广西桂林中学2015届高三8月考试数学理科试题

广西桂林中学2015届高三8月考试

数学理科试题

说明: 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）

第Ⅰ卷 选择题

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1．设全集为R ，集合{}

{}

,5x 1x B ,09x

x A 2

≤<-=<-=

则()=B C A R ( )

()

()

(]

()3,3.

D 1,3.

C 1,3.

B 0,3.

A -------

2．复数i

43i 21+-在复平面上对应的点位于（ ）

A ．第四象限

B ．第三象限

C ．第二象限

D ．第一象限 3

b 与b a +的夹角为 （ ）

A ．30°

B ．60°

C ．150°

D ．120°

4．在ABC ?中，c ,b ,a 分别为C ,B ,A 的对边，如果c ,b ,a 成等差数列，?=30B ，ABC ?

那么=b （ ）

3

2.D 2

32.

C 31.B 231.

A ++++

5．从数字1,2,3,4,5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（ ）

5

4.

D 5

3.

C 5

2

.

B 5

1.

A

6．过曲线x x y 4-=上点P 处的切线平行于直线,2x 3y +=点P 的坐标为 ( )

()

()

()()0,1.D 1,0.

C 1,0.

B 0,1.

A --

7．如果变量y ,x 满足条件??

???≥-≤-+≥+-01y 202y x 0

2y x 2上，则y x z -=的最大值（ ）

1.D 1

.C 4

5.

B 2.A -

8.设命题2:210p ax ax ++>的解集是实数集;:01,R q a <<则p 是q 的( )

.A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件

.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件

9．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数()

0x x y a ≥=

是增函数的概率为( )

4

3.

D 5

3.

C 5

4.

B 7

3.

A

10．设F 为抛物线x 3y :C 2=的焦点，过F 且倾斜角为?30的直线交C 于B ,A 两点，则 =AB （ ）

12

11.已知四棱锥P-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,四边形ABCD 为正方形,点E 是PB 的中点,则异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为( )

3

2.

D 3

3.

C 3

2.

B 3

1.

A

12．已知函数()d cx bx x x f 23+++=（d c b 、、为常数），当()1,0x ∈时取极大值，当()2,1x ∈时取极小值，则

()2

2132b c ??++- ??

?的取值范围是（ ） ()

()25,5.

D 25,437.C 5,5.

B 5,237.A ?

?

?

????

?

? ??

第II 卷 非选择题

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．设常数R a ∈.若5

2x a x ?

??

?

?+的二项展开式中7x 项的系数为15-,则=_______.

14．函数()??

?

??ππ∈??

? ?

?π--??

? ?

?π+=3,6x ,4x sin 4x sin x f 22 的值域是_______.

15．若()()2x ln b x 2

1x f 2++-=在()+∞-,1上是减函数，则b 的最大值是 .

16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为.0x 4y x 22=-+若直线()1x k y +=上存在一点P ，使过P 所作的

（分数）

频率 0.0100.0050.020 0.025 a

圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（本小题满分为10分）在数列{}n a 中，,3a 1=)N n ,2n (2n a 2a 1n n *-∈≥-+=且 （Ⅰ）求32a ,a 的值；

（Ⅱ）证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式

18．（本小题满分为12分）已知四棱锥P —ABCD 及其三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点。 （Ⅰ）（1）求四棱锥P —ABCD 的体积；

（Ⅱ）不论点E 在何位置，是否都有BD ⊥AE ？试证明你的结论； (Ⅲ)若点E 为PC 的中点，求二面角D —AE —B 的大小。

19．（本小题满分为12分）某校从高 一年级学生中随机抽取40名学生作 为样本，将他们的期中考试数学成绩 （满分100分，成绩均为不低于40分

的整数）分成六组：[)40,50，[)50,60

，的频

率分布直方图．

（Ⅰ）求图中实数a 的值； （Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一

年级在考试中成绩不低于60分的人数；

(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率. 20. （本小题满分为12分）椭圆()0b a 1b y a x :

C 2

22

2>>=+的左、右焦点分别为,F ,F 21上顶点为A ,在x 轴负半轴上

有一点B ,满足.AF AB ,F F BF 2211⊥=

（Ⅰ）求椭圆C 的离心率.

