全国高中数学联赛试题及答案
2０11年全国高中数学联赛
一 试
一、填空题（每小题8分，共64分)
１．设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．
2．函数1
1
)(2-+=
x x x f 的值域为 . 3.设b a ,为正实数,
221
1≤+b
a ,32)(4)(a
b b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈,那么θ的取值范围是 . 5．现安排7名同学去参加５个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 .(用数字作答）
6.在四面体ABCD 中,已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．
７．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,Ｂ两点,C 为抛物线上的一点,?=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．
8.已知=n a C ()
)95,,2,1(2162003200
=???
?
????-n n
n
n ，则数列}{n a 中整数项的个数为 .
二、解答题（本大题共3小题,共56分）
9.（１６分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)2
1
()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．
10．(20分）已知数列}{n a 满足:∈-=t t a (321R 且)1±≠t ,
1
21)1(2)32(11
-+--+-=++n
n n n n n t a t t a t a ∈n (N )*. (1）求数列}{n a 的通项公式;
（2)若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小．
11.（本小题满分2０分)作斜率为31的直线l 与椭圆C ：14
362
2=+y x 交于B A ,两点（如图
所示),且)2,23(P 在直线l 的左上方．
(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；
（2)若?=∠60APB ，求△PAB 的面积.
解 答
1.{3,0,2,6}-. 提示：显然,在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次,所以
15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，
故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5-（-1)＝6,5－3=2,5-5=０，5-8=－3,因此，集合}6,2,0,3{-=A ．
2．(,(1,)2
-∞-
+∞. 提示:设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠,则
)
4
sin(21cos sin 1
1tan cos 1
)(π
θθ
θθθ-=
-=-=x f .
设)4
sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ,所以 ),1(]22
,(1)(+∞--∞∈= u x f ．
3．-1. 提示：由
221
1≤+b
a ,得a
b b a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =??≥+=-+=+,
即
ab b a 22≥+． ①
于是
ab b a 22=+． ②
再由不等式①中等号成立的条件,得1=ab .与②联立解得?????+=-=,12,12b a 或??
???-=+=,12,
12b a
故1log -=b a ．
4．??
?
?
?45,4π
π． 提示:不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-
等价于
θθθθ5353cos 7
1
cos sin 71sin +>+.
又5
37
1)(x x x f +
=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >,故 ∈+
<<+
k k k (4
524
2π
πθπ
πZ ). 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是??
?
??45,4ππ. 5.15000． 提示：由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1）有一个项目有３人参加,共有3600!5!51537=?-?C C 种方案；
(2）有两个项目各有２人参加，共有11400!5!5)(2
1252527=?-??C C C 种方案；
所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．
. 提示:设四面体ABCD 的外接球球心为O ,则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心.设M P ,分别为CD AB ,的中点,则N 在DP 上，且DP ON ⊥,CD OM ⊥．
因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得
3
2sin ,31cos =
=
θθ．
在△DMN 中,332
33232,121=??=?===DP DN CD DM ． 由余弦定理得
23
1312)3(1222=???-+=MN ，
故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径
33
22sin ===
θ
MN
OD ．
故球O 的半径3=R .
7．)2,1(-或)6,9(-.提示: 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由?
?
?==--,4,
0122
x y y x 得 0482=--y y ,则821=+y y ，421-=?y y ．
又12,122211+=+=y x y x ,所以
182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++?=?y y y y x x . 因为?=∠90ACB ,所以0=?CB CA ,即有
0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ,
即
0)(24)(21212212214=?++-+?++-y y t y y t x x t x x t ,
即
03161424=---t t t ,
即
0)14)(34(22=--++t t t t .
显然0142≠--t t ,否则01222=-?-t t ,则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ,解得3,121-=-=t t .
A B
C D
O
P M
N
故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．
8．１5. 提示：=n a C 6
54003
200200
2
3
n
n
n --??．
要使)951(≤≤n a n 为整数，必有
6
5400,
3200n
n --均为整数,从而4|6+n ． 当=n 2,８,１４,20，26,3２,38,44,５0,56，62，68,74,80时,3200n -和6
5400n
-均为非负整数,所以n a 为整数，共有14个.
当86=n 时，=86a C 5388620023-??，在Ｃ!
114!86!
20086200?=
中，!200中因数2的个数为
1972200220022002200220022002200765432=??
?
???+??????+??????+??????+??????+??????+??????, 同理可计算得!86中因数2的个数为82,!114中因数２的个数为110，所以Ｃ86200中因数2的个数为511082197=--,故86a 是整数．
当92=n 时，=92a C 10369220023-??,在C !
108!92!
20092200?=
中,同样可求得!92中因数２的个数为８
8,!108中因数2的个数为10５,故C 86200中因数２的个数为410588197=--,故92a 不是整数.
因此,整数项的个数为15114=+.
9.因为)2
1
()(++-
=b b f a f ,所以 |)2lg(||)2
1
lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-
=+b b b b a ， 所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ,又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a .