特殊的平行四边形知识点和专题练习试题

特殊的平行四边形知识点和专题练习

知识点归纳

1. 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

2. 平行四边形的性质

（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．

（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分．

（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．

3. 平行四边形的判定方法

（1）定义识别：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）用平行四边形的判定定理识别：

判定定理①：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

判定定理②：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

判定定理③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

4. 三角形中位线

（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．每个三角形都有三条中位线．（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 5. 直角三角形特殊性质

（1）斜边上的中线等于斜边的一半。（2)300所对的直角边等于斜边的一半。

（3）射影定理，勾股定理，面积不变定理

6.有关矩形面积的计算：:①面积公式:矩形面积=长?宽

②矩形ABCD的两条对角线相交于O,则

1

4 ABO BCO CDO ADO

S S S S S

????

====

矩形ABCD

7.有关菱形的面积计算

由于菱形的对角线互相垂直平分,

11

()

22

ABD CBD

S S S BD OA OC BD AC ?

=+=+=?

也可以用平行四边形的面积计算公式=底 高

8.梯形定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形

梯形的底:梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底梯形的腰:梯形中不平行的两边叫做梯形的腰

梯形的高:梯形两底之间的距离叫做梯形的高

等腰梯形:两腰相等的梯形；直角梯形:一腰垂直于底的梯形

9.梯形的判定：①判定四边形一组对边平行,另一组对边不平行

②一组对边平行但不相等的四边形是梯形

10.等腰梯形的性质：①两底平行,两腰相等；②等腰梯形在同一底上的两个角相等

③等腰梯形的两条对角线相等；

④等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴

11.等腰梯形的判定：①两腰相等的梯形是等腰梯形

②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

(以前出现,但是在新课标中没有出现的判定方法:对角线相等的梯形是等腰梯形)

12.梯形的面积：面积=（上底+下底）×高÷2

经典例题讲解

例1：如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.

求证：∠BAE =∠DCF.

例2如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.

求证：BE = CF.

例3已知：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，点E、F分别在AB、

CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB.

例4如图6，E、F分别是 ABCD的AD、BC边上的点，且AE = CF.

（1

ABE≌△CDF；

（

2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论.

（图1）

A D

B C

E

F

(图6)

M

N

O

A

B C

D

E F

（图2）

例5如图7， ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点E ，F.

求证：四边形AFCE 是菱形.

例6如图8，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点.

（1）如果，则△DEC ≌△BFA （请你填上一个能使结论成立 的一个条件）；（2）证明你的结论.

特殊的平行四边形专题练习

2.已知平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则AC 的取值围为( ) A. 6

4．延长平形四边形ABCD 的一边AB 到E ，使BE ＝BD ，连结DE 交BC 于F ，若∠DAB ＝120°， ∠CFE ＝135°，AB ＝1，则AC 的长为（） （A ）1 （B ）1.2 （C ）

3

2

（D ）1.5 5．若菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC 于E ，AE ＝1cm ，则BD 的长是（ ） （A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm

7.如图，等腰△ABC 中，D 是BC 边上的一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，AB=5 那么四边形AFDE 的周长是 （ ）

（A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）20 8.如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处， 点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）． （A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm

9. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AC 将梯形分成两

个三角形，其中△ACD 是周长为18 cm 的等边三角形，则该梯形的 中位线的长是( )． (A)9 cm (B)12cm (c)

2

9

cm (D)18 cm 10.如图，在周长为20cm 的□ABCD中，AB≠AD，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ， 则△ABE 的周长为（ ）

(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 11. 如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使

点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6， 则AF 等于 （ ）

（A ）34 （B ）33 （C ）24

（D ）８

图7

A

B

C

D E

F O 图8

B

C

D A

E F A

B

C

D E

F 图 2

A B

C

D

E O 第10题图

D

A B

C

P

M

N

（1） （2） 图10 R

P

D

C B A

E

F

第12题图 12.如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是 AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论 成立的是 （ )

A 、线段EF 的长逐渐增大

B 、线段EF 的长逐渐减小

C 、线段EF 的长不变

D 、线段EF 的长与点P

13. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且cm AC 5=，BD=12c m ，

则梯形中位线的长等于（ ） A. 7.5cm B. 7cm C. 6.5cm D. 6cm （二）细心填一填

4.已知：平行四边形ABCD 的周长是30cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△BOC 的 周长长5cm ，则这个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿。

5. 已知：平行四边形ABCD 中， AE ⊥BC 交CB 的延长线于点E ，AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ，AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝32cm ，BC ＝3

5 AB ，∠EAF ＝2∠C ，则BE 长为＿＿＿，则∠C ＿＿＿.

7.已知：如图8，正方形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，若 AE ＝4cm ，DF ＝3cm ，且OE ⊥OF ，则EF 的长为。

8． 如图10(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2)所示的一

个菱形．对于图10(1)中的等腰梯形，请写出它的角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：． 9．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E F ，分别是AB CD ，的中点，

18AD BC PEF =∠=，，则PFE ∠的度数是．

10．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________．

11. 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH

是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是。

12. 已知矩形ABCD ，分别为AD 和CD 为一边向矩形外作正三角形ADE 和正 三角形CDF ，连接BE 和BF ，则

BF

BE

的值等于。 13. 如图所示，O 为矩形ABCD 的对角线交点，DF 平分∠ADC 交AC 于E ，BC 于F ， ∠BDF=15°，则∠COF=______．

14. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为．

1.如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB 的长。

C

F

D

B

E A P

（第9题）

2.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=CD=2,∠BAD=120°, 对角线AC 平分∠BCD ，求等腰梯形ABCD 的周长。

4．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，

∠ADB=60°，BD=10，BE ∶ED=4∶1，求梯形ABCD 的腰长.

5. 如图，菱形ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，

∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数。

6.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， CE ⊥AN ，垂足为点E ， （1）求证：四边形ADCE 为矩形；

（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形

ADCE 是一个正方形？并给出证明．

7. 如图，四边形ABCD 中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD ≠BC ，对角线BD 与边DC 互相 垂直，M 、N 、H 分别是AD 、BC 、BD 的中点，且∠ABD=30°求：（1）MH 的长（2）MN 的长。

10.如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，

B D

N (第6题)

PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，

求证：EF＝AP

11.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。

若PE=PF,且AP+AE=CP+CF

（1）求证：PA=PC;

（2）若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四边形ABCD的面积.

12.如图，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，点A处有一动点E以1cm∕s的速度由点A向点B

运动，同时点C处也有一动点F以2cm∕s的速度由点C向点D运动，设运动的时间为x（s），四边形EBFD的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式及自变量x的取值围。

13.如图在直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠B=90°AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始

沿AD边向D以1cm/s的速度运动,动点Q从C开始沿CB向B以3cm/s的速度运动,P,Q 分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t,t分别为何值时,四边形PQCD为平行四边形,等腰梯形?

A

B Q C

D

P