（Ⅱ）D 是过2F ,B ,A 三点的圆上的点,D 到直线03y 3x :l =--的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆C 的方程.

21．（本小题满分为12分）设().ax 2x 2

1x 31x f 23++-= （Ⅰ）若()x f 在??

?

??+∞,3

2

上存在单调递增区间，求取值范围；

（Ⅱ）当2a 0<<时，()x f 在[]4,1上的最小值为3

16

-，求()x f 在该区间上的最大值.

22．（本小题满分为12分）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并

提高定价到．

x 元．公司拟投入()

600x 6

12-万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x 5

1

万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．

桂林中学高三年级8月月考试题答案（理科）

一．选择题：CBA BBA DAC CCD

1解：因为2{|90}(3,3),{|15},(,1](5,),

U A x x B x x C B =-<=-=-<≤=-∞-+∞

所以()R A

C B =(]1,3--.

考点：集合的运算

2

∴在复平面上对应的点位于第三象限. 考点：复数与复平面.

3可得2

2a b a =?,设b 与b a +的夹角为θ，

b 与b a +的夹角为30°，选A. 另解：由向量加减几何意义，得夹角为.30

? 考点：数量积表示两个向量的夹角

点评：本题主要考查数量积所抽象出的主要题类型，向量模的运算，夹角运算，这是向量考查的主要类型，也是解决空间距离和空间角的主要方法．

4． 解：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b=a+c ．平方得a 2+c 2=4b 2

-2ac ．

得ac=6，∴a 2

+c 2

=4b 2

-12．

B 。

考点：等差数列，三角形面积，余弦定理的应用。

点评：中档题，本题综合性较强，综合考查等差数列，三角形面积，余弦定理的应用。通过构建方程组，得到解题目的。

5．解：因为偶数=偶数+偶数=奇数+奇数，所以要分为两种情况来讨论，

B 。 6． 解：由y=x 4

-x ，得到y ′=4x 3

-1，又直线y=3x+2的斜率为3， 则4x 3

-1=3，解得x=1，把x=1

代入曲线方程得：y=0， 所以点P 的坐标为（1，0）．

故答案为：（1，0）．

7． 解：画出已知不等式所表示的平面区域：，再作出0:0=-y x l ，由于目标函数z 的几何意义可知：当直线D.

考点：线性规划.

8．解：220ax ax ++>的解集是实数集,(1)若0a =,则10>恒成立;(2)若0,a ≠则2

0,

440,

a a a >??

?=-

0 1.a <<由(1)(2)得0 1.a ≤<故选.

A 9．解：由程序框图可知：初始条件.3x -=

１．3x ≤是，所以3)3(2)3(2=-?+-=y ，从而;213x -=+-= ２．3x ≤是，所以0)2(2)2(2=-?+-=y ，从而;112x -=+-= ３．3x ≤是，所以1)1(2)1(2-=-?+-=y ，从而;011x =+-= ４．3x ≤是，所以00202=?+=y ，从而;110x =+= ５．3x ≤是，所以31212=?+=y ，从而;211x =+= 6．3x ≤是，所以82222=?+=y ，从而;312x =+= 7．3x ≤是，所以153232=?+=y ，从而;413x =+=

8．3x ≤否．从而集合{}15,8,1,0,3A -= ；而函数()0x x y a ≥=是增函数必须且只需a ＞０，故所求概率Ｐ5

3

=，故选Ｃ．

考点：１．程序框图；２．概率．

10．解：由题意，得???

??0,4

3F ．又因为,3

3

30tan k =

?=故直线AB 的方程为,43x 33y ??? ??-=与抛物线

2=3y x 联立，得

09x 168x 162=+-，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，

C ．

考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．

11. 解：设棱长都为1,连接AC,BD 交于点O,连接OE.

因为所有棱长都相等,因为ABCD 是正方形,所以O 是BD 的中点,且OE ∥PD,

故∠AEO(或其补角)为异面直线AE 与PD 所成的角.

