选D 。 例5.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是【】

（A ）(0,2)（B ）(0,3)（C ）(1,2)（D ）(1,3) 【答案】A 。

【考点】异面直线的判定，棱锥的结构特征，勾股定理和余弦定理的应用。

【分析】如图所示，设四面体ABCD 的棱AC 长为a ，取BD 中点P ，连接,AP CP ，所以,AP BD CP BD ⊥⊥ ，

在t R ABP ?中，由勾股定理得AP CP ==2

。 ∴在ACP ?中，

APC CP AP CP AP a AC ∠?-+==cos 222221cos APC =-∠。

∵(0,)APC π∠∈，∴cos (1,1)APC ∠∈-。∴2(0,2)a ∈ ∴(0,2)a ∈。故选A 。

例6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ .

【答案】

3

3π。 【考点】空间几何体的体积公式和侧面展开图。

【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，根据条件得到

ππ22

12

=l ，解得母线长2=l ，1,22===r l r πππ所以该圆锥的体积为：ππ3

3

1231S 3122=-?==h V 圆锥。

例7.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ▲ 【答案】π6。

【考点】圆柱的表面积。

【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：

222426S l r πππππ=+=+=。

例9.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =，若2AD c =，

且++2AB BD AC CD a ==，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 ▲ .

【答案】

13

2

22--c a c 。 【考点】四面体中线面的关系，椭圆的性质。 【解析】作BE AD ⊥于E ，连接CE ，则

∵BC AD ⊥，BE BC B =I ，∴AD ⊥平面BEC 。 又∵CE ?平面BEC ，∴CE AD ⊥。

由题设，++2AB BD AC CD a ==，∴B 与C 都在以AD 为焦距的椭球上，且BE 、CE 都垂直于焦距所在直线AD 。∴BE =CE 。

取BC 中点F ，连接EF ，

∵2BC =，∴EF ⊥BC ，1BF =，21EF BE =-。 ∴2112

BEF S BC EF BE ?=?=-。

∴四面体ABCD 的体积212133

BEC c

V S AD BE ?=?=

-。 显然，当E 在AD 中点，即B 是短轴端点时，BE 有最大值为22b a c =-。 ∴22

max 213

c V a c =

--。 例10.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1。E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为 ▲ 。

【答案】

16

【考点】三棱锥的面积。

【解析】∵三棱锥1D EDF -与三棱锥1F D DE -表示的是同一棱锥，∴11D EDF F D DE V V --=。 又∵1F D DE -的底△DD 1E 的面积是正方形面积的一半，等于

1

2

；底△DD 1E 上的高等于正方形的棱长1，∴11D EDF F D DE 111

132V V 6

--==??=。

例11.若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD =，AC BD =，

AD BC =，则 ▲ _.(写出所有正确结论编号)

①四面体ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD 每个面的面积相等

③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90ο

而小于180ο

④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分

⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 【答案】②④⑤。 【考点】四面体的性质。

【解析】①四面体ABCD 每组对棱不相互垂直，命题错误；

②四面体ABCD 每个面是全等三角形，面积相等，命题正确；

③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180ο

，命题错误； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分，命题正确；

例12.已知点P A B C D ，，，，是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为326PA =则△OAB 的面积为 ▲ .

【答案】33

【考点】组合体的的位置关系，转化思想的应用。

【解析】∵点P A B C D ，，，，是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，

∴点P A B C D ，，，，为球O 内接长方体的顶点，球心O 为长方体对角线的中点。 ∴△OAB 的面积是该长方体对角面面积的

1

4

。 ∵23,26AB PA ==，∴6PB =。∴1

=

236=334

OAB S ???。 例13.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3

．

【答案】6。

【考点】正方形的性质，棱锥的体积。

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD 中=32BD ，BD 3

22

（它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）

。 ∴四棱锥11A BB D D -的体积为13

3222=632

?。