易知

,2

1PD 21OE ==

,2

2

1121AC 21OA ,23AB 23AE 22=+====

在△OAE

中,由余弦定理得.332

1

23221

4143AEO cos =?

?-+=

∠

12．解：因为函数32()f x x bx cx d =+++的导数为2'()32f x x bx c =++.又由于当()1,0x ∈时取极大值，当

()2,1x ∈时取极小值.所以'(1)0'(0)0'(2)0f f f ??>?即可得23004120

b c c b c ++

>??++>?

，因为的半径的平方的范围.通过图形可得过点A 最大，过点B 最小，通过计算可得()22

3c 21b -+??? ?

?

+的取值范围为()25,5.

故选D.

考点：1.函数的导数问题.2.极值问题.3.线性规划问题.4.数形结合的思想. 二．填空题：-3； ???

?

?1,2

3 ； -1； []

22,22-

13．解：二项式展开式第r 项为()

,x

a C x a x C T r

310r r 5r

r 52r 5

1r --+=??

? ??

= 令10-3r=7 则r=1 所以,15a C 15-=? 解得.3a -=

考点：1.二项式定理.2.二项式展开公式.

14

考点：三角恒等变换及三角函数的值域.

15．解：函数的定义域是,02x >+即,2x ->而()2

x b

x 2x 2x b x x f 2++--=++-=' 因为,02x >+函数()()2x ln b x 2

1

x f 2++-=在()+∞-,1上是减函数，

即0b x 2x 2≤+--在()+∞-∈,1x 恒成立，得x 2x b 2+≤在()+∞-∈,1x 恒成立， 令()()11x x 2x x g 22-+=+=，在()+∞-∈,1x ，()(),11g x g -=->所以.1b -≤ 所以b 的最小值为.1-

考点：函数导数的应用及恒成立问题综合

16．解：圆C

，再将“直线上存在点P 到圆心的距离为22”转化为“圆心到直线的距离小于等于

.22k 22,221

k k 32

≤≤-≤+

考点：圆的方程、圆和直线的位置关系、点到直线的距离公式 三．解答题： 17．（满分10分）分析：(I)赋值:令3n ,2n ==；（II ）涉及到等差数列，等比数列的证明问题，只需按照定义证明即可，∴利用等比数列的定义证明，利用等比数列通项公式可求出

{}n a n +的通项公式，从而求出n a .

解：（I ）令,2n =,6212==a a 令,3n =131223=+=a a .--------------4分

∴数列{}n a n +是首项为4，公比为2的等比数列，---------------------7分 ∴,224n a 1n 1n n +-=?=+.n 2a 1n n -=∴+-------------------------10分 考点：1、赋值法；2、等比数列的定义。

18．（满分12分）分析：本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直，以及二面角的求解的综合运用。

解：（I ）由三视图知PC ⊥面ABCD ，ABCD 为正方形，且PC=2，AB=BC=1，

3

2

2131PC S 31V 2ABCD ABCD P =??=?=

∴------------------4分

（II ）∵PC ⊥面ABCD ，BD ?面ABCD ∴PC ⊥BD

而BD ⊥AC ，AC ∩AE=A ，∴BD ⊥面ACE ，

而AE ?面ACE ∴BD ⊥AE -----------------7分

（III ）法一：连接AC ，交BD 于O ．由对称性，二面角D-AE-B 是二面角O-AE-B 的2倍，设θ为二面角O-AE-B 的平面角．注意到B 在面ACE 上的射影为O

,4222121S 21S ACE AOE =??==??,22BE AB 21S ABE =?=? ,2

1

S S cos ABE AOE ==

θ∴?? ∴θ=60°∴二面角D-AE-B 是120°-------------12分

法二：以C 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系 则D （1，0，0），A （1，1，0），B （0，1，0），E （0，0，1）， 从而 DE =（-1，0，1）， DA =（0，1，0）， =BA （1，0，0）

， =BE （0，-1，1）

设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为

=

1n （x 1，y 1，z 1）， 2n =（x 2，y 2，z 2）则-x 1+z 1=0，y 1=0

x 2=0，-y 2+z 2=0令z 1=1，z 2=-1，

则=1n

（ （1，0，1），2n =（0，-1，-1） 设二面角D-AE-B 的平面角为θ，则|cos θ

.2

1

二面角D-AE-B 为钝二面角．∴二面角D-AE-B 是120°---------12分

19．（满分12分）

解：（Ⅰ）由11.025.0a 102.01.005.0=+++++，可得.03.0a = ---------2分

（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为: 85.01.025.03.02.0=+++

数学成绩不低于60分的人数为42585.0500=?人 ---------------- 5分 (Ⅲ)数学成绩在[)40,50的学生人数：205.040=?人 ------------ 6分 数学成绩在[)100,90的学生人数：41.040=?人 --------------- 7分 设数学成绩在[)40,50的学生为12,A A ，

数学成绩在[]90,100的学生为3456,,,A A A A 两

名

学

生

的

结

果

为

：

1213141516{,},{,},{,},{,},{,}

A A A A A A A A A A ，

23242526343536{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A 454656{,},{,},{,}A A A A A A 共

15种--------------------9分

其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有{}12,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}

45,A A ，

{}4

6

,A A ，{}5

6

,A A 共7种，---------- 11分

因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为

.15

7

-------12分 考点：直方图以及古典概型

点评：主要是考查了直方图以及古典概型概率的计算，属于基础题。 20. （满分12分）

解：(I)设B(x 0,0),由F 2(c,0),A(0,b), 知

=(c,-b),

=(x 0,-b).

（分数）

0.010 0.005

0.020

0.025 a

因为⊥,所以cx 0+b 2=0,x 0=-,

由

=

知1F 为2BF 中点,故,c 2c c

b 2

-=+-

所以b 2=3c 2=a 2-c 2,即a 2=4c 2,故椭圆C 的离心率.2

1

e =--------6分 (II)由(1)知,21

a c =

得,a 2

1c = 于是F 2

,B .

由题意知△ABF 2为直角三角形,BF 2为斜边, 所以△ABF 2的外接圆圆心为 F 1

,半径r=a.

D 到直线l :x-y-3=0的最大距离等于2a,所以圆心到直线的距离为a,

所以

()

,a 3

13a 2

1

2

=-+--解得a=2,

所以c=1,b=.

所以椭圆C 的方程为.13

y 4

x

2

2

=+

-------12分 21．（满分12分）

分析：主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数的正负来判定函数的增减区间，以及函数最值的求解运用。

解：（I ）知()(),a 2x x x f ,ax 2x 2

1x 31x f 223=+='∴++=------------2分

函数()x f 在??

?

??+∞,3

2

上存在单调递增区间，即导函数在??

?

??+∞,3

2上存在函数值大于零的部

分，

分

(II)因为()x f 取到最小值3

16

-，而2'()2=++f x x x a 的图像开口向

下，且对称轴

分 则必有一点[],4,10∈x 使得0'()0=f x 此时函数()x f 在0[1,]x 上单调递增，在0[,4]x 单调

分

此时，由200000'()202,1()=-++=∴==-舍去f x x x x x ，

分

22．（满分12分） 分析：（1）这是函数应用题中涉及销售的问题，要清楚知道常识性的等式：销售总收入＝销售单价×销售量．提价为x

元时，销售量是（

2）关键是弄懂原收入与总投入之和是多少？原收入825?，总投

入()

,x 515060x 61825ax 2++-+?≥，根据问题的要求，此式变为25x >

，所以a 的范围是a

不小于

解：（I 设每件定价为x 元，依题意，有整理得,01000x 65x 2≤+-解得.40x 25≤≤

∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．------6分 （2）依题意，25x >时，

不等式()

x 51

5060x 61825ax 2++-+?≥有解,等价于25x >

, 15016x x +（当且仅当30x =时，等号成立）

.2.10a ≥∴

∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．------------12分 考点：函数的应用题．